Уточнение погрешностей — физические константы в настоящей и новой версиях Международной системы единиц (СИ)

Автор оригинала: Michael Trott
  • Перевод
29 марта 2019 года — Майкл Тротт, главный научный сотрудник





Вступление


В так называемой «новой СИ» — обновленной версии Международной системы единиц, которая будет определять семь основных единиц измерения (секунда, метр, килограмм, ампер, кельвин, моль и кандела) и которая вступит в силу 20 мая 2019, все единицы измерения СИ будут определятся через точные значения фундаментальных физических постоянных. Как результат, все названные единицы СИ (ньютон, вольт, ом, паскаль и т. д.) будут, в конечном итоге, выражаться через фундаментальные константы. (Наконец-то, фундаментальная физика будет буквально управлять нашей повседневной жизнью ☺)

В представленной таблице демонстрируется как все изменится с вечера понедельника 20 мая до утра вторника 21 мая этого года.

image

Вычисление данных из этой таблицы является целью этого блога. Итак, начнем с краткого обзора того, что изменится в новой СИ.

Помимо общеизвестного точного значения скорости света, через несколько недель еще четыре физических константы — постоянная Планка, постоянная Больцмана, постоянная Авогадро и постоянная Милликана (чаще называемая элементарным электрическим зарядом) — будут иметь точные значения. Решение об этом изменении было принято на международном уровне в ноябре прошлого года (я написал об этом в своем последнем imageблоге).

Ниже представлен фрагмент страницы 12 текущего проекта брошюры СИ.

image

Обратите внимание, что в этих определениях десятичные числа подразумеваются как точные десятичные числа, а не, скажем, машинные числа на компьютере, которые имеют конечную точность и не являются точными числами. Частота перехода в расщеплённой сверхтонкой структуре Cs-133, скорость света и «световая эффективность» уже сегодня имеют точные значения.


Мир обсуждает грядущие перемены


Это изменение будет иметь некоторые интересные последствия для других физических постоянных: некоторые константы, которые в настоящее время измеряются и имеют значения с погрешностями, станут точными, а некоторые константы, которые в настоящее время имеют точные значения, в будущем будут иметь приблизительные значения с конечными погрешностями. Эти изменения неизбежны, чтобы гарантировать общую согласованность системы.

В первом выпуске «Физики мира» этого года в письме к редактору от Уильяма Гофа затрагивалась эта тема; он написал:

С фиксацией заряда на электроне (e) и постоянной Планка (h) все физические единицы теперь «увековечены в камне», что очень приятно. Но это поднимает один неловкий вопрос. Постоянная тонкой структуры image, где c это скорость света и image это image. Из знакомых уравнений image и image мы быстро находим что image. Это, конечно, чистое число с безразмерной величиной, и оно теперь навечно зафиксировано как равным 1/137.13601, что очень близко к принятому значению. Это не удивительно, так как последнее значение было бы использовано в согласованных новых значениях для e и . Но у природы есть своя ценность, неизвестная нам в настоящее время, которая из-за этого увековечена в алмазе. Мы можем быть прощены за то, что намекаем на то, что знаем лучше природы. Но что, если будущая теория вселенной станет принятой, и даст точное значение image, которое значительно отличается от принятого значения? Может ли такое случиться? Были попытки найти теоретическое значение для α, но они включают угрожающую и спорную квантовую электродинамику.


Проблема в том, что в новой системе СИ оба image и image теперь будут иметь неточные значения с некоторой погрешностью. В этом блоге мы будем использовать язык Wolfram Language и его знания о физических единицах и константах, чтобы увидеть, как эти и другие физические константы приобретают (или теряют) погрешность, и почему это является математическим следствием определения основных единиц.


Краткий обзор соответствующих ингредиентов языка Wolfram Language


Язык Wolfram Language — это уникальная среда для проведения численных экспериментов и символических вычислений, выявляя возможные последствия. В дополнение к общим вычислительным возможностям, здесь очень полезны три компонента системы:

1) Единицы языка Wolfram Language и структура физических величин.

