Термодинамика черных дыр

    image

    С Днем космонавтики! Мы сдали в типографию «Маленькую книгу о черных дырах». Именно в эти дни астрофизики показали всему миру как черные дыры выглядят. Совпадение? Не думаем ;) Так что ждите, скоро появится удивительная книга, которую написали Стивен Габсер и Франс Преториус, перевел замечательный пулковский астроном aka Астродед Кирилл Масленников, сделал научную редактуру легендарный Владимир Сурдин и поддержал ее издание фонд Траектория.

    Отрывок «Термодинамика черных дыр» под катом.

    До сих пор мы рассматривали черные дыры как астрофизические объекты, которые образовались при взрывах сверхновых или лежат в центрах галактик. Мы наблюдаем их косвенно, измеряя ускорения близких к ним звезд. Знаменитая регистрация гравитационных волн приемником LIGO 14 сентября 2015 г. стала примером более прямых наблюдений столкновения черных дыр. Математические инструменты, которыми мы пользуемся для достижения лучшего понимания природы черных дыр, таковы: дифференциальная геометрия, уравнения Эйнштейна и мощные аналитические и численные методы, применяемые для решения уравнений Эйнштейна и при описании геометрии пространства-времени, которое порождают черные дыры. И как только мы сможем дать полное количественное описание порождаемого черной дырой пространства-времени, с астрофизической точки зрения тема черных дыр сможет считаться закрытой. В более широкой теоретической перспективе остается еще очень много возможностей для исследования. Цель этой главы — рассказать о некоторых теоретических достижениях современной физики черных дыр, в которых идеи термодинамики и квантовой теории объединяются с общей теорией относительности, порождая неожиданные новые концепции. Основная идея заключается в том, что черные дыры не просто геометрические объекты. У них есть температура, они обладают огромной энтропией и могут демонстрировать проявления квантовой запутанности. Наши рассуждения о термодинамических и квантовых аспектах физики черных дыр будут более отрывочными и поверхностными, чем представленный в предыдущих главах анализ чисто геометрических особенностей пространства‑времени в черных дырах. Но и эти, и в особенности квантовые, аспекты являются существенной и жизненно важной частью ведущихся теоретических исследований черных дыр, и мы очень постараемся передать если не сложные детали, то по крайней мере дух этих работ.

    В классической общей теории относительности — если говорить о дифференциальной геометрии решений уравнений Эйнштейна — черные дыры являются истинно черными в том смысле, что из них ничто не может выбраться наружу. Стивен Хокинг показал, что эта ситуация полностью меняется, когда мы принимаем во внимание квантовые эффекты: черные дыры, оказывается, испускают излучение определенной температуры, известной как температура Хокинга. Для черных дыр астрофизических размеров (то есть от черных дыр звездных масс до сверхмассивных) температура Хокинга пренебрежимо мала по сравнению с температурой космического микроволнового фона — излучения, заполняющего всю Вселенную, которое, кстати, само может рассматриваться как вариант излучения Хокинга. Расчеты, выполненные Хокингом для определения температуры черных дыр, являются частью более обширной программы исследований в области, называемой термодинамикой черных дыр. Другую большую часть этой программы составляет изучение энтропии черных дыр, которая характеризует количество информации, теряющейся внутри черной дыры. Обычные объекты (такие, как кружка воды, брусок из чистого магния или звезда) тоже обладают энтропией, и одним из центральных утверждений термодинамики черных дыр является то, что черная дыра данного размера обладает большей энтропией, чем любая другая форма материи, которую можно вместить в область такого же размера, но без образования черной дыры.

    Но прежде чем мы глубоко погрузимся в разбор проблем, связанных с излучением Хокинга и энтропией черных дыр, давайте предпримем быстрый экскурс в области квантовой механики, термодинамики и запутанности. Квантовая механика была разработана в основном в 1920-х годах, и ее основной целью было описание очень маленьких частиц материи, таких как атомы. Разработка квантовой механики привела к размыванию таких базовых понятий физики, как точное положение индивидуальной частицы: оказалось, например, что положение электрона при его движении вокруг атомного ядра не может быть точно определено. Вместо этого электронам были приписаны так называемые орбиты, на которых их действительные положения могут быть определены только в вероятностном смысле. Для наших целей, однако, важно не переходить к этой — вероятностной — стороне дела слишком быстро. Возьмем простейший пример: атом водорода. Он может находиться в определенном квантовом состоянии. Самое простое состояние водородного атома, называемое основным, — это состояние с наименьшей энергией, и эта энергия точно известна. В более общем смысле, квантовая механика позволяет нам (в принципе) знать состояние любой квантовой системы абсолютно точно.

