Некоторые математические задачи нерешаемы, и это не так уж плохо

Автор оригинала: Patrick Honner
  • Перевод

Постройте выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами.

Вероятно, то, что я даю такие задания, многое говорит обо мне, как об учителе. Я наблюдаю за тем, как студенты пытаются выстроить прямые углы последовательно. Когда у них это не получается, они пытаются перемежать прямые углы. Снова потерпев неудачу, они вставляют их в многоугольник случайным образом. Скрежет, издаваемый их мозгами во время мыслительных усилий — музыка для ушей учителя.

Потом у них возникают подозрения и они начинают задавать вопросы. «Вы сказали о прямых углах. Может, на самом деле вы имели в виду три угла?», «Вы точно имели в виду выпуклый многоугольник?», «Четыре прямых угла, по сути, образуют прямоугольник. Как мы можем получить ещё четыре стороны в восьмиугольнике?» Я внимательно слушаю, киваю, подтверждая их догадки.

Наконец, кто-то задаёт вопрос, который никто не осмеливался задать, вопрос, которого я ждал: «Слушайте, а это вообще возможно?»

Этот вопрос обладает мощью, способной менять образ мышления в математике. Те, кто думал узко о конкретных условиях, теперь должны думать более широко о том, как соответствуют друг другу эти условия. Те, кто работает внутри системы, должны сделать шаг назад и изучить саму систему. На протяжении всей истории математики этот вопрос задавался множество раз, им озадачивались те, кто решал задачи квадратуры круга для обхождения города Кёнигсберга. И этот вопрос позволяет нам сформулировать, что же такое математика и как мы её понимаем.

Например, поиск восьмиугольника с определёнными свойствами сильно отличается от задачи демонстрации, что такого восьмиугольника существовать не может. Экспериментируя с разными восьмиугольниками, мы ведь можем и наткнуться на такой, где есть четыре прямых угла.


Это не пример. На самом деле у этого восьмиугольника нет четырёх прямых углов.

Но удача не играет никакой роли в доказательстве того, что подобный восьмиугольник не может существовать. Для него требуется глубокое знание, не только многоугольников, но и самой математики. Чтобы учесть невозможность, нам нужно понять, что простое допущение о существовании объекта не доказывает его существование. Математические определения, свойства и теоремы живут в условиях давления, вызванного их взаимосвязанностью. Пытаясь представить восьмиугольник с четырьмя прямыми углами, мы находимся внутри этих взаимосвязанных правил.

Но чтобы осознать, что восьмиугольник невозможен, нам нужно отступить на шаг назад и взглянуть на картину в целом. Какие математические и геометрические принципы могут быть нарушены восьмиугольником с четырьмя прямыми углами? Здесь хорошо будет начать с теоремы о сумме углов многоугольника.

Сумма внутренних углов n-стороннего многоугольника определяется по формуле:

S = (n – 2) × 180º

Так получилось, потому что каждый n-сторонний многоугольник можно разрезать на (n − 2) треугольников, сумма внутренних углов каждого из которых равна 180º.

В случае восьмиугольника это означает, что сумма его внутренних углов равна (8 – 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º. Тогда если четыре из его углов прямые, то есть каждый равен 90º, то это составляет 4 × 90º = 360º от общей суммы углов. Значит, на оставшиеся четыре угла восьмиугольника остаётся 1080º – 360º = 720º.

Это означает, что среднее для четырёх оставшихся углов должно быть равно:

$\frac{720º}{4} = 180º$


Но внутренние углы выпуклого многоугольника должны быть меньше 180º, то есть это невозможно. Выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами не может существовать.

Доказательство невозможности таким способом требует сделать шаг назад и посмотреть, как различные математические правила, например, формула суммы углов многоугольника и определение выпуклого многоугольника, существуют во взаимном давлении. И поскольку доказательства невозможности полагаются на более широкое рассуждение над множеством правил, часто существует несколько способов построения такого доказательства.

Давайте вернёмся к нашему предыдущему замечанию о том, что четыре прямых угла составляют прямоугольник.


Внешние углы многоугольника.

Если бы восьмиугольник имел четыре прямых угла, то обойдя только эти углы, мы бы совершили полный круг, как будто мы полностью обошли вокруг прямоугольника. Эта мысль приводит нас к правилу, дающему ещё одно доказательство невозможности. Известно, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360º. Поскольку внешний угол прямого угла также является прямым углом, наши четыре прямых угла составят все 360º от суммы внешних углов восьмиугольника. То есть остальным четырём углам не остаётся ничего, и мы снова установили, что такой восьмиугольник невозможен.