«Классические» единицы (такие как метры, футы и т. д.) могут быть использованы в вычислениях и визуализациях. И, конечно же, в переводе единиц измерения.

image

Преобразование в обычные единицы США приводит к дроби (а не к приближенному значению действительного числа!) благодаря точно определенным отношениям этих двух единиц.

image

Физики (особенно) любят использовать «естественные» единицы. Часто эти натуральные единицы являются просто физическими константами или их комбинациями. Например, скорость света (здесь используется ввод на естественном языке).

image

Выраженная в единицах СИ (поскольку это скорость и требуются единицы измерения в метрах и секундах), скорость света имеет точное значение.

image

С другой стороны, постоянная Планка в настоящее время не имеет точного значения. Таким образом, его величина, выраженная в базовых единицах СИ, является приблизительным десятичным числом.

image

image

Обратите внимание, что точность 6.626070… отражает количество известных цифр.

image

image

image

Это последнее рекомендованное значение для постоянной Планка, опубликованное в CODATA 2017 для подготовки к уточнению констант. Ниже представлена соответствующая таблица:

image

Физические константы (или их комбинации), которые связывают две физические величины, часто могут использоваться как натуральные единицы. Простейшими примерами будут измерение скорости в терминах скорости света или микроскопического вращательного момента в терминах . Или энергия может быть измерена в терминах массы с подразумеваемым множителем image. Функция DimensionalCombinations может быть использована для поиска комбинаций физических констант, которые позволяют связать две заданные физические величины. Например, могут быть построены следующие отношения между массой и энергией:

image

Первое равенство отражает знаменитую формулу Эйнштейна image, второе — это эквивалент первого соотношения, а третье — (размерностно) утверждает, что image.

2) Класс сущности «PhysicalConstant», недавно добавленный в Базу знаний Wolfram Knowledgebase.

Функции и объекты в языке Wolfram Language «рождаются вычислительно», то есть они готовы для использования и в вычислениях. Но для описания и моделирования реального мира нужны данные о реальном мире. Структура сущностей — это удобный и полностью интегрированный способ получения таких данных. Ниже представлены некоторые данные об электроне, протоне и нейтроне.

image

Одна из новых единиц сущности — это физические константы. В настоящее время База знаний содержит более 250 физических констант.

image

Ниже представлена дюжина случайно выбранных примеров. Причем без четкого определения того, что именно представляют собой физические постоянные, массы фундаментальных частиц, параметры Лагранжа стандартной модели и т. д. Для удобства список также содержит астрономические постоянные в соответствии с Астрономическим альманахом.

image

Большинство фундаментальных физических констант были названы константами класса C в известной работе Жана-Марка Леви-Леблона Ниже приведены константы классов C и B.

image

image

Возьмем, например, естественную единицу времени, время Планка. Функции ToEntity и FromEntity позволяют легко переходить туда и обратно между физическими константами как единицами и физическими константами как сущностями. Ниже демонстрируется сущность, соответствующая единице планковского времени.

image

image

База знаний имеет множество метаинформации о нем, например, его значения в последних списках CODATA.

image

Последний вывод, который содержит значение и погрешность, подводит нас к третьей важной функции, которая будет полезна позже:

3) Введение функции Around [] в версии 12 языка Wolfram Language. Функция Around [] предоставляет неточное значение, указывая среднее значение и погрешность. Арифметическая модель Around [] базируется на GUM (Руководство по выражению погрешности в измерениях) — не путать с Plus-Minus-calculus Лейбница. Вот такое значение с погрешностью.

image

Наиболее важным и полезным аспектом вычислений со значениями, которые имеют погрешности, является то, что они должным образом учитывают корреляции. Наивное использование таких значений в арифметических числах или интервалах может недооценивать или переоценивать возникающую погрешность.

image

Ниже видим, что функция AroundReplace[] учитывает корреляцию.

image


Вернемся к письму редактору


Теперь давайте используем эти три компонента и более подробно упомянутое письмо Уильяма Гофа редактору.

