Теории вероятностей: готовимся к собеседованию и разрешаем «парадоксы»


    Каждый год я участвую примерно в сотне собеседований в образовательных проектах JetBrains: собеседую абитуриентов в Computer Science Center и корпоративную магистратуру ИТМО (кстати, набор на программу идёт прямо сейчас). Все собеседования устроены по одному шаблону: мы просим на месте порешать задачи и задаём базовые вопросы по дисциплинам, которые студенты изучали в университетах. Большинство вопросов, которые мы задаём, довольно простые — нужно дать определение некоторого понятия, сформулировать свойство или теорему. К сожалению, у значительной доли студентов все эти определения выветриваются сразу после экзаменов в университетах. Казалось бы, что тут удивительного? В современном мире любое определение можно за пару секунд нагуглить, если это нужно. Но невозможность восстановить базовое определение свидетельствует о непонимании сути предмета.

    Если непонимание алгебры или математического анализа может мало влиять на вашу жизнь, то непонимание теории вероятностей делает из вас лёгкую мишень для обмана и манипулирования. Суждения о вероятностях различных событий настолько глубоко вошли в нашу повседневную жизнь, что умение правильно рассуждать и отличать правду от невежества или манипуляции является необходимым. В этом небольшом обзоре мы поговорим о базовых понятиях теории вероятностей, научимся правильно формулировать утверждения про простые случайные процессы и разберём несколько парадоксов. Часть материала позаимствована из брошюры А. Шеня «Вероятность: примеры и задачи», которую я очень рекомендую для самостоятельного изучения.

    Перед тем, как говорить об определениях, нам нужно договориться о том, откуда же в нашем мире берётся случайность. Например, почему мы считаем, что подбрасывание монеты — это случайный процесс? С точки зрения классической физики, описывающей процессы в макромире, всё детерминировано, поэтому по параметрам подброса монеты можно однозначно определить, какой стороной она упадёт. Однако на практике оказывается, что измерить и учесть все силы, которые действуют на монетку фактически, невозможно, и поэтому результат этого эксперимента принято считать случайным. Важно понимать, что этот вопрос не является вопросом теории вероятностей. Теория вероятностей работает с моделями — для неё монетка, у которой орёл и решка выпадают одинаково часто, и монетка, у которой орлов в два раза больше, чем решек, — это просто две разные модели. Вопрос о том, какая из моделей больше соответствует наблюдаемой действительности — это вопрос нашего опыта (опыт показывает, что частота орла и решки примерно одинаковая). Таким образом, первым делом мы должны договориться о модели.

    Определения


    Для определения модели, которая позволит нам говорить о вероятностях, нужно описать вероятностное пространство.

    Вероятностное пространство в самом простом конечном случае состоит из множества элементарных исходов $\Omega = \{a_1, a_2, \dotsc, a_n\}$ и набора неотрицательных чисел $\{p_1,p_2,\dotsc, p_n\}$, таких что их сумма равна $1$. Довольно часто все исходы считаются равновероятными, т.е. $p_1=p_2=\dotsb=p_n$. В более сложном бесконечном случае нужно отдельно выделять множество интересующих нас событий и задавать вероятности событий при помощи функции, называемой вероятностной мерой. Событием называется множество, состоящее из элементарных событий, т.е. любое подмножество $\Omega$. Вероятность события $E\subseteq \Omega$, обозначается $\Pr[E]$, — это сумма всех таких $p_i$, что $a_i\in E$. В частности, вероятность пустого события $E = \emptyset$ равна нулю, а события $E=\Omega$ равна 1. В случае, когда все исходы считаются равновероятными, вероятность события просто равна отношению количества исходов, содержащихся в событии, к общему количеству элементарных исходов, т.е. $\Pr[E] = |E| / |\Omega|$.

    Вероятность любого события заключена между 0 и 1. Если вероятность события нулевая, то такое событие называется невозможным, если же вероятность события равнаи единице, то такое событие называется достоверным.

    Важно, что без определения вероятностного пространства нельзя (в математическом смысле) говорить о вероятности чего-либо.

    Замечание


    На основе определения вероятностного пространства легко провести разделение между теорией вероятностей и статистикой: теория вероятностей предсказывает частоты на основе знания вероятностного пространства, а статистика решает обратную задачу — на основе наблюдаемых частот определяет параметры неизвестного вероятностного пространства.

    Пример: подбрасывание монетки


    Будем считать, что монетка чеканная «правильная» или «симметричная», т.е. она одинаково часто выпадает орлом и решкой, а на ребро никогда не встаёт. Тогда множество элементарных исходов состоит из двух элементов, $\Omega = \{ \text{ОРЁЛ}, \text{РЕШКА}\}$. Так как мы договорились, что монетка «правильная», то разумно считать, что $p_1 = p_2 = 1/2$. Теперь давайте перечислим все возможные события и их вероятности.

    1. Не выпадет ни орёл, ни решка. Это соответствует событию $E = \emptyset$, $\Pr[E] = 0$.
    2. Выпадет орёл, $E = \{\text{ОРЁЛ}\}$, $\Pr[E] = 1/2$.
    3. Выпадет решка, $E = \{\text{РЕШКА}\}$, $\Pr[E] = 1/2$.
    4. Выпадет орёл или решка, $E = \{\text{ОРЁЛ}, \text{РЕШКА}\}$, $\Pr[E] = 1/2 + 1/2 = 1$.

    Пример: подбрасывание игрального кубика


    Как и в случае с монеткой мы будем предполагать, что игральный кубик выпадает всеми гранями одинаково часто. Тогда множество элементарных исходов состоит из шести элементов, $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, все их вероятности равны $p_1 = p_2 = \dotsb = p_6 = 1/6$. Количество различных событий в этом эксперименте равно $64 = 2^6$ (это количество всех подмножеств множества из 6 элементов). Удивительным образом вопрос «сколько существует различных событий в эксперименте с подбрасывание игрального кубика?», по моим наблюдения, ставит в тупик 9 из 10 абитуриентов.
    Давайте рассмотрим некоторые примеры событий.

    1. Выпадет 1, $E = \{1\}$, $\Pr[E] = 1/6$.
    2. Выпадет число большее трёх, $E = \{4, 5, 6\}$, $\Pr[E] = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2$.
    3. Выпадет число кратное трём, $E = \{3, 6\}$, $\Pr[E] = 1/6 + 1/6 = 1/3$.

    Пример: два подбрасывания монетки


    В тех же предположениях о «симметричености» монеты мы определим множество элементарных исходов как множество упорядоченных пар

    $\Omega = \{ (\text{ОРЁЛ}, \text{ОРЁЛ}), (\text{ОРЁЛ}, \text{РЕШКА}), (\text{РЕШКА}, \text{ОРЁЛ}), (\text{РЕШКА}, \text{РЕШКА})\}.$

    Симметриченость монетки позволяет нам заключить, что все элементарные исходы равновероятны, т.е. $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 1/4$.
    Примеры событий.

    1. В первом броске выпадет решка, $E = \{(\text{РЕШКА},\text{ОРЁЛ}), (\text{РЕШКА}, \text{РЕШКА})\}$, $\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.
    2. Выпадет хотя бы одна решка, $E = \{(\text{РЕШКА},\text{ОРЁЛ}), (\text{РЕШКА}, \text{РЕШКА}),(\text{ОРЁЛ}, \text{РЕШКА})\}$, $\Pr[E] = 1/4+1/4+1/4 = 3/4$.
    3. Монетка дважды выпадет одной стороной, $E = \{(\text{ОРЁЛ}, \text{ОРЁЛ}), (\text{РЕШКА}, \text{РЕШКА})\}$, $\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

    Пример: выбираем случайное число из календаря 2020 года


    Множество элементарных исходов $\Omega = \{1, 2,\dotsc,31\}$. Как выбрать вероятности? Это зависит от того, как устроен эксперимент. Например, мы можем вырвать случайный лист отрывного календаря и посмотреть число на нем. Наиболее точной моделью, описывающей этот эксперимент, было бы вероятностное пространство с $366$ исходами, где одинаковые числа разных месяцев различаются. И тогда вероятность того, что выпадет число 1, была бы суммой вероятностей элементарных исходов, соответствующих первым числам разных месяцев, т.е. $12\cdot 1/366$. Но мы можем для удобства рассмотреть более простое множество элементарных исходов $\Omega$ с 31 исходом, но с разными вероятностями: $p_1 = p_2 =\dotsb =p_{29} = 12/366$, $p_{30} = 11/366$, $p_{31} = 7/366$.

    Пример события: «выпавшее число месяца делится на 10». Это соответствует событию
    $E = \{10,20,30\},\ \Pr[E] = p_{10} + p_{20} + p_{30} = (12+ 12+11)/366 = 35/366$.

    Замечание


    Как только мы определили вероятностное пространство (т.е. определились с множеством $\Omega$ и вероятностями, которые мы приписываем элементарным исходам), то вопрос о вероятности некоторого события становится чисто арифметическим. Другими словами, как только мы выбрали некоторую математическую модель, которая с нашей точки зрения описывает физический процесс, то вероятности всех событий однозначно определены.

    Задачи для самопроверки


    В каждой задаче следует сначала описать вероятностное пространство, а уже только потом производить вычисления.

    1. Бросаем два игральных кубика: красный и синий. Определите вероятность того, что цифры на красном и синем кубиках совпадут.
    2. В этом же эксперименте с кубиками нужно найти наиболее вероятную сумму цифр на кубиках.
    3. Наудачу выбирается одно число от 1 до 20. Считая все числа равновозможными, определите вероятность того, что выбранное число:
      • чётно;
      • делится на 3;
      • делится и на 2, и на 3;
      • не делится ни на 2, ни на 3;
      • имеет сумму цифр 9;
      • имеет сумму цифр, делящуюся на 3.

    Пример вероятностного пространства, не соответствующего физическому миру


    Рассмотрим следующий эксперимент: подбрасываем две монетки и смотрим на то, какими сторонами они выпали. Можно было бы сказать, что в данной задаче всего три исхода: две решки, два орла и орёл и решка. Если предполагать, что все исходы равновозможны, то получается, что вероятность выпадения двух орлов равна 1/3. Математика не запрещает нам рассматривать такое вероятностное пространство, но экспериментальная проверка подсказывает, что в физическом мире ответ скорее ближе к 1/4. Поэтому не стоит по умолчанию предполагать все исходы равновозможными, иначе мы получим 1/2 в ответ на вопрос о вероятности встречи динозавра.

    Формула суммы вероятностей


    Будем называть два события несовместными, если их пересечение равно пустому множеству. Т.е., нет исходов, которые соответствовали бы обоим событиям. Пример: события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпала единица или тройка» несовместны.

    Несовместные события обладают следующим свойством. Пусть $A$ и $B$ — два несовместных события. Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей $A$ и $B$, другими словами $\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$, событие $A\cup B$ также называют суммой событий $A$ и $B$ и обозначают $A+B$. Это свойство не выполняется для произвольных событий. Например, события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпало число больше четырёх» не несовместны и сумма их вероятностей (5/6) больше вероятности их суммы (4/6).

    Рассмотрим следующую задачу. В мешке лежат шарики трёх цветов: белые, жёлтые и чёрные. Причём известно, что белых $10\%$ от общего числа, а жёлтых — $15\%$. Какова вероятность того, что случайно вытащенный шар будет светлым? Аккуратный подсчёт показывает, что если в мешке $N$ шаров, то рассматриваемому событию соответствует $0.1N + 0.15N = 0.25N$ шаров, т.е. $25\%$ от общего числа шаров. События «вытащен белый шар» и «вытащен жёлтый шар» несовместны, поэтому вероятность, что шар будет светлым равна сумме вероятностей этих событий.

    События называются противоположными, если всегда происходит ровно одно из них. Из этого определения можно заключить, что во-первых, эти события несовместны, а во-вторых, их суммарная вероятность равна 1. Событие, противоположное событию $E$, выражается, как $\Omega\setminus E$ (если все элементарные исходы имеют положительную вероятность, то это единственное такое событие).

    Задача для самопроверки


    Наудачу выбирается число $n$ от 1 до 100. Рассмотрим следующие события:

    1. число $n$ чётно;
    2. число $n$ нечётно;
    3. число $n$ делится на 4;
    4. число $n$ имеет остаток 2 при делении на 4;
    5. число $n$ имеет остаток 1 при делении на 4.

    Какие из этих событий несовместны? (укажите все пары)

    Формула включений и исключений


    Как определить вероятность суммы двух событий, которые не являются несовместными? Рассмотрим следующий пример. Среди учеников школы $15\%$ процентов знают французский язык и $20\%$ знают немецкий. Доля тех, кто владеет обоими языками всего $5\%$. Какова доля учеников, знающих хотя бы один из этих двух языков? Если нарисовать диаграмму, если мы сложим доли знающих французский и знающих немецкий, то мы дважды посчитаем тех, кто знает оба языка. Поэтому ответ: $15\% + 20\% - 5\%= 30\%$.

    Этот же вопрос можно сформулировать и на языке теории вероятностей: с какой вероятностью случайно выбранный школьник знает хотя бы один из двух языков? Аналогичное рассуждение приводит нас к следующей формуле:

    $\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A\cap B],$

    где $A\cap B$ — это пересечение событий $A$ и $B$, т.е. это событие состоящее из тех элементарных исходов, которые входят одновременно и в $A$, и в $B$ (такое событие также называют произведением событий $A$ и $B$ и обозначают $\Pr[AB]$).

    Задача для самопроверки


    Известно, что ученики класса, имеющие двойки по алгебре, составляют 25%, а ученики, имеющие двойки по геометрии, составляют 15%. Сколько учеников имеют двойки и по алгебре, и по геометрии, если ученики, не имеющие двоек ни по одному из предметов, составляют 70%?

    Условная вероятность


    Снова рассмотрим задачу про учеников и иностранные языки. Какая доля среди школьников знающих немецкий знает и французский? Ответ легко вычислить, посмотрев на картинку. Нужно вычислить отношение количества школьников знающих оба языка к количеству школьников знающих немецкий, т.е. $\frac{0.05N}{0.2N} = 25\%$. Переходя к языку теории вероятностей можно задаться следующим вопросом: какова вероятность, что случайно выбранный школьник знает французский при условии, что он знает немецкий? Пусть события $A$ и $B$ соответствуют тому, что случайно выбранный школьник знает французский и немецкий соответственно. Тогда искомая вероятность называется условной вероятностью наступления $A$ при условии $B$ и обозначается $\Pr[A\mid B]$. По аналогии получаем следующую формулу для условной вероятности:

    $\Pr[A\mid B] = \frac{\Pr[A\cap B]}{\Pr[B]}.$

    Какова вероятность, что случайно выбранный школьник знает немецкий при условии, что он знает французский?

