«Лучшая задача по математике для школьников, которую я встречал в своей жизни» (Алексей Савватеев)

Дано: Есть игрушечная кольцевая железная дорога, состоящая из 13 одинаковых элементов.

Вопрос: какое минимальное количество таких элементов надо докупить, чтобы построить более длинную замкнутую, без пересечений, дорогу?

подсказка

Решение надо искать на комплексной плоскости.

еще подсказка

Корень 13 степени.

Решение и ответ под катом.

w = e^( 2π·i / 13)

Замкнутый контур выглядит так:

a₀+a₁w+a₂w²+a₃w³+a₄w⁴+ a₅w⁵+a₆w⁶+a₇w⁷+a₈w⁸+a₉w⁹+a₁₀w¹⁰+a₁₁w¹¹+a₁₂w¹²=0

Нам надо решить данное уравнение на уровне коэффициентов.

Здесь пахнет основной теоремой Гаусса:

Многочлен 1+x+x²+x³+x⁴+ x⁵+x⁶+x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰+x¹¹+x¹²=0 — неприводим.

Следовательно, все «а» должны быть одинаковы.

Напрашивается ответ а=2, но если мы посчитаем суммарный угол, на который повернулся наш вектор, то он должен быть нечетным, поэтому а=3. Надо еще докупить 26 деталек.

Как же тогда будет выглядеть железная дорога?

ответ

Заменяем базовый строительный юнит на «троечку»:

Получится «волнистая окружность».

А какая ваша любимая задача по математике?

Оригинал: