Чествуем игривое волшебство Джона Хортона Конвея

Автор оригинала: www.quantamagazine.org
  • Перевод

Всем привет. В преддверии старта продвинутого курса "Математика для Data Science", подготовили для вас перевод статьи, которая была написана в память о легендарном математике Джоне Хортоне Конвее.


Предлагаем вам развлечь себя, решая числовую головоломку, геометрический пазл, а также играя в игру со случайными узорами, вдохновленные игривым гением легендарного математика.

Легендарный математик Джон Хортон Конвей, умерший в апреле от COVID-19, по-детски искренне увлекался изобретением головоломок и игр. Он провел подробный анализ многих головоломок, таких как кубик Сома, пасьянс с колышками и солдаты Конвея. Он изобрел «алгоритм судного дня» (быстрый метод вычисления дня недели в вашей голове - Конвей мог сделать это менее чем за две секунды) и бесчисленное количество игр, в том числе игра ”Рассада” (Sprouts) и знаменитую игру “Жизнь”, которая положила начало изучению клеточных автоматов.

Большая часть серьезных математических работ Конвея также проистекает из его слабости к математическим играм. Он внес оригинальный вклад в теорию групп (Решётка Лича, гипотеза чудовищного вздора), многомерную геометрию, тесселяцию (мозаику), теорию узлов, теорию чисел (сюрреалистические числа), алгебру, математическую логику и анализ.

В этом месяце мы чествуем игривый гений известного британского математика двумя головоломками и исследовательской игрой. Сначала мы поиграем с числовой головоломкой, изобретенной Конвеем, которая без лишней скромности является воплощением самого совершенства. Затем насладимся геометрическим пазлом, относящимся к некоторым из его наиболее визуально доставляющих работ. И наконец, мы погрузимся в игру с открытым финалом, созданную читателем Quanta, которая напоминает культовую игру “Жизнь” Конвея.

Головоломка 1: Цифровое совершенство

Существует загадочное десятичное 10-значное число abcdefghij. Все его цифры разные, и они обладают следующими свойствами:

  • a делится на 1

  • ab делится на 2

  • abc делится на 3

  • abcd делится на 4

  • abcde делится на 5

  • abcdef делится на 6

  • abcdefg делится на 7

  • abcdefgh делится на 8

  • abcdefghi делится на 9

  • abcdefghij делится на 10

Какое это число?

Прежде чем приступить к решению этой головоломки, уделите минутку, чтобы полюбоваться абсолютным совершенством ее формы. Он излагается совершенно естественно, без малейших произвольностей или ухищрений. Прочитав первые два условия, вы точно знаете, в чем будет заключаться остальная часть головоломки. А когда этот естественный набор условий результирует в уникальном ответе, это просто восхитительно. Для меня, как создателя головоломок, эта головоломка с подстановкой цифр вызывает то же чувство, которое Моцарт внушал Эйнштейну, который сказал, что музыка Моцарта «была настолько чистой, что казалось, что она всегда присутствовала во Вселенной, ожидая, чтобы ее открыл мастер. » Только такой численно одаренный человек, как Конвей, мог уловить такую ​​совершенную  платоническую форму из райского сада головоломок!

Вы, конечно, можете решить эту головоломку, совершив поиск методом перебора с помощью компьютера, но это совсем не обязательно. Я призываю вас сделать это с помощью карандаша и бумаги. Все головоломки с подстановкой цифр такого типа могут быть решены с помощью двухэтапного процесса, знакомого тем, кто решал судоку: сначала вы устанавливаете отношения между цифрами, что сужает возможности, а затем вы проводите систематический поиск неизвестных цифр методом проб и ошибок. Здесь вам следует использовать уловки, которым вы научились в школе, чтобы определить, делится ли число на данную цифру. Если вы выжмите максимум из условий головоломки, у вас не останется слишком много кандидатов для поиска методом проб и ошибок.