    Из формулы условной вероятности можно получить формулу для вероятности произведения двух событий.

    $\Pr[A\cap B] = \Pr[B] \cdot \Pr[A\mid B].$

    Словами: чтобы найти вероятность того, что произойдут оба события $A$ и $B$, надо умножить вероятность события $B$ на условную вероятность события $A$ при известном $B$.

    Задача для самопроверки


    В классе 50% мальчиков; среди мальчиков 60% любит мороженое. Какова доля мальчиков, любящих мороженое, среди учеников класса? Как это переформулировать на языке теории вероятностей?

    Независимость


    Рассмотрим эксперимент с бросанием двух игральных кубиков: красного и синего. В этом эксперименте имеются 36 исходов, которые мы считаем равновозможными. Вероятность того, что на красном кубике выпадет тройка, равна $1/6$ (6 исходов из 36), вероятность того, что на синем кубике выпадет тройка, тоже равна $1/6$. Какова вероятность того, что на синем кубике выпадет тройка при условии, что на красном выпала тройка? По формуле условной вероятности нужно посчитать отношение вероятности выпадения тройки на обоих кубиках к вероятности выпадения тройки на красном. Получаем $\frac{1/36}{1/6} = 1/6$. Заметим, что наличие информации о том, что на красном кубике выпала тройка, никак не влияет на вероятность выпадения тройки на синем. Такие события будем называть независимыми. Будем говорить, что события $A$ и $B$ независимы, если

    $\Pr[A\mid B] = \Pr[A].$

    (В этом определении предполагаются, что обе вероятности событий $A$ и $B$ строго больше нуля.)

    Альтернативное определение можно получить, если воспользоваться определением условной вероятности: два события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

    $\Pr[AB] = \Pr[A]\cdot \Pr[B].$



    Задачи для самопроверки


    1. Являются ли события «знать немецкий» и «знать французский» независимыми?
    2. Бросаем один игральный кубик. Являются ли независимыми события:
      1. «выпало чётное» и «выпало нечётное»,
      2. «выпало чётное» и «выпало 2»,
      3. «выпало чётное» и «выпало кратное трём».

    Следующий шаг — это разговор про формулу Байеса, которая выводится из определения условной вероятности. Перепишем определение:

    $P[B\mid A] = \frac{P[A\cap B]}{P[A]}\quad \Rightarrow\quad P[A\cap B] = P[B\mid A]\cdot P[A].$


    И подставив это в определение получаем формулу Байеса

    $P[A\mid B] = \frac{P[A\cap B]}{P[B]} = \frac{P[B\mid A]\cdot P[A]}{P[B]},$


    которая позволяет менять местами событие и условие под знаком вероятности. Думаю, что про применение формулы Баейса нужно писать отдельный пост, например, такой.

    На этом мы закончим с определениями и перед тем, как перейти к парадоксам, давайте обсудим, а в каких случаях мы можем говорить о вероятности.

    Когда мы можем говорить о вероятности?


    Предлагаю рассмотреть несколько вопросов, которые проиллюстрируют важность формулировок.

    Какова вероятность того, что гуляя по улице вы встретите динозавра?

    Я думаю, что всем ясно, что это не 1/2. Но всё же, как правильно ответить на этот вопрос? Проблема этого вопроса в том, что он сформулирован некорректно — из него нельзя однозначным образом определить вероятностное пространство, а следовательно и о вероятности говорить нельзя. Можно предложить какую-нибудь другую формулировку вопроса, в которой это будет очевидно. Например, начиная с завтрашнего дня на каждой улице города каждую минуту с вероятностью 0.00001 материализуется динозавр и существует в течение часа, никуда не уходя. В данной формулировке понятен случайный процесс и можно оценить вероятность встречи, если определить, как устроена прогулка, сколько длится и сколько улиц она затрагивает.


    Вы подбросили монетку и не подглядывая накрыли её рукой. Какова вероятность того, что монетка повёрнута орлом вверх?

    Очень хочется сказать, что в данном случае уж точно вероятность — 1/2. Однако, строго говоря, никакого случайного процесса уже нет. Монетка уже упала какой-то стороной. От того, что вы чего-то не знаете, не значит, что это что-то случайное. Например, если вы не знаете решение уравнения — это не значит, что его решением с одинаковой вероятностью может быть любое число. Поэтому в данном случае описать вероятностное пространство не получится. Можно переформулировать вопрос, например, так: «Какова вероятность, что вы угадаете сторону монетки, если наугад равновероятно выберите орёл или решку?». В такой формулировке уже ясно, что является случайным процессом (выбор орла или решки), как определить вероятностное пространство и получить ответ 1/2. При этом, в такой формулировке уже совершенно неважно, была монетка «честной» или нет.

    Замечание. Нашу уверенность в чём-то тоже можно описывать в терминах теории вероятностей — это делается в рамках Байесовской интерпретации теории вероятностей. Эта интерпретации позволяет использовать аппарат теории вероятностей для оценки нашей уверенности в истинности каких-то утверждений (не обязательно случайных) основываясь на информации, которая нам известна. Однако стоит заметить, что в этом случае понятие вероятности становится субъективным — у одного и того же события с точки зрения разных наблюдателей может быть разная вероятность. Например, в покере вы можете считать вероятность выпадения пиковой дамы положительной (так как вы не видите её на столе и в своей руке), а ваш противник, у которого в руке уже есть пиковая дама, будет оценивать вероятность её выпадения как нулевую. При этом можно придумать и такой вариант, в котором обе оценки окажутся отличными от «реальной», объктивной, вероятности. В этом нет противоречия, т.к. в это три различные величины (игроки обладают разной информацией, а объективная вероятность в данном случае соответствует полной информации).

    Вы проснулись утром. Какова вероятность того, что сегодня воскресенье?

    Думаю, что вы уже поняли, что ответ 1/7 — неправильный, а точнее, вопрос некорректный. Не понятно, что является случайный процессом. Для того, чтобы получить 1/7 нужно уточнить вопрос, например, так: вы засыпаете в воскресенье вечером и случайным образом просыпаетесь в любое утро на следующей неделе, какова вероятность, что вы проснётесь в воскресенье? Но даже с этим уточнением, если спросить вас о дне недели уже после того, как вы проснулись (после того, как случайный выбор был сделан), то такой вопрос останется некорректным — иначе придётся предполагать, что вы находитесь в суперпозиции всех дней недели до тех пор, пока не посмотрите на календарь.


    Я написал на доске некоторое (конкретное) число и утверждаю, что дважды успешно проверил его на простоту вероятностным алгоритмом, который ошибается с вероятность менее 1%. С какой вероятностью это число простое?

    Хотелось бы сказать, что это число простое с вероятностью более 99.99%. Однако, с математической точки зрения число может быть либо простым, либо нет. Поэтому так говорить некорректно. После того, как алгоритм завершил работу, ничего случайного в этой постановке задачи уже нет, следовательно нет и вероятности. Правильно было бы сказать, что вы уверены на 99.99%, что это число простое, но и это вы можете заявить только в том случае, если доверяете мне на 100% :)

    Парадоксы


    В этом разделе мы попробуем разобрать несколько известных «парадоксов» теории вероятностей и понять, что в них либо нет противоречий, либо вопросы поставлены некорректно.

    Парадокс Монти-Холла


    Этот очень известный парадокс. Об него было сломано много копий, в том числе даже именитые математики давали неправильный ответ.
    Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

    Как подсказывает Википедия, для того, чтобы задача была определена корректно, нам требуется уточнить, что участнику игры заранее известны следующие правила:

    1. автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
    2. ведущий знает, где находится автомобиль;
    3. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
    4. если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

    Если вы не знакомы с этим парадоксом, то я предлагаю вам несколько минут подумать о том, каким будет правильный ответ.


    Для того, чтобы ответить на заданный вопрос, давайте разберёмся, что тут является случайным процессом. По уточнению видно, что случайный процесс упоминается только в пунктах 1 и 4: «автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей» и «если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью». Вопрос, на который мы должны научиться отвечать, звучит так: «Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор». Т.е. нас спрашивают о том, какая из двух стратегий даёт большую вероятность выигрыша. Замечу, что условие номер 4 никак не влияет на факт выигрыша игрока, поэтому нет смысла включать его в вероятностное пространство. Поэтому предлагается выбрать вероятностное пространство с множеством элементарных исходов $\Omega = \{1,2,3\}$, соответствующим номеру двери, за которым находится автомобиль, и вероятностями $p_1=p_2=p_3 = 1/3$. Теперь рассмотрим две стратегии игрока: «оставить выбранную дверь», обозначим $S_1$, и «сменить дверь», обозначим $S_2$.

    Мы не знаем, как игрок делает выбор первой двери, но нам и не нужно это знать. Достаточно проверить, как работает стратегия при всех выборах первой двери. Обозначим через $d$ дверь, которую игрок выбрал изначально, а через $x$ — дверь, за которой спрятан автомобиль. Тогда для любого $d \in \{1,2,3\}$ событие «игрок выиграл при использовании стратегии $S_1$» соответствует тому, что он угалад правильную дверь с первой попытки. Говоря формально, нас интересует событие $E_1 = \{d\}$, т.е. $x = d$, и его вероятность $1/3$. Событие «игрок выиграл при использовании стратегии $S_2$» соответствует противоположному событию $E_2 = \Omega\setminus \{d\}$, т.е. $x \neq d$, и его вероятность $2/3$. Осталось ещё раз отметить, что, если этот анализ верен для любого выбора $d$, поэтому верен и при любой стратегии выбора первой двери. Кроме того, заметим, что мы никак не использовали условие 4.

    Как видите, никаких неоднозначностей тут нет, парадоксом эта задача называется только потому, что ответ может не соответствовать интуиции. Но так в математике случается довольно часто.

    Парадокс мальчика и девочки


    Цитирую Википедию.
    Впервые задача была сформулирована в 1959 году, когда Мартин Гарднер опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem», где привёл следующую формулировку:

    • У мистера Джонса двое детей. Старший ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка — девочки?
    • У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?

    Сам Гарднер изначально давал ответ $1/2$ и $1/3$ соответственно, но впоследствии понял, что ситуация во втором случае неоднозначна. Ответом на второй вопрос может быть и $1/2$ в зависимости от того, как было выяснено, что один из детей — мальчик.

    Вероятностное пространоство задано $\Omega = \{\text{ММ},\text{МД},\text{ДМ},\text{ДД}\}$ и все вероятности равны $1/4$. В первом случае нам известно, что выполнено событие $E = \{\text{ДМ},\text{ДД}\}$. Поэтому при условии $E$ вероятность двух девочек равна 1/2.

    Во втором случае всё сложнее, т.к. не понятно, как мы узнали, что у мистера Смита один из детей мальчик. Можно предположить два варианта:

    1. Выбирается случайный человек с двумя детьми и его спрашивают, есть ли среди его детей мальчик. Тогда вероятность двух мальчиков получится 1/3, т.к. это соответствует вероятности ММ при условии события $E = \{\text{ММ},\text{МД},\text{ДМ}\}$.
    2. Выбирается случайный человек с двумя детьми, выбирается случайный его ребёнок (старший или младший) и спрашивается его пол. Этот эксперимент соответствует другому вероятностному пространству, в котором нужно ещё учесть выбор того ребёнка, про которого спрашивают. В нём будет 8 элементарных исходов, и нам подойдут четыре из них (ММ и спросили про старшего, ММ и спросили про младшего, МД и спросили про старшего, ДМ и спросили про младшего). Нам подходят два исхода, поэтому ответом будет 1/2.

    Парадокс Спящей Красавицы


    Обсуждение этого парадокса мотивировано вот этим постом на хабре, который вызвал широкое обсуждение, но описание этого парадокса есть и в википедии.
    Испытуемой («Спящей Красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монетка. В случае выпадения орла её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.

    Представьте себя на месте Спящей Красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монетка упала решкой?

    Предлагается рассмотреть два альтернативных решения с разными результатами.


    Решение 1


    У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монетка честная, можно предположить, что вероятность выпадения решки равна $1/2$.

    Решение 2


    Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую Красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. при выпадении решки Спящую Красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность выпадения решки равна $2/3$.

    Кажется, что оба решения могут претендовать на звание правильного. Однако, при попытке определить вероятностное пространство нас ожидают серьёзные трудности. Что же является случайным процессом? Дело в том, что когда Спящая Красавица просыпается, никакого случайного процесса уже нет. Выбор уже сделан. Ей не известен результат этого выбора, но ничего случайного уже нет. Это возвращает нас к примеру с динозавром. Если вы не знаете, есть ли за углом динозавр, то это не значит, что он там есть с вероятностью 1/2. Поэтому «Решение 1» отвечает не на вопрос про вероятность, а на вопрос про степень уверенности Спящей Красавицы. А «Решение 2» предлагает рассмотреть совершенно другой эксперимент, в котором задаётся в общем-то совершенно другой вопрос, на который предлагается ответить внешнему наблюдателю до начала эксперимента.

    Для того, чтобы придать этому вопросу математический смысл и получить желаемый ответ 2/3, придётся воспользоваться каким-нибудь философским приёмом, вроде «подселения душ». Например, так: вы заходите в аппарат переселения душ, после этого подбрасывается монетка для Спящей Красавицы, которая создаёт две параллельные вселенные: одну, где монетка выпала орлом, и другую, где выпала решкой. Суммарно в пространстве-времени этих двух альтернативных вселенных есть три различных пробуждения Спящей Красавицы. Аппарат по переселению душ с вероятностью 1/3 подселяет вашу душу в тело Спящей Красавицы незадолго до одного из этих пробуждений. Какова вероятность, что вы проснетесь в параллельной вселенной, где выпала решка?

    Как видите, для придания математического смысла этому вопросу, придётся хорошенько пофантазировать, но этим занимаются не математики, а философы (подробнее в этом посте). Утверждать, что «оба решения правильные», некорректно с математической точки зрения.

