Занимательные задачки

Люблю нескучные задачки. Перечитывая старые записи, нашёл вот эту — довольно занятную.

Специалисты по теории вероятности обнаружили фундаментальные изъяны в проведении многих социологических опросов и психологических тестов, которые осуществлялись за последние 50 лет.

Дело в том, что гуманитарии совершенно не разбираются в математике. В частности, им не знаком парадокс Монти Холла. Это и неудивительно, ведь данный феномен из теории вероятности противоречит здравому смыслу. А люди гуманитарных специальностей (социологи, психологи и т.д.) проводят свои опросы и вычисляют результаты, исходя из здравого смысла и базовой логики, которая здесь не срабатывает.

Вот простой пример когнитивного диссонанса. На игре «О, счастливчик!» вам предлагают три варианта правильного ответа. Вы выбрали один, но добрый ведущий решает вам помочь и закрывает один из трёх ответов, который точно неправильный. Что нужно делать в такой ситуации? Здравый смысл подсказывает, что нет никаких причин отменять свой выбор. Но теория вероятности чётко указывает, что при смене варианта ответа ваши шансы на победу возрастают в два раза.

Это приблизительное описание известного парадокса Монти Холла (подробное описание под хабракатом). Если учесть его при проведении соцопросов и психологических исследований, то результаты многих из них можно интерпретировать иначе и результаты немного изменяться.

Представьте, что вы пришли устраиваться в маленькую, но подающую большие надежды компанию. Директор решает познакомить вас со своей командой. Он зовет троих сотрудников: дизайнера, программиста и админа.

Первый заходит и с порога бодро заявляет: «Я дизайнер». Следом второй, таинственно улыбаясь: «Я не дизайнер». Через минуту входит третий, усталый на вид и, покачивая головой, отнекивается: «Я не программист».

Директор, откидываясь на спинку кресла и растягиваясь в хитрой улыбке, замечает: «Только один правду сказал! Как тут догадаться кто из них кто?»

Абсолютно реальная история. На западе PR-щики раструбили её довольно широко, а вот русскоязычной аудитории она практически неизвестна.

Однажды профессор американского университета, преподававший дискретную математику, дал студентам конкурсную задачку, пообещав за интересные решения некие поблажки на экзамене.

Внимание: это довольно простая задачка. Она хорошо подходит для интервью и решатся в уме минут за 10.

Итак, не так давно я путешествовал на поезде из Питера в Анапу и обратно. Из Питера поезд вышел в 17:00, был в пути ровно 49 часов и пришел в Анапу в 18:00 через два дня. Обратный поезд выходил из Анапы в 21:00, был в пути тоже 49 часов и пришел в Питер в 22:00 через два дня.
По дороге я поглядел на расписание и заметил, что поезда выходят из Питера в Анапу и из Анапы в Питер каждый день недели в 17 и 21 час соответственно. Я задался вопросом: каково минимальное количество поездов необходимое, для того, чтобы придерживаться расписания?

Замечание 1: поезда идеальны (всегда ходят из П в А и из А в П за 49 часов, не ломаются, могут быть переиспользованы сразу); поезда всегда отправляются в 17:00 и 21:00 (пассажиры не опаздывают, машинист не уходит в запой)

Замечание 2: правильный ответ этой задачи есть в точности число поездов, которое использует РЖД (я спрашивал у проводницы); увы, замечание 1 на РЖД не распространяется :)

Рассмотpим идеальное одноpодное веpтикальное гpавитационное поле. Пусть мы имеем неогpаниченный запас одинаковых идеально одноpодных киpпичей фоpмы пpямоугольного паpаллелепипеда. Один киpпич (А) можно положить на дpугой (Б) так, чтобы центp тяжести киpпича А пpоектиpовался в пpеделах основания киpпича Б (то есть, чтобы киpпич А не падал с киpпича Б). Тепеpь возьмем вместе киpпичи А и Б и положим их свеpху на киpпич В, так, чтобы общий центp масс киpпичей А и Б пpоектиpовался в пpеделах основания киpпича В. Пpи этом констpукция останется устойчивой.


Если пpодолжать этот пpоцесс до бесконечности, какого максимального pасстояния по гоpизонтали можно достичь между левыми гpанями самого веpхнего и самого нижнего киpпича, чтобы ни один кирпич не упал?