При текущих приблизительных значениях для e и , эти два значения для постоянной тонкой структуры согласуются в пределах их погрешностей. Первое — это выражение из письма к редактору, а второе — количество (Quantity[]), представляющее константу тонкой структуры.

image

Каждые несколько лет CODATA публикует официальные значения фундаментальных констант (см. константы тонкой структуры); как я уже говорил, значения, используемые в языке Wolfram Language, являются последними значениями CODATA и конечная погрешность отражается в точности числа.

Обратите внимание, что непосредственно измеренное значение постоянной тонкой структуры немного точнее, чем то, которое выражает постоянную тонкой структуры через другие константы.

image

Если мы используем предстоящие точные значения e и , и используем текущее точное значение image, мы получим следующее точное значение для постоянной тонкой структуры в форме image.

image

Маловероятно, что Господь, который даже не играет в кости, выбрал бы такое число для значения image в нашей вселенной. Это означает, что пока e и будут зафиксированы в новой СИ, текущие точные значения image и image неизбежно должны быть “расфиксированы” (см. также статью Голдфарба о величине image новой СИ). (Мы вернемся к тому, почему image и image вскоре должны стать неточными.)

Это означает, что после 20 мая этого года эти результаты станут другими, отличающимися от приведенных ниже.

image

image

(В кратком примечании, класс сущности "PhysicalConstant" также имеет предполагаемые значения для констант, таких как константа тонкой структуры):

image

image

Теперь, если не считать теологического аргумента о точной форме постоянной тонкой структуры, с физической точки зрения, почему image и image должны быть неточными? В качестве аргумента вероятности давайте рассмотрим image. Один из самых выдающихся результатов, это закон Кулона.

image

В существующей системе СИ ампер имеет «точное» определение:

Ампер является тем постоянным током, который, если его поддерживать в двух параллельных проводниках бесконечной длины с незначительным круглым поперечным сечением и размещенных на расстоянии 1 метра в вакууме, будет создавать между этими проводниками силу, равную image ньютона на метр длины.

Это определение использует чисто механические величины ньютон и метр (то есть, после расширения, это секунда, метр и килограмм). Никакой взаимосвязи с зарядом электрона не делается, и в существующей системе СИ элементарный заряд является экспериментально измеренной величиной.

image

И это экспериментально измеренное значение изменилось за эти годы став более точным.

image

Сила в левой части закона Кулона (выраженная в ньютонах) содержит базовую единицу килограмм, который после того, как значение постоянной Планка становится постоянным, также становится точно определимым. Поскольку нет оснований предполагать, что все законы природы могут быть выражены в конечных рациональных числах, единственно возможной «движущейся частью» в законе Кулона будет image. Его числовое значение должно быть определено, и оно сделает так, чтобы левая и правая сторона закона Кулона совпадала.

С более фундаментальной точки зрения физики, константа тонкой структуры является постоянной взаимодействия, которая определяет силу электромагнитных взаимодействий. И, возможно, однажды физика сможет вычислить значение постоянной тонкой структуры, но мы еще далеки от этого. Просто выбор определений единиц не может зафиксировать значение image.

Действительно ли оба image и image становятся нефиксированными, или возможно сохранить один из них точным? Из-за уже точной скорости света и соотношения image, если одно из image или image точное, другое также должно быть точным. Мы знаем, что по крайней мере одно должно стать незафиксированным, поэтому из этого следует, что оба должны быть незафиксированными.

Значения, которые теперь даны постоянной Планка, постоянной Больцмана, постоянной Авогадро и элементарному заряду, не являются ни произвольными, ни полностью определенными. Они определяются примерно до восьми знаков, так что единицы измерения, которые они определяют после 20 мая, соответствуют «размеру» единиц, которые они определяют до 20 мая. Но цифры справа внизу не определены. Таким образом, значение будущей точной величины элементарного заряда может быть image, а не image. Это бритва Оккама и рациональность, которые позволяют нам использовать image.

На более техническом уровне подмена в предыдущем вычислении заключалась в том, что через термин image в формуле image использовался ампер до переопределения (помните image), но также было использовано и точное значение элементарного заряда, означающее определение ампера после переопределения. И нам всегда нужно оставаться в одной системе единиц.


