Коллективный разум в теории чисел

    В мае на Хабре была опубликована статья, которая повествует о работе Yitang Zhang в области теории простых чисел, вызвавшей большой резонанс в научном сообществе. В этой заметке даётся краткая сводка результатов, которых удалось достичь научному сообществу спустя девять месяцев с момента публикации этой работы.



    Вспомним, что одной из важных, но до сих пор недоказанных, гипотез в теории чисел является гипотеза о простых числах-близнецах (twin prime conjecture), которая предполагает, что существет бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на два, например: (3, 5); (11, 13) и т. д. При этом полагается, само собой, что существует бесконечно много простых чисел — факт, который был доказан ещё Евклидом. В более строгом виде, эта гипотеза о простых числах-близнецах может быть сформулирована следующим образом



    где image обозначает n-ое простое число. Доказательство существования этого предела приводит к доказательству исходной гипотезы. Zhang был первым, кто смог представить доказатательство того, что существет конечная оценка величины интервала для бесконечного кол-ва пар простых чисел. Используя запись выше, результат Zhang может быть записан следующим образом



    Тут важно сделать отступление и сказать что:

    1. Это не значит, что все простые числа отстоят друг от друга на расстоянии меньше 70 000 000. На самом деле, чем больше n, тем больше среднее расстояние между двумя простыми числами и тем меньше вероятность встретить пару простых чисел, которые находятся на маленьком расстоянии друг от друга. Смотрите соответствующую статью в википедии на эту тему.
    2. Это не значит, что взяв любое натуральное число, вы гарантировано обнаружите простое число в интервале плюс минус 70 000 000.
    3. Доказательство состоит в том, что как бы далеко вы не зашли и какое бы большое натуральное число не взяли, всегда найдётся пара простых чисел, находящаяся дальше по оси, такая, что интервал между этими простыми числами будет меньше 70 000 000.

    Эта работа вызвала большой резонанс и подтоклнула многих учёных к дальнейшему улучшению этой границы. Один из самых талантливых математиков современности Terence Tao с группой коллег организовал коллективный проект polymath8a, целью которого было снижение доказанной верхней границы. Буквально за несколько месяцев совместными усилиями удалось существенно улучшить результат Zhang и доказать, что



    Результаты этой работы готовятся к публикации, хотя черновик (внимание, 177 страниц) можно прочесть уже сейчас.

    19 ноября 2013 года последовал следующий прорыв. James Maynard доказал, что



    Гениальный Terence Tao не растерялся и огранизовал новый коллективный проект polymath8b, направленный на улучшение вновь полученной границы. Последний результат гласит, что



    Таким образом известно, что существует бесконечное множество пар простых чисел, интервал между которыми не превышает 270. Потенциально эту границу можно уменьшить до 6, если удастся доказать другую гипотезу (в математике часто бывает, что доказательство одной гипотезы следует из доказательства/опровержения другой — так было, например, с теоремой Ферма).

    Даже в этом случае, однако, это не приведёт немедленно к конечной цели — доказательству гипотезы простых чисел-близнецов, хотя и существенно приблизит математиков к ней.
    Поделиться публикацией

    Комментарии 33

      +2
      Ну вот!!! 270 — это вам не 70 миллионов и 2-й пункт отступления сразу становится очевидным.
        0
        Но когда же всё-таки мы получим простую функцию, позволяющую найти pn для любого n?..
          +3
          А что вы называете простой функцией?
            +5
            Наверное, простая функция должна возвращать простые числа.
            +2
            Если под простой функцией вы имеете ввиду полином, то никогда.
              0
              Т.е. вы утверждаете, что P != NP… смело.
                +1
                Не понял.
                Теорема о несуществовании многочлена P от одной переменной n, такого, что для всех целых P(n) простое и P(n)=P(m)=>n=m не имеет никакого отношения ни к P ?= NP, ни к теории вычислительной сложности вообще.
                  0
                  Да, согласен, моя оплошность. Почему-то подумал, что вы имеете ввиду полиномиальное время.
                  0
                  Собственно:
                  It is known that no non-constant polynomial function P(n) with integer coefficients exists that evaluates to a prime number for all integers n.

                  en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
                  0
                  С другой стороны, есть старый результат Матиясевича, утверждающий существование такого многочлена с целыми коэффициентами от десяти переменных, что множество его неотрицательных значений на положительных целых числах есть в точности множество всех простых чисел.
                    0
                    Да, я знаю. Но это совсем не то же самое, что «pn для любого n».
                0
                А кто-нибудь можно объяснить, чем это полезно помимо математического любопытства?
                  +13
                  Когда Буль в середине 19 века создавал свою алгебру им тоже двигало только математическое любопытство. Компьютеры (которые немыслимы без использования математической логики) начали создавать только через 100 лет.
                    +16
                    Как вспомнил Андрей Коняев, обсуждая эту же тему, именно при вычислении простых чисел-близнецов обнаружили баг в процедуре деления чисел на процессорах Pentium, в результате чего компания Intel потеряла полмиллиарда долларов на замене дефектных процессоров. Вот такая вот польза.
                    +5
                    image — Эта запись не совсем корректна.
                    Правильно будет что-то вроде:



