Впервые увидел этот странный график в лаборатории университета. Невзрачный листок, ксерокопированный из старой книги, был наклеен на стену рядом с роторным испарителем. Листок, очевидно, использовали часто, но берегли, словно в нём содержалось какое-то древнее могучее заклинание… Впоследствии, схожего рода графики попадались мне и в других лабораториях, словно составляли неотъемлемую часть перегонки с вакуумом. Затем похожие рисунки встречались на страницах разной технической литературы. Их называли номограммы. Научиться ими пользоваться оказалось до смешного просто, но кто и как их в своё время сделал — оставалось загадкой.
Как выглядят номограммы и как они работают
Номограмма, что часто используется при перегонке с вакуумом приведена на рисунке ниже.
Допустим, вы провели реакцию в растворителе, а теперь собираетесь его удалить (выпарить), чтобы собрать продукт реакции. Растворитель улетучивается изнурительно медленно, а чтобы ускорить процесс, вы решаете его нагреть, но вот беда — греть раствор нежелательно, так как продукт реакции от нагревания может испортиться. Создав пониженное давление, вы уменьшите температуру кипения растворителя и сумеете его отделить не причинив вреда растворенному в нем веществу. При нормальном атмосферном давлении 760 мм ртутного столба вода кипит при 100 С, однако, при давлении 40 мм кипит уже при 34 С.
А как быть с гамма-бутиролактоном, который кипит при 204 С? Отмечаем на оси "Температура кипения при 760 мм" точку 204 С, выставляем на кривой оси "Остаточное давление" 5 мм, проводим прямую до пересечения с третьей осью. Ага, значит, в этих условиях наш растворитель начнет выкипать примерно при 70 С.
Это был пример достаточно простой номограммы. Ниже я привожу более сложную. Достоинство номограмм в том, что в них умещаются довольно сложные функциональные зависимости с несколькими переменными. В самом деле, сколько бы понадобилось обычных графиков вида 
для такой задачи?
Второй момент — эмпирические формулы бывают сложны для запоминания и неудобны. Вдруг неохота доставать смартфон, искать соответствующую программу, или же вообще тащить с собой компьютер. А так — вот в заводском помещении висит психрометр для замера влажности воздуха, вот номограмма — по ней легко прикинуть влажность.
Разбираемся и делаем свои номограммы
Основания общей теории номографических построений дал Морис Окань (1884—1891) — в его же работах впервые появился термин «номограмма». Книга Traité de nomographie. Théorie des abaques. Applications pratiques доступна онлайн. Это истоки. Более краткое современное изложение принципов номографии, по которому я учился делать номограммы читайте здесь — The Lost Art of Nomography by Ron Doerfler.
Итак, начнём!
Чтобы сделать номограмму определения температуры кипения при разных давлениях нам понадобится правило Трутона: молярная энтропия испарения разных веществ при нормальной температуре кипения является постоянной величиной. Затем, уравнение Клапейрона — Клаузиуса:
где 
— энтальпия испарения, 
— газовая постоянная.
Интегрируя последнее уравнение мы получаем:
где под 
мы обозначим давление 760 мм ртутного столба, а 
— температуру кипения при этом давлении. Нас интересует температура кипения 
при пониженном давлении 
.
Правило Трутона запишем так:
Подставив последнее выражение, получим расчётную формулу:
Её и следует привести в номограмму.
Построение номограмм с pynomo
Следующий шаг — устанавливаем питон-библиотеку pynomo. Тривиально:
pip install pynomoБиблиотека умеет строить различные номограммы из десяти стандартных блоков.
Нам понадобится стандартный блок номер 2 кодирующий зависимости вида:
где 
— какая-то одномерная функциональная зависимость. Разберём простой пример.
Пусть у нас есть лабораторная центрифуга, для которой мы хотим привести номограмму соответствия числа оборотов ротора в минуту (RPM) с достигаемым центробежным ускорением. Формула следующая:
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
rpm.py
Simple nomogram of type 2: F1=F2*F3
"""
import sys
sys.path.insert(0, "..")