Сам эту задачку видел на каком-то из форумов года 4 назад. Обсуждающие к единому мнению не пришли.
Представьте себе ситуацию. Есть самолёт и взлётная полоса с неким покрытием, которое движется в обратную сторону движения самолёта. Скорости движения самолёта при разгоне и движущейся дорожки всегда одинаковы. Получается, что самолёт как-бы стоит на месте, поскольку дорожка движется с идентичной скоростью, но в обратном направлении.

Начнем с ОЧЕНЬ классической задачи и перейдем к менее известным :)

Царь решил проверить мудрецов и, конечно же, решил произвести проверку одевая на них колпаки и заставляя каждого мудреца определять цвет собственного колпака.

Во всех задачах мудрец НЕ МОЖЕТ видеть цвет собственного колпака.
Во всех задачах, если не сказано иного, мудрецы не могут говорить ни слова.
Во всех задачах мудрецы ОЧЕНЬ умны, и, к тому же, каждый из мудрецов знает, что остальные не глупее его.

Итак, приступим…

Задача номер раз (классика из классик).
Царь решил проверить двух своих мудрецов. Царь сказал им:
— У меня есть три колпака — один черный и два белых.

Может, задачка и простая, но зацепило :)

У вас есть зеленые и красные помидоры. Все перемешаны, и находятся в одном большом ведре. Как за минимально короткое время рассортировать их (красные — отдельно, зеленые — отдельно), не прикасаясь к ним руками?

Космический корабль летит к далекой звезде. Команда корабля составляет 101 человек. Все они, кроме одного дежурного, спят в анабиозных камерах.

Внезапно рядом с кораблем выныривает из гиперпространства летающая тарелка враждебной расы. Дежурный должен как можно быстрее разбудить весь экипаж, чтобы противостоять опасности.

Анабиозные камеры (100 штук) расположены одна за другой в длинном коридоре. Чтобы добраться от i-й до (i+1)-й камеры, требуется 1 минута.

В момент ЧП дежурный находится рядом с первой камерой.

Сколько времени нужно, чтобы вывести из анабиоза и привести в готовность весь экипаж корабля?

Cпасибо gimlis, martafey, dab512. Время разморозки одного члена экипажа — 1 минута. Разморозка начинается в момент нажатия специальной кнопки, т.е. затрат времени на запуск размороки нет. Экипаж должен переместиться до конца коридора. На протяжении разморозки рядом с камерой должен присутствовать хотя бы один человек.

В госудаpстве Заболотия в паpламент нужно выбpать по одному депутату от каждого из 999 избиpательных окpугов с одинаковым числом избиpателей в каждом. В Заболотии было всего тpи паpтии: паpтия любителей водки, паpтия любителей пива и паpтия любителей безалкогольных напитков. Согласно пpоведенным социологическим исследованиям, симпатии населения в сpеднем по стpане pаспpеделились так:
(A) Паpтия любителей водки: их поддеpживает 15% избиpателей.
(B) Паpтия любителей пива: их поддеpживает 30% избиpателей.
Паpтия любителей безалкогольных напитков: их поддеpживает 55% избиpателей.
Если в пеpвом туpе ни один кандидат не набиpает 50%, во втоpой туp пpоходят двое, набpавшие наибольшее число голосов.
Оценить, какое наименьшее и какое наибольшее число кандидатов от каждой паpтии может быть избpано в паpламент госудаpства Заболотия?

На рисунке изображены шесть произвольно расположенных кругов, треугольников и квадратов. Ваша задача — назвать остальные фигуры в каждом ряду.

Допустим, что вы — узник, которому вдруг предоставлено право выйти на свободу, но только в том случае, если справитесь с таким заданием: перед вами две двери, одна из них ведет на волю, другая — дорога к смерти.

Сидят два стражника, причем один из них — лгун, а второй всегда говорит правду; вы не знаете, кто из них кто. Вы должны, задав лишь один вопрос одному из стражников, определить дорогу на свободу.

Какой вопрос вы зададите?

Не знаю насколько эта задача известна, но думаю, тем, кто о ней вдруг не знал, она понравится.

