Сверхлёгкие частицы размером с галактику

Расправившись со статьёй про «волны-убийцы», я ещё некоторое время по инерции запускал описанную там модель с различными начальными условиями. На каком-то этапе пришла мысль обобщить код на большие измерения и произвести расчёт для поля, заполненного случайными возмущениями. Результат крайне озадачил и увёл меня в совсем другое направление, заставив на несколько месяцев погрузиться в космологию и физику тёмной материи.

Оглавление

• Спектры
• Кривые вращения
• Космический микроволновый фон
• Истоки реликтового излучения
• Космическая паутина
• Гравитационная неустойчивость
• Альтернативы
• Мутная материя
• Формулы
• Рубрика «численные эксперименты»

Это четвёртая статья из цикла, посвящённого солитонике нелинейного уравнения Шрёдингера. Предыдущие работы:

• Парадокс, положивший начало научным вычислениям
• Самую холодную капельку во Вселенной уронили с высокой колокольни
• Волны, которые появляются из ниоткуда и исчезают бесследно

В двух словах: при решении нелинейного уравнения Шрёдингера методом Фурье с разделённым шагом мы получали солитонные решения — уединённые волны, самопроизвольно возникающие благодаря модуляционной нестабильности и сохраняющие форму длительное время. Но что, если в качестве начальных условий взять приподнятый фронт, покрытый мелкой рябью — гауссовым шумом, а потом подождать, пока он не устаканится?

Код

# начальная волновая функция, кол-во кадров в анимации, кол-во шагов между кадрами
function nlse_ssft!( ψ, timelayers, timesteps; 
        dt = 0.05, α = 0.5, σ = 1.0, xsteps = 128, xbox = (-10, 10) )
    # шаг по времени, дисперсия, нелинейность, 
    # количество элементов  в массиве вдоль одного измерения, границы в пространстве
    
    Nd = ndims(ψ) # мерность задачи
    Nx = size(ψ,1)
    X = range(xbox[1], length = Nx, stop=xbox[2])
    T = range(dt*timesteps, length = timelayers, step = dt*timesteps)
    dx = step(X)
    
    xcut = Nx ÷ xsteps # на выходе не весь тяжёлый массив
    xscaled = [xcut:xcut:Nx for _ in 1:Nd]
    Psi = Array{ComplexF64, Nd}[]
    
    p = im*dt*σ
    K = fftfreq(Nx) * (2π/dx)
    k² = [ sum(i-> K[i]^2, Tuple(i) ) for i in CartesianIndices(size(ψ)) ]
    eᵏ = exp.(-im*α*dt*k²)
    
    for i in 1:timelayers
        for _ = 1:timesteps
            ψ .*= exp.( p*abs2.(ψ) )
            fft!(ψ)
            ψ .*= eᵏ
            ifft!(ψ)
        end
        push!(Psi, ψ[xscaled...])
    end
    
    return X[xscaled[1]], T, Psi
end;

Появляются уединённые стоячие волны — бризеры. Но эксперимент можно повторить для двух- или трёхмерной области:

В обоих случаях возмущения филаментируются — образуют нитеподобные структуры, которые затем обрываются, скапливаются в сгустки и в конце концов вырождаются в сингулярности. В принципе такое поведение решения нелинейного уравнения Шрёдингера не должно вызывать удивления: например, оно находит применение в описании самофокусирующихся лазерных лучей-филаментов. Но ещё эта картинка напоминает (помимо складок на поверхности мозга) типичные изображения крупномасштабных структур Вселенной, которые каким-то образом связаны с тёмной материей. Что же, пришло время как следует погрузиться в эту тему.

Спектры

Starlight
I will be chasing the starlight
Until the end of my life
I don't know if it's worth it anymore
Muse

На младших курсах я ещё застал те времена, когда на технические специальности нашего провинциального вуза поступала увлечённая молодёжь, а не хвост рейтинга результатов ЕГЭ из-за низких проходных баллов. В общежитии бушевала безалаберная романтика юности и интеллекта: страстные умы жадно кидались на любую проблему, зачастую раздувая её из обыденных явлений, и схлёстывались в нескончаемых спорах. У обилия энтузиастов разных специальностей всегда можно было научиться чему-то новому: филологи расскажут про языки, радикально отличные от всего привычного, и про то, как они формируют мышление; программисты покажут, как автоматизировать расчёты в лабе и перепрошить старый принтер для печати миниатюрнейших шпор; юристы помогут выбить социальную стипендию, а о том, что творили химики с биологами, можно рассказывать часами.

Но чаще всего я засиживался у лазерщиков с радиотехниками. Возвращаясь с «птичьего рынка», они перебирали хлам, приобретённый у представителей древней могущественной цивилизации, а затем спаивали его в монструозную установку со стойким намерением получить возможность решетить лазером пивные банки. Там, играя с линзами, призмами и ртутными или натриевыми лампами, я впервые увидел атомные спектры.

Атомы — это всего лишь стабилизировавшиеся структуры из различных проявлений того, что когда-то должно быть описанным единой теорией поля. Пока мы будем воспринимать их как массивные ядра, удерживающие электроны на стационарных орбитах. Интереснее всего не сами дискретные стационарные состояния, а валюта этого квантового мира — разница между уровнями энергии. Происходит внешнее воздействие, и электронная плотность меняет конфигурацию. Затем она охотно возвращается в более энергетически выгодную форму, но каждое событие имеет цену, и электромагнитное поле получает пошлину ровно такую, сколько необходимо атому для возврата к оптимуму. И со скоростью света сведения о сделке вырисовывают гиперконус в пространстве и времени в поисках достойного наблюдателя.

Направляя луч фонарика на призму, я вижу проявление дисперсии света — пятно всех цветов радуги. Газовые лампы из коробки радиотехников не могут похвастаться таким обилием красок: видно лишь уединённые линии разных цветов — линейчатый спектр. Цвет отождествляется с частотой излучения и, следовательно, с разностью между уровнями энергии состояний, которые могут занимать электроны атомов возбуждённого газа.

Возможен и обратный процесс: белый свет (возбуждение электромагнитного поля множества различных частот), встретив на пути, скажем, облако газообразного натрия, теряет из своей братии фотоны определённых частот — тех, чьей энергии хватает ровнёхонько на конкретные электронные переходы. И тогда в радуге спектра появляются провалы, свидетельствующие о наличии на пути света некоторого вещества.

Собственно, так и были найдены натрий и другие элементы в атмосфере Солнца. Затем исследователи принялись наводить свои телескопы и спектроскопы на различные звёзды. Поначалу полученные спектры зарисовывали вручную. Позднее научились сохранять их на фотопластинах, что требовало огромную выдержку, так как снимки делались с огромной выдержкой (ха-ха) — по несколько часов нужно держать в окуляре уплывающий объект, регулируя всю эту громоздкую и чувствительную оптику.

Спектроскоп Хэггинса и фрагмент фотопластинки со спектрами абсорбции звёзд из созвездия Кормы

Полученные снимки классифицировались и каталогизировались кластером из органических компьютеров бесправной рабочей силой, а затем обобщались, анализировались и могучие умы наперебой публиковали свои объяснения содержания этих звёздных паспортов. В наше же время данные получаются и обрабатываются с помощью сложнейшего и точного оборудования.

Современные спектры звёзд с ярко выраженными линиями водорода или с обильным содержанием металлов. Источник

В статье «Почему электрон непременно должен упасть на ядро?» мы визуализировали решения уравнения Шрёдингера для атома водорода. Решение этого уравнения, помимо формы орбиталей, даёт нам собственные значения гамильтониана системы, уровни энергии, между которыми может переходить электрон. Разумеется, без учёта спина и релятивистских эффектов. Но этого достаточно, чтобы сравнить полученные линии переходов со спектрами поглощения звёздной атмосферы. Качаем данные предоставленные MUSE для какой-нибудь звёздочки, рисуем линии водорода и вуаля:

Вау. В этой звезде есть водород. А ещё спектр сдвинут в синюю область, значит звезда приближается к нам.

Более же точные измерения, скажем, линии Н-альфа помогают оценить доплеровский сдвиг, а значит скорость приближения/удаления звёзды или облака газа. А это очень важно для понимания динамики космических объектов.

Ссылки

• Из чего состоят звёзды (спектры звёзд)?
• Техника спектроскопии звёзд — первые 200 лет
• Восьмой эпизод документалки «Космос: пространство и время»
• Статья с данными по H-альфа для различных звёзд
• Код для наложения линий водорода на спектры звёзд

Кривые вращения

You spin me right round, baby
Right round like a record, baby
Right round, round, round
Dead or Alive

Поначалу астрономия с астрофизикой нравились не особо — вычисления до неприличия приближенные, многие формулы феноменологические и изобилующие свободными параметрами, а все заключения строятся на интерпретациях шатких наблюдательных данных без перспектив на дальнейшее практическое использование. Но со временем прагматизм уступает осознанию ценностей фундаментальных наук, а скептицизм развеивается тщательным изучением различных моделей и пониманием границ их применимости.