    Задача для самопроверки


    Объясните, почему в задаче о детях моряка, с которой начинается этот пост, вопрос поставлен некорректно (т.е. ни 1/2, ни 1/3 не являются правильным ответом).

    Бесконечный случай


    Когда мы переходим к бесконечному случаю, т.е. рассматриваем эксперименты с бесконечным числом элементарных исходов, то всё становится значительно сложнее. Я не буду вдаваться в детали и даже не буду определять вероятностное пространство для бесконечного случая, т.к. это требует более сложной математики. Однако, для иллюстрации отмечу, что в бесконечном случае могут быть такие (плохие) множества элементарных исходов, которые не имеют вероятности (неизмеримые множества). При этом для всех хороших (измеримых) событий вероятность определена однозначно. Поэтому и те «парадоксы», которые возникают в бесконечном случае, тоже возникают из-за неоднозначности выбора вероятностного пространства. Хорошим наглядным примером служит парадокс Бертрана, показывающий, как казалось бы эквивалентные (на самом деле нет) вероятностные пространства приводят к разным результатам.

    Вместо заключения


    Даже если вы не собираетесь никуда поступать или проходить собеседования на технические позиции в IT-компании, то вы всё равно можете захотеть освежить знания по математике, которые могут пригодиться в программировании. Могу посоветовать онлайн-курс СS центра по теории вероятностей, который читает А.И. Храбров.


    БОНУС


    Приглашаю всех послушать лекция Александра Шеня «Генераторы «случайных чисел»: теория и практика» в это воскресенье 26 апреля в 14:00 в Computer Science клубе. Лекция будет читаться в zoom-е, для участия нужно записаться на курс или подписаться на рассылку.

    Комментарии 100

      0
      Рассмотрим следующий эксперимент: подбрасываем две монетки и смотрим на то, какими сторонами они выпали. Можно было бы сказать, что в данной задаче всего три исхода: две решки, два орла и орёл и решка. Если предполагать, что все исходы равновозможны, то получается, что вероятность выпадения двух орлов равна 1/3.

      Тут на самом деле 4 исхода:


      1. два орла
      2. две решки
      3. левая — орел, правая — решка
      4. левая — решка, правая — орел
        0
        Никто не мешает рассмотреть вероятностное пространство, в котором три исхода: две решки, два орла и орёл и решка. И если выдать вероятности 1/4, 1/4 и 1/2, то это даже будет соответствовать нашему опыту.
          +1

          Тем не менее, часть "Пример вероятностного пространства, не соответствующего физическому миру" получилось ошибочной и требует исправления.
          Это вопрос правильности построения вероятностного пространства, и, да, исходов именно 4.
          Откуда и ошибка в построении пространства.

            0
            Ошибки нет, так как нет никакого правила построения вероятностного пространства. Если для меня эти монетки неразличимы, то я не могу различить «орёл и решку» и «решку и орёл». Представьте, что вы их перемешиваете и подбрасываете. Как вам различить «орёл и решку» и «решку и орёл»? Никак. Вопрос о «правильности» или «неправильности» вероятностного пространства — это вопрос о том, насколько результаты математического моделирования соответствуют наблюдаемых в физическом мире.
              +1
              Если для меня эти монетки неразличимы, то я не могу различить «орёл и решку» и «решку и орёл».

              Постройте таблицу(2*2 для двух монеток) — получите искомое пространство. И никакой проблемы с "неразличимостью" монеток.


              Как вам различить «орёл и решку» и «решку и орёл»? Никак.

              Неразличимостью кажущейся — их можно бросить последовательно и получить "1Р 2Р" "1О 2О" "1Р 2О" и "1О 2Р" — вот и искомые исходы.


              Повторяю: Ваш раздел "Пример вероятностного пространства, не соответствующего физическому миру" необходимо переписать. Там ошибка в построении пространства, а не в том, что, мол "математика не соответствует реальности".

                0
                ИМХО, автор прав. Почему сразу «ошибка» и «переписать»? Автор привел пример вероятностного пространства (2 решки, орел и решка, 2 орла) с вероятностями по 1/3. Допустимо такое пространство математически? Да почему бы и нет, чем оно хуже кубика с двумя зелеными, двумя красными и двумя синими гранями например? Соответствует оно физической реальности? Нет, не соответствует, т.к. в реальности там 1/4,1/2,1/4. Вот поэтому оно и является «Примером вероятностного пространства, не соответствующего физическому миру». Оно не ошибочно построено, оно сознательно так построено. Как пример.
                  +1
                  Почему сразу «ошибка» и «переписать»? Автор привел пример вероятностного пространства (2 решки, орел и решка, 2 орла) с вероятностями по 1/3.

                  Ошибка именно в том, что это не то пространство, которое образует независимый бросок двух монет. Повторюсь:
                  ""1Р 2Р" "1О 2О" "1Р 2О" и "1О 2Р" — вот и искомые исходы." — вот это реальное пространство того примера. 4 исхода, не три. 1/4 для двух решек, 1/4 для двух орлов, 2/4 для "орёл и решка".


                  Все последующие его выводы из неверного основания невалидны, даже если результат он выписывает правильный. Логика, первый курс института.

                    0

                    Тут Вы не правы. Если наше пространство элементарных событий состоит из {{две решки}, {решка и орел}, {два орла}}, то есть нам не важен порядок, то нет никаких


                    ""1Р 2Р" "1О 2О" "1Р 2О" и "1О 2Р" — вот и искомые исходы." — вот это реальное пространство того примера.

                    Другое дело, что в этом случае мне непонятно, с чего автор взял, будто эти события равновероятны. Очевидно, что это не так.

                      0
                      Другое дело, что в этом случае мне непонятно, с чего автор взял, будто эти события равновероятны. Очевидно, что это не так.

                      Это пример неправильно суждения. Там об этом подробно написано:
                      Если предполагать, что все исходы равновозможны, то получается, что вероятность выпадения двух орлов равна 1/3. Математика не запрещает нам рассматривать такое вероятностное пространство, но экспериментальная проверка подсказывает, что в физическом мире ответ скорее ближе к 1/4. Поэтому не стоит по умолчанию предполагать все исходы равновозможными, иначе мы получим 1/2 в ответ на вопрос о вероятности встречи динозавра.
                  0
                  Постройте таблицу(2*2 для двух монеток) — получите искомое пространство. И никакой проблемы с «неразличимостью» монеток.

                  Нет никакого универсального способа построить «искомое пространство». Одну и ту же задачу могут с одинаковой успешностью описывать два разных разных вероятностных пространства и в этом нет никакого противоречия.

                  Неразличимостью кажущейся — их можно бросить последовательно и получить «1Р 2Р» «1О 2О» «1Р 2О» и «1О 2Р» — вот и искомые исходы.

                  А если нельзя? Представьте, что вы кладёте их в непрозрачный стакан, закрываете его рукой, трясёте и выбрасываете монетки (как делается с игральными костими).

                  alexzeed совершенно правильно написал, что нет никакой причины считать, что вероятностное пространство с тремя исходами не подходит. Более того, это именно пример того, как можно из общих соображений (равновероятность исходов) получить модель, не соответствующую реальности.
          0

          В мешке поровну белых и черных шариков. Далее два вопроса:
          1) Из мешка не глядя вытащили один шарик. Какова вероятность, что он белый?
          2) Из мешка собираются вытащить один шарик. Какова вероятность того, что вытащат белый?
          Если я правильно понял ваш текст, то вы утверждаете, что первый вопрос некорректен, а второй ok. Если это действительно так, а не моя дислексия, то это занудство в пользу субъективной интерпретации, не имеющее отношения к правильности ответа.

            0
            Я в данном тексте в том числе пытаюсь объяснить, что вероятность (с математической точки зрения, а не с обывательской) предполагает наличие случайного процесса. Вероятность позволяет предсказать частоту некоторого исхода эксперимента. Если эксперимент заключается в вытаскивании шара, то вероятнось оценивает частоту белого шара. Если же эксперимент заключается в том, что вы смотрите на шар, который у вас в руке, то там он всегда будет одного и того же цвета, сколько бы вы на него не смотрели. Да, это в значительной степени занудство, но иначе сложно разделить вероятность в математическом смысле и вероятность в смысле «уверенность».
              0
              Если же эксперимент заключается в том, что вы смотрите на шар
              Но ведь в условиях задачи написано «не глядя».
                0
                Если никогда не смотреть на шар, то можно использовать любые вероятности для цветов шара, т.к. это не противоречит наблюдаемой действительности (т.е., если не провести измерение, не зафиксировать результат эксперимента, то я могу считать, что там шар всегда белый и это не противоречит тому, что мы наблюдаем).
                +1

                Теория вероятностей это такой математический аппарат, который, как вы верно сказали, работает с моделями. А вот интерпретация этих моделей, тем более их соответствие разговорным формулировкам, это не предмет изучения математики. Вы же, на мой взгляд, эти вопросы смешиваете и называете свою интерпретацию математической точкой зрения. Чтобы проиллюстрировать, что я не одинок с своём несогласии с вашей интрпретацией, я приведу цитату из ангийской википедии (выделение моё): Probability is a numerical description of how likely an event is to occur or how likely it is that a proposition is true. Ваша интрпретация вероятностей, на мой взгляд, описывает первую часть, о наступлении событий. Есть и другие интрпретации, отраженные во второй части, о достоверности утверждений об уже произошедших (пусть в результате случайного процесса), но ещё не известных событиях.
                Как бы то ни было, важно подчеркнуть, что это не вопрос математической корректности, а вопрос интрпретации моделей.

                  0
                  А вот интерпретация этих моделей, тем более их соответствие разговорным формулировкам, это не предмет изучения математики.

                  Согласен, об этом написано в самом начале поста.

                  Вы же, на мой взгляд, эти вопросы смешиваете и называете свою интерпретацию математической точкой зрения.

                  Я исхожу из, как мне кажется, традиционной интерпретации вероятности, как характеристики случайного процесса (объективистский подход). Могут быть другие интерпретации, я не спорю, слово «вероятность» в разговорном языке имеет множество смыслов, и для некоторых из них применим аппарат теории вероятностей (например, Байесовый подход, субъективистский). Основной посыл всего моего занудства в том, что если из условия задачи нельзя однозначным образом определить, что является случайным и как устроено вероятностное пространство, то задачу нельзя (в математическом смысле) назвать корректной. Собственно и всё. Если в задаче (или в контексте) указано, что давайте вероятностью называть нашу уверенность в чём-то в условии неполной информации и описывать это всё в терминах теории теории вероятностей, то ОК. Но переход к этой интерпретации требует довольно нетривиальных усилий, иначе мы снова получим 1/2 в вопросе про вероятность встречи динозавра.

                  Вы правы, что об этом стоит более явно где-то упомянуть в тексте.
                    0
                    Добавил замечание про Байесовский подход после примера со спрятанной монеткой.
                    +1

                    Думаю, что надо пояснить, почему я стал комменировать.
                    Вы сами можете придерживаться любой непротиворечивой трактовки математической модели вероятности. Это нормально, пока вы занимаетесь иследованиями или общаетесь с коллегами, которые могут вам возразить. Но пост написан в контексте


                    Каждый год я участвую примерно в сотне собеседований <...> собеседую абитуриентов

                    А вот если вы во время вступительного испытания спрашиваете об интерпретациях, и штрафуете за отличные от вашей как за "математически некорректные", то это (на мой взгляд) плохо.

                      0
                      А вот если вы во время вступительного испытания спрашиваете об интерпретациях, и штрафуете за отличные от вашей как за «математически некорректные», то это (на мой взгляд) плохо.

                      Тут я с вами соглашусь, что это было бы плохо, но к нам это, как мне кажется, не относится. Мы действительно («штрафуем» тут не самое точно слово) снижаем балл за математически некорректные (без ковычек) утверждения, но всегда объясняем в чём проблема и даем абитуриенту шанс исправиться, и все сомнения трактуются в пользу абитуриента. Но всё это касается значительно более прозаичных формулировок, вроде «независимые события — это события, вероятности которых не зависят».
                      0

                      А Вы сами себе не противоречите? Вот Вы говорите, что не имеет смысла спрашивать какая вероятность выпадения орла на монете, которая уже приземлилась, так как эта вероятность либо 0, либо 1, так как это уже свершившийся эксперимент.


                      Но почему-то в то же время в парадоксе Монти-Холла Вы говорите о вероятности угадать дверь с первого раза равной 1/3? Разве, согласно Вашей интерпретации, она будет не 0 (не угадал дверь) или 1(угадал)?


                      В чем разница между двумя процессами?

                        0
                        В обсуждегии парадокса Монти-Холла вопрос состоит в том, какая из стратегий имеет большие шансы на успех. В этом смысле (вопрос задан в общем, а не про контректную игры) никакой неоднозначности нет, вероятность 1/3.
                      0
                      В мешке поровну белых и черных шариков. Далее два вопроса:
                      1) Из мешка не глядя вытащили один шарик. Какова вероятность, что он белый?
                      2) Из мешка собираются вытащить один шарик. Какова вероятность того, что вытащат белый?

                      В обоих случаях неизвестно.


                      В первом случае кроме белых и чёрных могли быть также и другие шарики. Значит вероятность, что вытащенный шарик белый — от 0 до 50%.


                      Во втором случае ещё сложнее — к этому случаю добавляется также вариант, что в мешке вообще не было никаких шариков, ведь когда белых и чёрных ноль — это отвечает условию, что их поровну. Вероятность получается тоже от 0 до 50%, но с другим распределением.


                      В итоге в обоих случаях задача поставлена некорректно и позволяет назвать лишь диапазон вероятностей, а не точный ответ.

                        0
                        Видимо предполагалось, что кроме положительного числа белых и равных ему числа черных шаров, других предметов в мешке нет.

                        Если шар уже вытащили, но его цвет конкретно Вам еще неизвестен, то для Вас вполне оправдано сказать, что на 50% он черный. Проверяется так: берем миллион людей, даем им вытащить из миллиона мешков с одинаковым наполнением по одному шару, но не даем увидеть его цвет, затем спрашиваем, черный ли он. Примерно половина опрошенных ответят правильно, желает они того или нет.
                          0
                          Видимо предполагалось, что кроме положительного числа белых и равных ему числа черных шаров, других предметов в мешке нет.