Доказательство того, что что-то невозможно — мощное математическое событие. Оно сдвигает нашу точку зрения, мы превращаемся из подчиняющихся правилам в контролирующих правила. А чтобы контролировать правила, нам нужно сначала их понять. Мы должны не только знать, как применять их, но и ситуации, в которых они неприменимы. А также находить ситуации, в которых правила могут конфликтовать друг с другом. В процессе исследования восьмиугольника мы выявили взаимосвязь многоугольников, выпуклости, прямых углов и сумм углов. И это подчёркивает, что S = (n – 2) × 180º — не просто формула: это одно из условий в мире конфликтующих условий.

Доказательства невозможности могут помочь нам лучше понимать все области математики. В школе уроки по теории вероятностей часто начинаются с подбрасывания множества воображаемых монеток. Я предлагаю ученикам создать жульническую монету, имеющую склонность к выпадению орла или решки, обладающую следующим свойством: при подбрасывании монетки дважды результаты двух подбрасываний с большей вероятностью будут разными, чем одинаковыми. Другими словами, вы с большей вероятностью выбросите орла и решку, чем орла и орла или решку и решку.

После экспериментов и мыслительных неудач ученики приходят к интересной гипотезе: разные результаты никогда не имеют бОльшую вероятность, чем одинаковые. Алгебра выявляет это и указывает на лежащую в основе этого явления симметрию.

Допустим, монетка смещена в сторону выпадания орла. Мы назовём вероятность выпадания орла $\frac{1}{2} + k$, где $0 < k ≤ \frac{1}{2}$. Тот факт, что $k > 0$, гарантирует, что орёл более вероятен, чем решка, имеющая вероятность $\frac{1}{2} – k$, поскольку сумма двух вероятностей должна быть равна 1.

Если мы подбросим монету дважды, то вероятность получения двух орлов или двух решек будет равна

$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2}$


Здесь мы складываем вероятность получения двух орлов (левая часть) с вероятностью получения двух решек (правая часть). При помощи алгебры мы можем упростить вероятность получения одинакового результата при обоих бросках:

$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2} = \frac{1}{4} + k + k^{2} + \frac{1}{4} – k + k^{2} = \frac{1}{2} + 2k^{2}$

.
Поскольку $k > 0$, мы знаем, что $\frac{1}{2} + 2k^2 > \frac{1}{2}$$, а это означает, что с большей вероятностью результаты бросков будут одинаковыми. На самом деле, мы видим, что даже если $k = 0$ (монета не жульническая), вероятность одинаковых результатов равна $\frac{1}{2}$, из-за чего вероятность разных результатов бросков тоже равна $\frac{1}{2}$. Тот же результат никогда не будет менее вероятным, чем разные.

Как и в случае задачи с многоугольником, мы видим работу конкурирующих математических давлений: изменение вероятности получения одной стороны монеты изменяет вероятность получения другой, и эта взаимосвязанность управляет пространством возможностей результатов двух бросков. Мы выявили это давление, пытаясь выполнить невозможное.

Таким давлениям можно подвергнуть любую область математики. Попробуйте найти шесть последовательных целых чисел, сумма которых равна 342, и благодаря своей настойчивости вы придёте к более глубокому пониманию чётности. (Тот факт, что последовательные целые числа попеременно становятся чётными и нечётными, влияет на то, какими могут быть их суммы.) Нахождение кубического многочлена с целочисленными коэффициентами, имеющего три невещественных корня, научит вас важности сопряжённых комплексных чисел — пар комплексных чисел, произведение и сумма которых всегда вещественны. А если вы попытаетесь вписать в окружность непрямоугольный ромб, то обнаружите важное свойство циклических четырёхугольников — противоположные углы четырёхугольника, вершины которого лежат на окружности, должны иметь сумму 180 градусов.

Столкновение с невозможным позволяет нам исследовать границы наших математических миров. Невозможное само по себе является своего рода обобщением, поэтому естественно будет продолжить обобщение: восьмиугольник не может иметь четырёх прямых углов, но как насчёт десятиугольника? Как насчёт выпуклого многоугольника с n > 4 сторонами? Подобные вопросы упираются в границы наших математических миров и углубляют их понимание.

Если мы будем продавливать границы дальше, то невозможное может даже вдохновить к созданию новых математических миров. Чтобы доказать невозможность получения квадратуры круга (этой задаче уже не менее двух тысяч лет), необходима современная теория трансцендентных чисел, которые не могут являться корнями целочисленных многочленов. Для решения задачи о семи кёнигсбергских мостах Эйлер превратил острова и мосты в вершины и рёбра, дав жизнь обширным областям теории графов и теории сетей, а также множеству их сфер применения. Получение квадратного корня от −1 привело к созданию совершенно новой системы арифметики. А логик Курт Гёдель навсегда изменил математику, доказав, что невозможно доказать, что всё истинное истинно.

Поэтому когда в следующий раз вы столкнётесь с математической задачей, спросите себя: «Возможно ли это?» Столкновение с невозможностью может дать вам более глубокое понимание того, что возможно. При этом вы даже сможете создать новые области математики.

Упражнения


1. Найти площадь треугольника с длинами сторон 46, 85 и 38.

2. Пусть $f (x) = 2x^3 + bx^2 + cx + d$. Найти такие целые $b$, $c$ и $d$, при которых $f \left(\frac{1}{4}\right) = 0$.

3. Найти полный квадрат, в котором все составляющие его цифры принадлежат множеству {2, 3, 7, 8}.

Ответы


Ответ 1
Такой треугольник не существует. Длины его сторон не удовлетворяют теореме неравенства треугольника, гласящей, что сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Это можно показать геометрически: возьмём отрезок длиной 85 и на его концах построим окружности радиусами 38 и 46. Эти окружности не пересекутся, из-за чего невозможно найти третью вершину треугольника.


Любопытно будет применить что-нибудь типа формулы Герона для вычисления площади этого не-треугольника. Из этого последуют интересные вопросы!

Ответ 2
Существуют различные способы определения невозможности такого многочлена. Например, эти условия нарушают теорему о рациональных корнях, гласящую, что любые рациональные корни многочлена должны быть соотношением делителя свободного члена (d) и делителя старшего коэффициента (2).

Ответ 3
Любопытный факт о полных квадратах доказывает нам, что эта задача невозможна. В разряде единиц полного квадрата могут быть только цифры 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Это можно показать возведением в квадрат каждой возможной цифры и наблюдением за возможными результатами. Поскольку ни один полный квадрат не может заканчиваться на 2, 3, 7 или 8, не существует полного квадрата, состоящего только из этих цифр.



На правах рекламы


Какими бы не были ваши задачи, всегда не помешают доступные и надёжные серверы. Даже для сложных математических расчётов, максимальная конфигурация — 128 ядер CPU, 512 ГБ RAM, 4000 ГБ NVMe.

VDSina.ru хостинг серверов
Серверы в Москве и Амстердаме

Похожие публикации

Комментарии 46

    +1
    4 угла по 90 и 4 по 180 — это выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами.
    Наиболее корректное и непротиворечивое определение выпуклых многоугольников включает в них точки лежащие на сторонах.
      –1
      Количество углов в 180 градусов на каждой стороне восьмиугольника — бесконечно. Это вроде как не нарушает условие выпуклости.
        +9
        Восьмиугольник обязательно располагать в плоскости?
          +1
          По условиям задачи, это умалчивается.
            –2
            А что такое плоскость?
            Если мы из теории вернёмся в реальный мир, то пока не доказано что вселенная не плоская. И если мы возьмём 8-ми угольник достаточно большого размера, или в гравитационном поле, то можно будет построить такой 8-ми угольник.
              0
              Плоскость вполне себе определена в рамках евклидовой геометрии. Причём тут «давайте перейдем в реальный мир» и измерений кривизны вселенной? То, что вселенная не плоская, запрещает нам рассматривать идеализированные объекты, или что? Если вы хотите придумать такую поверхность, на которой можно построить такой восьмиугольник — это все равно будет другой такой же идеальный объект.
                +1
                В задаче не сказано что решать её надо в рамках евклидовой геометрии.
                Зачем придумывать? мы на шаре живём. На нём вполне можно начертить такой восьмиугольник. Так что восьмиугольный выпуклый участок земли может быть не только в теории, но и на практике.
                  0
                  мы на шаре живём. На нём вполне можно начертить такой восьмиугольник.