Если же вы хотите усложнить себе задачу, попробуйте решить эту головоломку полностью в своей голове. В конце концов, Конвей был известен тем, что решал математические задачи «голыми руками». Это требует большого внимания и терпения, но я уверяю вас, что это возможно.

Головоломка 2: Двойственные треугольники

Есть равнобедренный треугольник, который содержит угол равный x градусов. Отношение двух сторон разной длины равно y.

Оказывается, не один, а целых два разных треугольника имеют одинаковые значения x и y!

Каковы значения x и y для этих двух равнобедренных треугольников? Что особенного в этих треугольниках и какое отношение они имеют к творчеству Конвея?

Для нашей последней головоломки вам снова понадобятся бумага и карандаш. Будет даже лучше, если вы возьмете несколько листов в клетку. Это игра, которая погрузит вас в образ мышления Конвея - вы будете рисовать небольшие диаграммы и создавать различные структуры, как это делал он в своих играх “Рассада” и “Жизнь”. Наша игра, которая создает структуры, подобные полимино, была предоставлена Quanta читателем по имени Jona Raphael.

Головоломка 3: Случайные волосатые узоры

У вас есть бесконечная плоскость, на которой вы размещаете квадратные тайлы. Вы должны поочередно добавлять новые тайлы случайным образом, так чтобы каждый новый тайл имел по крайней мере одно общее ребро с ранее размещенным тайлом. Вероятность размещения тайла в любом конкретном месте пропорциональна количеству ребер ранее размещенных тайлов, которые граничат с этим местом.

Рассмотрим два примера:

  • Если у вас пока есть только один тайл, то второй тайл имеет равную вероятность оказаться на севере, юге, востоке или западе от исходного тайла.

  • Если у вас есть кольцо из восьми тайлов, то есть 12 позиций вокруг внешних сторон кольца и одна позиция в середине, и все они действительны для размещения следующего тайла. Для той, что посередине, вероятность получит тайл в четыре раза больше, чем для любой внешней подходящей позиции, потому что у нее четыре общих края с ранее размещенными тайлами, а не только одна.

Мы оцениваем “волосатость” (H, потому что в оригинале используется “hairiness”) или “внешность” любой конфигурации как количество открытых ребер тайлов, деленное на количество тайлов. Например:

  • Для одного тайла на плоскости H = 4 ребра ÷ 1 тайл = 4.

  • Для кольца из восьми тайлов H = 16 ребер ÷ 8 тайлов = 2.

  • Для ряда из восьми тайлов H = 18 ребер ÷ 8 тайлов = 2,25.

Величину, обратную H, можно назвать “внутренностью” или компактностью конфигурации.

Цель этой игры - чистое исследование. В отличие от большинства игр, к которым мы привыкли, исключая игру «Жизнь» Конвея, это «бесконечная игра без игрока», как Конвей описывал свое творение. Для меня динамика нашей игры напоминает то, как взрослые дети уравновешивают свое желание оставаться рядом со своими родителями с желанием действовать самостоятельно. Параметр H является мерой того, насколько они расходятся, оставаясь при этом в минимальном контакте, в то время как его обратная величина, внутренность, является мерой того, насколько они сплачиваются.

(В этом видео 2014 года Numberphile(числофил) Джон Конвей рассказывает, как он создавал игру “Жизнь”.)

Вот несколько вопросов, которые направят ваше исследование этого квадратного мира.

  1. Новый тайл может быть помещен рядом с одним ребром (касаясь только одного другого тайла), в углу (касаясь двух), внутри буквы «U» (касаясь трех) или внутри отверстия (касаясь всех четырех). Как каждое размещение влияет на количество открытых ребер в новой конфигурации (узоре)?

  2. Каковы минимальные и максимальные значения H и каким типам тайловых узоров они соответствуют? Можете ли вы придумать приблизительную или точную формулу для максимального и минимального значений H по мере увеличения количества тайлов (n)?