                    Если быть еще более точным, то вместо inf даже можно написать min, поскольку мы имеем дело с целыми числами.
                      +2
                      Спасибо. Насчёт inf я не уверен, придерживался той записи, которая используется в исходных работах.
                        +1
                        При использовании inf, lim и прочего должна быть база для каждого из них. Иначе Ваша запись хоть и понятна, но неграмотна. Я Вам как студент-математик говорю :)
                        +6
                        Корректна. «lim inf» как единый символ — стандартное обозначение, например, mathworld.wolfram.com/InfimumLimit.html.
                          0
                          Спасибо, теперь всё встало на свои места.
                            0
                            Действительно. Просто обычно делают подчеркивание снизу.
                            +3
                            Думаю, что имелся в виду нижний предел (который lim, подчеркнутый снизу).
                            +2
                            Спасибо за новость! Краем глаза слежу за этой темой (хотя сам, по большему счету, понимаю только формулировку задачи). В последний раз, когда я заглядывал на их страничку — они скукожили оценку до ~5000. А тут такой прорыв)
                            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                0
                                Термин «коллективный разум» тоже немного запутывает. Общепринятый термин немного про другое. Тут скорее сотрудничество, что для науки не новость начиная где-то со времен Гаусса. Идеальным названием было бы «простые числа становятся ближе».
                                +1
                                Это не значит, что все простые числа отстоят друг от друга на расстоянии меньше 70 000 000

                                Даже больше — очень просто доказывается, что есть сколь угодно большой зазор между соседними простыми (взять промежуток от k!+2 до k!+k для произвольного k)
                                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                    +24
                                    Числа 4680, 600, 270 появляются следующим образом. Доказывают утверждение в такой формулировке: если k достаточно большое, то для любого набора h1, ..., hk из k чисел, удовлетворяющего свойству А (admissible set), существует бесконечно много чисел n таких, что хотя бы два из чисел n+h1, ..., n+hk простые. Если доказать такое утверждение, остаётся только предъявить один конкретный набор со свойством А, тогда получится граница (максимальное число набора) — (минимальное число набора).

                                    Для гипотезы простых-близнецов достаточно доказать формулировку с k=2; тогда можно взять набор из двух чисел 0 и 2. Но получается доказать только с большими значениями k. Результат с k=632 соответствует границе 4680, вот набор из 632 чисел от 0 до 4680, удовлетворяющий свойству A: http://math.mit.edu/~primegaps/tuples/admissible_632_4680.txt. Граница 600 соответствует k=105, граница 270 — k=54. Вообще, вот ссылка, взятая из черновика polymath8a: http://math.mit.edu/~primegaps/.

                                    Свойство А набора означает, что для каждого простого числа p множество различных остатков набора по модулю p не содержит хотя бы одного из возможных. На примере http://math.mit.edu/~primegaps/tuples/admissible_54_270.txt для границы 270:
                                    • модуль 2: все числа набора чётные, нет остатка 1;
                                    • модуль 3: каждое из чисел набора имеет вид либо 3m, либо 3m+1, нет остатка 2;
                                    • модуль 5: последняя цифра каждого числа набора — одна из 0, 2, 4, 8, нет остатка 1 (он же 6);
                                    • и так для бесконечного количества простых.
                                    (Конечно, начиная с 59, условие выполнено автоматически, потому что всего различных остатков не более 54.)

                                    Уже предвижу следующий вопрос: откуда берутся значения k? А вот тут начинается хардкор. Например, для черновика polymath8a финальное значение получается оптимизацией k (там оно называется k0) в рамках ограничений следующих двух теорем:

                                      +13
                                      а вот тут начинается хардкор
                                      ужасно уважаю математиков.Для меня хардкор начался с самого начала вашего коммента
                                    0
                                    кто смог представить доказатательство того, что существет конечная величина, обозначающая верхнюю границу величины интервала для бесконечного кол-ва пар простых чисел.

                                    Нижнюю же вроде?
                                    и наверное «обозначающая» не вполне корректно использовать. «существует конечная нижняя граница величины интервала» или как то так.
                                      0
                                      Нет, всё правильно, верхняя граница. «Верхняя граница величины интервала для бесконечного кол-ва пар простых чисел равна n» значит «существует бесконечное кол-во пар простых чисел, где они (числа в паре) находятся на расстоянии не более n».
                                        0
                                        м. нет же?
                                        «верхняя граница равна n» значит что для любого i верно P(i+1) — P(i) < n
                                        P(i) — i-ое простое число
                                          0
                                          Верхняя граница не для всех пар простых чисел, а только для бесконечного количества таких пар :)
                                        0
                                        кто смог представить доказатательство того, что существет конечная оценка величины интервала

                                        тоже не то ведь? lim inf же указано даже
                                        0
                                        Скажите, а что Вам мешает писать имена собственные кириллицей? Тем более, что про Чжана Итана есть даже статья в Википедии.

                                        Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                        Самое читаемое