Матрицы и заключение.
Завершающий урок из цикла про линейную алгебру для 3D-приложений от Александра Паничева — ведущего разработчика логики в UNIGINE. В прошлом уроке мы разобрали углы Эйлера и кватернионы, а в этот раз поговорим о матрицах и подведем итоги.
Матрицы
Проще говоря, матрица в 3D-графике — это массив чисел, расположенных по строкам и столбцам:
В 3D-приложениях используются матрицы либо размером 3х3 (матрицы вращения), либо 4х4 (матрица трансформации). Рассмотрим матрицу 4х4 (трансформацию).
В первых трех столбцах находится вращение (Rotation), которое представлено в виде трех ортогональных друг к другу векторов (ось вправо, ось вперед, ось вверх), а по диагонали масштабирование (Scale).
Почему так? Смотрите предыдущую лекцию. Все дело в самой природе комплексных чисел.
В четвертом столбце — смещение (Translation). А единица под смещением — это гомогенная координата. Если она равна 1 — позволяет сдвигать вектор перемножением матриц. А если равна 0 — Translation считается вектором направления.
Как правило, для удобства работы все объекты в виртуальном мире формируются в определенные иерархии. Такие иерархии называются родительско-дочерними связями.
Например: пистолет в руке главного героя. «Пистолет» является дочерним к объекту «герой».
Когда мы выбираем объекты в 3D-редакторе, в инспекторе объектов справа вверху всегда видна локальная матрица трансформации (декомпозиция локальной матрицы). В ней Position, Rotation и Scale показываются относительно родителя. То есть родитель становится центром начала координат.
Родительско-дочерняя связь с точки зрения кода и матриц реализуется как:
world_B = world_A * local_B
local_B = inverse(world_A) * world_BГде world_A — глобальная (родительская) матрица трансформации, скажем, «героя».
local_b — локальная (дочерняя) матрица, к примеру, «пистолета».
world_b — это ее глобальная (мировая) матрица трансформации.
Узнать положение точки
(vec3_world_position_B)относительно «глаз» объекта A:
vec3 relative_pos_B = inverse(world_A) * vec3_world_position_B;Связь с камерой:
view = inverse(transform)где transform — матрица трансформации камеры,
view — матрица, которая необходима для перевода вершины какой-либо модели в экранное пространство (читаем про тройку преобразований model * view * projection).
Детерминант mat3 — это объем параллелепипеда из XYZ осей со знаком.
Ранг mat3 — проверка на «схлопывание» базиса в плоскость (2) или в линию (1).
Транспонирование — перевод столбцов в строки:
transpose(mat3) == inverse(mat3)Если базисные вектора ортогональны и единичной длины (т.е., для любой матрицы вращения или в случае mat4 — если позиция нулевая).
Собираем матрицу в движке UNIGINE
Здесь и далее мы рассказываем про то, как работает UNIGINE изнутри.
Итак, есть два пути создания матриц:
Все это быстрее, чем mat4(translate() * rotate() * scale())!
Создание матрицы масштабирования
В матрицах есть набор таких методов, как setScale (или setTranslate). Их название часто путает — можно подумать, что они задают масштаб и смещение соответственно. Но на самом деле слово set лишь означает, что мы инициализируем матрицу масштабирования (или смещения). То есть каждый метод set означает новую матрицу.
Создание матрицы вращения
Углы Эйлера в матрицу и обратно
Инвертирование
Без SSE: 140 умножений, 67 сложений! Через SSE: всего 35 _mm_mul_ps. Инвертирование кватернионов все равно проще:
Заключение
Примечание редактора: на самом деле, текст снизу предназначался для первой части лекции, где не было еще кватернионов и матриц. Но, пример слишком хорош, чтобы от него отказываться, так что давайте на миг представим, что мы не читали все то, что написано выше. :)
Итак, просуммируем все то, что мы узнали в данной лекции. Рассмотрим задачу нахождения площади треугольника. Как ее лучше всего реализовать?
Как найти площадь треугольника? Вариант 1
Как найти площадь треугольника? Вариант 2
А почему?
Так, погодите-ка, а если немного оптимизнуть...
А можно сделать еще лучше?
Пару слов про SIMD (SSE, AVX):
Каков результат?
Выводы:
Не используем тригонометрию (sin/cos/tan) там, где этого можно избежать. Эти операции реально медленные.
Если есть возможность использовать
length2()вместоlength()— не отказываемся от этого.По возможности производим операции над векторами, а не над компонентами векторов. SIMD — наш скрытый друг, товарищ и брат!
Ну и, самое важное: стараемся локализовать данные, с которыми работаем. Пишем cache-friendly код и все такое. Даже самая тяжелая тригонометрическая операция на порядок быстрее, чем простое взятие числа из оперативной памяти.