  3. Какое ожидаемое значение H (приблизительное или точное) для данного значения n?

  4. Найдите наименьший узор, которая является «сбалансированным», так что добавление следующего тайла с такой же вероятностью увеличивает количество открытых ребер, как и уменьшает его. Сможете ли вы найти симметричный узор, обладающую этим свойством?

  5. Найдите наименьший узор, для которой ожидаемое значение H остается неизменным после добавления еще одного тайла. Для какого следующего наименьшего по количеству тайлов узора справедливо это свойство?

Вот и все для начала. Теперь вы можете исследовать эту игру самостоятельно. Попробуйте найти ответы на несколько новых интересных вопросов. Может быть, вы найдете новую структуру (пожалуйста, поделитесь изображения интересных узоров!) Или даже докажете теорему. И пока вы это делаете, предложите название этой игре.

Играйте - подарите духу Конвея улыбку!

Узнать подробнее о курсе.

OTUS. Онлайн-образование
Цифровые навыки от ведущих экспертов

Комментарии 23

    +2
    Первая задача заинтересовала, но путём логических умозаключений пока удалось установить немногое:

    j = 0
    e = 5
    b, d, f, h — чётные
    a, c, g, i — нечётные
    d + f = 10 (т.е. эти две цифры комбинация 2/8 или 4/6)
    (a+b+c) делится на 3
    (g + h + i) делится на 3

    Надо ещё подумать :-)
      +1
      Кажется, вот тут ещё немного полезностей есть: Признаки делимости
        +8
        Продолжаем рассуждения.
        cd = 0 (mod 4), и мы знаем, что c нечетное, d — четное. Отсюда d не может быть 4 и 8, только 2 или 6.
        Значит число имеет вид abc258ghi0 или abc654ghi0.
        Раз abcdefgh = 0 (8), то и fgh = 0 (8). f у нас или 8 или 4, что не влияет и получается, что необходимо gh = 0 (8). Вспоминаем о четности и gh есть только три варианта 16, 32, 72.
        Собираем варианты с предыдущими знаниями:
        abc25816i0
        abc65432i0
        abc65472i0
        Выпишем оставшиеся цифры рядом с этими вариантами и в скобочках укажем значение по модулю 3.
        abc25816i0 3479 (0110)
        abc65432i0 1789 (1120)
        abc65472i0 1389 (1020)
        Очевидно, что для первого варианта мы не соберем тройку abc = 0 (3). Осталось всего 8 вариантов:
        18965432i0
        98165432i0
        78965432i0
        98765432i0
        18365472i0
        38165472i0
        18965472i0
        98165472i0
        Здесь я бессовестно взял калькулятор и проверил какое число из семи цифр делится нацело на 7. Оказалось это 3816547.
        Ну и итоговый ответ: 3816547290.
          0
          d + f = 10 (т.е. эти две цифры комбинация 2/8 или 4/6)

          Откуда вот это утверждение?
            +2

            Потому abcdef делится на шесть, то есть и на три. То есть сумма этих шести цифр делится на три. Но abc само делится на три, значит d+e+f должно делится на три. А e=5. Отсюда d+f=10, иначе на три делиться не будет

          0
          del
          0
          Для треугольников аналитическое решение существует?
            0
            существует. Я поленился и последнее уравнение вбил в wolframalpha, но он мне выдал вполне аналитическое решение.
              0
              кстати, оно вполне одно, и x=36°
                0
                Если не секрет, как уравнение выглядело?
                В моих решениях использовались такие:
                х = 2cosx
                х = (2cosx)^(-1)
                Конечно, с коэффициентом перевода градусы-радианы
                  0
                  Тут школьная тригонометрия:
                  1. равнобедренный треугольник, угол при вершине x. Пусть основание — a, боковая сторона b. Получаем (a/2)/b=sin(x/2). Ну и a/b=y.
                  2. равнобедренный треугольник, угол при основании x. Пусть основание — c, боковая сторона d. Получаем (c/2)/d=cos(x). Ну и d/c=y.