                          Тогда в первом случае 50%, во втором от 0 до 50%, т. к. то, что шарик собираются вытащить, не значит, что его действительно вытащат, тем более белый. Люди часто много чего собираются сделать, но не делают.

                            0
                            Да, еще не значит, что чел зрячий, что у него есть руки, или его интеллект больше, чем у дерева. Обычно автор задачи оставляет не сформулированными кучу явных предположений. Рецепт такой, попытайтесь дополнить условия так, чтобы задача перестала выглядеть глупо и только затем начинайте ее решать.
                              0

                              Неверно. В первом вопросе ничего такого нет, а вот во втором сразу возникают сомнения. Это говорит о том, что второй вопрос сформулирован плохо.


                              Как минимум можно было заменить "Какова вероятность того, что вытащат белый?" на "Какова вероятность того, что вытащенный шарик будет белый?". Раз этого не сделали, это оставляет поле для размышлений. Неизвестно, вытащат ли этот шарик вообще.


                              попытайтесь дополнить условия

                              А если потом окажется, что автор имел ввиду другое? Если есть сомнения, тогда лучше указать, что задача может иметь разный ответ в зависимости от того, что имелось ввиду. Либо уточнить условия. Конечно, нужно при этом взвесить риски, а именно матожидание потери от неверно понятого условия. Если оно достаточно низкое, можно не уточнять.


                              Причём взвесить матожидание потери иногда может быть крайне важно в реальной жизни. Я могу привести в пример такую задачу:


                              • В газете без всякого обмана была опубликовали статья, что учёные нашли потенциальное лекарство от определённой болезни. Чтобы проверить его эффективность, они взяли выборку из 20 случайных заболевших людей. Известно, что без лекарств за 10 дней с вероятностью ровно 50% они выздоравливают, поэтому чтобы проверить эффективность лекарства, они разбили их на 2 группы по 10 человек — первой давали лекарство, второй нет. Через 10 дней во второй группе выздоровела ровно половина (5 человек), что соотносится с тем, что без лекарств половина выздоравливает. Но в первой группе, которой давали лекарство, выздоровели все (10 из 10).

                                Вопрос: какова вероятность, что это на самом деле совпадение, и лекарство не работает?

                              Если не уточнить условия, неверный ответ может привести к плохим последствиям. Ответ, что вероятность, что лекарство работает с вероятностью 1023/1024 здесь будет не просто ошибочным, а ужасным и максимально неверным.


                              Верный ответ

                              На самом деле задача сформулирована некорректно. В реальной жизни при таких условиях вероятность, что лекарство действительно помогло, крайне мала. Это связано с тем, что подобных исследований могло быть проведено очень много, и в большинстве из них результатов не было. Но поскольку исследований много, даже если лекарство не работало, в небольшой части из них могли выздороветь все 10 человек. Фишка в том, что о тех исследованиях, в которых это не произошло, в газете не написали, а где произошло — написали, что могло создать впечатление, что вероятность, что лекарство работает, крайне высока. В реальности неизвестно, работает ли лекарство, т. к. недостаточно данных для оценки вероятности. Думать, что оно точно работает, будет большой ошибкой.


                              Тем не менее, если увеличить выборку хотя бы в 2–10 раз, то уже можно было бы принять эти исследования всерьёз.

                      0
                      Обобщенный вопрос — зависит ли будущее от прошлого?
                      Если сейчас имеем некоторое состояние, к которому из прошлого можно прийти несколькими путями, на сколько зависит будущее от каждого из путей прошлого?
                      К примеру в задаче о трех дверях какова разница в вероятностях у игрока, который играет с самого начала, и игрока, который подключается, когда одна дверь уже открыта ( и он о прошлом ничего не знает )?
                        0
                        Я предполагаю, что прошлое фиксированно.

                        В задаче о трёх дверях у игрока нет вероятности. Вероятность — это характеристика события. Попробуйте задать вопрос в математических терминах.

                          +1
                          Думаю, что понял ваш вопрос. Я добавил секцию про Байесовскую интерпретации теории вероятностей, которая позволяет в этих терминах описывать уверенность в чём-то. Поэтому для второго игрока в отсутствии информации о ходе игры до его появления обе двери равнозначны. При этом, если он выберет дверь, соответствующую исходному выбору первого игрока, то (объективная) вероятность выиграть (по вероятностному пространству соответствующего выбору двери с автомобилем) останется 1/3.
                            0
                            В том как открыта дверь. Если игрок играет сначала шоу и выбрал дверь с козлом, то именно эту дверь с козлом ведущий открыть не может. В такой ситуации у ведущего вообще нет выбора. Если игрок присоединяется к игре, предоставляя ведущему сначала открыть дверь, то у ведущего есть выбор из двух и некоторые логические выводы у игрока уже не складываются. В этом разница.
                            0
                            Есть такой парадокс — вы подбрасываете монету несколько раз. Если N раз выпадет орел, то вы получаете выигрыш 2^N рублей. Вероятность получить N орлов подряд (1/2)^N.

                            Каков средний выигрыш? Тут экспоненциально малая вероятность и экспоненциально большой выигрыш.
                              0
                              Математическое ожидание выигрыша в такой игре — бесконечность — это сумма ряда 2^N * 1/2^N. В чём тут парадокс?
                                0
                                … ну если считать парадоксом что-то выходящее за рамки здравого смысла, то бесконечное мат ожидание как раз расходится с интуитивным пониманием.
                                  0

                                  Автор так и написал в статье, что эти парадоксы не являются парадоксами, а скорее просто задачи, имеющие для некоторых людей неинтуитивный ответ.


                                  В Вашем случае в реальной жизни никто не сможет выплатить бесконечный выигрыш, поэтому суммарно матожидание выигрыша тоже не будет бесконечным, а может быть очень малым.

                                  0

                                  Парадокс тут, вероятно, возникнет, если спросить, какую цену за билет на такую игру справедливо взять. Любая конечная цена справедлива, но на практике даже опытные в рассуждениях о бесконечных матожиданиях люди вряд ли согласятся отдать много денег.

                                0
                                А разве запись E = Ω и E = {ОРЁЛ ,РЕШКА} не означает что все элементы подмножества должны быть в множестве, а не любой элемент? Может тут надо символ пересечения множеств?
                                  0
                                  Извините, я не уверен, что понял вопрос. E — это подмножество Ω. Частный случай E = Ω. Причём тут пересечение множеств? В контексте какой части поста этот вопрос?
                                  +1
                                  Обычно я обьясняю «парадокс» Монти-Холла следующим образом:

                                  При первом выборе у нас три возможных варианта:
                                  1. Мы выбрали дверь с призом.
                                  2. Мы выбрали дверь с первой козой.
                                  3. Мы выбрали дверь со второй козой.

                                  Ведущий открывает дверь с козой.

                                  В первом случае смена двери приведет к проигрышу. Во втором — к выигрышу. И в третьем — к выигрышу. Таким образом, стратегия «поменять выбор» в двух вариантах из трех приведет к выигрышу. А стратегия «остаться при своем выборе» — только в одном варианте из трех.
                                    0
                                    В этой формулировке легко показать, что если игрок выбирает случайную дверь, то не важно, каким образом выбирается дверь, за которой находится автомобиль. И наоборот, если дверь, за которой находится автомобиль, выбирается случайно, то не важно, как игрок выбирает дверь.
                                      0

                                      Но разве смена или не смена выбора не является отдельным экспериментом?


                                      Первый эксперимент — выбор из трёх дверей. Он ничем не заканчивается, так как измерение так и не было выполнено.


                                      После незавершённого первого эксперимента проводится второй — выбор из двух дверей.


                                      Укажите на ошибку в рассуждениях, пожалуйста.

                                        0
                                        Я не вижу законченных рассуждений в вашем комментарии. Попробуйте более подробно описать то, о чём вы пишете.
                                          0

                                          Попробую.


                                          Ситуация: я стою перед выбором из трёх вариантов. Один из вариантов выигрышный. Я выбираю наугад и выигрываю с вероятностью ⅓ или проигрываю с вероятностью ⅔. Выяснять мы это, конечно, не будем.


                                          Вместо проверки, мне показывают заведомо проигрышный вариант.


                                          Новая ситуация: я остаюсь перед выбором из двух вариантов. Один из вариантов выигрышный. Я выбираю наугад и, "очевидно", выигрываю с вероятностью ½ или проигрываю с той же вероятностью.


                                          Я знаю, что это не так. Об этом говорят несколько источников и мой, с позволения сказать, численный эксперимент.


                                          К сожалению, где моя ошибка я понять не могу.

                                            +2
                                            Новая ситуация: я остаюсь перед выбором из двух вариантов. Один из вариантов выигрышный. Я выбираю наугад и, «очевидно», выигрываю с вероятностью ½ или проигрываю с той же вероятностью.

                                            Разница в том, что у этих двух вариантов неодинаковая вероятность (приз же не перераспределяли после 1-й попытки). Вероятность приза в изначально выбранной двери равна 1/3, вероятность приза при смене двери равна 2/3, т.к. по факту при смене двери выбираешь не одну дверь, а все, кроме 1-й (т.е. 2 в случае 3 дверей).

                                            Некоторым помогает понять пример с заведомо гораздо большим количеством дверей. Например, у нас изначально 100 дверей, за одной приз. После 1-й попытки ведущий открывает 98 заведомо пустых дверей. Вероятность приза за изначально выбранной дверью 1/100. Если после попытки сменим выбор, то мы как бы разом выбираем все остальные 99 дверей (из которых 98 ведущий уже исключил), так что вероятность выигрыша станет 99/100.
                                              0

                                              О, спасибо, с сотней дверей, действительно, понятней.


                                              Особенно, в сочетании с:


                                              В этой формулировке легко показать, что если игрок выбирает случайную дверь, то не важно, каким образом выбирается дверь, за которой находится автомобиль.

                                              Получается, что если мы подчиним выбор дверей строгим правилам, то ситуация не поменяется, потому что случайность в этом процессе — замешивание приза.


                                              Если же мы будем менять местами 2 двери, а третья будет оставаться проигрышной всегда, то и вероятность автоматически выравнивается до ½. Несмотря та то, что с точки зрения выбирающего ничего не поменялось.

                                      0

                                      А с парадоксом "спящая красавица" разве вероятность выпадения решки не 2/3? То есть если рассуждать, то у нас есть три вида пробуждения:


                                      1. Пробуждение от орла.
                                      2. Первое пробуждение от решки.
                                      3. Второе пробуждение из-за выпадения решки.
                                        Раз двум из трёх пробуждений мы обязаны решки, то и вероятность что выпала решка, когда я проснусь, равна 2/3.
                                        0
                                        А почему все эти три пробуждения равновероятны? Какой случайный процесс отвечает за выбор одного из трёх этих пробуждений?
                                          0

                                          Возможно это как обратный парадокс Монти-Холла.

                                        0
                                        Во многих местах текста, где автор говорит, что вероятности нет, ему придется все-таки признать, что она «есть» или ее нет нигде. Если вы можете хотя бы мысленно повторить эксперимент бесконечно раз и надеетесь, что его результаты не до конца предсказуемы, но в пределе возможные исходы появляются со стабильной частотой, то скорее вам придется признать, что вероятность «есть». С другой стороны, теория вероятности не выдерживает тест на фальсифицируемость и вы будете абсолютно правы, если скажите, что ее и вовсе нигде нет:
                                        habr.com/ru/post/493800
                                          0
                                          Можно конкретные примеры? Есть ли вероятность в физическом мире — это странный вопрос, скорее философский, т.к. вероятность (в математическом смысле) — это совершенно конкретная характеристика вероятностного пространства (некоторой абстрактной структуры, тоже в физическом мире не существующей). Я нигде не говорил, что «вероятности нет», а только указывал, что в никоторых случаях можно говорить о вероятности и это будет корректно с математической точки зрения, а в других случаях — будет некорректно, если не дать дополнительных пояснений.
                                            0
                                            Бросили монетку, накрыли ладонью, какой стороной упала (уже упала) не знаем. В праве ли мы говорить, что с вероятностью 50 процентов она (уже) лежит вверх орлом. Почему бы и нет: эксперимент можно, по крайней мере мысленно, повторить бесконечно раз и нет никаких оснований считать, что предельная частота орла не будет равной 1/2.

                                            Чисто математически куски теста общем весом 1кг — тоже кое-никакое вероятностное пространство с вполне законной вероятностной мерой. Но ведь Вы имеете ввиду некоторую конкретную метафизическую интерпретацию, не правда ли? Так вот она, вроде как, пока не может быть построена без противоречий принятой сейчас системе логики и философии.

                                              0
                                              Почему бы и нет: эксперимент можно, по крайней мере мысленно, повторить бесконечно раз и нет никаких оснований считать, что предельная частота орла не будет равной 1/2.

                                              В этот момент вы предполагаете, что эксперимент включает в себя подбрасывание монетки. Т.е. вы будете повторять подбрасывание и таким образом отвечать на другой вопрос: «какая вероятность того, что в результате этого эксперимента монетка лежит орлом вверх». Если же вы спрашиваете про конкретную монетку, которая уже упала, то в рамках классической физики она уже упала какой-то стороной и вероятность (как характеристика случайного процесса) к этой ситуации не применима. Можно говорить только о вашей уверенности. Это соответствует Байесовской интерпретации, субъективистской. Например, если вы не видели, какой стороной упала монетка, то для вас уверенность в орле — 1/2, а находящийся в той же комнате человек, который видел монетку до того момента, как вы накрыли её рукой, будет считать по-другому — для него эта уверенность будет либо 1, либо 0.

                                              Чисто математически куски теста общем весом 1кг — тоже кое-никакое вероятностное пространство с вполне законной вероятностной мерой.

                                              Я бы назвал это очень спорным утверждением)
                                                0
                                                Модель с тестом отвечает всем аксиомам дискретной вероятностной меры: неотрицательные веса в сумме дающие единицу. Спорьте, пожалуйста.

                                                Итак важно, что я знаю, как монетка оказалась у меня в ладони: она туда упала после ее подбрасывания. Это важно и является частью эксперимента. Если бы мне ее туда положил мой друг, то в некоторых случаях я бы уже не прибег к вероятностным утверждениям.