Взять, к примеру, простейшую модель вращающегося диска, по радиусу которого равномерно нанесены точки. По мере увеличения расстояния от оси вращения скорости точек растут линейно.


Кривая вращения показывает, что скорость точек на диске прямо пропорциональна расстоянию от центра. К планетарным системам такая модель неприменима, так как группы тел, удерживаемые гравитацией, обладают большей гибкостью при вращении. Вместо этого у нас есть ньютоновская механика, а именно модель Кеплера. В этой модели большая часть массы сосредоточена в центре вращающегося объекта, а спутники свободно вращаются вокруг него. Приравняв силу тяжести к центростремительной, выясняем, что в планетарной системе скорость вращения обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса:

Здесь полезно учитывать, что по мере перехода на всё большие орбиты увеличивается заключаемая в них масса. Построим кривую вращения для Солнечной системы:


Попробуйте определить по графику орбитальную скорость нашей планеты. Она, как и остальные жильцы гравитационного колодца Солнца, чрезвычайно хорошо ложится на кеплеровскую кривую. И вроде ничто не должно мешать нам использовать нашу классическую модель на других космических системах и иных масштабах.

Например, можно было бы описать движение скоплений галактик, как это сделал Фриц Цвикки в 30-е годы прошлого века. Оценки давали слишком большие скорости, чтобы структуры оставались стабильными, поэтому возникло предположение, что существует большое количество пока не опознанной массы, удерживающей галактики вместе. Мысль не обрела особой популярности, и почти полстолетия она подтверждалась лишь редкими косвенными наблюдениями.

Переломный момент наступил после публикации Верой Рубин и соавторами ряда статей, где был выполнен анализ спектров светящегося вещества в галактиках. Галактика — это совокупность звёзд, пыли и газа. Большая часть этого газа находится в форме нейтрального водорода при низких температурах (< 300 К). Единственный электрон атома водорода находится в основном состоянии при этой температуре, и его спин сонаправлен со спином протона в ядре. Есть очень малая вероятность того, что электрон «перевернётся» в другую сторону — это происходит примерно раз в 11 миллионов лет. При этом переходе в более низкое энергетическое состояние высвобождается фотон радиоволнового диапазона (21 см). Радиоволны могут проникать сквозь пыль, поэтому регистрация такого излучения используется для изучения внутренних механизмов галактики. Крошечной вероятности испускания радиокванта противодействует огромное количество атомов водорода, присутствующих в галактике, так что мы постоянно наблюдаем это излучение.

Используя спектроскопию линии нейтрального водорода, Вера Рубин проанализировала доплеровский сдвиг различных участков в галактике M31 (Туманность Андромеды), а затем в ряде других галактик.

Спектрограмма галактики NGC 7541, сделанная Верой Рубин. Каждая из спектральных линий, излучаемых галактикой, представляет собой изображение галактики, растянутое слева направо в зависимости от длины волны (чётко видны пять изображений). Линии смещены в красную сторону на величину, которая зависит от скорости источника относительно нас. Галактика удаляется от нас из-за расширения Вселенной, но также она вращается вокруг своего центра, поэтому одна сторона удаляется от нас, а другая движется к нам. Это означает, что две половины галактики имеют немного разные красные смещения, как это видно по центральным линиям. Что примечательно, так это то, что красное смещение остаётся постоянным по мере удаления от центра. Если бы вся масса в галактике заключалась в звёздах и газе, то точки, расположенные дальше по обеим сторонам, имели бы больше похожих красных смещений, чем точки, расположенные ближе. А если построить кривые вращения, то они никак не хотят быть похожими на кеплеровские.

Со временем человечеству становилось доступно всё более точное оборудование для определения масс, расстояний и скоростей. Приспособьте копну оптических волокон к группе современнейших оптических телескопов, доведите их к прецизионным спектрографам и получите возможность определять скорость звёзд и газовых облаков с точностью до километров в секунду. Обильные данные выкладываются в открытый доступ и любой научный сотрудник (из незабаненной страны) получает возможность обработать их и проверить на них свою модель.

MaNGA (Mapping Nearby Galaxies at APO) получает спектры по всему профилю целевой галактики. Массив волокон пространственно сэмплирует конкретную галактику, затем сравниваются спектры, наблюдаемые двумя волокнами в разных местах галактики, и вычисляется, насколько сильно спектр центральных областей отличается от внешних областей, что позволяет строить карту скоростей

Давайте попробуем сами нарисовать галактическую кривую вращения. Воспользуемся базой данных Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves (SPARC), где имеются результаты измерений скоростей движения светящегося вещества в 175 галактиках. Вот пример кривых вращения по тамошним данным:

Я выбрал UGC03205, расположенную от нас в пятидесяти мегапарсеках (50 Мпк = 1.63e8 св.г. = 1.44e21 вёрст = 1.54e24 м).

Если до 10 кпк ещё есть спуск, то уже дальше по скоростям выходит полочка. График чертовски не похож на кеплеровскую кривую. К слову, в файликах есть скорости отдельных галактических компонентов: балджа, газа и диска, полученные из профилей светимости и наблюдаемой поверхностной яркости. При суммировании они должны были бы воспроизводить наблюдаемую галактическую кривую вращения.

Можно заметить, что у второго и третьего слагаемых есть множители, имеющие смысл отношения массы к светимости. Они являются варьируемыми параметрами, которые нужно подобрать так, чтобы суммарная скорость (красная линия) наложилась на наблюдаемую. Простая задача оптимизации на две переменные:

Вот только как ни старайся, но видимого вещества недостаточно — нужна ещё масса, которая будет позволять галактическим составляющим, находящимся дальше 15 кпк от центра UGC03205, иметь такую высокую скорость и не разлетаться во все стороны. Из ряда физических соображений можно получить распределение этой массы по галактике и добавить её вклад в общее распределение скоростей:

Какая бы ни была природа этой невидимой массы, пока она справляется с ролью костыля. А как обстоят дела в нашей родной Галактике? Взглянем на неё в миллиметровом диапазоне:

Источник изображения

Атомы могут образовывать молекулы, а наиболее распространёнными атомами во Вселенной являются H, He, С и О, поэтому логично предположить, что наиболее распространённые молекулы, которые могут быть сформированы, состоят из этих атомов. Для изучения Млечного Пути мы сосредоточимся на молекуле монооксида углерода (СО).

Молекулярные связи на самом деле не такие прочные, и излучение звёзд и раскалённых облаков может легко их разорвать, поэтому молекулы, подобные СО, можно найти только там, где они защищены от этого излучения, — в облаках газа и пыли. Ядра углерода и кислорода могут вращаться друг вокруг друга со скоростями, кратными определённым числам, точно так же, как электроны могут «вращаться» вокруг ядра атома в целочисленных энергетических состояниях, которые мы называем орбиталями. В микромире квантуется всё, даже вращение. Вспомните, как непринуждённо можно плавно увеличивать скорость кручения юлы, а затем представьте, что скорости можно переключать только рывками.

Целочисленное изменение вращения излучает конкретную единицу энергии. В данном случае свет, который мы называем фотоном миллиметрового диапазона. Этот фотон линий молекулярного вращения CO можно поймать радиотелескопом и использовать для определения физических свойств (таких как плотность и температура) межзвёздного газа. Построим кривую вращения Млечного Пути по данным СО-спектроскопии:

К сожалению, у нас нет распределений по скоростям отдельных компонент, но их можно получить с помощью мудрёных физических моделей, которые я здесь расписывать не буду. Если «с каждой формулой число читателей уменьшается в два раза», то из всего человечества останется около восьми смельчаков. На код и теорию ссылки будут приведены далее, но трижды подумайте, нужно ли вам портить сон и аппетит функциями Бесселя и квадратурами интегралов с бесконечными пределами.

Та же картина — чтобы объяснить распределение скоростей, приходится добавить большое количество некой скрытой массы. Самое интересное, что со временем данные переполучаются со всё возрастающей точностью и различными способами. И прежде чем говорить словосочетание начинающееся на «тёмная...», взглянем на небо ещё раз, но в микроволновом диапазоне.