                  Отсюда sin(x/2)cos(x)=1/4. Потом формула для двойного угла, получается какой-то многочлен от cos(x/2). Или можно подставить, как я сделал, в wolframalpha и он выдаст пять (вроде?) корней для x, из которого углом треугольника может быть только π/5
                    0
                    Здесь:
                    1. равнобедренный треугольник, угол при вершине x. Пусть основание — a, боковая сторона b. Получаем (a/2)/b=sin(x/2). Ну и a/b=y.
                    2. равнобедренный треугольник, угол при основании x. Пусть основание — c, боковая сторона d. Получаем (c/2)/d=cos(x). Ну и d/c=y.
                    вопросов нет.

                    Как перешли к этому?
                    sin(x/2)cos(x)=1/4
                  0
                  Если «на глаз», то у равнобедренного треугольника, имеющего угол 36 градусов, где бы он ни был, отношения сторон «умеренные», то есть нет разницы в десятки раз.
              0
              Оказывается, не один, а целых два разных треугольника имеют одинаковые значения x и y!

              Строго говоря, количество таких треугольников бесконечно)
              Одно из значений х будет чуть поменьше 2-х градусов.
              Второе значение около 89,7.
                0
                не, это же очевидно, что x «чуть поменьше 2-х градусов» — неправильно. Получается очень острый равнобедренный треугольник, основание очень маленькое, отношение y «боковая сторона / основание» — очень большое. А другой равнобедренный треугольник с тем же углом x — очень плоский, отношение y «основание / боковая сторона» будет почти 2.
                0
                основание очень маленькое, отношение y «боковая сторона / основание» — очень большое.

                Это вот, разумеется, не он.
                Угол х при основании:
                А другой равнобедренный треугольник с тем же углом x — очень плоский, отношение y «основание / боковая сторона» будет почти 2.

                И чем Вам не нравится именно этот (Ваш) вариант?
                  0
                  в смысле, «этот вариант»? Там должно быть два равнобедренных треугольника, с одинаковым углом x. То есть у одного этот x — угол между боковыми сторонами, а у другого — между боковой и основанием. И отношение сторон y (основания к боковой у одного и боковой к основанию у другого) у них одинаковое.
                    0
                    Мы с Вами по-разному понимаем условие:
                    … два разных треугольника имеют одинаковые значения x и y!

                    Ваша версия прочтения:
                    Есть треугольник ABC, AB = AC, и DEF, DE = DF. В числе прочих условий:
                    угол А равен x, угол E равен тоже х. То есть А=E.

                    В моей версии треугольники друг к другу не имеют отношения. Они «разные» (из условия), но слово «одинаковые» я отношу только к у=х.

                    Если условие читать в Вашем варианте, то решений нет.
                      0
                      я прочитал условие как есть два разных равнобедренных треугольника, у первого какие-то x1 и y1, у второго свои x2 и y2. И x1=x2, y1=y2. Решение есть и оно одно.

                      Что условие может означать x=y мне как-то в голову не пришло, сейчас гляну
                        0
                        Оно на самом деле не вполне однозначно написано. Оригинал бы найти. Наверняка там же и решение для «правильной» задачи.
                          0
                          так получается куда менее интересно.
                          Решение только численное. И ответов больше двух.
                          ~7.57°
                          ~1.998°
                          ~0.5°
                          ~89.68°
                            0
                            Это я и делал. Получил 2 решения, дальше и пробовать не стал, сказано же в условии, что их 2)))
                            Альтернативный вариант условия мне и в голову не пришел. Думаю, Ваше должно быть правильным. Что это за головоломка, которая только численно решается.
                              0
                              Перевод довольно точный. В оригинале:
                              It turns out that not one but two different triangles have the exact same values of x and y!

                              И по контексту там я бы не понял, что и чему «exact same».

                    Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                    Самое читаемое