                  Это еще какое приближение! А если внимательнее посмотреть, то уже не шар — а геоид. А как только вы попробуете описать поверхность, на которой чертите свой восьмиугольник, достаточно подробно, до мельчайших деталей — столкнетесь с проблемой береговой линии)
                  Меня триггернул ваш порыв перевести все «из теории в реальность». Который на самом деле из теории в другую теорию, от одной модели к другой — и в этом нет ничего плохого. Просто противопоставление «теория-реальность» абсолютно не к месту.
                    –1
                    Так это и есть из теории в реальность. Научат что нельзя, а потом участок земли отмерить не смогут, скажут это невозможно. Если задача невозможная, то первым делом следует уточнить условия, а потом уже заявлять что она невозможная. Речь-то не про школьников, а студентов.
                    0

                    На шаре, к стати, нельзя, там сумма углов >= 180*(S-2)

                      0
                      Ну так поэтому и можно. У нас же проблема что сумма углов превосходит ту, что получается по формуле на плоскости.
                        0

                        Наоборот же. У нас проблема в том, что 4 прямых угла это всего 360 градусов и остававшиеся углы в среднем будут по 180 градусов, т.е. хотя бы один будет больше 180, чего не может быть в выпуклом многоугольнике как в евклидовой плоскости, так и на шаре.

                          0
                          оставшиеся углы будут в среднем по 180 градусов на плоскости, и более 180 градусов на шаре.
                          Треугольник с суммой углов 270 градусов(все прямые) на шаре нарисовать элементарно. 2 точки на экваторе, 3-я на полюсе.
                          Соответственно если добавить туда ещё 5 углов, по 180 градусов, получится 3*90+5*180=1170градусов возможная сумма углов на шаре для 8-ми угольника.
                          а на плоскости (8-2)*180=1080
                            0
                            более 180 градусов на шаре.

                            Не менее 180 градусов на шаре.


                            Соответственно если добавить туда ещё 5 углов, по 180 градусов

                            Что такое "угол 180 градусов" в многоугольнике на шаре? Это любая точка на стороне этого треугольника? Почему тогда всего 5, а не бесконечное количество? Почему квадрат в евклидовой плоскости не считается восьмиугольником с четырьмя прямыми углами и четырьмя углами по 180 градусов с вершинами в середине каждой стороны?

                              0
                              Да, любая точка.
                              Потому что в задаче восьмиугольник. 8-3=5.
                              вопрос про углы в 180 градусов не ко мне. Я такого не утверждал.
                                0

                                Почему только одна точка, а не больше или все сразу? Если любая точка считается углом — у вас бесконечноугольник. Если не любая — чем отличаются те, которые считаются?


                                Я подскажу — потому что у многоугольника соседние стороны не могут лежать на одной прямой (по всем известным мне определениям многоугольника). И углов в 180 градусов в многоугольнике быть не может. Вернее их там бесконечное количество, но в зачет N для N-угольника они не идут.


                                Потому что в задаче восьмиугольник. 8-3=5.

                                В задаче надо 4 прямых угла вообще-то.

                0
                Как только прочитал условие, сразу возник восьмиугольник в 3-х мерном состоянии с приподнятыми вершинами с углами по 90.
                В корне не согласен с автором:
                установили, что такой восьмиугольник невозможен.

                Такая логика действует только с действительно талантливыми студентами, с которыми в принципе и подействует фраза «ДА эта задача решается». Большая часть скажет, невозможно, к чему доказательства пошли дальше.
                На лицо типичная «ошибка выжевшего», попытка натягивания методики на жажду знаний индивидуумов.
                +1
                Важная первая часть — 4 по 90. И восемь точек. На них построен восьмиугольник удовлетворяющий требованиям задачи. Причем тут бесконечности?
                  +3
                  Любой прямоугольник, это 4 точки. Остальные четыре можно проставить где угодно на любой из сторон и назвать это творение восьмиугольником. Впрочем, математик я, так себе.
                    +3

                    Вам не кажется глупым называть квадрат восьмиугольником?