    Вероятности выходят на сцену, когда мы задаем определенного вида вопросы о квантово-механической системе. Например, если определенно известно, что атом водорода находится в основном состоянии, мы можем спросить: «Где находится электрон?» и по законам квантовой
    механики получим на этот вопрос лишь некоторую оценку вероятности, приблизительно что‑то вроде: «вероятно, электрон находится на расстоянии до половины ангстрема от ядра атома водорода» (один ангстрем равен image метров). Но у нас есть возможность посредством определенного физического процесса найти положение электрона гораздо точнее, чем до одного ангстрема. Этот довольно обычный в физике процесс состоит в том, чтобы запустить в электрон фотон с очень короткой длиной волны (или, как говорят физики, рассеять фотон на электроне) — после этого мы сможем реконструировать местоположение электрона в момент рассеяния с точностью, примерно равной длине волны фотона. Но этот процесс изменит состояние электрона, так что после этого он уже не будет находиться в основном состоянии водородного атома и не будет иметь точно определенной энергии. Зато на некоторое время его положение будет почти точно определено (с точностью до длины волны использованного для этого фотона). Предварительная оценка положения электрона может быть проведена только в вероятностном смысле с точностью около одного ангстрема, но как только мы измерили его, мы точно знаем, чему оно было равно. Короче говоря, если мы некоторым способом измеряем квантово-механическую систему, то, по крайней мере в общепринятом смысле, мы «насильно» придаем ей состояние с определенным значением величины, которую измеряем.

    Квантовая механика приложима не только к малым, но и (как мы полагаем) ко всем системам, однако для больших систем квантово-механические правила быстро становятся очень сложными. Ключевой концепцией является квантовая запутанность, простым примером которой может служить понятие спина (вращения). Индивидуальные электроны обладают спином, поэтому на практике единичный электрон может иметь спин, направленный вверх или вниз по отношению к выбранной пространственной оси. Спин электрона является наблюдaемой величиной, потому что электрон порождает слабое магнитное поле, подобное полю магнитного бруска. Тогда спин, направленный вверх, означает, что северный полюс электрона указывает вниз, а спин, направленный вниз, означает, что северный полюс «смотрит» вверх. Два электрона могут быть поставлены в сопряженное квантовое состояние, в котором у одного из них спин направлен вверх, а у другого вниз, но сказать, у какого из электронов какой спин, при этом невозможно. В сущности, в основном состоянии атома гелия два электрона находятся именно в таком состоянии, называемом спин-синглетным, так как суммарный спин обоих электронов равен нулю. Если мы разделим эти два электрона, не меняя их спинов, то сможем продолжать утверждать, что они вместе спин-синглетны, но по-прежнему не сможем сказать, каков будет спин у любого из них по отдельности. Вот если мы измерим один из их спинов и установим, что он направлен вверх, тогда мы будем полностью уверены, что второй направлен вниз. В этой ситуации мы говорим, что спины запутаны — ни один сам по себе не имеет определенного значения, в то время как вместе они находятся в определенном квантовом состоянии.

    Эйнштейна очень беспокоило явление запутанности: оно, казалось, угрожает основным принципам теории относительности. Рассмотрим случай двух электронов в спин-синглетном состоянии, когда они отстоят далеко друг от друга в пространстве. Для определенности, пусть один из них возьмет себе Алиса, а другой — Боб. Допустим, что Алиса измерила спин своего электрона и обнаружила, что он направлен вверх, а Боб ничего измерять не стал. Пока Алиса не выполнила свое измерение, невозможно было сказать, каков спин его электрона. Но как только она свое измерение завершила, она абсолютно точно узнала, что спин электрона Боба направлен вниз (в направлении, обратном направлению спина ее собственного электрона). Значит ли это, что ее измерение мгновенно перевело электрон Боба в состояние, когда его спин направлен вниз? Как это могло произойти, если электроны пространственно разделены? Эйнштейн и его сотрудники Натан Розен и Борис Подольский чувствовали, что история с измерением запутанных систем настолько серьезна, что угрожает самому существованию квантовой механики. Сформулированный ими парадокс Эйнштейна—Подольского—Розена (ЭПР) использует мысленный эксперимент, похожий на тот, что мы сейчас описали, чтобы сделать вывод: квантовая механика не может быть полным описанием реальности. Сейчас на основании последовавших за этим теоретических изысканий и множества измерений установилось общее мнение, что ЭПР-парадокс содержит ошибку, а квантовая теория верна. Квантово-механическая запутанность реальна: измерения запутанных систем будут коррелировать, даже если эти системы далеко разнесены в пространстве-времени.

    Вернемся к ситуации, где мы поставили два электрона в спин-синглетное состояние и раздали их Алисе и Бобу. Что мы можем сказать об электронах до того, как проведены измерения? Что оба вместе они находятся в определенном квантовом состоянии (спин-синглетном). Спин Алисиного электрона с одинаковой вероятностью направлен вверх или вниз. Точнее, квантовое состояние ее электрона с одинаковой вероятностью может быть одним (спином вверх) или другим (спином вниз). Теперь для нас понятие вероятности приобретает более глубокий смысл, чем раньше. Прежде мы рассматривали определенное квантовое состояние (основное состояние атома водорода) и видели, что есть некоторые «неудобные» вопросы, такие, например, как «Где находится электрон?», — вопросы, ответы на которые существуют только в вероятностном смысле. Если бы мы задавали «хорошие» вопросы, например: «Какова энергия этого электрона?», мы получали бы на них определенные ответы. Теперь же нет «хороших» вопросов, которые мы могли бы задать об Алисином электроне, ответы на которые не зависели бы от электрона Боба. (Мы не говорим о глупых вопросах вроде «А есть ли у Алисиного электрона вообще спин?» — вопросах, на которые существует только один ответ.) Таким образом, для определения параметров одной из половин запутанной системы нам придется использовать вероятностный язык. Определенность возникает только, когда мы рассматриваем связь между вопросами, которые могут задать о своих электронах Алиса и Боб.

    Мы нарочно начали с одной из простейших квантово-механических систем, которые нам известны: системы спинов индивидуальных электронов. Есть надежда, что на базе подобных простых систем будут построены квантовые компьютеры. Система спинов индивидуальных электронов или другие эквивалентные квантовые системы сейчас называются кубитами (сокращение от «квантовые биты»), что подчеркивает их роль в квантовых компьютерах, аналогичную роли, которую играют обычные биты в компьютерах цифровых.

    Представим себе теперь, что мы заменили каждый электрон гораздо более сложной квантовой системой со многими, а не только двумя квантовыми состояниями. Например, дали Алисе и Бобу бруски из чистого магния. Прежде чем Алиса и Боб разойдутся по своим делам в разные стороны, их бруски могут взаимодействовать, и мы договоримся, что при этом они приобретают определенное общее квантовое состояние. Как только Алиса и Боб расходятся, их магниевые бруски перестают взаимодействовать. Как и в случае с электронами, каждый брусок находится в неопределенном квантовом состоянии, хотя вместе, как мы считаем, они образуют состояние вполне определенное. (В этом обсуждении мы предполагаем, что Алиса и Боб способны перемещать свои магниевые бруски, никак не нарушая их внутреннего состояния, точно так же как прежде мы предполагали, что Алиса и Боб могли разделять свои запутанные электроны, не меняя их спинов.) Но различие между этим мысленным экспериментом и экспериментом с электронами заключается в том, что неопределенность квантового состояния каждого бруска огромна. Брусок вполне может приобрести больше квантовых состояний, чем число атомов во Вселенной. Вот тут‑то на сцену и выходит термодинамика. Очень неточно определенные системы могут, тем не менее, иметь некоторые хорошо определенные макроскопические характеристики. Такой характеристикой является, например, температура. Температура — это мера того, с какой вероятностью любая часть системы имеет определенную среднюю энергию, причем более высокая температура соответствует большей вероятности иметь большую энергию. Другой термодинамический параметр — энтропия, по сути, равная логарифму количества состояний, которые система может принимать. Еще одна термодинамическая характеристика, которая была бы существенна для бруска магния, — это его суммарная намагниченность, то есть, в сущности, параметр, показывающий, насколько больше в бруске может быть электронов со спином, направленным вверх, чем со спином, направленным вниз.