Ссылки

• Использованный код: раз, два
• Вера Рубин, соткавшая тёмную материю
• How one person discovered the majority of the universe – The work of Vera Rubin
• MaNGA
• MaNGA Rotation Curve Plot Tutorial in Python
• Rot_curve for schoolota
• SPARC: 175 DISK GALAXIES ROTATION CURVES
• SPARC
• GalRotpy
• github.com/LTSQueens/Let-s-Talk-Astrophysics
• github.com/villano-lab/galactic-spin-W1/tree/master/binder
• github.com/BK-Modding/dark-matter-rotation-curves

Космический микроволновый фон

Космологи часто ошибаются, но никогда не сомневаются.
Л. Д. Ландау

В начале шестидесятых NASA инициировало проект «Эхо» — первую программу по созданию спутниковой связи. На орбиту запустили пару пассивных рефлекторов. Устройства были крайне простые: сферы из плёнки с алюминиевым напылением, раздувающиеся за счёт газифицирующегося порошкообразного химического реагента. Эти спутники-баллоны должны были обеспечить ретрансляцию радиосигнала между станциями на Земле. Одной из таких станций была рупорно-параболическая антенна в Холмдейле.

15-метровый рефлектор со сверхмалым уровнем шума мог стать многообещающим инструментом для радиоастрономии. Задача по обновлению телескопа была поручена паре молодых, недавно получивших дипломы радиоастрономов Арно Пензиасу и Роберту Вильсону. Их первый проект предполагал использование рупорной антенны для измерения с точностью до двух процентов интенсивности излучения остатка сверхновой в созвездии Кассиопеи, который из-за своей яркости часто используется в качестве калибровочного источника.

Этот вид измерения очень сложен, так как микроволны из нашей собственной галактики образуют своего рода статические помехи, и, к сожалению, этот статический шум нелегко отличить от неизбежного электрического шума, вызванного случайным движением электронов внутри конструкции антенны или цепей внутри усилителя детектора. Кроме того, будет также небольшое количество помех, улавливаемых антенной из земной атмосферы, и всё это необходимо устранить.

Используя телескоп для изучения небольшого локализованного источника излучения, такого как звезда, можно направить антенну на звезду, собрать сигнал, а затем направить антенну в сторону, на пустую область пространства, и собрать сигнал фонового шума. Если затем сравнить два сигнала и посмотреть на разницу между ними, появится возможность нивелировать помехи и восстанавливать чистый сигнал от источника. Выглядит логично: любой шум, исходящий от цепей усилителя, антенной конструкции или от земной атмосферы, будет одинаковым независимо от того, направлена ​​ли антенна на источник или на пустой участок неба.

Чтобы вычесть шум, Пензиас и Вильсон в 1964 году провели серию наблюдений на относительно короткой длине волны 7,35 см, где микроволновые сигналы от галактических источников считались незначительными. Они ожидали, что после вычитания известных источников фонового шума из измеренного выхода антенны, результат был бы равен нулю в пределах экспериментальной неопределённости. Однако, когда два исследователя начали проводить измерения, они были удивлены, обнаружив очень сильный сигнал микроволнового шума. Ещё более озадачивало то, что сила сигнала оказалась независимой от направления антенны, времени суток или времени года.

Источник не мог находиться в нашей Галактике, потому что, если бы это было так, то было бы ожидаемо увидеть такой же сильный сигнал, исходящий от других галактик, таких как наша ближайшая соседка Андромеда. Отсутствие зависимости от направления заставляло предположить, что микроволновые помехи исходили из Вселенной гораздо большего объёма, чем просто наша собственная галактика, однако Пензиас и Вильсон не могли избавиться от идеи, что, возможно, это излучение было просто шумом антенны, и они каким-то образом пропустили или не смогли идентифицировать его источник. Аппарат разобрали и тщательно очистили, не в последнюю очередь потому, что обнаружили пару голубей, устроившихся в горловине антенны и покрывших её «белым диэлектрическим материалом, который при комнатной температуре может быть источником электрического шума». Однако после демонтажа, очистки и восстановления антенны таинственный шум никуда не исчез.

В дальнейшем этот шум нарекли космическим сверхвысокочастотным (или микроволновым) фоновым излучением, или просто реликтовым излучением. На протяжении полувека его исследовали все детальней, запуская оборудование на аэростатах или посылая обсерватории на орбиту.

Панорамная карта анизотропии микроволнового фона. Источник изображения

1 — Так выглядело бы первое обнаружение реликтового излучения в 1964 году.
2 — На снимке COBE в начале 1990-х годов видно большую красную полосу с микроволновым излучением нашей Галактики.
3 — В 2001 году программа WMAP смогла проанализировать мельчайшие изменения температуры, улучшив детализацию в 70 000 раз.
4 — Миссия Planck использовала ещё более чувствительные инструменты для уточнения результатов, как показано на карте реликтового излучения 2015 года.

Перво-наперво, эта карта — проекция Моллвейде всего неба. Просто изображение глобуса на плоскости с сохранением площадей пятен, хотя в нашем случае мы смотрим на глобус изнутри. Во-вторых, на карте показана неоднородность температуры. Следует помнить, что в некоторых разделах физики температура может иметь различные определения, и конкретно в этом случае имеется в виду температура, связанная со спектральной плотностью излучения. Эта связь характеризуется формулой Планка, описывающей излучение, которое находится в тепловом равновесии с веществом при определённой температуре. Она применима для абсолютно чёрных тел любой формы вне зависимости от состава и структуры при условии, что размеры излучающего тела и деталей его поверхности гораздо больше длин волн, на которых тело излучает.

Так вот, космические обсерватории и наземные телескопы, расположенные где-нибудь в пустынях, сканируют небо с высоким разрешением. Данные с каждого детектора считываются с высокой скоростью (обычно > 50 Гц) и записываются вместе с информацией о наведении и другими вспомогательными параметрами. Алгоритмы построения карт представляют собой очень интересный пример работы с большими данными, поскольку они требуют очистки временных потоков путём фильтрации, выявления переходных событий и коррелированных шумов и в конечном счёте сжатия ~Тб данных до карт, которые обычно имеют размер 100 Мб или меньше.

Присмотримся к карте анизотропии реликтового излучения, составленной обсерваторией Planck и почищенной от засветки Млечного Пути. Эффективная температура микроволнового фона равна 2,725 К, а карта показывает перепады до половины милликельвина от этого числа. Шум как шум, ну и местами кучкования. И вот как раз анализ соотношений характеристик этих пятнышек несёт огромное количество информации.

Чтоб было удобней изучать карту, получим спектр мощности. Анализируя какой-либо сигнал, любой образованный гражданин уверенно строит спектр, выполнив преобразование Фурье. В данной же ситуации нужно преобразовывать поверхность сферы, что эффективно реализуется с помощью разложения по сферическим гармоникам. Они образуют ортогональный базис на поверхности сферы, что делает их идеальным выбором для разложения температуры реликтового излучения на независимые моды:

Каждое слагаемое это моно-, ди-, квадру- и прочие -поли с разными весами.

И так вся карта представляется взвешенной суммой наших пятнышек:

А если теперь отложить на графике вклад каждой моды в изменение температуры реликтового излучения, получатся спектры мощности, где каждый пик несёт в себе важную космологическую информацию:

Воспринимаем график как гистограмму, где по оси абсцисс перечисляются номера мод или угловая частота, а по оси ординат — вес каждой моды на карте анизотропии. Чтобы научиться понимать эти графики, пробежимся по физике процессов в молодой Вселенной.

▍ Истоки реликтового излучения

Наше понимание физики, лежащей в основе описанных выше наблюдений, восходит к концу 1960-х годов, когда Джим Пиблз из Принстонского университета и аспирант Джер Ю поняли, что ранняя Вселенная должна была содержать звуковые волны (почти в то же время Яков Зельдович и Рашид Сюняев из Московского института прикладной математики пришли к очень похожим выводам).

Было время, когда содержимое Вселенной было настолько горячим, что электроны и протоны не могли объединиться в стабильные атомы, поскольку средняя энергия электронов превышала энергию ионизации водорода. В этих экстремальных условиях отдельный фотон не смог бы пройти далеко, не будучи рассеянным или поглощённым электроном. Среднее время между взаимодействиями фотона с газом из ядер и электронов было чрезвычайно коротким, и хотя Вселенная сначала очень быстро расширялась, с точки зрения отдельного фотона, электрона или ядра расширение было достаточно медленным, так что каждый фотон рассеивался, поглощался и переизлучался много раз по мере того, как растягивалось пространство. Любая система, в которой отдельные составляющие успевают многократно взаимодействовать, обычно достигает состояния равновесия. Хотя отдельные скорости и энергии составляющих частиц могут изменяться, общие статистические распределения этих скоростей и энергий остаются постоянными. Такое равновесие часто называют тепловым равновесием, потому что оно характеризуется определённой температурой, которая по сути одинакова во всей системе.