                                                Никакой научной теории физической вероятности пока еще не создано, поэтому
                                                то в рамках классической физики она уже упала какой-то стороной и вероятность (как характеристика случайного процесса) к этой ситуации не применима.
                                                — не более чем субъективное мнение отдельно взятого человека, увы.
                                                  0
                                                  Модель с тестом отвечает всем аксиомам дискретной вероятностной меры: неотрицательные веса в сумме дающие единицу. Спорьте, пожалуйста.

                                                  Вы привели в пример тесто, как подтверждение существование вероятностного пространства в физической действительности. А теперь говорить про модель. То, что некоторую модель теста можно обозвать вероятностным пространством, я не спорю. Ваше же исходное утверждение не про математический объект, а про совершенно конкретный физический.

                                                  Итак важно, что я знаю, как монетка оказалась у меня в ладони: она туда упала после ее подбрасывания. Это важно и является частью эксперимента. Если бы мне ее туда положил мой друг, то в некоторых случаях я бы уже не прибег к вероятностным утверждениям.

                                                  Монетку вы подбросили сами, но ваш друг видел результат, а вы нет. Скажете ли теперь, что монетка с одинаковой вероятностью повёрнута любой из её сторон в вверх?

                                                  научной теории физической вероятности

                                                  Я в принципе не понимаю, что вы подразумеваете под этими словами. Я утверждал только то, что в рамках классической физики монета не может находится в суперпозиции состояний, как это может случиться в квантовом мире. Вы хотите с этим поспорить?
                                                    0
                                                    Вы привели в пример тесто, как подтверждение существование вероятностного пространства в физической действительности. А теперь говорить про модель. То, что некоторую модель теста можно обозвать вероятностным пространством, я не спорю. Ваше же исходное утверждение не про математический объект, а про совершенно конкретный физический.


                                                    Реальный набор конечного числа кусков теста являются материальной моделью абстактной теории дискретных вероятностных пространств.

                                                    Монетку вы подбросили сами, но ваш друг видел результат, а вы нет. Скажете ли теперь, что монетка с одинаковой вероятностью повёрнута любой из её сторон в вверх?


                                                    Да, я могу говорить о вероятности, если не получал сигналы от друга. Повторив эксперимент миллион раз и попытавшись предсказать положение монетки, я ошибусь примерно в половине случаев. Повторив много раз серии по миллион экспериментов довольно точно получу нормальное распределения по величине разности между пяти стами тысячами и количеством угаданных случаев. Не вижу причин не использовать теорию вероятности для своих прогнозов.

                                                    Про физичность вероятности и невероятности того, что уже произошло — это распространенное заблуждение, не имеющее под собой научных доводов. Если у вас есть надежда в серии экспериментов вписаться в предельные теоремы теории вероятностей — пользуйтесь ей на здоровье и никого не слушайте.
                                                      0
                                                      Реальный набор конечного числа кусков теста являются материальной моделью абстактной теории дискретных вероятностных пространств.

                                                      Про физичность вероятности и невероятности того, что уже произошло — это распространенное заблуждение, не имеющее под собой научных доводов. Если у вас есть надежда в серии экспериментов вписаться в предельные теоремы теории вероятностей — пользуйтесь ей на здоровье и никого не слушайте.

                                                      Извините, но совсем запутался. Это набор терминов (первая цитата) просто не складывается у меня в голове в какое-то содержательное предложение. Более того, я уже даже не понимаю, что вы хотите мне доказать. С одной стороны вы приводите тесто как пример веротностного пространства, а с другой стороны говорите, что физичность вероятности — это заблуждение, не имеющее под собой научных доводов. Давайте так, если вы хотите называть тесто вероятностным пространством — называйте, я не против.

                                                      Да, я могу говорить о вероятности, если не получал сигналы от друга.

                                                      Можете, если под этим оцениваете свою субъективную оценку уверенности в том, какой стороной лежит монета. Как я уже написал, это Байесовская интерпретации теории вероятностей. При этом у вашего друга будет другая оценка.

                                                      Повторив эксперимент миллион раз и попытавшись предсказать положение монетки, я ошибусь примерно в половине случаев. Повторив много раз серии по миллион экспериментов довольно точно получу нормальное распределения по величине разности между пяти стами тысячами и количеством угаданных случаев. Не вижу причин не использовать теорию вероятности для своих прогнозов.

                                                      Ну так это сторого говоря другой эксперимент. Вы оцениваете вероятность того, что предскажете сторону монетки после бросания, т.е. включаете бросание монетки в эксперимент. И при повторении вы снова бросаете монетку. Я об этом и говорил, что вероятность предсказать монетку в таком эксперименте — 1/2. Но когда монетка уже выпала какой-то стороной, то вы тем же словом «вероятность» называете другую характеристику. До начала эксперимента — это объективная оценка вероятности (характеристика случайного процесса), а после — это ваша субъективная оценка вероятности (уверенность в исходе эксперимента на основе информации, которая вам доступна).

                                                      Ещё раз повторюсь: я не против того, чтобы вы называли свою субъективную оценку уверенности термином «вероятность», более того, такой подход используется в Байесовской интерпретации теории вероятностей. Моё исходное утверждение состояло только в том, что после того как монетка упала, никакого случайного процесса уже нет, а следовательно говорить о вероятности как о характеристике случайного процесса некорректно. Всё.
                                                        0
                                                        Дело шло к вечеру.

                                                        Ладно, думаю Вы умный парень и со временем разберетесь, о чем я Вам здесь писал. Замечу только, что мое субъективное мнение в эксперименте не имеет ровно никакого значения, а факт подбрасывание монетки наоборот — его существенная часть. Пусть я пытаюсь угадывать или наоборот — пытаюсь ошибаться, пусть даже я все время говорю «решка» — доля случаев, кода предсказанное сбудется, будет всегда стремится к половине.
                                                          0
                                                          Вот вам еще «парадокс» на вечер. Бывают ли казино с абсолютно честными рулетками? Предположим, что мы нашли одно такое, раскрутили рулетку миллион раз и записали видео. Содержание видио вроде бы совсем не случайная штука, но сможет ли зритель каким-либо образом понять, показывают ему запись или ведут прямую трансляцию из игрового зала? Если нет, то почему бы зрителю не воспользоваться всеми инструментами теории вероятностей для прогнозирования событий на совсем уже не случайной телепередаче?
                                                            0
                                                            Я боюсь, что вы так и не поняли то, что я вам пытался объяснить, про разницу объективной и субъективной оценок. Почитайте, пожалуйста, Википедию. В этом случае вы говорить про субъективные оценки. Человек, смотрящий «Титаник» в первый раз, может оценивать вероятность (свою уверенность) смерти Ди Каприо отличной от единицы. Это ничему не противоречит, но и не значит, что фильм «Титаник» содержит какой-то случайный процесс.
                                                              0
                                                              То есть у двух разных людей может быть разная точка зрения на видеозапись? Если же все зрители на основе теории вероятностей должны будут сделать один и тот же вывод, тогда причем здесь субъективное мнение.

                                                              Кажется Вы пытаетесь не решенную в науке проблему списать на мою неосведомленность содержанием википедии. Я был бы рад, если бы эта задача решалась так просто)
                                                                0

                                                                Конечно может: сравните точку зрения того, кто смотрит ваше видео про рулетку впервые, и мнение того, кто это видео уже смотрел.


                                                                Я не понимаю, какую нерешенную проблему вы имеете в виду. Но судя по всему википедию вы так и не прочитали. Ну ок предлагаю тогда завершить это обсуждение.

                                                                  0
                                                                  Мне казалось само собой разумеющимся предположение, что зритель смотрит телепередачу впервые. Дальше между положением этого зрителя и того, который смотрит прямую трансляцию можно применить бритву оккама: если не видно разницы, то (зачем платить больше) всякое всякий принцип или методологию применимую к первому зрителю стоит считать применимой и ко второму тоже.
                                                0
                                                Есть ли вероятность в физическом мире — это странный вопрос, скорее философский, т.к. вероятность (в математическом смысле) — это совершенно конкретная характеристика вероятностного пространства (некоторой абстрактной структуры, тоже в физическом мире не существующей).
                                                Действительно, когда-то было только философским вопросом, и для других базовых математических понятий — чисел, геометрических примитивов тоже, сейчас нет. Сейчас это предмет изучения когнитивных наук, причем относительно простой, в сравнении скажем с изучением концептов, представления абстрактных и конкретных понятий, и подобных, и поэтому уже достаточно изученный. Это результаты, в основном, последних лет, поэтому они еще не стали достоянием широкой публики. Сами специалисты почесывают репу) как это все упорядоченно изложить в статьях, тем более переписать учебники по когнитивной психологии. Нужно их популяризировать, а это не просто, т.к. возникают вопросы этического плана, связанными с исследованиями психики. Это не то что физические открытия популяризировать, или математику. Чистые математики еще могут признать, что есть что-то там врожденное, но резко возражают против, что современная абстрактная математика к этому имеет серьезное отношение. Прикладные более благосклонно относятся, т.к. сами часто занимаются численным моделированием, или даже нейросетевым. Но это не так, имеет прямое отношение, как показывают нейровизуализационные наблюдения за математиками думающими о самых высоких мат. понятиях), а также клинические случаи отклонений.

                                                В той же публикации за авторством Sergey_Kovalenko делал комент, что как и для чисел сейчас, в результате исследований в области когнитивной нейропсихологии, выясняется, что у детей и животных имеется интуитивное представление о вероятности. В этом отношении получается прав И. Кант со своими представлениями об априорности происхождения математического знания. Это установлено, как для чисел (см. этот комент со ссылками на источники, если тема интересна), так и для геометрических примитивов — линий, углов, и тд. Что это означает для понимания вероятности? Что какое-бы определение вероятности (в виде обобщения в некотором контекста) мы не давали, в конечном итоге, как и с числами и геометрическими примитивами, смысл (семантика) этого понятия возникает благодаря этому интуитивному чувству. В противном случае человек просто не понимал бы о чем идет речь, и не мог целенаправленно решать даже простые задачи связанные с вероятностью. Хотя мог дать точное зазубренное определение вероятности, операций с ней, и тд. Это аналогично тому, как если-бы предложить, например, дальтонику решать задачи с цветом, который он не воспринимает. Или вообще слепому визуальные задачи. Отличие в том, что вероятность, как и числа связаны с более высокоуровневым чувством нежели цвет. Ближе к эмоциональным ощущениям, но более интуитивному по восприятию. Пока точно не установлены нейронные корреляты этого чувства, как в случае с чувством численности, и соответственно не воспроизведено его возникновение на модельных искусственных нейросетях. Сложность в том, что для изучения чувства численности и геометрических примитивов достаточно статических данных, напр, изображений, для изучения вероятности нужны динамические. Но это дело времени. В этой области действуют общие нейрофизиологические закономерности.

                                                Можно задаться вопросом, а откуда это чувство берется в нейросетях мозга? Сами нейроны, нейросети и нервная система в целом продукт эволюции, приспособления видов к выживанию в условиях Земли. Но как представления геометрических примитивов, чисел и вероятностей появились в нейросетях? Логичным кажется, что эволюция каким-то образом считала их с некоторой математической структуры реальности, закодировала в сетях, и передает наследственно. Но, нет. Наследственно передается структура нейросетей, которая предполагает только предрасположенность к этим возможностям. Это общий момент связанный с ощущениями. Даже все цвета в деталях дети уверенно начинают воспринимать ближе к году. Перед этим происходит предобучение, связанное с ростом сетей и адаптацией к окружающим условиям. Это неразрывные процессы. Тем более это относится к таким высокоуровневым чувствам, какими являются математические примитивы. Если условия среды другие, то эти чувства вообще могут не появиться. К примеру, если птенцов выращивать только при черно-белом свете, то они не будут воспринимать цвета, когда вырастут. Представьте развитие детенышей в виртуальной среде в которой нет границ, а только полутона. Вероятно, не сформируются представления о линиях, как границах, и будет затруднено выделение отдельных объектов. Можно еще привести подобные аргументы, как экспериментального, так и теоретического характера, связанные с повышенной нейропластичностью структур мозга, особенно, в период его роста. Нет оснований к утверждениям о предрасположенность сетей к каким-то определенным математическим аспектам реальности. Скорее это внутренние свойства самих биологических сетей. По, крайней мере, так можно интерпретировать результаты моделирование на ИНС, со структурой подобной биологическим сетям мозга, возникновение чувства численности. Оно возникает спонтанно при обучении распознаванию зрительных сцен, без какого-либо целенаправленного обучения счету, и тп. Для ИНС с определенной архитектурой также можно доказать некоторые их мат. свойства связанные с обучение, сходимостью, аппроксимирующими возможностями, и тп. Но они всегда будут ограниченными для решения определенных задач. В реальности может не быть никаких чисел, вероятностей, и вообще любых матструктур в каком-либо виде. Как утверждал Кант она состоит из «вещей в себе», а нам они доступны лишь как субъективные переживания в виде цветов, чисел и вероятностей)

                                                Какова вероятность того, что гуляя по улице вы встретите динозавра?

                                                Я думаю, что всем ясно, что это не 1/2.
                                                Не такой уж глупый анекдот) и блондинки которые оценивают эту вероятность) 50 на 50 это априорная оценка вероятности, при условии отсутствия любой информации связанной с динозаврами. Привет Байесу. Далее можно ее уточнять. Но эта оценка как раз интуитивная. Кроме того, в широких массах есть представление о статистике, по которой случайными событиями считаются именно равновероятные, и только. Не раз встречался с этим на форумах, особенно в дискуссиях на тему происхождения и эволюции жизни, в статистических выкладках ее опровергателей из народа. Это такое когнитивное смещение связанное видимо с впитываемыми с детства требованиями к честности монеток, игральных костей, рулеток, и тд, наблюдаемыми в жизни, искусстве, науке, и порицания их нечестности. Честные значит равновероятные, а значит случайные, и наоборот, не равновероятные, значит не случайные, без учета возможных корреляций. Но в жизни и природе, для сложных феноменов, реализуются, или не реализуются, как правило «нечестные» варианты исходов, типа, 0.899 — достаточно вероятный, или 0.021 — мало вероятный, но оба случайные. В обыденном же сознании они могут воспринимаются не как случайные, а как детерминированные. Этакое народное огрубление статистических свойств.
                                                  0
                                                  . В этом отношении получается прав И. Кант со своими представлениями об априорности происхождения математического знания.