«Самолет пролетел 100 км строго на юг, затем 100 км на запад и 100 км на север, после чего оказался в исходной точке. Откуда он вылетел?»

Решение не одно!

Землю рассматривать как идеальную сферу, высотой полета самолета пренебречь.

Думаю, эта задача не является чем-то очень сложным или оригинальным, тем не менее, уверен, что она многим понравится. Её рассказал мой друг, которому его нынешний работодатель при устройстве на работу предложил её решить.

Есть два стеклянных шарика и 100-этажный дом. Вы бросаете шарик с разных этажей этого дома, чтобы выяснить, на каком этаже шарик начинает разбиваться от падения (например, на пятом уже разбивается, а на четвёртом ещё нет). Вопрос: какое точное минимальное количество шагов понадобится для того, чтобы точно узнать на каком именно этаже шарики начинают разбиваться?

Просьба ответ писать белым шрифтом ;)

UPD! Шаг — это один бросок одного шарика.
UPD! Шарик начинает разбиваться с определённого этажа.
UPD! Не все правильно поняли формулировку задачи, поэтому уточняю. Спасибо Aleco. Существуют разные алгоритмы бросания шаров для поиска номера этажа с которого начинается разбиваться шарик. Каждый алгоритм гарантирует определение этажа не более чем за N бросков (например не более чем за 100, если бросать последовательно начиная с нижних этажей). Найдите минимум N и опишите оптимальный алгоритм.

Задачка простенькая, не сложнее задачи про веревку по экватору Земли, но принадлежит к тому же удивляющему типу =)

Итак, был мешок огурцов, который весил 100 кг. Огурцы на 99% состояли из воды. Мешок выставили на солнце, и огурцы там малость подвялились, высохли и стали состоять из воды на 98%. Сколько в результате стал весить мешок с огурцами? (Весом мешка пренебрегаем.)

Теперь задача для математиков :)

Есть резинка длины 1 метр. По ней ползет улитка. Скорость улитки 1см в минуту. Ползет она от левого конца резинки к правому. В конце каждой минуты резинка растягивается и ее длина увеличивается на 1 метр. «Растягивание» происходит мгновенно и равномерно по всей длине.
Вопрос: доползет ли улитка до правого конца резинки?
Понятно, что улитка живет вечно и не устает.
Ответ: доползет примерно через 52000000000000000000000000000000000000 лет

Задача про две пилюли, но матрица тут не при чем :)

Вам нужно каждый день принимать две пилюли — одну из синего пузырька и одну из красного.
Это вопрос жизни и смерти. Если вы этого не сделаете — умрете. И если примете две пилюли из одного пузырька — тоже умрете.
Сегодня, взяв из синего пузырька одну пилюлю, вы слишком сильно тряхнули красный пузырек и вам на ладонь упало две пилюли из красного пузырька.
К сожалению, это не матрица и разноцветные только пузырьки, а не сами пилюли.
Итак у вас на руке лежат три совершенно одинаковые пилюли: одна — из синего пузырька и две из красного.
Никакой возможности их отличить у вас нет — и внешне и на вкус они никак не отличаются.
Выбросить их и взять новые вы не можете — они бесценны.
Как вам, ничем не рискуя, принять лекарство?

Эта задача из серии тех, что школьники средних классов решают быстро, а люди с математическим образованием, часто вообще не решают. Можно задавать уточняющие вопросы по условию, решения писать сюда сразу не стоит.

Две занимательные задачки с монетами. Насчет сложности и общеизвестности судить не берусь, но, надеюсь, они доставят вам удовольствие. Итак:
Задача 1:
Расположите 9 монет таким образом, чтобы получилось 10 рядов по 3 монеты в каждом прямолинейном ряду. На рисунке таких рядов 8. Перекладывайте, как хотите.

Предлагаю хабрагражданам такую задачку. Ее нам как-то раз имел неосторожность рассказать учитель физики. Думаю, можно смело отнести ее к разделу задач, которые задают на собеседовании в Гугль сотоварищи. Здесь опять же важен не ответ, а то, как решает ее человек.

Итак, представьте, что вы сели в самолет и пронесли с собой на борт бутерброд. Как изменится масса самолета (с содержимым, естественно) после того, как вы съедите бутерброд?