Когда масштабы наблюдаемой Вселенной увеличились до одной тысячной от их нынешнего размера — примерно через 380 000 лет после Большого взрыва — температура газа уменьшилась настолько, что протоны смогли захватить электроны и стать атомами. Этот переход, названный рекомбинацией, резко изменил ситуацию. Фотоны больше не рассеивались при столкновениях с заряженными частицами, поэтому впервые они начали путешествовать в пространстве практически беспрепятственно. Фотоны, испускаемые из более горячих и плотных областей, были более энергичными, чем фотоны, испускаемые из разрежённых областей, поэтому картина горячих и холодных пятен, вызванных звуковыми волнами, была заморожена в реликтовом излучении.

Представим, что мы находимся в центре простейшей двумерной вселенной со стоячими волнами, где сразу после рекомбинации фотоны получают возможность достигнуть удалённого наблюдателя. Здесь растущая окружность показывает радиус обзора.

Сразу после рекомбинации вы видите изотропное реликтовое излучение (первые несколько кадров синий кружок в центре, одинаковый во всех направлениях), так как только фотоны из области вокруг центра успели достичь вас.

С течением времени вы видите фотоны из более отдалённых областей (жёлтые траектории). Сначала вы видите квадрупольную вариацию вокруг себя (красный и синий под углами 90 градусов), затем октуполь и т. д. К текущей эпохе примерно через 10 миллиардов лет вы видите очень тонкую структуру углового масштаба температуры реликтового излучения. Кольцо, которое вы видите в конце анимации выше, содержит много красных и синих полос — с течением времени вас достигают фотоны со всё более дальних областей и количество пятен на вашем небе увеличивается. Пространственная неоднородность при рекомбинации превратилась в угловую анизотропию.

Обратите внимание, что в центре приведённой выше диаграммы нет ничего особенного. Выберите другую точку в пространстве, и вы увидите, что происходит тот же процесс. Фотоны реликтового излучения распространяются во всех направлениях при рекомбинации. Мы показали только те, которые увидел наблюдатель в центральной точке.

Итак, с самого начала космос был неоднороден. Одной из возможных причин считается космологическая инфляция, взрастившая квантовые флуктуации до огромных масштабов. Об этой стадии жизни Вселенной поговорим как-нибудь в следующий раз, а пока нам важно, что в нашем фотонно-барионном газе были температурные неоднородности. Эти возмущения становятся причиной колебаний плотности энергии в первичной плазме.

Доказательства, подтверждающие теорию инфляции, были обнаружены в подробном образце звуковых волн в реликтовом излучении. Поскольку инфляция произвела все возмущения плотности сразу, по существу, в первый момент создания фазы всех звуковых волн были синхронизированы. В результате получился звуковой спектр с обертонами, как у музыкального инструмента. Представьте, что вы дуете во флейту. Основная частота звука соответствует волне с максимальным смещением воздуха на концах трубки и минимальным смещением в центре. Длина волны основной моды в два раза больше длины флейты. Но звук также имеет ряд обертонов, соответствующих длинам волн, которые составляют целые доли основной длины волны: половина, треть, одна четвёртая и так далее. Иными словами, частоты обертонов в два, три, четыре и более раз превышают основную частоту. Обертоны — вот что отличает скрипку Страдивари от обычной скрипки — они добавляют насыщенность звуку.

Звуковые волны в ранней Вселенной похожи, за исключением того, что теперь мы должны представить волны, колеблющиеся во времени, а не в пространстве (стоячие волны). Волны основной частоты берут начало при инфляции и заканчиваются при рекомбинации примерно через 380 000 лет. Предположим, что некоторая область пространства имеет максимальное положительное смещение, т. е. максимальную температуру при инфляции. По мере распространения звуковых волн плотность области начнёт колебаться, сначала направляясь к средней температуре (минимальное смещение), а затем к минимальной температуре (максимальное отрицательное смещение). Волна, из-за которой область достигает максимального отрицательного смещения именно при рекомбинации, является фундаментальной волной ранней Вселенной.

Обертоны имеют длину волны, которая составляет целые доли основной длины волны. Колеблясь в два, три и более раза быстрее основной волны, эти обертоны заставляют меньшие области пространства достигать максимального смещения, положительного или отрицательного, при рекомбинации. Как космологи выводят эту закономерность из реликтового излучения? Они отображают величину колебаний температуры в зависимости от размеров горячих и холодных точек на графике — спектре мощности.

Результаты показывают, что области с наибольшими вариациями простираются примерно на один градус по небу, что почти вдвое превышает размер полной Луны (во время рекомбинации эти области имели диаметр около одного миллиона световых лет, но из-за 1000-кратного расширения Вселенной с тех пор каждая область простирается почти на один миллиард световых лет в поперечнике). Первый и самый высокий пик в спектре мощности свидетельствует о фундаментальной волне, максимально сжимавшей и разрежавшей области плазмы в момент рекомбинации. Последующие пики в спектре мощности представляют изменения температуры, вызванные обертонами. Серия пиков убедительно подтверждает теорию о том, что инфляция вызвала все звуковые волны одновременно. Если бы возмущения генерировались непрерывно во времени, спектр мощности не был бы столь гармонично упорядочен. Возвращаясь к нашей аналогии с флейтой, представьте какофонию, которая может возникнуть, если дуть в трубку, в которой отверстия просверлены случайным образом по всей длине. Теория инфляции также предсказывает, что звуковые волны должны иметь почти одинаковую амплитуду на всех масштабах. Спектр мощности, однако, показывает резкое падение амплитуды колебаний температуры после третьего пика.

Это несоответствие можно объяснить тем, что звуковые волны с короткими длинами волн рассеиваются. Поскольку звук переносится столкновениями частиц в газе или плазме, волна не может распространяться, если её длина короче типичного расстояния, проходимого частицами между столкновениями. В воздухе это расстояние составляет ничтожные сантиметров. Но в первичной плазме, непосредственно перед рекомбинацией, частица обычно проходит около 10 000 световых лет, прежде чем столкнуться с другой (вселенная на этом этапе была плотной только по сравнению с современной Вселенной, которая примерно в миллиард раз более разрежена). По сегодняшним измерениям, после её 1000-кратного расширения этот масштаб составляет около 10 миллионов световых лет. Следовательно, амплитуды пиков в спектре мощности затухают примерно в 10 раз ниже этой шкалы.

Точно так же, как музыканты могут отличить скрипку мирового класса от обычной по богатству её обертонов, космологи могут объяснить форму и состав Вселенной, исследуя основную частоту первичных звуковых волн и силу обертонов. Реликтовое излучение показывает угловой размер наиболее интенсивных колебаний температуры — насколько велики эти горячие и холодные пятна на небе — что, в свою очередь, говорит нам о частоте основной звуковой волны. Космологи могут точно оценить реальный размер этой волны во время рекомбинации, потому что знают, как быстро распространяется звук в первичной плазме. Точно так же исследователи могут определить расстояние, которое преодолели фотоны реликтового излучения, прежде чем достичь Земли, — около 45 миллиардов световых лет. Хотя фотоны путешествовали всего около 14 миллиардов лет, расширение Вселенной удлинило их путь.

Следующее, что хотели бы знать космологи, — это точное распределение вещества и энергии во Вселенной. Ответ содержится в амплитудах обертонов. В то время как обычные звуковые волны генерируются исключительно давлением газа, звуковые волны в ранней Вселенной модифицировались силой гравитации. Гравитация сжимает газ в более плотных областях и, в зависимости от фазы звуковой волны, может попеременно усиливать или противодействовать звуковому сжатию и разрежению. Анализ модуляции волн выявляет силу гравитации, которая, в свою очередь, указывает на вещественно-энергетический состав среды.

Как и в настоящее время, вещество в ранней Вселенной подразделялось на две основные категории: барионы (протоны и нейтроны) и то, что мы будем называть тёмное вещество, обладающее гравитацией, но никогда не наблюдаемое непосредственно, потому что оно никаким заметным образом не взаимодействует со светом. Пожалуй, позволю себе использовать распространённую кальку «тёмная материя», хотя, если придираться, это неправильное определение.

И обычное вещество, и тёмное, придают массу первичному газу и усиливают гравитационное притяжение, но только барионы подвергаются звуковому сжатию и разрежению. При рекомбинации фундаментальная волна застывает в фазе, где гравитация усиливает сжатие более плотных областей газа. Но первый обертон, длина волны которого составляет половину основной длины волны, улавливается в противоположной фазе — гравитация пытается сжать плазму, а давление газа пытается её расширить. В результате изменения температуры, вызванные этим обертоном, будут менее выраженными, чем изменения, вызванные основной волной. Этот эффект объясняет, почему второй пик в спектре мощности ниже первого. И, сравнивая высоты двух пиков, космологи могут оценить относительную силу гравитации и радиационного давления в ранней Вселенной.