    Мы привлекли к нашему рассказу термодинамику как способ описывать системы, квантовые состояния которых точно неизвестны из-за их запутанности с другими системами. Термодинамика — мощный инструмент анализа таких систем, но ее создатели вовсе не предполагали такого ее применения. Сади Карно, Джеймс Джоуль, Рудольф Клаузиус были деятелями промышленной революции XIX столетия, и интересовал их самый практический из всех вопросов: как работают двигатели? Давление, объем, температура и теплота — плоть и кровь двигателей. Карно установил, что энергия в виде теплоты никогда не может быть полностью превращена в полезную работу вроде подъема грузов. Часть энергии всегда будет расходоваться впустую. Клаузиус внес основной вклад в создание идеи энтропии как универсального инструмента определения энергетических потерь в ходе любого процесса, связанного с теплотой. Главным его достижением было осознание того, что энтропия никогда не уменьшается — почти во всех процессах она растет. Процессы, в которых энтропия увеличивается, называются необратимыми — именно потому, что они не могут пойти вспять без уменьшения энтропии. Следующий шаг на пути развития статистической механики был сделан Клаузиусом, Максвеллом и Людвигом Больцманом (в числе многих других) — они показали, что энтропия является мерой беспорядка. Обычно чем больше вы действуете на что‑то, тем больше вносите туда беспорядка. И даже если вы разработали процесс, целью которого является наведение порядка, в ходе его неизбежно образуется больше энтропии, чем будет уничтожено, — например, при выделении теплоты. Подъемный кран, который укладывает стальные балки в идеальном порядке, создает упорядоченность в смысле расположения балок, но в ходе его работы выделится столько тепла, что общая энтропия все равно растет.

    Но всё же отличие взгляда на термодинамику физиков XIX века от взгляда, связанного с квантовой запутанностью, не так велико, каким кажется. Каждый раз, когда система взаимодействует с внешним агентом, ее квантовое состояние запутывается с квантовым состоянием агента. Обычно эта запутанность ведет к увеличению неопределенности квантового состояния системы, другими словами, к росту числа квантовых состояний, в которых система может находиться. В результате взаимодействия с другими системами энтропия, определяемая в терминах количества доступных системе квантовых состояний, как правило, растет.

    В общем, квантовая механика дает новый способ характеризовать физические системы, в которых некоторые параметры (например, положение в пространстве) становятся неопределенными, зато другие (например, энергия) часто известны точно. В случае квантовой запутанности две принципиально раздельные части системы имеют известное общее квантовое состояние, а каждая часть по отдельности — состояние неопределенное. Стандартный пример запутанности — пара спинов в синглетном состоянии, в котором невозможно сказать, какой спин направлен вверх, а какой — вниз. Неопределенность квантового состояния в большой системе требует термодинамического подхода, при котором макроскопические параметры, такие как температура и энтропия, известны с большой точностью, несмотря на то что у системы существует множество возможных микроскопических квантовых состояний.

