Комментарии 21
Честно, не вдавался в исчисления, но «на глаз», как мне кажется вероятность в 81 процент просто невероятно большая
Такое же чувство приходит и тогда, когда человек впервые видит парадокс Монти-Холла. Вся фишка данной задачи в том, что у нас события не являются независимыми, отсюда и такой результат. В ходе вычислений я применял только известные формулы из теории вероятностей.
Если подставить в полученный результат, n = k = 12, p =1, то мы получим, что если в одиннадцати стульях не нашлось бриллиантов, то в двенадцатом они точно будут. Я не зря писал в левых частях условные вероятности. Это вероятность того, что бриллианты в 12 стуле, если в предыдущих ничего не нашлось.
Если подставить в полученный результат, n = k = 12, p =1, то мы получим, что если в одиннадцати стульях не нашлось бриллиантов, то в двенадцатом они точно будут. Я не зря писал в левых частях условные вероятности. Это вероятность того, что бриллианты в 12 стуле, если в предыдущих ничего не нашлось.
А сумма вероятностей по всем 12 в 266% вас не смущает?
Вы правы, я случайно подставил лишнее значение в знаменатель.
Вопрос — а почему у нас вероятность независимая?
Ведь каждый открытый стул в котором мы не нашли бриллиантов по идее увеличивает вероятность того, что бриллианты будут в следующем? Или я неправильно понял условие задачи и бриллиантов вообще может не быть?
UPD: А все, извините ступил.
Ведь каждый открытый стул в котором мы не нашли бриллиантов по идее увеличивает вероятность того, что бриллианты будут в следующем? Или я неправильно понял условие задачи и бриллиантов вообще может не быть?
UPD: А все, извините ступил.
бриллиантов вообще может не быть?
совершенно верно
Ведь
Вероятность того, что в один из двенадцати стульев зашиты бриллианты, равна 0.9
Т.е. вероятность того, что бриллиантов вообще нет 0,1
Садитесь — Два.
Формулы мало запомнить, их надо уметь применять. Искомая вероятность при такой формулировке задачи — 7,5%.
Формулы мало запомнить, их надо уметь применять. Искомая вероятность при такой формулировке задачи — 7,5%.
Откуда 7,5? Стулья вскрываются поочерёдно. Соответственно, чем больше стульев вскрыто, тем больше шансов в текущем найти бриллианты. Если в первом стуле нашли бриллианты, мы остальные вскрывать не будем.
На момент, когда ни один из стульев ещё не вскрыт, но известен порядок их открывания, вероятность обнаружить бриллианты в любом из них, включая последний = 0.9/12 = 0.075
Если имелось ввиду что остальные стулья уже вскрыты, или есть ещё какие-то дополнительные условия — нужно это оговорить в условиях задачи.
Если имелось ввиду что остальные стулья уже вскрыты, или есть ещё какие-то дополнительные условия — нужно это оговорить в условиях задачи.
Либо я не понял условия Вашей задачи, либо тут сплошная околесица.
Если ищется вероятность того, что бриллианты найдутся в последнем стуле, при условии, что все до него уже были проверены, то она равна p = (1 — вероятность того, что бриллиантов и не было), то есть 0.9, не иначе.
И Вашу предпоследнюю формулу тоже, хоть убейте, не понимаю.
Если ищется вероятность того, что бриллианты найдутся в последнем стуле, при условии, что все до него уже были проверены, то она равна p = (1 — вероятность того, что бриллиантов и не было), то есть 0.9, не иначе.
И Вашу предпоследнюю формулу тоже, хоть убейте, не понимаю.
Стулья вскрываются поочерёдно.. Из-за этого события, относящиеся к разным стульям, не являются независимыми. Нас интересует условная вероятность относительно предыдущих событий. Но бриллианты могут либо быть, либо не быть. В результате условная вероятность (как и любая вероятность) раскладывается по формуле полной вероятности относительно условия «бриллианты зашиты» вообще. Переформулирую условие, чтобы было понятно, о чём речь.
… и непонятно. Вероятность рассматривается при условии, что в предыдущих стульях бриллианты еще не найдены? Тогда ответ 0.9.
И, может, поясните, откуда у Вас появилось p в знаменателе в предпоследней формуле?
И, может, поясните, откуда у Вас появилось p в знаменателе в предпоследней формуле?
С наступившим 2019-м годом. Только что напечатал подробное наглядное рассмотрение ниже по ветке: habr.com/post/225031/#comment_19572464
0.9
The_Freeman правильно написал. Попробую перефразировать:
Т.к. мы не рассматриваем вероятность того, дойдем ли мы до 12-го стула или нет, то по условию задачи нужно посчитать вероятность того, что бриллианты в 12-м стуле — это означает (по условию задачи: «мы переходим к следующему стулу, если в предыдущем бриллиантов нет»), что во всех предыдущих 11 стульях бриллиантов не было.
Т.к. у нас всего 12 стульев (других больше нет), а вероятность того, что хоть в каком-то из них — 0.9. Получается, вероятность — 0.9.