Вычисление таблицы форм, оптимизированных по погрешности


Итак, возникает естественный вопрос: какими должны быть эти «нефиксированные» значения? В моем последнем блоге я «вручную» создал новое значение image. То, что можно сделать вручную, можно сделать с помощью компьютерной программы, поэтому давайте реализуем небольшую программу, которая вычисляет оптимизированную по погрешности форму производных физических констант. В ориентированном на будущее подходе, класс-сущность из семи констант, который определяет новую SI, уже доступен.

Ниже представлены константы, которые будут иметь точное значение в новой СИ.

image

Текущие значения этих постоянных вместе с их погрешностью (вычисляемые с помощью функции Around[]) имеют вид:

image

Используя класс сущности «PhysicalConstant» мы можем получить новые, предстоящие значения физических величин. Обратите внимание, что, как и во всех компьютерных языках, точные целые и рациональные числа являются либо явными целыми числами, либо рациональными (но не десятичными) числами.

image

image

Многие физические константы могут быть связаны уравнениями, заданными физическими теориями различных областей физики. В дальнейшем мы хотим ограничиться теорией фундаментальных электромагнитных явлений, в которой погрешность констант будет сведена к погрешности постоянной тонкой структуры image и постоянной Ридберга image. Если бы мы включили, например, гравитационные явления, мы должны были бы использовать гравитационную постоянную G, которая измеряется независимо, хотя она имеет очень большую погрешность (именно поэтому NSF имела так называемый «Big-G Challenge»).

Далее мы ограничимся электрическими, магнитными и массовыми величинами, погрешности которых сводятся к единицам image и image.

Ниже мы используем новую функцию Around для выражения значений с соответствующими погрешностями image и image.

image
image

В настоящее время, в соответствии с CODATA 2014 относительная погрешность для image составляет около image, а для image около image. Как видим, погрешность для image больше чем для image.

image

image

Ниже приведен график log-базы-10 относительной погрешности image как функции a и b. Очевидно, что для малых степеней относительная погрешность произведения слабо зависит от показателей степени a и b. Этот график показывает, что зависимость погрешности image доминирует относительно a (показатель степени тонкой структуры). Это наблюдение объясняется тем, что погрешность постоянной Ридберга в 50 раз меньше, чем погрешность постоянной тонкой структуры.

image

Чтобы вычислять погрешности различных констант в новой СИ, мы будем использовать следующие шаги:

• Извлечение эквивалентных представлений для физических констант, доступных из класса сущностей «PhysicalConstant».

Эти тождественные равенства между физическими константами являются законами физики и как таковые должны сохраняться как в старой, так и в новой СИ.

• Воспринимать формулы как набор алгебраических равенств, к которым можно применять различные методы исключения, чтобы выразить константу через комбинацию семи базовых постоянных новой СИ, а также константы тонкой структуры image и константы Ридберга image.

Это те девять основных постоянных, которые мы разрешаем применять в определениях каждой новой рассматриваемой константы. (Технически в списке 10 констант, но из-за простого соотношения масштабирования между h и , в этом списке реально находятся девять «разных» констант.)

image

Класс сущности объекта “PhysicalConstant” содержит много информации об отношениях между физическими постоянными. Например, здесь приведены эквивалентные формы четырех констант, которые в настоящее время измеряются и скоро будут определены как имеющие точные значения.

image

В пределах точности измеренных значений все эти единичные элементы работают и сейчас. Вот быстрая численная проверка альтернативных форм постоянной Планка. Но конкретное числовое значение, особенно погрешность, зависит от фактической формы представления. Используя Around[], мы можем легко вычислить результирующие погрешности.

image
image

Ниже приведено графическое изображение результирующих погрешностей различных представлений. Очень большая погрешность десятков представлений может быть прослежена до большой погрешности во второй постоянной излучения.

image

И опять же в рамках погрешности констант, эти отношения должны сохраниться после переопределения. Так какое же из этих представлений лучше всего использовать после переопределения, чтобы минимизировать погрешности? Возможно, ни один из приведенных эквивалентов не является оптимальным, и, комбинируя некоторые из этих представлений, возможно удастся построить лучший, который имеет меньшую результирующую погрешность.