Влияние тёмного вещества модулирует акустические сигналы в микроволновом фоновом излучении. После инфляции более плотные области тёмной материи, имеющие тот же масштаб, что и фундаментальная волна (представленные в виде впадин на этой диаграмме потенциала-энергии), притягивают барионы и фотоны за счёт гравитационного притяжения (впадины показаны красным цветом, поскольку гравитация также снижает температуру выходящих фотонов). К моменту рекомбинации гравитация и звуковое движение совместно повысили температуру излучения во впадинах (синий цвет) и понизили температуру на пиках (красный цвет).

На более мелких масштабах гравитация и акустическое давление иногда вступают в противоречие. Сгустки тёмной материи, соответствующие второй пиковой волне, максимизируют температуру излучения во впадинах задолго до рекомбинации. После этой средней точки давление газа выталкивает барионы и фотоны из впадин (синие стрелки), а гравитация пытается втянуть их обратно (белые стрелки). Это перетягивание каната уменьшает разницу температур, что объясняет, почему второй пик в спектре мощности ниже первого.

Итак, измерения показывает, что барионы имели примерно ту же плотность энергии, что и фотоны во время рекомбинации, и, следовательно, сегодня составляют около 5 процентов критической плотности. Результат прекрасно согласуется с числом, полученным в результате изучения синтеза лёгких элементов в результате ядерных реакций в зарождающейся Вселенной. Однако общая теория относительности говорит нам, что вещество и энергия тяготеют одинаково. Значит гравитация фотонов в ранней Вселенной также усиливала колебания температуры? На самом деле так оно и было, но уравновешивалось другим эффектом. После рекомбинации фотоны реликтового излучения из более плотных областей теряли больше энергии, чем фотоны из менее плотных областей, потому что они выбирались из более глубоких гравитационно-потенциальных колодцев. Этот процесс, названный эффектом Сакса-Вольфа, уменьшал амплитуду колебаний температуры в реликтовом излучении, точно сводя на нет усиление, вызванное гравитацией фотонов.

Для областей ранней Вселенной, которые были слишком велики, чтобы подвергаться акустическим колебаниям, то есть областей, простирающихся более чем на один градус по небу, колебания температуры являются исключительно результатом эффекта Сакса-Вольфа. Как это ни парадоксально, в этих масштабах горячие точки в реликтовом излучении представляют собой менее плотные области Вселенной. Наконец, космологи могут использовать реликтовое излучение для измерения доли тёмной материи во Вселенной. Гравитация барионов сама по себе не могла модулировать изменения температуры намного дальше первого пика в спектре мощности. Чтобы поддерживать гравитационно-потенциальные ямы достаточно глубокими, требовалось изобилие тёмного вещества. Измерив отношения высот первых трёх пиков, исследователи определили, что плотность холодной тёмной материи должна примерно в пять раз превышать барионную плотность. Следовательно, сегодня тёмная материя составляет около 25 процентов критической плотности.

Итак, повторим. Вселенная очень, но не идеально однородная, и быстро расширяется во время инфляции. Она заполнена маревом из ядер, электронов и фотонов. На этом гладком фоне наблюдаются небольшие повышения плотности и разрежения. Тёмной материи больше, чем барионов и она образует плотные области. Барионы следуют за ней. В какой-то момент обычная материя начинает нагреваться и создаётся давление, противостоящее гравитационному действию тёмной материи. По сути, это вызывает колебательный «отскок» для некоторых из этих областей повышенной плотности.

В то же время Вселенная расширяется и остывает. В какой-то момент Вселенная остынет до такой степени, что протоны и электроны объединятся в водород и немножко в гелий. Этот этап называют рекомбинацией. В этот момент фотоны больше не связаны с веществом и текут прямо через Вселенную, пока не попадают в телескоп. Поскольку реликтовое излучение исходит из момента рекомбинации, в него оказывается вморожена картина колебаний плотности первичной плазмы. Сила колебаний — это как раз то, что измеряет «Планк» и прочие обсерватории. Отношение тёмной материи к обычному веществу определяется относительной высотой колебаний. Больше барионной материи означает больший отскок. Больше тёмной — значит большее сжатие.

Не страшно, если всё также осталось непонятным. Есть замечательный онлайн-симулятор, где можно варьировать вклады тёмной энергии, обычного и тёмного вещества и смотреть, как изменится наблюдаемая картина микроволнового фона и спектр мощности. Главное же, что следует уяснить, это то, что некая невзаимодействующая напрямую с обычным веществом масса постоянно возникает как хорошее объяснение наблюдательных данных.

Ссылки

• Реликтовое излучение, часть 1: улики «Большого взрыва»
• The cosmic symphony
• An Introduction to the CMB
• wikipedia: Cosmic microwave background
• Student Friendly Guide
• nature: The physics of microwave background anisotropies
• github: CMB.jl
• github: CleanCMB.jl
• github: CMBLensing.jl
• github: cmb_tutorials
• github: CMB_Darkmatter_extraction
• github: CMB Analysis Summer School
• github: ELTE_Data_Sci_Lab_2021
• github: Internship_in_physics_SU

Космическая паутина

Где паук, там и паутина.
Корейская пословица

Карта микроволнового фона говорит о неоднородности в распределении материи на ранних этапах жизни Вселенной. Как это отразится по прошествии времени на поведении видимого вещества в космологических масштабах? Для ответа на вопрос был запущен «Слоуновский цифровой небесный обзор» (Sloan Digital Sky Survey) — проект широкомасштабного исследования многоспектральных изображений и спектров красного смещения звёзд и галактик при помощи 2,5-метрового широкоугольного телескопа в обсерватории Апачи-Пойнт. На протяжении двух десятков лет телескоп сканирует небо составляя трёхмерную карту распределения удалённых объектов.

Любой желающий может получить доступ к данным и инструментам для их обработки. У меня как раз завалялся файлик из прошлых релизов SDSS с красными смещениями для пары сотен тысяч галактик раскиданных от нас на миллиарды световых лет. Изобразим их на плоскости:

За белые треугольники без данных скажите спасибо мешающему наблюдениям веществу нашей Галактики. Тем не менее видно, что крупномасштабная структура Вселенной представляет собой сложную топологию галактических сверхскоплений, образующих стены и нити, рассредоточенные по массивным пустотам (войдам). Каждая блёклая точка — галактика или их группа. Всё видимое вещество выстраивается в «космическую паутину», которую различные научные группы стараются воспроизвести с помощью компьютерного моделирования.

Можно в лоб решать уравнения движения для N-тел (ага, на каждый шаг), либо пользоваться линеаризацией, усреднением потенциалов, адаптивными сетками, древовидными методами. Здесь мы разберём простой и нетребовательный способ решения задачи, а в ссылочках будут вынесены материалы для более глубокого изучения темы.

▍ Гравитационная неустойчивость

Уравнения, управляющие распределением материи во Вселенной, даются законом Ньютона для гравитации. Мы предполагаем, что гравитация является единственной силой, ответственной за формирование структур во Вселенной, и что релятивистские эффекты играют второстепенную роль. Итак, под действием массивного тела некий объект в некоторой точке испытывает ускорение:

Подставьте значения для Земли: G = 6.674e-11 м³·кг⁻¹·с⁻², M = 6e24 кг, R = 6.4e6 м. Что получится? Далее, если массивных тел много, то действует принцип суперпозиции (их действие суммируется):

Или, то же самое в терминах интегралов и плотности массы:

Векторное поле — это сложно. Отобразим его в скалярное с помощью оператора дивергенции. Скалярное поле легко вообразить. Например, для двух измерений его можно представить как рельеф, на котором материальные точки будут скатываться в низины. Найдём дивергенцию подинтегрального выражения в сферической системе координат (r пока побудет безразмерным единичным вектором):

Ой! Прежде чем начать паниковать, вспомним формулу Гаусса-Остроградского (поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью), развернём сферу с центром в начале координат и найдём поток нашего векторного поля через её поверхность:

Поверхностный интеграл равен константе, а объёмный, получается, нулю? Разумеется, нет, ведь в точке r = 0 наша функция устремляется в бесконечность. Интеграл от дивергенции в нашем случае должен равняться 4π для любой сферы с центром в начале координат, какой бы маленькой она ни была. Очевидно, весь вклад должен исходить из точки r=0! Таким образом, градиент нашей функции обладает странным свойством: он обращается в нуль везде, кроме одной точки, и все же его интеграл (по любому объёму, содержащему эту точку) равен 4π. Мы наткнулись на математический объект, известный физикам как дельта-функция Дирака.

И у неё есть замечательное фильтрующее свойство — она сворачивает интегралы:

Что схлопывает наше выражение:

Гравитационное поле консервативное и безвихревое, так что его можно выразить через скалярный потенциал:

И тогда конечное выражение принимает вид:

Это уравнение Пуассона для гравитации — всего лишь обобщение ньютоновских законов на непрерывный случай. В принципе, этого достаточно, чтобы нарисовать самую примитивную модель космической паутины. Нам нужны начальные условия, потенциал и россыпь точек, безвольно следующих за градиентом.