Такую задачку можно задавать на собеседовании на проверку внимательности и логики рассуждений.
Жаль, что автор сам ошибся (либо в постановке задачи либо в ее решении).
The_Freeman правильно написал. Попробую перефразировать:
Т.к. мы не рассматриваем вероятность того, дойдем ли мы до 12-го стула или нет, то по условию задачи нужно посчитать вероятность того, что бриллианты в 12-м стуле — это означает (по условию задачи: «мы переходим к следующему стулу, если в предыдущем бриллиантов нет»), что во всех предыдущих 11 стульях бриллиантов не было.
Т.к. у нас всего 12 стульев (других больше нет), а вероятность того, что хоть в каком-то из них — 0.9. Получается, вероятность — 0.9.
Такую задачку можно задавать на собеседовании на проверку внимательности и логики рассуждений.
Жаль, что автор сам ошибся (либо в постановке задачи либо в ее решении).
Т.к. автор может изменить формулировку условия в посте, привожу то, которое досталось мне на момент прочтения:
Вероятность того, что в один из двенадцати стульев зашиты бриллианты, равна 0.9. При предположении, что стулья вскрывают поочерёдно, причём к следующему переходят только в том случае, если в текущем стуле не нашлось бриллиантов, найти вероятность того, что бриллианты окажутся в 12 по счёту стуле.
С наступившим 2019-м годом! :)
Заглянул в это обсуждение, потому что задал упрощённый вариант этой задачи на школьном математическом кружке. Давайте упростим, действительно, взяв ситуацию с всего двумя стульями. Также, заменим для наглядности 9/10 на 1/2 — теперь можно подкидывать монетку. Подкинем монетку два раза (О — орёл, Р — решка) и договоримся, что одинаковые исходы (ОО, РР) будут означать отсутствие бриллиантов, а при разных исходах (ОР, РО) — бриллианты в том стуле, на который выпал орёл.
Ваш ответ — «вероятность найти бриллианты во втором стуле равна 1/2» (я заменил 9/10 на 1/2 в соответствии с упрощением, из-за монетки — зачем так я упрощаю, объясню ниже). Попробуйте объяснить мне, как именно нужно поставить схему испытаний, чтобы получить такой ответ. Ниже я приведу две схемы испытаний, одна из которых подходит под формулировку задачи, другая — нет. Любопытно, что результат 1/2 не получается ни в одной из приводимых мной ниже схем.
Первая схема: в результате двух подкидываний мы составляем гарнитур из двух целых стульев, с вероятностью 1/2 (ОО, РР) получая отсутствие бриллиантов в обоих стульях, с вероятностью 1/4 получим бриллианты в первом стуле (ОР) и с вероятностью 1/4 получим бриллианты во втором стуле (РО) — после чего рассматриваем все четыре исхода. Приходим к выводу, что если у стульев есть серийные номера (№1, №2), а в задаче спрашивается «какова вероятность, что бриллианты зашиты в стуле №2?», ответ будет — 1/4. Эта схема не подходит под условие задачи, поскольку включает в общий список из четырёх равновероятных исходов один исход, явно запрещённый условием задачи, а именно тот, при котором бриллианты обнаруживаются в первом вскрытом стуле (это станет понятнее после рассмотрения второй, подходящей под условие задачи схемы испытаний).
Переходим ко второй схеме. В формулировке задачи сказано, что «к следующему переходят только в том случае, если в текущем стуле не нашлось бриллиантов». С такой формулировкой удобней номер броска монеты интерпретировать как номер выбранного для вскрытия стула. Нас спрашивают про вероятность нахождения бриллиантов в оставшемся стуле после того, как вскрытие первого стула дало ноль бриллиантов на выход. В этой постановке из мира 4-х равновероятных исходов ОО, ОР, РО, РР вычеркнут один: ОР (поскольку в первом стуле бриллианты обнаружены не были). Оставшиеся 3 исхода так же равновероятны, как до вычёркивания. Поскольку теперь (в мире «при условии, что в первом стуле бриллиантов не обнаружено») исходов осталось 3, вероятность каждого из них — одна треть. Нас интересует один исход из трёх: РО (два других означают полное отсутствие бриллиантов). Его вероятность равна 1/3. Это соответствует решению более сложного случая, приведённому автором заметки.
1/2 не получается никак. Позволю себе такую аналогию. Наличие бриллиантов в одном из стульев — научная гипотеза; обстоятельства таковы, что до экспериментирования по теоретическим расчётам вероятности того, что она верна, и того, что она неверна — равны (1/2 и 1/2). Первый эксперимент для проверки гипотезы: вскрытие первого стула — дал отрицательный результат. Можем ли мы говорить об уточнении научного знания после отрицательного результата первого эксперимента? Можем (а ведь точно, эксперименты ведь и ставятся для уточнения научного знания, не так ли?). Теперь мы в два раза более уверенны, что гипотеза неверна, чем в том, что гипотеза — верна (2/3 против 1/3) — делайте ваши ставки на результат второго эксперимента!