    Закончив наш краткий экскурс в область квантовой механики, запутанности и термодинамики, попробуем теперь понять, как всё это приводит к пониманию того факта, что черные дыры имеют температуру. Первый шаг к этому сделал Билл Унру — он показал, что ускоряющийся наблюдатель в плоском пространстве будет обладать температурой, равной своему ускорению, деленному на 2π. Ключ к вычислениям Унру в том, что наблюдатель, движущийся с постоянным ускорением в определенном направлении, может видеть только половину плоского пространства‑времени. Вторая половина, по сути, находится за горизонтом, подобным горизонту черной дыры. Сначала это выглядит невозможным: как может плоское пространство-время вести себя как горизонт черной дыры? Чтобы понять, как это выходит, призовем на помощь наших верных наблюдателей Алису, Боба и Билла. По нашей просьбе они выстраиваются в линию, причем Алиса оказывается между Бобом и Биллом, а между наблюдателями в каждой паре расстояние составляет ровно 6 километров. Договорились, что в нулевой момент времени Алиса прыгнет в ракету и полетит в сторону Билла (а значит, от Боба) с постоянным ускорением. Ракета у нее очень хорошая, способная развивать ускорение в 1,5 триллиона раз больше гравитационного ускорения, с которым движутся объекты вблизи поверхности Земли. Конечно, выдерживать такое ускорение Алисе нелегко, но, как мы сейчас увидим, эти цифры выбраны с определенной целью; в конце концов, мы просто обсуждаем потенциальные возможности, вот и всё. Ровно в тот момент, когда Алиса прыгает к себе в ракету, Боб и Билл машут ей рукой. (Мы вправе употреблять выражение «ровно в тот момент, когда…», потому что пока Алиса еще не начала полет, она находится в той же системе отсчета, что и Боб с Биллом, так что все они вполне могут синхронизировать свои часы.) Машущего ей Билла Алиса, конечно, видит: правда, находясь в ракете, она увидит его раньше, чем это случилось бы, если бы она оставалась там, где была, ведь ее ракета вместе с ней летит именно к нему. От Боба же она, наоборот, удаляется, так что мы можем резонно предположить, что она увидит, как он ей машет, несколько позже, чем увидела бы, останься она на прежнем месте. Но истина еще более удивительна: Боба она вообще не увидит! Иначе говоря, фотоны, которые летят от машущего рукой Боба к Алисе, никогда ее не догонят, даже учитывая, что она никогда не сможет достичь скорости света. Если бы Боб начал махать, находясь чуть ближе к Алисе, тогда фотоны, которые улетели от него в момент ее отправления, ее бы настигли, а если бы он находился чуть дальше, то тем более не настигли бы. Именно в этом смысле мы говорим, что Алисе видна только половина пространства-времени. На момент, когда Алиса начинает движение, Боб находится чуть-чуть дальше горизонта, который наблюдает Алиса.

    В нашем обсуждении квантовой запутанности мы уже привыкли к идее, что даже если квантово-механическая система в целом обладает определенным квантовым состоянием, какие-то ее части могут им не обладать. На самом деле, когда мы обсуждаем сложную квантовую систему, какая-то ее часть может быть наилучшим образом охарактеризована именно в рамках термодинамики: ей может быть приписана вполне определенная температура, несмотря на в высшей степени неопределенное квантовое состояние всей системы. Наша последняя история с участием Алисы, Боба и Билла немного похожа на эту ситуацию, но квантовая система, о которой мы здесь говорим, является пустым пространством-временем, и Алиса видит только его половину. Оговоримся, что пространство-время в целом находится в своем основном состоянии, что означает отсутствие в нем частиц (конечно, не считая Алисы, Боба, Билла и ракеты). Но та часть пространства-времени, которую видит Алиса, будет находиться не в основном состоянии, а в состоянии, запутанном с той его частью, которой она не видит. Воспринимаемое Алисой пространство-время находится в сложном неопределенном квантовом состоянии, характеризуемом конечной температурой. Вычисления Унру показывают, что эта температура составляет примерно 60 нанокельвинов. Коротко говоря, по мере своего ускорения Алиса как бы окунается в теплую ванну излучения с температурой, равной (в соответствующих единицах) ускорению, деленному на image

    image


    Рис. 7.1. Алиса движется с ускорением из состояния покоя, в то время кaк Боб и Билл остаются неподвижными. Ускорение Алисы как раз такое, чтобы она никогда не увидела фотонов, которые отправляет в ее сторону Боб в момент t = 0. Однако она получает фотоны, которые в момент t = 0 ей послал Билл. В результате получается, что Алиса способна наблюдать только одну половину пространства‑времени.

    Странность вычислений Унру состоит в том, что хотя они от начала до конца относятся к пустому пространству, они противоречат известным словам короля Лира «из ничего не выйдет ничего». Как может пустое пространство быть столь сложным? Откуда в нем могут взяться частицы? Дело в том, что согласно квантовой теории пустое пространство отнюдь не пустое. В нем здесь и там постоянно появляются и исчезают короткоживущие возбуждения, называемые виртуальными частицами, энергия которых может быть и положительной, и отрицательной. Наблюдатель из далекого будущего — назовем ее Кэрол, — которая способна видеть практически всё пустое пространство, может подтвердить, что в нем нет продолжительно существующих частиц. При этом присутствие частиц с положительной энергией в той части пространства-времени, которую Алиса может наблюдать, благодаря квантовой запутанности связано с возбуждениями равной и противоположной по знаку энергии в ненаблюдаемой для Алисы части пространства‑времени. Вся правда о пустом пространстве-времени в целом открыта для Кэрол, и эта истина в том, что там нет частиц. Однако опыт Алисы говорит ей, что частицы там есть!

