В мире математических парадоксов


    Доброго времени суток, уважаемое хабрасообщество.

    Сегодня я хотел бы затронуть такую увлекательную тему, как математические парадоксы. По данной теме на хабре уже было опубликовано несколько замечательных статей (1,2,3,4,5), но в математике интересные парадоксы этой выборкой далеко не исчерпываются.

    Поэтому попробуем рассмотреть другие занимательные парадоксы (а некоторые и «не совсем» парадоксы), которые пока еще не получили здесь должного освещения.

    Парадокс кучи и парадокс «Лысого»


    Данные парадоксы известны еще с древности. Для начала сформулируем и рассмотрим парадокс кучи, связанного с неопределенностью понятия «куча»:

    «если к одному зерну добавлять по зёрнышку, то в какой момент образуется куча?»
    или обратная формулировка:
    «удаляя из кучи в 1 млн зёрен по одному зёрнышку, с какого момента она перестаёт быть кучей?»

    Формулировка парадокса основана на очевидной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зернышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. Из этих предпосылок следует, что никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен. Очевидно, что эти рассуждения приводят к неправильным выводам.

    Однако до самого недавнего времени не было ясно, какие тогда рассуждения здесь использовать. Лишь с появлением теории нечетких множеств Лофти Заде и нечеткой логики стало ясно, что здесь уместны нечеткие расуждения, поскольку имеется в наличии классический объект нечеткой логики — неопределенное понятие «быть кучей». Данные объекты в нечеткой логике интерпретируются как имеющие неточное значение, характеризуемое некоторым нечётким множеством.

    Согласно таким рассуждениям заключение на каждом шаге остается прежним, но принадлежность его правильности уменьшается с каждым шагом. Когда эта принадлежность падает меньше 50%, то более правильным становится противоположное заключение.

    Аналогичные рассуждения можно применить и к парадоксу «Лысого»:
    «Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?»

    Парадокс лжеца



    Если утверждение на картинке истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что оно — ложно; но если оно — ложно, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что утверждение на картинке — ложно, и, значит, это утверждение истинно.

    Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание, которое одновременно и истинно и ложно. В рамках формальной логики данное утверждение не доказуемо и неопровержимо, поэтому решения данного парадокса не существует, но существуют различные варианты его устранения.

    Для этого можно применить рассуждения используемые в предыдущем разделе, для этого положим, что утверждение истинно на 0,5, тогда оно и ложно на 0,5, то есть не всякую фразу можно назвать целиком ложной или целиком истинной — «в чем-то высказывание на картинке лжет, а в чем-то — говорит правду»

    К такому же выводу можно придти с помощью тройственной логики. В ней есть три степени истинности: «истина», «ложь» и «неопределенно». Под «неопределенно» понимается промежуточное по смыслу значение между истиной и ложью. К данной степени истинности и относят парадокс лжеца.

    Как уже говорилось это не решения парадокса лжеца, а всего лишь объяснения, почему данный парадокс возникает в классической двузначной логике высказываний. Они свидетельствует, что строгое деление всех высказываний на истинные и ложные в данном случае неприменимо, поскольку ведет к парадоксу.

    В настоящее всемя многие придерживаются такой точки зрения, что данное высказывание вообще не является логическим утверждением, и применять к нему классические методы формальной логики бессмысленно.

    Парадокс Тесея


    Данный парадокс можно сформулировать следующим образом:

    «Если все составные части исходного объекта были заменены, остаётся ли объект тем же объектом?»

    Было предложено несколько решений этого парадокса. Согласно философской школе Аристотеля существует несколько описывающих объект причин: форма, материал и суть вещи (которая, по учению Аристотеля, является самой важной характеристикой). Исходя из этого корабль остался тем же, так как его суть не поменялась, лишь изменился износившийся материал.

    В следующем решении предложили дать аргументу «тот же» количественную и качественную характеристику. В таком случае, после смены досок корабль Тесея окажется количественно тем же, а качественно — уже другим кораблём.

    В последнее время для решения парадокса Тесея предложили использовать 4-х мерную интерпретацию, в которой 3-х мерный корабль имеет также протяженность в 4 измерении-времени. Получившийся 4-х мерный корабль на протяжении временного ряда количественно идентичен с собой. Но отдельные «временные срезы» качественно могут отличаться друг от друга.

    Парадокс Абилина



    Данный парадокс заключается в том, что группа людей может принять решение, противоречащее возможному выбору любого из членов группы из-за того, что каждый индивидуум считает, что его цели противоречат целям группы, а потому не возражает.