Начальные условия содержатся в микроволновом фоне и распределении галактик (держим в уме, что чем глубже мы вглядываемся во тьму космоса, тем более далёкое прошлое видим). Высчитав нужные корреляционные функции и выполнив преобразование Фурье, космологи получают спектр мощности для материи. Используя даже грубое его приближение, можно получить начальные неоднородности массы.

Код

using Plots, FFTW

function sanitize!(ar)
    # удаляет бесконечности и NaN из массива
    ar[isnan.(ar)] .= 0
    ar[isinf.(ar)] .= 0
end

function apply_powerlaw_power_spectrum(δ, p=-1.0, min_nu=2.0, max_nu=200.0)
    n = size(δ, 1)
    Fδ = fft(δ)
    nu = fftfreq(n)
    nu² = nu.^2
    Nu = sqrt.( nu² .+ nu²' )
    Fδ[Nu.<min_nu/n] .= 0
    Fδ[Nu.>max_nu/n] .= 0
    Nu .^= p
    sanitize!(Nu)
    Fδ .*= Nu
    return real.( ifft(Fδ) )
end

create_linear_field(n) = apply_powerlaw_power_spectrum( randn(n, n) );

linear_field = create_linear_field(128);
heatmap(linear_field, c = :RdYlBu_11)

Для вычисления потенциала используем преобразование Фурье уравнения Пуассона

И считаем градиент:

Код

function get_potential_gradients(dens_real)

    n = size(dens_real, 1)
    dens = fft(dens_real)
    k = fftfreq(n)
    k² = k.^2
    K = -( k² .+ k²' )

    phi = dens ./ K
    sanitize!(phi)

    grad_phi_x = -im*k #.* phi
    grad_phi_y = permutedims(grad_phi_x)
    
    grad_phi_x  = grad_phi_x .* phi
    grad_phi_y  = grad_phi_y .* phi

    grad_phi_x_real = real.( ifft(grad_phi_x) )
    grad_phi_y_real = real.( ifft(grad_phi_y) )

    return grad_phi_x_real, grad_phi_y_real
end;

Затем покрываем исследуемую область точками, которые будут скатываться под действием градиента потенциала:

Код

function get_animation_density(input_linear_field, N = 50, dt=0.001)
    """Starting from a linear field, generate the equivalent non-linear field 
    under the Zeldovich approximation"""
    n = size(input_linear_field, 1)
    
    x = [0:n-1;] .* ones(1,n)
    y = permutedims(x)
    grad_x, grad_y = get_potential_gradients(input_linear_field)
    
    @animate for i in 1:N
        x += dt*grad_x
        y += dt*grad_y
        x[x.>n] .-= n
        y[y.>n] .-= n
        x[x.<0] .+= n
        y[y.<0] .+= n
        
        scatter(x, y, m = (1, :black), legend = false, 
            xticks = false, yticks = false, border = :none )
    end
end;

@time anim = get_animation_density(linear_field, 10, 4e-3);

На определённых этапах действительно прослеживаются нитевидные структуры. Но модель проста и убога: безмассовые точки не влияют на потенциал и пролетают сквозь друг друга. Если чуть усложнить код и добавить адгезию (слипание), то получится довольно милая двумерная вселенная:

Итак, почти однородное распределение массы во Вселенной за счёт гравитационной неустойчивости концентрируется на каустиках, что приводит к образованию нитевидной крупномасштабной структуры.

Если правильно подкрутить размеры точек, цветовую схему, настройки рендера, то филаменты, войды и узлы будут слегка напоминать нейроны. Разумеется, подходят не все виды нейронов, но обычно подбирают наиболее удачные и похожие изображения. А потом радуются и громогласно заявляют, что Вселенная это мозг. Но почему-то мало кто сравнивает её с микрофотографиями хитина, актина, тубулина, губок для мытья посуды, c паутиной, тестом в профитролях, пеной на поверхности моря за кормой корабля, контуром на скорлупе грецкого ореха, каустиками на дне бассейна или, скажем, с наночастицами золота или меди в сверхтекучем гелии:

С одной стороны, мы любим находить что-то знакомое в чём-то новом и сложном. С другой, в основе многих явлений лежит схожая физика и математика. Здесь советую прочитать статью Что такое сингулярность и зачем она растениям и животным.

Рассматривая иллюстрации масштабных вычислительных проектов, таких как Millennium и Illustris, нужно иметь в виду, что все они изображают распределение тёмной материи с некоторыми долями обычного барионного вещества. Сразу после эпохи рекомбинации видимая материя сваливается в потенциальные ямы, образованные неизлучающей и невзаимодействующей массой, иначе крупномасштабная структура не успевает образоваться к нашему времени. Да и распределение галактик имело бы совсем другую форму и свойства. Было предложено большое количество моделей крупномасштабной структуры, но наблюдательные данные лучше всего воспроизводятся динамикой холодной тёмной материи.

Ссылки

• www.sdss.org
• Точная видеомодель эволюции Вселенной: Illustris
• Учёные создали виртуальную Вселенную из 2,1 трлн элементов
• Машинное обучение и нейросети позволили сократить время моделирования крупномасштабной структуры Вселенной в 1000 раз
• Youtube: Сергей Шандарин: «Гигантская паутина Вселенной»
• Youtube: The Sticky Geometry of the Cosmic Web
• Cosmic Web Vizual site
• Super slides
• Youtube: How To Build The Universe in a Computer
• Alignment of voids in the cosmic web
• Caustic Skeleton & Cosmic Web
• General relativity and cosmic structure formation
• Revealing the Dark Threads of the Cosmic Web
• Big Data to model the evolution of the cosmic web
• The Zel'dovich approximation: key to understanding cosmic web complexity

Вспомогательные методы на Хабре:

• Построение минимальных выпуклых оболочек
• Диаграмма Вороного и её применения
• Построение диаграммы Вороного методом 'разделяй и властвуй'. Релаксация Ллойда
• Алгоритм Форчуна, подробности реализации
• Алгоритм Форчуна на C++ для построения диаграммы Вороного на плоскости
• Алгоритм триангуляции Делоне методом заметающей прямой
• Деревья квадрантов и распознавание коллизий

Альтернативы

Все модели неверны, но некоторые из них полезны.
Дж. Бокс

Холодная тёмная материя — один из основополагающих компонентов в наиболее распространённой в настоящее время Лямбда-CDM модели.

• Λ (лямбда) — Вселенная ускоренно расширяется. Тёмную энергию мы обсуждали в статье Самая большая ошибка в истории физики
• M (matter) — более 80% процентов вещества Вселенной представлено материей слабо взаимодействующей с обычным веществом,
• D (dark) — невзаимодействующей с электромагнитным излучением,
• C (cold) — и её частицы движутся медленно по сравнению со скоростью света.

В причастности к невидимой массе подозревали многое: космическую пыль, нейтрино, звёзды-карлики, планеты-странники, металлический водород, чёрные дыры. На предположениях строили предсказания, которые затем отметались наблюдениями.

Проблема с альтернативными гипотезами заключается в том, что наблюдательные данные по тёмной материи получены из очень многих независимых подходов (помимо упомянутых, весомыми аргументами будут данные по нуклеосинтезу и сведения из гравитационного линзирования). Объяснить любое отдельное наблюдение возможно, но объяснить их все без тёмной материи очень сложно. Тем не менее, были некоторые разрозненные успехи у альтернативных гипотез, таких как энтропийная гравитация, гравитоэлектромагнетизм и модифицированная ньютоновская динамика (МоНД). Первые две хотелось бы проработать в отдельной статье, а последняя вызывает пока двоякие впечатления.

С одной стороны, МоНД во многих случаях лучше воспроизводит и предсказывает кривые вращения галактик. С другой, кажется странным, что подгоночный параметр разнится от галактики к галактике, причём некоторые эффекты включаются неожиданно на определённых дистанциях. Бывают галактики, где видимого вещества достаточно, чтобы получить правильные графики распределения скоростей, и в таких случаях можно предположить пренебрежимо малое содержание тёмного вещества, а в случае с модификацией законов притяжения непонятно, почему они работают в одних галактиках и ломаются в других.

Основное различие между сторонниками ΛCDM и МоНД заключается в наблюдениях, для которых они требуют надёжного количественного объяснения. Сторонники МоНД делают акцент на предсказаниях, сделанных в масштабах галактик, и считают, что космологическая модель, согласующаяся с динамикой галактик и их скоплений, ещё не открыта. Сторонники ΛCDM требуют высокого уровня космологической точности (реликтовое излучение и крупномасштабная структура) и утверждают, что решение проблем галактического масштаба будет следовать из лучшего понимания сложной барионной астрофизики, лежащей в основе формирования галактик.