                                                  У А.Пуанкаре есть несколько книг о природе науки. Он довольно подробно разбирает как те или иные математические примитивы связаны с примитивами восприятия. В частности восприятие твердых и статичных предметов связано с геометрией. Жидкие-же субстанции дали для арифметики и геометрии меньше материала.
                                                    0
                                                    Пуанкаре был конвенционалистом и интуиционистом по своим философски взглядам. Это более высокий уровень анализа, нежели априоризм Канта. Сейчас можно смотреть на какой уровень канала когнитивной обработки проецируются разные философские воззрения, и как они соотносятся. К примеру знай Б. Рассел в свое время, как связаны уровни математических примитивов — геометрических, числовых, и др, и уровень логики в коннектоме мозга, вряд-ли он взялся с Уайхедом за написал нетленных Приципий) Нельзя логику свести к математическим примитивам в полном объеме. Никак. Поэтому логицизм постепенно завял. Точку поставил Гедель своими теоремами.
                                                      0
                                                      Нельзя логику свести к математическим примитивам в полном объеме. Никак. Поэтому логицизм постепенно завял. Точку поставил Гедель своими теоремами.

                                                      Почему нельзя? И причём тут Гёдель? Ну да, есть невыводимые истинные утверждения. Чему это мешает?

                                                        0
                                                        Почему нельзя?
                                                        Потому что я написал фигню) Логицизм это попытка обоснования основ математики с помощью логики. А не наоборот, как написал, вот такая описка, сорри. Спасибо, что заметили противоречие.
                                                        Ну да, есть невыводимые истинные утверждения. Чему это мешает?
                                                        Конечно есть, аксиомы евклидовой геометрии обобщения опыта имевшегося на то время. Логически их никак нельзя доказать. Даже сами геом. примитивы это обобщения опыта построения и измерения геометрических объектов. Когнитивные исследования показывают, как такие обобщения возникают фактически из свойств нейросетей. А те в свою очередь результат исследования реальности эволюцией за весь период развития жизни на Земле. Самой примитивной операцией — сравнением непрерывных величин, обладали древние простейшие, использовавшие ее в механизмах хемотаксиса и «чувства кворума». Отсюда пошла математика) если очень кратко.
                                                0
                                                теория вероятности не выдерживает тест на фальсифицируемость


                                                Интересная мысль. Слишком общие понятия часто заставляют глючить всякие тесты.

                                                Наверное какие-то утверждения всетаки поддаются этому тесту. ???
                                                  0

                                                  Автор комментария про фальсифицируемость не очень хорошо понимает, что означает фальсифицируемость. Фальсифицируемость — это свойство теории в смысле "гипотеза", а не в том смысле, в каком это слово используется в словосочетании "теория вероятности" (т.е. само утверждение — некорректно). Изначально фальсифицируемость предлагалось применять для теорий объясняющих эмпирические знания (математика на это не претендует), но в целом можно использовать и для произвольных предположений. Так вот, любая математическая теорема фальсифицируема — всегда можно указать место, в котором доказательство неверно. Это же касается и математических гипотез — можно привести доказательство её опровержения. В том числе это касается и теорем из теории вероятности.

                                                    0

                                                    Про математические гипотезы наврал — в любой довольно богатой формальной теории есть недоказуемые верные утверждения, поэтому некоторые гипотезы не фальсифицируемы (первая теорема Гёделя)

                                                      +1
                                                      Фальсификация — это возможность найти факты, которые не вписываются в теорию. Если потенциально такие факты можно найти, то теория фальсифицируема. Например, теория гравитации очень точна, но наблюдаемые контрпримеры в виде непонятных темных материй есть.

                                                      Вот математические понятия, типа точки или бесконечной прямой в природе не существует. Поэтому и контр-примеры искать бессмыслено. С другой стороны каким-то загадочным образом незримая математика плотно связана со зримой физикой.

                                                      — тут еще мысль возникла — можно ли полагаться на фальсифицируемость? научна ли она? можно ли её фальсифицировать? ой ))))
                                                        0
                                                        Фальсификация — это возможность найти факты, которые не вписываются в теорию. Если потенциально такие факты можно найти, то теория фальсифицируема.
                                                        — тут еще мысль возникла — можно ли полагаться на фальсифицируемость? научна ли она?

                                                        Наблюдаемые факты противоречащие теории можно ожидать столетиями, напр, необъясняемое теорией тяготения Ньютона смещение перигелия Меркурия обнаружили через два с половиной века после создания теории. Что касается возможности экспериментального опровержения, то это мутное место, если речь о реальной постановке. Действительно, есть теория, не противоречивая, самосогласованна, подтвержденная наблюдениями и экспериментом. Иначе это и теорией не было бы. Теперь задание: в рамках этой теории найти эксперимент, кот. ее опровергает. Прелестно. Можно придумать эксперимент по ее опровержению в рамках другой, более общей теории. Например, классическую механику можно опровергнуть квантовым или релятивистским экспериментом. Но как опровергнуть клас. механику механическим опытом? Никак. Она себе не враг. Если придумаем такой эксперимент, то он не будет описываться законами класмеха. Это будет, или более общая теория, или конкурирующая теория. Пример, череда опровержений конкурирующих теорий света — корпускулярной и волновой. С апофеозом в виде опыта Араго по проверке опровержения Пуассона волновой теории Гюйгенса. Чем история закончилась известно, они счастливо сожительствуют в рамках корпускулярно-волнового дуализма элм. волн. А что же с классмехом? Ее опроверг оптический эксперимент Майкельсона-Морли, как случайный непредвиденный результат. Так обычно в физике и бывает. Если же речь только о принципиальной проверяемости теории экспериментом, то это было известно и до Поппера, это кредо эмпирического подхода, кот. еще Бэккон прописал.
                                                        Вот математические понятия, типа точки или бесконечной прямой в природе не существует. Поэтому и контр-примеры искать бессмыслено.
                                                        Формально в математике та же бодяга, что и физике. Евклидова геометрия фальсифицируется не евклидовыми, т.е. более общей теорией. Но внутри нет, маттеории еще более самосогласованные, нежели физические. Если же выйти за пределы критерия мат. непротиворечивости, и посмотреть в сторону соответствия их реальности, то в этом отношении фальсифицируемы те мат. методы, которые применяются в физических теориях, когда они сами проверяются. Поэтому и Евклидову и Риманову геометрию можно считать прошедшими эту процедуру. Это же относится к теории вероятности. Что касается не используемых нигде мат. методов, даже, если доказана их непротиворечивость, то они канут в лету.
                                                        С другой стороны каким-то загадочным образом незримая математика плотно связана со зримой физикой.
                                                        Почему загадочным? Универсальность и эффективность математического описания связана с тем, что основывается на самых простых признаках — геометрических, числовых, вероятностных примитивах. Если использовать аналогию с ИНС (сверточных), то это признаки выделяемые низкоуровневыми слоями сети. Условно говоря среднеуровневые соответствуют физическим объектам, а высокоуровневые целостным. Можно такой схемой проиллюстрировать:
                                                        image
                                                        Понятно, что примитивы нижнего слоя, «математического», позволяют описать все вышележащие, хотя бы приближенно. Но они не существуют, как самостоятельные объекты в изображениях. Есть похожие. Это соотносится, как абстракция геометрической линии и, например, линия грани кристалла. Средний слой, «физический», уже больше соответствует объектам на изображениях, как части целостных. Это слой «физического» описания мира изображений, он может использовать нижележащее «математическое» описание с помощью примитивов, но не сводиться к ним. Это связано с тем, что для этого слоя просто непротиворечивости сложения примитивов не достаточно, конструкции должны реально существовать на изображениях. В этом отличие математической и физической осуществимости, и, вообще, математического и физического описания.

                                                          +1
                                                          Евклидова геометрия фальсифицируется не евклидовыми, т.е. более общей теорией.


                                                          Довольно интересно наблюдать, как парадоксы нижнего уровня разрешаются на более высоком уровне.

                                                          Ну если на мета-уровень все время подниматься, то придется дойти до ума-разума-сознания-наблюдателя-воспринимающего, который придумывает и валидирует эти теории в своем мета-мета..-мета пространстве.
                                                            0
                                                            Ну если на мета-уровень все время подниматься, то придется дойти до ума-разума-сознания-наблюдателя-воспринимающего, который придумывает и валидирует эти теории в своем мета-мета..-мета пространстве.
                                                            Фактически так и происходит, нарастание некоторого ощущения своего присутствия в процессе познания, его большей субъективизации. Если ничего не менять с сенсорным и перцептивным уровнем ввода и обработки информации, и не усиливать постоянно интеллект системами ИИ, то произойдет своеобразное насыщение, как и в случае с обучением фиксированных ИНС. Эффективность обучения начнет падать, пока не прекратится. Внешне это будет выглядеть так. Все большее число теоретиков пытается построить очередную фундаментальную теорию, объясняющую новые результаты наблюдений и экспериментов. Появляются масса недооформленных теорий-кандидатов, дублирующих и комбинирующих друг друга, и так без предела. Материальные ресурсы на поддержание всего этого также будут расти, пока неизбежно не станет вопрос об отдачи от этих вложений. Подобное наблюдалось и в прошлом, но в меньших масштабах, и не столь явном виде как сейчас. Выход находился в расширении восприятия, в расширении интеллектуальных возможностей и самого сознания. В прошлом расширение восприятия происходило сначала путем применением простых измерительных устройств — линеек, угломеров, весов, и тд, затем специализированных измерительных приборов, затем приборов усилителей органов чувств — микроскопов, телескопов. Представьте, если их не было бы. Мы до сих ничего не знали о Вселенной и микромире. Затем приборов преобразующих другие воздействия в воспринимаемые орг. чувств. Это приблизительно с момента открытия радиоактивности и рентгеновских лучей, и до сих пор, до пузырьковых камер, эл. микроскопов, детекторов частиц, включая БАК. Последние достижения — нейтринные и гравитационные телескопы. Что дальше? Видимо искусственные орг. чувств на основе нейроинтерфейсов. Такое возможно, нейропластичность мозга позволяет это. Животные воспринимают другие виды воздействий — ИК, УФ, ультразвук, электрические и магнитные поля, поляризацию света, и др. Сейчас это развивается в основном в медицине, как нейропротезирование, но со временем пойдет в массы, и в науку. Видеть в любых спектрах ЭМИ без преобразования в видимый свет, или непосредственно наблюдать квантовые объекты и эффекты, а не преобразованные в свет с помощью эл. микроскопов и других приборов. Звучит футуристично, но вполне осуществимо. Параллельно шло расширение интеллектуальных возможностей. Начиная с камешков и узелков, разных счетов, счетных машин, до компьютеров. Сейчас маячат кв. компьютеры. Меняется организация интеллектуальной деятельности, от индивидуального, до современных коллабораций, способы работы с информацией. Это так по верхам. Еще дальше возможно генинженирия по улучшению когнитивных способностей, гибридизация с искусственными системами, что-то вроде персонального симбиотического ИИ. Но это уже не будет вид H.Sap, а что-то иное) Если конечно человек не потеряет интерес к познанию.
                                                              0
                                                              к сожалению ближайшие сто лет будут не сахар. Глобальное потепление, беженцы с югов и тд. В свое время Индия была очень продвинутой страной и казалось, что можно развиваться и накапливать знания. Но внезапно пришли завоеватели и стали топить свои костры библиотеками.
                                                            +1
                                                            Евклидова геометрия фальсифицируется не евклидовыми, т.е. более общей теорией.

                                                            Извините, но это бред. Не евклидовы геометрии просто исходят из другого набора аксиом. Ни о какой фальсификации или противоречии речи не идёт.

                                                            Действительно, есть теория, не противоречивая, самосогласованна, подтвержденная наблюдениями и экспериментом. Иначе это и теорией не было бы. Теперь задание: в рамках этой теории найти эксперимент, кот. ее опровергает.

                                                            Классический пример — наивная теория множеств. Теорией является, но в ней можно построить противоречие.

                                                            Но на самом деле, мне кажется, что вы в принципе не понимаете смысл фальсифицируемости. Фальсифицируемость — это не наличие опровергающего эксперимента, а наличие возможности такой эксперимент провести. Например, теория существование бога не научна, потому, что результаты любого эксперимента можно объяснить волей всемогущего бога, т.е. нет возможности построить эксперимент, который её опровергает.

                                                            Можно придумать эксперимент по ее опровержению в рамках другой, более общей теории. Например, классическую механику можно опровергнуть квантовым или релятивистским экспериментом.

                                                            Классическую механика обладает свойством фальсификации не из-за квантовой теории, а потому, что можно построить эксперименты, которые бы могли её опровергнуть. Ну, например, можно найти такой макрообъект, для которого нарушается второй закон Ньютона. Т.е. даже, если бы квантовой физики и релятивистского эффекта не существовало, то классическая механика всё равно была бы научной теорией.
                                                      0
                                                      Эмпирически вы можете проверить например теорию гравитации на Земле, законы Гей-Люссака для воздуха под поршнем, закон сохранения массы в химии. С арифметикой уже сложнее: пусть среди ее теорем найдется такая «не верно, что для всех x выполняется P», где P — некоторый арифметический предикат. Если для арифметики кошечек и собачек (то есть для конкретной материальной интерпретации абстрактной арифметики) эта теорема не верна, то потенциально может потребоваться проверка бесконечного числа x, чтобы прийти к противоречию.
                                                        0
                                                        Можно поразмыслить над природой чисел и как работает мышление в целом. Какие-то понятия включают множество примеров. Например абстрактная единица включает в себя множество разных конкретик. Одно яблоко, один камень и тд. Это такое обобщение. А парадоксы случаются, когда обобщение пытаются слишком сильно обобщить. Например единица применима к твердым предметам. А вот если посмотреть на изменяющеёся облако, то порой трудно сказать одно оно или их несколько. Так же трудно сказать, являются ли сиамские близнецы чем-то одним или их двое. Те есть надо знать область обобщения, чтобы не было противоречий.
                                                          0

                                                          Это, наверное, буквоедство, но зачем мне в данном случае проверять на модели с кошечками и собачками? Если это теорема данной теории, то я проверю вывод (который по определению вывода в матлоге состоит из конечного числа шагов).