    Парадокс был описан Джерри Харви в статье The Abilene Paradox and other Meditations on Management. Имя парадоксу дано по мотивам следующего анекдота, описанного в этой статье:

    В один жаркий техасский вечер некая семья играла в домино на крыльце до тех пор, пока тесть не предложил съездить в Абилин отобедать. Жена сказала: «Звучит неплохо». Муж, несмотря на то, что поездка обещала быть долгой и жаркой, подумал, что надо бы подстроиться под других, и произнёс: «По-моему, неплохо; надеюсь, что и твоя мама не откажется». Тёща же ответила: «Конечно, поехали! Я не была в Абилине уже давно».
    Дорога была жаркой, пыльной и долгой. Когда же они наконец приехали в кафетерий, еда оказалась невкусной. Спустя четыре часа они, измученные, вернулись домой.

    Один из них произнёс неискренне: «Верно, неплохая была поездка?». Тёща на это сказала, что, на самом деле, она бы лучше осталась бы дома, но поехала, раз уж остальные трое были полны энтузиазма. Муж сказал: «Я был бы рад никуда не ездить, поехал лишь чтобы доставить остальным удовольствие». Жена произнесла: «А я поехала, рассчитывая на радость остальных. Надо было быть сумасшедшим, чтобы добровольно отправиться в эту поездку». Тесть ответил, что он предложил это лишь потому, что ему показалось, что остальным скучно.

    И они сидели, ошеломлённые тем, что поехали в поездку, которой никто из них не хотел. Каждый из них предпочёл бы спокойно наслаждаться тем днём.

    Данный парадокс легко объясняется различными социологическими науками, подтверждающими, что человек редко совершает поступки, противоречащие поступкам его группы. Думаю многие не раз сталкивались с данном парадоксом и в своей жизни.

    Парадокс Симпсона и феномен Уилла Роджерса


    Замечу, что данные парадоксы являются «кажущимися», то есть они могут возникнуть на интуитивном уровне, но если провести вычисления, то легко убедиться, что никакого парадокса не возникает.

    Для иллюстрации парадокса Симпсона рассмотрим пример, описанный известным популяризатором математики Мартином Гарднером.

    Пусть мы имеем четыре набора камней. Вероятность вытащить чёрный камень набора № 1 выше, чем из набора № 2. В свою очередь, вероятность вытащить чёрный камень из набора № 3 больше, чем из набора № 4. Объединим набор № 1 с набором № 3 (получим набор I), а набор № 2 — с набором № 4 (набор II). Интуитивно можно ожидать, что вероятность вытащить чёрный камень из набора I будет выше, чем из набора II. Однако, в общем случае такое утверждение неверно.

    Пример, в котором выполняется парадокс Симпсона:
    Черные шары Белые шары Вероятность вытащить черный камень
    Набор №1 6 7 6/13 ≈ 0,4615
    Набор №2 4 5 4/9 ≈ 0,4444
    Набор №3 6 3 6/9 ≈ 0,6667
    Набор №4 9 5 9/14 ≈ 0,6429

    Теперь смешаем наборы №1 и №3 — из которых черные камни можно вытащить с большей вероятностью и наборы №2 и №4 — из которых черные камни можно вытащить с меньшей вероятностью.

    Черные шары Белые шары Вероятность вытащить черный камень
    Набор I 12 10 12/22 ≈ 0,5454
    Набор II 13 10 13/23 ≈ 0,5652

    Как мы видим из таблицы после смешивания вероятность вытащить черный камень из набора II стала выше чем из набора I.

    Математически никакого парадокса тут нет, так как общая вероятность набора зависит от соотношения количества камней черного цвета и обоих цветов, в данном случае в 4 наборе было 9 черных камней, а в первом аж 7 белых, которые больше всего и повлияли на итоговый расклад.

    Близок к парадоксу Симпсона и феномен Уилла Роджерса. По сути в них описывается одно и то же явление, но в других терминах.
    Думаю многие не раз сталкивались с фразами подобные такой:
    «Когда оки покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, то повысили средний интеллект обоих штатов»

    Эту фразу приписывают Уиллу Роджерсу, в честь чего феномен и получил свое название.

    С точки зрения математики никакого парадокса тут тоже нет. Чтобы в этом убедиться достаточно рассмотреть два множества: первое — {1, 2}, а второе — {90,100}, если число 90 из второго множества перенести в первое, то среднее арифметическое элементов как первого множества так и второго повысится.

    Исчезновение клетки



    Широкий класс задач на перестановку фигур, обладающих признаками софизмов: изначально в их условие введена замаскированная ошибка. В какой-то мере данные задачи ближе к оптическим иллюзиям, чем к математике.

    Для примера расмотрим одну подобную задачу: дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка.

    Математически парадоксов и таинственного исчезновения площади тут нет. Визуально наблюдаемые треугольники, на самом деле таковымы не являются, гипотенузы в обоих псевдотреугольниках на самом деле являются ломаными линиями (в первом треугольнике она с изломом внутрь, а во втором — наружу). Если наложить треугольник друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «пропавшая» площадь.