                      0
                      Согласен, но и задание не очень…

                      Впрочем: «Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка)...».
                        0
                        Вы просто не с той стороны смотрите. Даны восемь гвоздей на плоскости. На них по кругу натянута веревка. Есть только два варианта. Веревка касается всех гвоздей. Или не всех. В первом случае это выпуклый восьмиугольник.
                          +1
                          Два варианта могут быть и такими: убирание любого из гвоздей меняет выпуклую оболочку или есть гвоздь, который можно убрать не изменив оболочку.
                            0
                            Это как раз другая сторона :)
                            У меня проф деформация, что точки убирать нельзя. N мерная оболочка параболы дает N-1 делоне триангуляцию. А в этих точках просто неоднозначность, поделить можно по разному
                        0
                          +1
                          ОК
                          0
                          в *-угольниках углы не могут быть 180+ градусов
                            +2
                            Не спора, но понимания ради, спрошу — из какого определения взят упомянутый вами постулат?
                              0
                              у тов. Ingulf потеряно слово «выпуклых»
                                0
                                согласен, моя невнимательность
                    –5
                    Гёдель навсегда изменил математику, доказав, что невозможно доказать, что всё истинное истинно.

                    Это невозможно доказать лишь в рамках классической логики, которая для парадоксального выражения Гёделя вообще не применима. Это как раз хороший пример, когда для разрешения парадокса надо сделать два шага назад и усомниться в самых основах. Подробнее тут:


                    +3

                    Как выше заметили, многоугольник может быть не только в евклидовой плоскости. На других поверхностях, например гиперболических, построить такой восьмиугольник не представляет труда.


                    В задаче про монетку тоже не хватает условия, что вероятность выпадения орла на каждом шаге остается неизменной, т.е. монетка stateless. Моя монетка выпадает решкой на чётных и орлом на нечётных бросках.


                    Я понимаю, что это "само собой подразумевается", но если уж речь идёт о "понять математику поглубже", то такие решения должны учитываться.

                      0

                      А ну ка расскажите как в таком случае монета определяет что она упала? Потому как если вы вводите в нее свойство памяти о предыдущем состоянии (чет нечет)

                        0

                        Мы сейчас про математику говорим или про техническую реализацию?


                        Ну и как-то обрывается на самом интересном месте ваш комментарий.

                      0
                      image
                      Постройте выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами.

                        0
                        Упс, картинка в комментарии сверху пропала. Перезалил на HabraStorage.
                        image
                        +2
                        логик Курт Гёдель навсегда изменил математику, доказав, что невозможно доказать, что всё истинное истинно

                        1. Он доказал, что в определённого рода формальных системах есть высказывания, которые недоказуемы и при этом недоказуемы также их отрицания. Насчёт истинности этих высказываний не всё так просто.


                        2. На математику это глобально никак не повлияло. А должно было?


                          0
                          1. ну коцептуально теорема о неполноте связана с проблемой останова — а та повлияла весьма сильно.
                            0

                            Ну смотри. Построили формальную систему, т.е. задали аксиомы (которые и принимаются как истина, по сути синоним). Если найдеться такое утверждение (а теорема говорит о существованиии а не о возможности найти, но допустим нашли), то его придеться сделать аксиомой, либо его отрицание. Т.е. в том числе невозможно доказать истинность.

                              0

                              Это абсурдное утверждение, поэтому для него не просто нельзя доказать истинность, а для него понятие истинности вообще не применимо. Попробуйте сделать аксиомой утверждение "это утверждение ложно", либо его отрицание и посмотрите, что получится.

                                +1
                                теорема говорит о существованиии а не о возможности найти

                                Это так, но на самом деле в доказательстве Гёделя такое утверждние строится явно.


                                его придеться сделать аксиомой, либо его отрицание

                                Не обязательно. Ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не считаются аксиомами в математике, хотя хорошо известно, что они недоказуемы.


                                Ну и если вы сделали какое-то утверждение аксиомой, то после этого оно становится доказуемым в один шаг (а именно указанием на то, что это аксиома).


                                Ну и добавлю на всякий случай, что 1) аксиомы задают теорию, но ещё не формальную систему — для последней также необходимы правила вывода, то есть дедуктивная система, и вот если она задана, то можно говорить о доказуемости; 2) а чтобы говорить об истинности, теории тоже недостаточно, нужна модель теории, иначе говоря семантика.

                              +1
                              Это похоже на дзенский коан: «Наконец, кто-то задаёт вопрос, который никто не осмеливался задать, вопрос, которого я ждал: «Ты втираешь мне какую-то дичь Слушайте, а это вообще возможно?» Учитель улыбнулся и ответил: «Вот, наконец ты постиг Дзен»
                                0

                                Вся суть Яндекс.Дзен в одном коане

                                  +1

                                  Ну если преподавать все время только дзен методикой, то научиться именно решать не получиться. Так что дзен нужен в меру, а вот какова эта мера да дзен его знает

                                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                Самое читаемое