                                                          А то аналогичной логикой можно дойти до того, что законы Гей-Люссака вам нужно будет проверять для всех возможных поршней и всех возможных составов воздуха, а их тоже эффективно бесконечное число.

                                                        0
                                                        С другой стороны, теория вероятности не выдерживает тест на фальсифицируемость

                                                        Ну как бы математика вообще не проходит этот тест и не является (естественной) наукой.

                                                          0

                                                          Математика — это не теория и не гипотеза, поэтому тест на фальсифицируемость к ней просто неприменим. Если говорить о фальсифицируемости в широком смысле (а не только в применении к гипотезам объясняющим эмпирические знания), то в математике любая теорема фальсифицируема, т.к. можно указать некорректный переход в доказательстве.

                                                            0

                                                            Сдаётся мне, что вы не правы. Логическая ошибка в рассуждениях не является фальсификацией.

                                                              0

                                                              Почему? Я же говорю про фальсификацию в широком смысле, как принципиальную возможность опровержения.


                                                              Теория удовлетворяет критерию Поппера (является фальсифицируемой и, соответственно, научной) в том случае, если существует возможность её экспериментального или иного опровержения.

                                                              Мне кажется, что в данном случае мы можем говорить про математические теоремы, как про научное знание.

                                                                0
                                                                а можно ли фальсифицировать теорию фальсификации?
                                                                  0
                                                                  а можно ли фальсифицировать теорию фальсификации?

                                                                  Такой же вопрос задавали студенты Попперу, автору идеи «фальсификации науки».
                                                                  Он просто выгонял их из аудитории, даже не отвечая.
                                                                  Если такой вопрос возникает, то значит человек не понял этой идеи.
                                                                    0
                                                                    А почему...?, вопрос-то законный.
                                                                    более общий вопрос — можно ли на что-то положиться и считать какую-то идею конечной?
                                                                      0
                                                                      Не является материальной теорией. Всего лишь принципом, некоторым обязательным свойством, обладание которым, однако ни к чему не обязывает.
                                                                        0
                                                                        … ну да, нарушать его можно по собственному желанию, это ведь не законы физики, которые нельзя нарушить просто так.
                                                                        0
                                                                        можно ли на что-то положиться и считать какую-то идею конечной?

                                                                        Можно. Если это зачем-то кому-то нужно для какой-то модели с какой-то точки зрения. Можно использовать любые приемы и допущения, любые методы, любые предположения. Только потом проверить весь этот зоопарк на требования к модели.
                                                                        Например, если нет требования к соответствию формальной логике — то можно использовать выводы на основе мифов или на основе постулатов, на основе эмпирических данных. Все равно не могут быть получены полные, непротиворечивые, точные и своевременные модели.
                                                                        А для каких-то конкретных практичных целей вполне достаточно каких-то моделей, лишь бы было понятнее (например). Или быстро, или чтобы больше денег дали. В общем, модель всегда строится для какой-то цели, с точки зрения вполне конкретной особы, для определенного круга заинтересованных лиц.
                                                                        Что-то абсолютное, объективное, конечно искать можно. Интересен сам процесс и изменения личности. А вот будет результат или нет — не играет роли.

                                                                        — Голубчики, — сказал Фёдор Симеонович озабоченно, разобравшись в почерках. — Это же проблема Бен Бецалеля. Калиостро же доказал, что она не имеет решения.

                                                                        — Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как её решать.

                                                                        — Как-то странно ты рассуждаешь, Кристо… Как же искать решение, когда его нет? Бессмыслица какая-то…

                                                                        — Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос…
                                                              0
                                                              Математика нет, но кода речь идет об материальных интерпретациях ее дисциплин, то многие вполне себе выдерживают. Попытка интерпретировать арифметику на сложении капель воды приводит к противоречиям, попытка интерпретировать свойства окружностей большого радиуса на реальной сфере как прямые абстрактной евклидовой плоскости — тоже. Сама математика примерно с начала 20 века считается бессодержательной и свободной от понятий «истина» или «ложь», так что к ней нельзя применять термин «наука» в его традиционном смысле. С другой стороны автор статьи высказывается о некоторых утверждениях, как об истинных, а о других, как о ложных, значит он явно имеет ввиду какую-то материальную интерпретацию.
                                                                0

                                                                Ну так и я с позицией автора не во всём согласен. :)
                                                                Материальная интерпретация математических моделей (а, точнее, наоборот — использование мат. моделей для описания материального) это, скорее, физика. У неё с фальсифицируемостью всё в порядке.
                                                                Мне кажется, что мы с вами, в целом, согласны.

                                                                  0
                                                                  Окей, теперь — нерешенная проблема науки: не существует и вряд ли может быть построена в рамках принятой на сегодняшний день философии логически непротиворечивой интерпретации теории вероятностей, хоть сколько-нибудь адекватно отражающая наше представление о случайности. В трех словах всего не объяснить, но я об этом написал простенькую статью: habr.com/ru/post/493800, возможно Вы найдете какие-то ответы.
                                                                  0
                                                                  Сама математика примерно с начала 20 века считается бессодержательной и свободной от понятий «истина» или «ложь», так что к ней нельзя применять термин «наука» в его традиционном смысле.


                                                                  Насколько понимаю, ноги математики растут из аксиом теории множеств. Аксиома недоказуема. Но в тоже время является обобщением большого человеческого опыта.

                                                                  Много понятий выросло из восприятия твердых статичных предметов. 1 яблоко + 1 камень = 2 предмета. Это вписывается в арифметику. А одна капля + одна капля = одна большая капля, уже не вписывается ибо жидкость.
                                                                    0
                                                                    Много понятий выросло из восприятия твердых статичных предметов. 1 яблоко + 1 камень = 2 предмета.

                                                                    О!!! Есть еще более веселый пример. Как путают реальность и математическую модель реальности, с теми же яблоками.
                                                                    Берем два одинаковых яблока.
                                                                    Одно яблоко разрезаем на 3 равных куска.
                                                                    Другой яблоко разрезаем на 2 равных куска.
                                                                    Складываем один кусок первого яблока и один кусок другого яблока вместе.
                                                                    Получаем 2 куска.
                                                                    Это описание реальности.
                                                                    Теперь математическая модель (через сложение дробей)
                                                                    1/2+1/3=3/6+2/6=5/6
                                                                    То есть должно быть пять кусков, размером по 1/6.

                                                                    Это конечно же шутка, но в ней видны все типичные ошибки перевода реальности в математические модели и обратно.
                                                              +1
                                                              вы засыпаете в воскресенье вечером и случайным образом просыпаетесь в любое утро на следующей неделе, какова вероятность, что вы проснётесь в воскресенье?

                                                              Мне видится одна тонкость.
                                                              Описан реальный мир, а не гипотетический набор чисел в математике.
                                                              Если задача сформулирована именно как описание события в реальном мире, то применение к ней упрощенной математической модели с анализом вероятности — некорректно.
                                                              Так как в реальности (не в модели!) человек может проспать и 12 и 24 часа без перерыва, но более 24 часов — мало кому удается. Поэтому вероятность проснуться в дни от воскресенья до вторника намного выше, чем в среда-суббота.
                                                              Если использовать бытовые аналогии, примеры из реальной жизни, как задачи к «вероятности» — то всегда есть риск некорректного результата. И если в математической модели эти ошибки мало что значат, то в реальной жизни — очень может быть масса последствий.
                                                              И еще про вероятностные оценки реальными людьми.
                                                              Суть: серьезные специалисты в «вероятностях» не пользуются своими знаниями при решении реальных задач, даже если прямо об этом указано. Тут видно влияние специфики разума на работу с вероятностными моделями.
                                                              Парадокс Алле из книги «Даниэль Канеман Думай медленно… решай быстро»
                                                              «Что бы вы выбрали в каждой из двух ситуаций, А и Б?
                                                              А. 61 %-ный шанс выиграть 520 000 долларов ИЛИ 63 %-ный шанс выиграть 500 000
                                                              долларов?
                                                              Б. 98 %-ный шанс выиграть 520 000 долларов ИЛИ 100 %-ный шанс выиграть 500 000 долларов?
                                                              Если вы мыслите, как большинство людей, то выберете левую альтернативу в варианте А и правую — в варианте Б. Поступив так, вы тем самым совершите логический просчет и нарушите правила рационального выбора. Собравшиеся в Париже прославленные экономисты просчитались в расширенной версии «парадокса Алле».»

                                                              Еще более сложно правильное использование оценки вероятности для вроде бы простых событий реального мира. Если это делать по упрощенным математическим моделям, без учета специфики психологии людей — то могут быть очень серьезные последствия для бизнеса.
                                                              В расчетах все вроде правильно, ответ на реальную задачу будет правильный с математической точки зрения. Но с реальности будет совершенно иначе.
                                                              Пример из той же книжки
                                                              «Чрезвычайно низкие или высокие вероятности (ниже 1 % или выше 99 %) — случай особый. Очень редким событиям трудно приписать уникальное значение решения, поскольку его часто игнорируют, приравнивая к нулевому. С другой стороны, если вы не проигнорируете редкое событие, то уж наверняка переоцените его. Большинство из нас вряд ли волнуется по поводу таяния ледников или фантазирует о сказочном наследстве от неизвестного дядюшки, однако, если маловероятное событие попадает в фокус нашего внимания, мы придаем ему больше веса, нежели оно заслуживает в соответствии с вероятностью.
                                                              Представьте, что вы пользуетесь инсектицидом по 10 долларов за баллон. Это приводит к 15 случаям вдыхания ядовитой взвеси и 15 отравлениям детей в расчете на каждые 10 000 проданных и распыленных баллонов.
                                                              Затем вы узнаете о существовании более дорогого инсектицида, с которым риск отравления снижается до 5 случаев на 10 000 баллонов. Сколько бы вы согласились переплатить за него?
                                                              Известно, что в среднем родители соглашались заплатить на 2,38 доллара больше, чтобы снизить вероятность отравления на две трети — с 15 баллонов до 5, и 8,09 доллара — втрое больше, — чтобы полностью ее устранить. Другие вопросы выявили, что родители рассматривали два риска (вдыхание яда и отравление ребенка) порознь и были готовы платить, чтобы исключить и тот и другой. Такая перестраховка вполне оправдана психологически, но несовместима с рациональной моделью.»
                                                              Но расчеты и продажи будут сделаны по рациональным моделям!

                                                              Еще хуже, когда вероятности касаются лично конкретного человека.
                                                              Примеры из книги Нассим Талеб — Одураченные случайностью.
                                                              Человек (Ниро) узнал, что болен раком. И стал изучать вопрос
                                                              "… он наткнулся на фразу «пятилетний коэффициент выживаемости на уровне 72 %». Это значило, что 72 людям из 100 это удавалось. Чтобы пациент считался выздоровевшим, нужно, чтобы признаки болезни не проявлялись в течение трех-пяти лет (ближе к трем в его возрасте). Тогда он совершенно определенно почувствовал где-то внутри, что сделает это.
                                                              Здесь читатель может поинтересоваться, в чем математическая разница между шансами умереть в течение следующих пяти лет, равными 28 %, и шансами выжить, равными 72 %. Ясно, что ее нет, но мы не созданы для математики. В мозгу Ниро шанс умереть, равный 28 %, вызывал образ его самого в гробу и тягостных подробностей похорон. Шанс выжить, равный 72 %, окрылял его: он представлял, как после исцеления будет кататься на лыжах в Альпах. Ни разу в течение своего сурового испытания Ниро не думал о себе как о живом на 72 % и мертвом на 28 %."

                                                              Но еще хуже неправильное использование понятий «вероятности» к оценке ассиметричных ситуаций. А именно такие ситуации встречаются в жизни чаще всего.
                                                              Пример из Талеба
                                                              «Чтобы объяснить эту тему, я приведу случаи как асимметричных шансов, так и асимметричных исходов. Асимметричность шансов означает, что вероятность событий не равна – у одного вероятность будет выше, чем у другого. Асимметричные исходы означают, что выплаты также не равны.
                                                              Предположим, я разработал стратегию азартной игры, в которой есть 999 шансов из 1000 получить 1 доллар (событие А) и 1 шанс из 1000 потерять 10 тыс. долларов (событие Б), как показано в табл. 6.1. Мое ожидание – убыток в размере примерно 9 долларов (он получается путем умножения вероятности на соответствующий исход). Частота, или вероятность, убытка сама по себе совершенно не важна; ее нужно рассматривать исключительно в связи с разбросом результатов. Здесь событие А намного вероятнее события Б. Есть шансы, что мы заработаем, делая ставки на событие А, но поступать так – не лучшая идея.
                                                              Причина довольно заурядна и проста, она понятна всякому, кто хоть раз заключал пари. Но всю жизнь мне приходилось бороться на финансовых рынках с людьми, которые, похоже, не в состоянии это усвоить. Речь идет не о новичках. Я говорю о людях, получивших дополнительное образование (хотя бы и МВА) и все же не чувствующих разницу.
                                                              Как они могут упускать главное? Почему они путают вероятность и ожидания, то есть вероятность и вероятность, помноженную на выплату? Во многом потому, что большинство людей учатся на примерах из симметричной среды, таких как подбрасывание монеты, где разницы между результатами не существует.»
                                                              Изучение вероятности на примерах с монетами — очень опасное занятие, которое может привести к финансовым потерям в реальном мире.
                                                              Еще один пример: если играть в подбрасывание монеты, но несколько иначе.
                                                              Ставка делается на то, какая последовательность из трех бросков выпадет первой. Например, один ставит на «ОРР» (орел-решка-решка"), а другой выбирает иную комбинацию, например «ОРО». Вроде бы те же монеты, вроде бы случайно бросаем. Вроде бы научились учету случайности при предсказании вероятности орел или решка. Но только дайте мне возможность делать ставку и определять комбинации после вашего варианта, и я всегда буду в выигрыше. Причем очень существенно в выигрыше. Причина — моя комбинация всегда будет более вероятна, чем ваша. Это известный нетранзитивный парадокс, найденный Уолтером Пенни.
                                                              Так что задачки-задачками, они прикольные. На них можно учится пониманию «вероятности» в математике. Но применение и понимание «вероятности» и «ожидания» в реальной жизни — нечто совсем иное.
                                                                0
                                                                Интересные примеры привели.
                                                                Изучение вероятности на примерах с монетами — очень опасное занятие..
                                                                В коменте выше писал, что сталкивался с нечто подобным, некоторые понимают случайность именно, как равновероятность. Соответственно недооценивают маловероятные события, или переоценивают достаточно вероятные. Вплоть до того, что исключают первые, и считают достоверными вторые. Из личного опыта общения на форумах по теме эволюции. Часто проводят аналогию эволюции со сборкой часов, в которых много деталей, или другого сложного механизма. Мутации — добавление деталей, а поскольку они случайны, то это равносильно бросанию большой многогранной кости, естественно честной. Собрать часы таким образом практически невероятное событие. Вывод, понятно, кто это мог сделать, и сразу, без бросаний кости) Варианты рассуждений разные, но в похожем ключе. Пытаюсь объяснить — бросания не независимы, эволюция не совсем случайна, имеются корреляции. Условно, та самая многогранная кость после каждого броска меняет соотношения граней, какие-то исчезают, какие-то сливаются, появляются новые, кость становится все менее честной. Результаты бросков уже не равновероятны, и изменения идут в определенном направлении. Тут возникает непонимание. Что значит кость не равновероятная? Тогда это не случайный процесс, а предсказуемый, и теория неверна. Думал хитрят, понимают, но хитрят, чтобы любым способом опровергнуть теорию. Но и на отвлеченных примерах, типа лотерейных билетов, что крупный выигрыш намного маловероятнее мелкого, та же история — все исходы считались равновероятными, просто их иного. Иначе это не честная лотерея, а жульничество) Расписываешь, вроде с цифрами соглашаются, но все равно с трудом воспринимают. Этакое когнитивное смещение. Видимо это свойство учитывается устроителями различных розыгрышей. Кстати, такое смещение не только у обывателей возникает, но иногда и в публикациях встречается.
                                                                Еще более сложно правильное использование оценки вероятности для вроде бы простых событий реального мира. Если это делать по упрощенным математическим моделям, без учета специфики психологии людей — то могут быть очень серьезные последствия для бизнеса.