И МоНД, и тёмная материя не являются панацеей от всех проблем, связанных с интерпретацией наблюдений. Обе концепции относительно успешны в одних масштабах, но неудовлетворительны в других. В последнее время становится популярной идея гибридной концепции, допускающей одновременное сосуществование как приближения МоНД, так и частиц тёмной материи. Следует отметить, что гибридная модель теряет изящество обеих гипотез, так как увеличивает число подгоночных параметров (количество степеней свободы), но позволяет объяснить больший объём наблюдательных данных.

Пока не удалось надёжно зафиксировать частиц тёмной материи, гипотезы, которые часто называют маргинальными, вызывают все больший интерес. Который раз зарекаюсь не читать комментарии под научно-популярными роликами на ютюбе — там сидят очень едкие и злые люди. Они твёрдо уверены, что учёные сговорились и продвигают только гипотезы с «тёмными» сущностями, а остальных притесняют и третируют. Да, в каких-то направлениях работает больше людей и крупных имён, привлекающих больше падаванов и финансов, но все гипотезы проходят через естественный отбор согласования с экспериментами, наблюдениями и проверенными моделями. Мы живём во время бурного развития теорий и технологий и пора свыкнуться с обилием предположений, критики и ростом количества новых вопросов.

Ссылки

• Зачем нужна тёмная материя и можно ли обойтись без неё?
• Возрождение MACHO может решить проблему тёмной материи, но заставит пересмотреть космологию
• Тёмную материю и тёмную энергию заменили отрицательной массой
• Сжимающаяся Вселенная столкнёт нас в чёрную дыру. Но заметить конец света будет непросто
• Тёмная материя из первичных чёрных дыр с широким спектром масс примирила наблюдения с теорией
• А если аккуратно применить ОТО, то в нашей Галактике ТМ и не нужна: Testing dark matter and geometry sustained circular velocities in the Milky Way with Gaia DR2
• Большой и свежий обзор по МоНД: From Galactic Bars to the Hubble Tension: Weighing Up the Astrophysical Evidence for Milgromian Gravity

Мутная материя

Формально правильно, а по сути издевательство.
В. И. Ленин

Относительно тёмной материи возникает очевидный вопрос: из чего она сделана? Наблюдения, описанные выше, требуют только того, чтобы она была нерелятивистской и слабо взаимодействующей, но не ограничивают, например, массу её основных составляющих. Было предложено и тщательно изучено множество вариантов. Элементарная частица тёмной материи может быть аксионом, стерильным нейтрино, слабо взаимодействующей массивной частицей — вимпом (WIMP, Weakly Interacting Massive Particle). Было исследовано большое количество экспериментальных возможностей для прямого или косвенного обнаружения этих гипотетических частиц. Например, одной из целей Большого адронного коллайдера в ЦЕРН является открытие суперсимметричных частиц, которые могли бы играть роль вимпов. Но ни БАК, ни какой-либо другой эксперимент пока не оправдали надежд. С каждым годом закрываются всё новые классы частиц и диапазоны их масс. Для научно-популярных изданий уже пора вводить раздел «Эксперимент Х не нашёл частицы тёмной материи».

Помимо прочего, ΛCDM имеет так называемые мелкомасштабные проблемы, которые представляют собой различия между CDM-моделированием и наблюдениями в галактическом или субгалактическом масштабах. Например, проблема каспов состоит в том, что CDM предсказывает сингулярность в распределении плотности гало тёмной материи в центральных областях галактики, в то время как наблюдения дают плавные распределения.

Все эти неудачи заставили физиков обратиться к более экзотическим моделям. Наравне с моделью холодной тёмной материи, сейчас физики рассматривают тёплую (warm dark matter, WDM) и размытую (fuzzy dark matter, FDM) тёмную материю. Частицы, составляющие тёплую тёмную материю, на несколько порядков быстрее и легче вимпов (характерная масса находится на уровне килоэлектронвольт). Масса частиц размытой тёмной материи ещё меньше (вплоть до 1e−22 электронвольт).

Вот с последними и поработаем. Это будут аксионы или аксионоподобные частицы — сверхлёгкие бозоны с нулевым спином. Они лежат в основе модели, которая была описана под разными названиями: скалярно-полевая тёмная материя (SFDM — scalar field dark matter), волнообразная тёмная материя (ψDM), нечёткая/размытая тёмная материя, сверхлёгкая тёмная материя (ultra light dark matter) или тёмная материя как конденсат Бозе-Эйнштейна (BEC-DM).

Аксионы первоначально возникли в работах теоретиков как решение некоторых потребностей квантовой хромодинамики, а затем начали активно рассматриваться в качестве невидимой массы. Год за годом уменьшается диапазон допустимых масс этих частиц, поэтому мы выбрали самые лёгкие, до которых экспериментаторы никогда не доберутся. На самом деле, масса в этом классе моделей является свободным параметром, и она получает экстремально малое значение как раз, чтобы объяснять стабильное формирование галактик и распределения скоростей входящего в них вещества.

Самый смак состоит в том, что эти медленные и ультралёгкие частицы расползаются на огромные пространства — волновая функция такой частицы будет иметь галактические масштабы! Частица размером с галактику! Опять убеждаемся в устаревании корпускулярного взгляда на мир. И так как мы имеем дело с бозонами, их без проблем можно слить в одно состояние и достичь огромных масс. Всю кухню мы рассматривали в статье про бозе-конденсаты.

Второй по смачности смак заключается в способности моделей на основе сверхлёгкой тёмной материи воспроизводить всю феноменологию CDM, решая большинство её проблем на малых масштабах. Притом, что задачу легко закодить — за основу сойдёт наш солвер для волн-убийц.

▍ Формулы

Quantum physics lead us to
Answers to the great taboos
Epica

Практически все современные теории физики можно вывести из принципа наименьшего действия. Например, для скалярного поля бозонов в пространстве-времени действие имеет вид:

Внутри сидят лагранжиан и скалярная кривизна. Минимизируя этот функционал, мы получаем уравнения движения:

Первым идёт уравнение Клейна-Гордона — релятивистское обобщение уравнения Шрёдингера для наших аксионов. А на второй строке полевое уравнение Эйнштейна в тензорной форме. Если расписать через метрику, то получится довольно смешно:

Итого 16 таких кулебяк, чтобы найти все компоненты метрики пространства-времени. Разумеется, такую общую задачу в лоб не решают. Обычно из соображений симметрии и пренебрежимости вкладов некоторых эффектов принимается ряд упрощений, и решаются уже частные случаи. Нам, например, будет достаточно нерелятивистского предела, со слабыми полями и с привязкой величин на сопутствующие координаты, чтоб не отвлекаться на расширение Вселенной. Тогда уравнения Клейна-Гордона-Эйнштейна плавно перетекают в нелинейное уравнение Шрёдингера в классическом гравитационном поле:

Минимальный вывод

Ещё его называют различными комбинациями из фамилий Шрёдингера, Ньютона, Пуассона, Гросса и Питаевского. Доскональный вывод и объяснение подноготной — довольно муторное занятие, так что для заинтересованных далее будут ссылки. В принципе можно вспомнить статью про бозе-конденсаты и добавить в тамошнее уравнение Гросса-Питаевского гравитационный потенциал, подчиняющийся классическому уравнению Пуассона. Если хочется вырваться из оков классики, следует отбросить парочку приближений (собственно, серьёзные дяди так и решают), но это опасная область, так как работа идёт на стыке гравитации и квантового мира. Но некоторых это не пугает: Роджер Пенроуз, например, использует это уравнение для описания объективного коллапса волновой функции, где гравитация становится причиной разрушения суперпозиции квантовых систем.

Общая идея моделей, связанных со сверхлёгкой тёмной материей, заключается в том, что внутри вириальных гало тёмное вещество термализуется и образует гравитационно-ограниченные ядра, которые могут быть описаны конденсатом Бозе-Эйнштейна или сверхтекучей жидкостью. Таким образом, эти модели ведут себя как CDM на больших масштабах, воспроизводя её невероятные наблюдательные успехи, в то время как внутри галактик они демонстрируют волнообразное поведение.

Для такого поведения внутри галактик масса бозонов тёмной материи должна быть очень мала. В литературе существует множество вариантов, и конкретный диапазон масс, в котором происходит это волнообразное поведение, зависит от специфики конкретной модели. Однако можно прикинуть независимым от модели способом ограничения на массу частиц размытой тёмной материи, чтобы представить такое поведение в галактиках. Масса должна быть:

Поведение, отличное от CDM, происходит на субгалактических масштабах, то есть на величинах порядка или меньше, чем волна де Бройля сверхлёгкого бозона. В экстремальном случае она имеет размер галактики. Но можно также получить волну размеров галактики в качестве суперпозиции множества частиц (которые сами по себе меньше, чем галактика в этой гипотезе).