from pynomo.nomographer import *
N_params_RCF={
'u_min':1000.0,
'u_max':30000.0,
'function':lambda u:u,
'title':r'RCF, $\times g$',
'tick_levels':3,
'tick_text_levels':1,
'tick_side': 'left',
'scale_type':'linear smart',
'text_format': r"$%2.0f$",
}
N_params_r = {'u_min': 1.0,
'u_max': 5.0,
'function': lambda u:u,
'tick_levels': 3,
'tick_text_levels': 1,
'tick_side': 'left',
'text_format': r"$%2.0f$",
'title':r'R, cm',
'extra_params': [
{'u_min': 5.0,
'u_max': 10.0,
'tick_levels': 2,
'tick_text_levels': 1,
'tick_side': 'right',
'text_format': r"$%2.0f$",},
{'u_min': 10.0,
'u_max': 40.0,
'scale_type': 'manual line',
'manual_axis_data': {10.0: r'10',
12.0: r'12',
14.0: r'14',
16.0: r'16',
20.0: r'20',
24.0: r'24',
30.0: r'30',
40.0: r'40'},
},
],
}
N_params_RPM={
'u_min': 1000.0,
'u_max':20000.0,
'function':lambda u:u*u*1.1182e-5,
'title':r'RPM',
'tick_levels':3,
'tick_text_levels':1,
'scale_type':'linear smart',
'text_format': r"$%2.0f$",
}
block_1_params={
'block_type':'type_2',
'mirror_y':True,
'width':10.0,
'height':10.0,
'f1_params':N_params_RCF,
'f2_params':N_params_r,
'f3_params':N_params_RPM,
'isopleth_values':[['x',10.0,15200]],
}
main_params={
'filename':'RPM.pdf',
'paper_height':10.0,
'paper_width':10.0,
'block_params':[block_1_params],
'transformations':[('rotate',0.01),('scale paper',)],
'title_str':r'$a=r\times \omega^2$'
}
Nomographer(main_params)Функция 
записывается строкой:
'function':lambda u:u*u*1.1182e-5,Программа построит номограмму в файл RPM.pdf, ниже на рисунке.
Пунктирная линия называется изоплета — она показывает, как пользоваться номограммой для расчёта достигаемого ускорения (в единицах g) при данной геометрии ротора (радиус вращения) и числа оборотов в минуту (RPM).
Почему этот график так работает? Смотрите чертеж.
Из него видно, что треугольники ABC и CDE — подобны. Следовательно:
где L — длина BD, она задана. Пользуясь этим соотношением, можно построить шкалу на L.
Зная этот принцип, мы можем построить номограмму для соотношения
что даст нам номограмму для роторного вакуумного испарителя:
Усложняем номограмму
Теперь, разобравшись с простым примером, перейдем к более сложной зависимости. Воспользуемся уточненным правилом Trouton–Hildebrand–Everett:
В статье Some calculations for organic chemists: boiling point variation, Boltzmann factors and the Eyring equation. Tetrahedron Letters 41 (2000) 9879–9882 говорится, что для неё не так то просто создать номограмму. Вот и выясним!
Запишем новую зависимость для номограммы:
Она попадает под случай блока типа 10
Теперь ось в середине номограммы может быть не только прямолинейной. Записываем код.
from math import log
from pynomo.nomographer import *
import sys
sys.path.insert(0, "..")
Pressure = {
'u_min': 1.0,
'u_max': 760.0,
'function': lambda u: log(u / 760.0),
'title_y_shift': 0.55,
'title': r'Pressure, mmHg',
'tick_levels': 3,
'tick_text_levels': 2,
'scale_type': 'log smart',
}
BP_guess = {
'u_min': 0.0,
'u_max': 400.0,
'function': lambda u: 1/(u + 273.15),
'title_y_shift': 0.55,
'title': r'B.P. estimated',
'tick_levels': 4,
'tick_text_levels': 2,
'scale_type': 'linear smart',
}
BP_at_atm = {
'u_min': 0.0,
'u_max': 700.0,
'function_3': lambda u: (u + 273.15)*(4.5 + log(u + 273.15)),
'function_4': lambda u: -(4.5 + log(u + 273.15)),
'title_y_shift': 0.55,
'title': r'B.P. at 760 mmHg',
'tick_levels': 4,
'tick_text_levels': 2,
'scale_type': 'linear smart',
}
block_1_params = {
'block_type': 'type_10',
'width': 10.0,
'height': 10.0,
'f1_params': Pressure,
'f2_params': BP_guess,
'f3_params': BP_at_atm,
'isopleth_values': [[10, 'x', 204]]
}
main_params = {
'filename': 'ex_type10_nomo_1.pdf',
'paper_height': 10.0,
'paper_width': 10.0,
'block_params': [block_1_params],
'transformations': [('rotate', 0.01), ('scale paper',)],
'title_y': 0.55,
'title_str': r'Boiling point estimation, $\Delta S_{vap} = R(4.5 + \ln T)$'
}
Nomographer(main_params)Вуаля!
Заключение
Номограммы, как и работающие по схожему принципу логарифмические линейки и другие аналоговые устройства остались в далеком прошлом. Однако, не стоит о них совсем забывать — возможно, вы найдете им новые применения. Или, по крайней мере, найдете их интересным математическим развлечением. Пишите в комментариях о своем опыте.
Облачные серверы от Маклауд быстрые и безопасные.
Зарегистрируйтесь по ссылке выше или кликнув на баннер и получите 10% скидку на первый месяц аренды сервера любой конфигурации!