Теперь для последующих шагов алгебраических исключений, мы конвертируем константы, встречающиеся в эквивалентных классах (это возможно, потому что вторые аргументы в Entity ["PhysicalConstant",.] и в Quantity [1 ,.] приравнены). Причина, по которой мы используем сущности, а не величины в последующих вычислениях, двояка: во-первых, сущности являются удобными, легко читаемыми представлениями; и во-вторых, алгебраические функции (такие как GroebnerBasis) не проникают внутрь величин, чтобы определить природу их первого аргумента.

image
image
image

Затем мы делаем все тождества полиномами. Последний шаг означает: (1) вычитание левой стороны из правой стороны; и (2) что никакие дробные степени (например, квадратные корни) констант больше не появляются. Такое преобразование в полином мы осуществляем отыскивая все дробные показатели и находя LCM (наименьший общий множитель) всех их знаменателей.

image

Ниже приведено одно из предыдущих уравнений, которое содержит константы с дробной степенью.

image

После полиномиализации мы приходим к многочленам нескольких переменных в трех присутствующих константах. Эти многочлены должны быть устранены.

image

Следующая таблица демонстрирует как функция toPolynomial, применяется к эквивалентным формам, показанным ранее для элементарного заряда. После канонизации ℏ в image, некоторые из полученных многочленов становятся идентичными.

image

Теперь, на основе имеющихся физических констант (без констант, используемых при определении новой SI), мы получаем достаточное количество эквивалентных форм для создания набора уравнений.

image

Ниже приведен список полученных полиномиальных уравнений для выражения элементарного заряда.

image

Выразим все погрешности через погрешности image и image. Только этих двух констант достаточно, чтобы выразить погрешность многих физических констант. И поскольку их погрешности не зависят друг от друга, и поскольку погрешности довольно малы, то эти две довольно известные постоянные лучше всего подходят для выражения оптимизированной (в смысле погрешностей) новой версии многих физических констант. И, конечно, мы допускаем все семь точных констант из новой СИ; поскольку они являются точными величинами, их наличие не изменит погрешности.

image

Основная работа по выражению заданной константы через константы СИ и image и image будет осуществляться функцией GroebnerBasis. Настройка параметра MonomialOrder -> ElventionOrder является критически важным шагом, который удаляет все «не нужные» физические величины, оставляя одно полиномиальное уравнение с точно определенными константами и (при необходимости) тонкой структурой и константами Ридберга.

image

Путем исключения постоянных, связанных массой электрона, получим image.

image
image

Погрешность этого выражения возникает от члена image. Мы можем определить функцию, которая удаляет член image, вызывающий погрешность.

image
image

Для более компактного представления, мы можем определить функцию, которая возвращает эквивалентную форму, а также старые и новые погрешности — в форме строки.

image

Мы заканчиваем блог представлением таблицы старых и новых погрешностей для более десятка физических констант. Этот список выбран в качестве репрезентативного примера; другие константы могут обрабатываться аналогичным образом (это может потребовать добавления дополнительных неточных констант для сохранения, таких как гравитационная постоянная или параметры стандартной модели).

image

Объединение строк в таблицу дает следующий результат для оптимального представления этих постоянных в новой системе единиц SI.

image

Это была таблица, которую мы намеревались вывести, и нам удалось ее вывести. Обратите внимание на появление image в числителе и знаменателе image и image таким образом, что после сокращения результат image становится image. Подобный список можно найти в нижней части страницы Википедии о переопределении единиц СИ.

Теперь мы можем спокойно ожидать Всемирный день метрологии 2019 года для фундаментально лучшего мира, описанного через фундаментальные константы.

Загрузить блог в формате Wolfram Notebook.
Бесплатная временная версия системы Wolfram Mathematica
Есть вопросы? Обращайтесь info-russia@wolfram.com
Wolfram Research
228,00
Wolfram Language, Mathematica, Wolfram Alpha и др.
Поделиться публикацией

Комментарии 0

Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

Самое читаемое