    Но тогда выходит, что вычисленная Унру температура, похоже, просто фикция — она является не столько свойством плоского пространства как такового, сколько свойством наблюдателя, испытывающего в плоском пространстве постоянное ускорение. Однако и само тяготение является такой же «фиктивной» силой в том смысле, что «ускорение», которое им вызывается, есть не что иное, как движение по геодезической в искривленной метрике. Как мы уже объясняли в главе 2, эйнштейновский принцип эквивалентности состоит в том, что ускорение и тяготение, в сущности, эквивалентны. С этой точки зрения нет ничего особенно шокирующего в том, что горизонт черной дыры имеет температуру, равную вычисленной Унру температуре ускоряющегося наблюдателя. Но, можем мы спросить, какое же значение ускорения нам следует использовать для определения температуры? Удаляясь на достаточно большое расстояние от черной дыры, мы можем сделать ее гравитационное притяжение сколь угодно слабым. Следует ли из этого, что для определения измеряемой нами эффективной температуры черной дыры нам надо использовать соответствующее малое значение ускорения? Этот вопрос оказывается довольно коварным, ведь, как мы полагаем, температура объекта не может произвольно уменьшаться. Предполагается, что она обладает некоторым фиксированным конечным значением, которое может измерить даже очень удаленный наблюдатель.
    Издательский дом «Питер»
    209,00
    Компания
    Поделиться публикацией

    Комментарии 10

      0
      Если на сайте кликнуть «полистать», то можно увидеть, что подпись к рисунку на с.156 находится на с.157, при том что на с.156 внизу достаточно места для ее размещения. У этого факта есть какое-то разумное объяснение?
        0
        Кажется, я понял — с.156/157 в печатном варианте это единый разворот, и там это смотрится нормально.
        0
        Я что-то не разобрался с Биллом, Бобом и Алисой.
        В лабораторной системе отсчёта (т.е. с т.з Билла и Боба) свет Боба Алису нагонит и обгонит не позднее чем через 6 километров после пролёта Билла, т.к. скорость света она превысить не может. И если у Алисы поставить детектор взмаха Боба, который взрывает Алису, то в этой лабораторной системе она взорвётся (хоть о о-о-о-чень медленно). А в своей получается будет жить пока будет ускорятся?
        Т.е. Ахилес никогда не догонит черепаху, а Алиса (со своей т.з.) никогда пролетит лабораторную отметку в 12км от места своего старта?
          0
          В лабораторной системе отсчёта (т.е. с т.з Билла и Боба) свет Боба Алису нагонит и обгонит не позднее чем через 6 километров после пролёта Билла, т.к. скорость света она превысить не может

          Откуда такой вывод? Свету от Боба до Билла лететь в два раза дальше чем Алисе, а Алиса к тому времени будет двигаться уже с околосветовой скоростью.

          +1
          У меня была старенькая советская брошюра с таким же названием. Авторы вроде тоже советские, но я не помню. И еще пара книжечек из этой серии «Черные и белые дыры во вселенной» и, кажется, «физика черных дыр». Оттуда впервые узнал фамилии Пенроуза и Хоккинга
            0
            Я так и не понял из этого пояснения, почему ученые вдруг решили что квантовое состояние электрона вероятностно и получает конкретное состояние только при измерении и отсюда взяли парадокс с запутанностью. Почему электрон не может получить определенное состояние с какой либо вероятностью при рождении и отсюда и запутанности никакой не будет.
              +1
              Квантовое состояние как раз не вероятностно, оно точно задаётся волновой функцией. Вероятностными получаются результаты измерения отдельных классических величин.

              Почему электрон не может получить определенное состояние с какой либо вероятностью при рождении и отсюда и запутанности никакой не будет.
              Потому что проведённые эксперименты подтверждают нарушение неравенств Белла. Если бы электрон имел заранее предопределённое внутреннее состояние, неравенства бы выполнялись.
                –2
                Спасибо за ответ.

                PS что это за спорт такой на хабре — по поводу и без портить карму? Для чего еще нужны комментарии, если в них нельзя задать вопрос по теме?
                  –2
                  Он самый, спорт. Причем тот, кто вас дважды минуснул ответа как пить дать не знает.
              +2
              КДПВ ужасающе неправдоподобная.

              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.