Серьёзно, похожие расчёты применяются при принятии важных решений, вроде того, какое лечение прописывать больному, ну или какое из опробованных на выборке пользователей изменение пользовательского интерфейса выпускать для всех пользователей.
Зачем я упростил задачу к бросанию монеток — в кружке для забавы можно устроить тотализатор. Ученики, уверенные в правильности оценки вероятности 1/2 или 1/4 (т.е. те, кто будет ставить «один к одному» или «один к трём») будут при долгой игре уверенно терять игрушечные деньги тем, кто уверен в правильности оценки вероятности 1/3 (т.е. тем, кто будет ставить «один к двум»). Наглядно.
Заглянул в это обсуждение, потому что задал упрощённый вариант этой задачи на школьном математическом кружке. Давайте упростим, действительно, взяв ситуацию с всего двумя стульями. Также, заменим для наглядности 9/10 на 1/2 — теперь можно подкидывать монетку. Подкинем монетку два раза (О — орёл, Р — решка) и договоримся, что одинаковые исходы (ОО, РР) будут означать отсутствие бриллиантов, а при разных исходах (ОР, РО) — бриллианты в том стуле, на который выпал орёл.
Ваш ответ — «вероятность найти бриллианты во втором стуле равна 1/2» (я заменил 9/10 на 1/2 в соответствии с упрощением, из-за монетки — зачем так я упрощаю, объясню ниже). Попробуйте объяснить мне, как именно нужно поставить схему испытаний, чтобы получить такой ответ. Ниже я приведу две схемы испытаний, одна из которых подходит под формулировку задачи, другая — нет. Любопытно, что результат 1/2 не получается ни в одной из приводимых мной ниже схем.
Первая схема: в результате двух подкидываний мы составляем гарнитур из двух целых стульев, с вероятностью 1/2 (ОО, РР) получая отсутствие бриллиантов в обоих стульях, с вероятностью 1/4 получим бриллианты в первом стуле (ОР) и с вероятностью 1/4 получим бриллианты во втором стуле (РО) — после чего рассматриваем все четыре исхода. Приходим к выводу, что если у стульев есть серийные номера (№1, №2), а в задаче спрашивается «какова вероятность, что бриллианты зашиты в стуле №2?», ответ будет — 1/4. Эта схема не подходит под условие задачи, поскольку включает в общий список из четырёх равновероятных исходов один исход, явно запрещённый условием задачи, а именно тот, при котором бриллианты обнаруживаются в первом вскрытом стуле (это станет понятнее после рассмотрения второй, подходящей под условие задачи схемы испытаний).
Переходим ко второй схеме. В формулировке задачи сказано, что «к следующему переходят только в том случае, если в текущем стуле не нашлось бриллиантов». С такой формулировкой удобней номер броска монеты интерпретировать как номер выбранного для вскрытия стула. Нас спрашивают про вероятность нахождения бриллиантов в оставшемся стуле после того, как вскрытие первого стула дало ноль бриллиантов на выход. В этой постановке из мира 4-х равновероятных исходов ОО, ОР, РО, РР вычеркнут один: ОР (поскольку в первом стуле бриллианты обнаружены не были). Оставшиеся 3 исхода так же равновероятны, как до вычёркивания. Поскольку теперь (в мире «при условии, что в первом стуле бриллиантов не обнаружено») исходов осталось 3, вероятность каждого из них — одна треть. Нас интересует один исход из трёх: РО (два других означают полное отсутствие бриллиантов). Его вероятность равна 1/3. Это соответствует решению более сложного случая, приведённому автором заметки.
1/2 не получается никак. Позволю себе такую аналогию. Наличие бриллиантов в одном из стульев — научная гипотеза; обстоятельства таковы, что до экспериментирования по теоретическим расчётам вероятности того, что она верна, и того, что она неверна — равны (1/2 и 1/2). Первый эксперимент для проверки гипотезы: вскрытие первого стула — дал отрицательный результат. Можем ли мы говорить об уточнении научного знания после отрицательного результата первого эксперимента? Можем (а ведь точно, эксперименты ведь и ставятся для уточнения научного знания, не так ли?). Теперь мы в два раза более уверенны, что гипотеза неверна, чем в том, что гипотеза — верна (2/3 против 1/3) — делайте ваши ставки на результат второго эксперимента!
Серьёзно, похожие расчёты применяются при принятии важных решений, вроде того, какое лечение прописывать больному, ну или какое из опробованных на выборке пользователей изменение пользовательского интерфейса выпускать для всех пользователей.
Зачем я упростил задачу к бросанию монеток — в кружке для забавы можно устроить тотализатор. Ученики, уверенные в правильности оценки вероятности 1/2 или 1/4 (т.е. те, кто будет ставить «один к одному» или «один к трём») будут при долгой игре уверенно терять игрушечные деньги тем, кто уверен в правильности оценки вероятности 1/3 (т.е. тем, кто будет ставить «один к двум»). Наглядно.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
В погоне за стульями