                                                                Возможно, тут действует внутренний механизм родственный восприятию чисел связанный с чувством численности. Как и любые ощущения они подчинятся психофизическому закону Вебера-Фехнера. Это доказано не только для самого восприятия численности, но и для активности связанного с ним нейронного механизма. Также это воспроизводится и при моделировании чувства численности на ИНС, со структурой подобной биологической. Как это проявляется в жизни? Благодаря такому свойству дети, кот. не имеют никакого представления о числах и счете, как правили выбирают большую кучу конфет в сравнении с меньшей, если конфет не более 4-х, и практически равновероятно, если конфет в куче много, и разница небольшая. Так проявляет себя пороговая структура восприятия, которая и описывается законом В-Ф, имеющем логарифмическую зависимость. Об этой особенности психики давно известно маркетологам, кот. используют ее в стратегии повышения цен. Как правило повышение на 10% остается незамеченным большинством покупателей и они делают покупки.

                                                                Не исключено, что подобный механизм, описываемый законом В-Ф, будет обнаружен и для интуитивной оценки вероятности. Тогда станет понятнее почему люди так часто совершают ошибки связанные с вероятностным выбором. Этот механизм расчитан на другие условия применения в дикой природе, а не для хитросплетений жизни в условиях цивилизации. Но ситуация с исследованиями вероятностных оценок сложнее, чем с числовыми, т.к. она связана с обработкой потока данных, а не статическим случаем, как для чисел.
                                                                  0
                                                                  Интересные примеры привели.

                                                                  Благо дарю! В книгах Талеба и Канемана вероятностям, ожиданиям и статистики посвящено очень много. Больше всего — особенностям восприятия.
                                                                  Чаще всего люди при анализе информации отвечают не на тот вопрос, который задан как предмет анализа. А используют наиболее похожий вопрос (с их точки зрения).
                                                                  Что самое интересное, особенности восприятия действуют всегда и их влияние можно нивелировать, но это очень сложно и требует специальной серьезной подготовки.
                                                                  Неверная интуитивная оценка вероятностей — самый главный бич.
                                                                  Пример из того же Канемана
                                                                  «Доступность и аффект
                                                                  … Испытуемым предложили рассмотреть пары причин смерти: диабет и астму или инсульт и несчастные случаи. Для каждой пары требовалось указать более частую причину и оценить соотношение между двумя частотами. Полученные оценки сравнили со статистикой того времени. Вот пример результатов:
                                                                  • От инсульта умирают вдвое чаще, чем от несчастного случая, но 80 % респондентов сочли смерть от несчастного случая более вероятной.
                                                                  • Торнадо назвали более частой причиной смерти, нежели астма, хотя от астмы умирают в 20 раз больше.
                                                                  • Смерть от удара молнии сочли менее вероятной, чем смерть от ботулизма, хотя смертельное поражение молнией случается в 52 раза чаще.
                                                                  • Болезнь и несчастный случай назвали одинаково вероятной причиной смерти, хотя болезнь в 18 раз чаще приводит к смертельному исходу.
                                                                  • Смерть от несчастного случая сочли в 300 раз более частой, чем смерть от диабета, хотя реальное соотношение составляет 1:4.
                                                                  Урок понятен: оценки причин смерти искажены сообщениями СМИ. Репортажи, как правило, склоняются в сторону необычных и трагических событий. СМИ не только формируют интересы публики, но и сами попадают под их влияние. Журналисты не могут игнорировать требования публики о подробном освещении определенных тем и точек зрения. Необычные события (например, ботулизм) привлекают непропорционально большое внимание и, следовательно, представляются более частыми, чем в действительности. Мир в наших головах — не точное отражение реальности, наши оценки частоты событий искажены распространенностью и эмоциональной интенсивностью окружающей нас информации.»

                                                                  Посмотрите на битвы вокруг оценок влияния коронавируса на смертность, на жизнь в целом с этой точки зрения. Будете очень удивлены.

                                                                  «Группа исследователей… убедительно продемонстрировала действие эвристики аффекта, исследуя мнения о разнообразных технологических процессах… Респондентов просили оценить и преимущества, и риски, связанные с каждой из категорий. Между этими оценками обнаружилась невероятно высокая отрицательная корреляция. Технологии, которые респонденты считали благоприятными, оценивались как дающие много преимуществ и мало риска; технологии, вызывающие у испытуемых неприязнь, оценивались негативно, с перечислением множества недостатков и редким упоминанием достоинств.»
                                                                  То есть если эмоции негативные (даже причина таких эмоций не всегда важна) — то технология получит негативную оценку. И все исследования — по боку.
                                                                  Эта особенность восприятия, кстати, основа всех мега-срачей на тему «виндовс-линукс, что лучше». На хабре недавно был такой мега-срач. Посмотрите на него с этой точки зрения — множество веселых минут гарантировано!

                                                                  Но и психология в оценке вероятности и в анализе статистики еще не самое веселое.
                                                                  Гораздо веселее непонимание такой темы, как «Статика и динамика», и в особенности такого явления, как эргодичность.
                                                                  Пример из книги «Талеб Н.Н. — Рискуя собственной шкурой. „
                                                                  “Проведем следующий мысленный эксперимент. В одном случае сто человек идут в казино, чтобы в течение заданного времени играть в карты, имея заданную сумму денег плюс джин с тоником бесплатно. Одни проиграют, другие выиграют, и по истечении заданного времени мы узнаем, чего они добились, просто посчитав оставшиеся деньги в их кошельках. Так мы можем понять, верно ли казино оценило шансы в денежном эквиваленте. Теперь предположим, что игрок номер 28 проигрался. Повлияет ли это на игрока номер 29? Нет.
                                                                  Можно путем расчетов установить (как в нашем примере), что проиграется 1 % игроков. Если играть и играть дальше, за тот же отрезок времени в среднем крах потерпит все тот же 1 %.
                                                                  Сравним с другой ситуацией того же мысленного эксперимента. Один человек, ваш кузен Теодор ибн Варка, ходит в казино сто дней подряд с той же суммой денег. На 28-й день Теодор ибн Варка спускает все.
                                                                  Наступит ли 29-й день? Нет.
                                                                  Он дошел до точки, когда сказал «сдаюсь»; больше никакого казино.
                                                                  Неважно, насколько умел и осторожен ваш кузен Теодор ибн Варка; можно с уверенностью сказать, что в конечном счете он проиграется с вероятностью 100 %.
                                                                  Вероятности успеха членов коллектива к кузену Теодору ибн Варке неприменимы. Назовем первый случай вероятностью по ансамблю, а второй – вероятностью по времени (первый описывает группу людей, второй – одного человека во времени). Итак: когда вы читаете учебники профессоров финансов, книги гуру финансов или рекомендации консультанта по инвестициям вашего банка, основанные на долгосрочной доходности рынка, остерегайтесь. Даже если их прогнозы верны (а они неверны), ни один индивид не может получить доходность на уровне рынка: у него нет бездонных карманов – и он может дойти до точки «сдаюсь». Нельзя смешивать вероятность по ансамблю и вероятность по времени. Если инвестор в конце концов уменьшит свой риск, потому что потерял много денег, или вышел на пенсию, или развелся и женится на жене соседа, или внезапно пристрастился к героину после удаления аппендикса, или сменил жизненную философию, – его доходность разойдется с доходностью рынка, точка.»
                                                                  А теперь посмотрите на данные о смертности от COVID-19 в тех же анализах на Хабре, с разбивкой по возрастным группам, по данным от прошлых лет, и т. п.
                                                                  Где-то статистика и вероятности по ансамблю перепутана или смешана с вероятностью во времени.
                                                                  Где-то не перепутаны. Но чаще всего — каша. А это неверный подход, совсем неверный.
                                                                  Отсюда множество ошибок в оценках. И психология тут уже не играет роли. Играет роль некорректное понимание вероятности и применимости статистики.
                                                                  А уж когда делаются попытки оценки чего-то типа «экономического» — то вообще туши свет, сливай масло…

                                                                  Закончить хотелось бы таким пассажем:
                                                                  «У любого, кто выживает в рискованном бизнесе несколько лет, есть собственная версия уже знакомого нам принципа «чтобы преуспеть, нужно сначала выжить». Моя – такова: «Не переходи реку, если она в среднем метровой глубины».… так что вероятность краха отменяет любой анализ эффективности затрат; но мне и в голову не приходило, что пробел в теории принятия решений столь ужасен.
                                                                  … Они представили свой вариант разницы между вероятностями по ансамблю и по времени… и показали, что в социальных науках ошибочна почти всякая модель, использующая вероятность. Сильно ошибочна. Очень сильно ошибочна. Чрезвычайно, смертельно ошибочна. За 250 лет с того момента, когда математик Якоб Бернулли впервые создал модель принятия решений в условиях неопределенности, ставшую впоследствии стандартной, почти все, кто ее применял, совершали грубую ошибку, упуская из виду эффект разницы между совокупностью объектов (ансамблем) и временем.»
                                                                  Так что есть простор для совершенствования. Все социальные науки, как минимум.
                                                                  Да и куча работ, основанных на статистике вероятности по «совокупности объектов (ансамблем) и во времени» в физике, химии и иных естественных науках вероятно тоже.
                                                                    0
                                                                    в социальных науках ошибочна почти всякая модель, использующая вероятность. Сильно ошибочна.


                                                                    Есть большое отличие «мягких наук» от физики. В физике есть элементарные объекты, поведение которых вычисляется с огромной отчностью — до 10 знаков после запятой. К тому же этих объектов оооочень много и все они одинаковы.

                                                                    А в социологии элементарной единицей является слишком сложный объект — человек и фактического материала очень мало.
                                                                      0
                                                                      В физике есть элементарные объекты,

                                                                      В общем то да. Но именно при выделении из реальности чего-то, что называется «объектом» и начинаются самые веселые чудеса.
                                                                      Поведение этого «чего-то „(объекта) проследить еще как-то можно. Но если на этот объект начинают действовать иные объекты, которые находятся за сферой измерений — то уже сложнее. А если эта связь не очевидная или изменяющаяся — то еще веселее.
                                                                      Наблюдать — можно, понять закономерности — сложнее.
                                                                      В социологии же выделить объект сложно. Но ни это главное. Поведение объекта определяется не его структурой, а связями. Причем все нелинейно, и поведение частей и связи, их наличие, их развитие во времени. Плюс плохой знание социологами мат. части. В сумме — получаем то, что описано у Талеба.
                                                                      Пример: для макроэкономики методы математической статистики неприменимы. Никак.
                                                                        0
                                                                        В общем то да. Но именно при выделении из реальности чего-то, что называется «объектом» и начинаются самые веселые чудеса.


                                                                        Наверное есть какое-то врожденное чувство. Сначала человек учится определять «я — не я», потом «он — не он» и так проецирует эти чувства на всё, что встречает. Плюс есть куча барьеров, не позволяющих воспринимать всё подряд, а только то, что вписывается в предыдущий опыт.
                                                                          0
                                                                          я — не я

                                                                          Это да. Обычно ассоциация со своим телом. С домом, с семьей. Многое зависит от культуры, от мировоззрения.
                                                                          И такая ассоциация остается долго. И это очень часто не есть хорошо.
                                                                          В психологии ассоциация «я» со своим телом изучена, и мне нравится больше всего один прикол.
                                                                          Вопрос: «Опишите самый (самый-самый!) плохой вариант событий, который может случиться».
                                                                          Часто люди приводят пример: моя смерть — это самое плохое, что может случиться. Ассоциация «я — это мое тело» (плюс иногда разум).
                                                                          Если же спросить:
                                                                          — А если вместе с тобой умрут все твои близкие люди? Это будет хуже, чем только твоя смерть?..
                                                                          — Ну да. Конечно хуже!
                                                                          — А если еще все люди на Земле?
                                                                          -… Ну да, еще хуже…

                                                                          Значит где уже граница? Она вроде бы немного расширилась.
                                                                          Выходит, что интуитивная граница «я»- по телу.
                                                                          А Разумная — может быть и больше.
                                                                          Невольно вспоминается Ошо. Осознанность, разум — расширяют границы «я», но и дают возможность заглянуть «внутрь я». И тогда само понятие «границ» просто перестает быть нужным.

                                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                              Самое читаемое