Затем мы можем вычислить наибольшую массу, что означает меньшую длину волны де Бройля для каждой частицы, для которой эта суперпозиция даёт волну размером с галактику. Это означает, что длина волны де Бройля бозона тёмной материи больше, чем межчастичное расстояние между каждым бозоном:

В предположении о сферическом гало межчастичное расстояние определяется как радиус сферы с плотностью ρ. Это даёт ограничение на массу сверхлёгкого аксиона. Такое требование совпадает с условием, при котором появляется бозе-конденсат, поскольку оно эквивалентно условию наличия макроскопического числа заселения основного состояния для температур ниже критической температуры системы.

Ссылки

• Why is the Dark Axion Mass 1e−22 eV?
• Penrose: On the Gravitization of Quantum Mechanics 1: Quantum State Reduction
• Problems with the Newton–Schrödinger equations
• The Schrödinger–Newton equation and its foundations
• The Schrödinger-Newton equation as non-relativistic limit of self-gravitating Klein-Gordon and Dirac fields
• Thesis: Derivation and Meaning of the Newton-Schrödinger Equation
• Applications of the Gross-Pitaevskii equation to gravity
• Cosmological fluid dynamics in the Schrödinger formalism
• Hydrodynamic representation of the Klein-Gordon-Einstein equations in the weak field limit: General formalism and perturbations analysis
• Phenomenology of Axion Dark Matter

▍ Рубрика «численные эксперименты»

We're cosmic math
Make use of a computation
Tap into the digits to write
A set of rules to form the universe
Epica

В наш код для волн-убийц добавляется гравитационный потенциал:

Код

# schrodinger poisson equation - split step fourier transform
function spe_ssft_3d!(Nt, dt, ψ::Array{ComplexF64, 3}, ΔL)

    Nx = size(ψ, 1)
    K = fftfreq(Nx) * (2π*Nx/ΔL)
    k² = [ x^2+y^2+z^2 for x in K, y in K, z in K]
    eᵏ = exp.(-im*0.5*dt*k²)
    k² .= -4π ./ k²
    
    ρ = abs2.(ψ)# .- sum(abs2.(ψ))/length(ψ)
    Φ = fft(ρ)
    Φ .*= k²
    Φ[1] = 0.0
    ifft!(Φ)
    Φ .= real.(Φ)

    ψ .*= exp.(im*0.5*dt*Φ)
    
    for i in 1:Nt
        ψ .*= exp.(-im*dt*Φ)
        fft!(ψ)
        ψ .*= eᵏ
        ifft!(ψ)
        
        ρ .= abs2.(ψ)# .- sum(abs2.(ψ))/length(ψ) # average density
        Φ .= fft(ρ)
        Φ .*= k²
        Φ[1] = 0.0
        ifft!(Φ)
        Φ .= real.(Φ)
    end
    
    ψ .*= exp.(-im*0.5*dt*Φ)
end;

Теперь достаточно отправить в эту функцию трёхмерный массив с начальными условиями, а она посчитает всю физику. Например, загнать туда пару трёхмерных солитонов с массами по двадцать миллионов Солнц и радиусами в полсотни килопарсеков. Получатся гало из тёмной материи. Рендеру конечно будет весело рисовать эти трёхмерные плотности с бурлящей квантовой гидродинамикой:

Но если понизить чувствительность, то выйдут хорошие анимации:

Гало взаимодействуют только посредством гравитации, и на малых скоростях они хорошо вязнут друг на друге. Собственно, подобные расчёты выполняют для групп галактик, по которым есть данные из микролинзирования, и результаты вполне удовлетворительные.

Затем, вспомнив про использованные ранее распределения материи в качестве начальных условий, проведём моделирование на космологических масштабах:

С одной стороны, код прост и поддерживает встроенные средства для параллельных вычислений. Но реализация прожорлива в плане памяти, что ограничивает разрешение сетки по пространству. А ведь в распределении плотности появляется много полостей. Можно было бы попробовать улучшить солвер, используя неэквидистантное преобразование Фурье. Серьёзные же исследователи обычно выводят из нелинейного Шрёдингера уравнения Маделунга (как мы тогда в статье про волны-убийцы), а потом добавляют это всё дело в зарекомендовавшие себя гидродинамические солверы на фортране и сравнивают с другими моделями.

Источник

Итак, нерелятивистская сверхлёгкая тёмная материя даёт космологическую эволюцию и динамику в галактиках. В филаментах крупномасштабной структуры она термализуется и образует гравитационно-связанные системы: гало и может даже бозе-звёзды. Здесь на удивление эффективно работает формализм конденсатов Бозе-Эйнштейна — макроскопических квантовых объектов. Но в нашем случае макроскопичность распространяется на кило- и мегапарсеки!

Собственно, для ещё большего успеха модели нужно немногое — продолжать накапливать данные по карликовым галактикам, микроволновому фону и радиоастрономии со всё возрастающей точностью. Волновая природа сверхлёгкой тёмной материи будет давать некоторые новые прогнозы в распределениях видимого вещества, а именно интерференционные картины, квантовые вихри и тонкие нюансы в микролинзировании реликтового фона. И так как тема только начала набирать популярность, будет ещё много численных моделей и расчётов разной точности и масштабности.

Ссылки

• Нескучная тёмная материя с Игорем Ткачёвым
• Youtube playlist
• Ultra-light dark matter E. Ferreira 2021
• Axion Dark Matter: What is it and Why Now?
• A search for ultra-light axions using precision cosmological data
• A Review on the Scalar Field/Bose-Einstein Condensate Dark Matter Model
• Galaxy formation with BECDM – I. Turbulence and relaxation of idealized haloes
• Galaxy formation with BECDM – II. Cosmic filaments and first galaxies
• The Relativistic Gross-Pitaevskii Equation and Cosmological Bose-Einstein Condensation: Quantum Structure in the Universe
• Testing Bose–Einstein condensate dark matter models with the SPARC galactic rotation curves data
• Testing the Bose-Einstein Condensate dark matter model at galactic cluster scale
• Ultralight scalars as cosmological dark matter

Заключение

Наука есть лучший современный способ удовлетворения любопытства отдельных лиц за счёт государства.
Л. А. Арцимович

Среди многих распространено заблуждение, что физика ищет ответ на вопрос «как всё устроено на самом деле» и что исследователи ищут некую «Абсолютную Истину». Но следует помнить, что человеческое восприятие и возможности познания весьма ограничены. Единственное, что могут позволить себе колонии клеток, управляемые сложноорганизованными сетями, это строить модели для окружающего враждебного мира. Так что физика занимается построением моделей, описывающих реальность и предсказывающих некоторые новые явления.

Экспериментальные поиски аксионов или любых других частиц часто основаны на резонансных эффектах, и именно задача настройки наших экспериментальных «радио» на широкий диапазон доступных частот делает поиски такими долгими и трудоёмкими. Мы, шматки барионного вещества очень ограничены в своих взаимодействиях. Каким бы ни казалось сложным окружающее естество, это лишь тонкая полоска на спектре возможных энергий, и вполне допустимо, что есть нечто, разделённое с привычными нам масштабами энергий многими порядками величины, при этом опосредованно определяющее наш мир. Невероятно окрыляет то, что мы в своих творческих порывах обращаемся к таким глубинам. Однако нам следует умерить оптимизм. Теоретические предсказания опираются на большое количество допущений, которые могут быть нарушены в природе.

История аксиона, как и большей части современной физики элементарных частиц, началась в 1970-х годах и коренилась в идеях симметрии. Стандартная модель — это история успеха симметрии, но некоторые теории, основанные на симметрии, потерпели неудачу. Действительно ли природа играет по этим правилам? Популярность аксиона как основного кандидата для объяснения тёмной материи — космического клея, который во многих отношениях ответственен за наше собственное существование, возросла. Из чего состоит это загадочное вещество? И откуда оно взялось? Открытие аксиона кажется мучительно близким, обещая ответы на эти глубочайшие вопросы. Первоначально экспериментальные поиски аксиона медленно и болезненно продвигались к теоретически определённым целям. Всё это меняется в настоящее время, и бозонная звезда аксиона только начинает восходить. Теоретики усердно работают, пытаясь ограничить предсказания своих моделей, в то время как новые технологические достижения открывают перспективы для их проверки в ближайшем будущем.

P.S. Кстати, недавно с помощью «Джеймса Уэбба» была обнаружена неожиданно высокая плотность звёздной массы в галактиках ранней Вселенной, и размытая тёмная материя вполне согласуется с этими данными.

P.P.S. Весь использованный код можно найти здесь.

Telegram-канал с полезностями и уютный чат