    Вместо заключения


    К моему большому сожалению невозможно рассмотреть все интересные математические парадоксы (и «не совсем» парадоксы) в рамках одной статьи. Но надеюсь, что данная статья не оставила Вас равнодушными, и буду очень рад если Вы решите, что не зря потратили время за чтением.
    Поделиться публикацией

    Похожие публикации

    Комментарии 91

      +12
      Прочитал про Парадокс Абилина (за что спасибо автору), и понял, что я не один такой )))) каждый раз, когда с бывшей женой и её родственниками нужно было куда-то ехать, я не отказывался только потому что ценил их настроение, и расчитывал на радость остальных. Математика — наше всё!
        +9
        Напомнило мне притчу «50 лет вежливости»
        Одна пожилая супружеская пара праздновала золотую свадьбу. За общим завтраком жена подумала:
        — Вот уже 50 лет, как я старалась угодить своему мужу и всегда отдавала ему горбушку с хрустящей корочкой. А сегодня я хочу, чтобы этот деликатес достался мне.
        Она намазала себе маслом верхнюю половину хлебца, а другую отдала мужу. Против ее ожидания, он очень обрадовался, поцеловал ей руку и сказал:
        — Моя дорогая, ты доставила мне сегодня большую радость! Вот уже более пятидесяти лет я не ем нижнюю половину хлебца, ту, которую я больше всего люблю. Я всегда думал, что она должна доставаться тебе потому что ты ее так любишь.
          +5
          Математика — наше всё!
          При чём тут математика?
            –2
            Решение приведенных парадоксов (и не только их) легло в основу современной математики
              +3
              Я имел в виду конкретный парадокс — парадокс Абилина, который скорее имеет отношение к психологии чем к математике.
                0
                Сорри, не понял сразу
          +6
          Квант кучи — 4 элемента, 3 внизу, и 1 сверху. Именно такая структура является минимальной кучей.
          Так что правильный ответ «смотря как добавлять». если кидать сверху — то уже с 4 элементов _может_ получиться куча. (а может и нет, если будет просто один слой)
            +1
            А как же парадокс с Лысым субъектом?
              0
              это вопрос компактности оволосения — то есть любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.
                0
                С Лысым — все довольно просто — субъект считается лысым, если его нельзя «причесать» таким образом, чтобы не была видна кожа головы под выпуклой оболочкой множества точек являющихся корнями волос. Надо только еще сделать ограничение, что площадь прически должна быть не меньше K% от площади поверхности головы, чтобы казаки с «чубами» все-таки считались лысыми.
                  +4
                  Тогда получается, что имея всего один волос длиной в несколько километров, и аккуратно по спирали причесав, так чтобы можно было закрыть кожу — человек уже не будет считаться лысым?
                  И наоборот? Если у человека короткий ёжик на голове, и кожа головы просвечивает, то он тоже считается лысым?
                  Хотя посоны нарекают
                  … людей с такой прической «лысыми». Может они знают истинный алгоритм?
                  +1
                  А как же лысый квант? И если мы будем заменять его по частям, останется ли он прежним квантом, или исчезнет, как пустая клеточка? :)
                  Спасибо автору, с удовольствием почитаю продолжения, если будут.
                    +1
                    Всмысле лысый квант кучи, который солидарен с другими квантами своей кучи?
                      0
                      Да, когерентен и солидарен, но только с лысыми и лысеющими.
                  –1
                  Я думаю, что в данном парадоксе куча подразумевает под собой значение «много».
                  Если к одной песчинке постепенно добавлять по одной, то с какого момента их станет много.
                    0
                    С много еще проще :) «Один, два, много».
                      +5
                      Не соглашусь

                      1 яблоко
                      2, 3, 4 яблока
                      5, много яблок

                      Так что с 5.
                        –1
                        А если яблоки заменить на кофе?
                        +2
                          0
                          Обычно понятие «много» определяется через число пальцев на руках
                            0
                            21 яблоко
                            23 яблока
                            25, много яблок

                            Так что, с 25?
                              +1
                              А почему не с 0 яблок? Почему не с 105 яблок? Думаю, вы сами сможете ответить на вопрос, чем переход от 4 к 5 отличается от перехода от 24 к 25.
                                0
                                Не могу. Подскажите.
                                  0
                                  4 и 5 идут раньше, появились раньше, и 24 и 25 стыкуются с существительными аналогично 4 и 5, но не наоборот. Т.е. 4 и 5 первичны.
                              +9
                              Яблоко 4s пропустили.
                              –1
                              А почему два не много?
                              +1
                              Не-а. Ничего (null), один, много. :-)
                            +2
                            Квант кучи — 4 элемента, 3 внизу, и 1 сверху.

                            Работает только для компактных, «округлых» объектов, вроде яблок.
                            Три мешка картошки, например, уже можно свалить в одну кучу так, что никто не будет сомневаться, что это куча. А что-нибудь длинное и тонкое, вроде кабеля или верёвки, может образовать кучу даже из одного экземпляра. Бесформенное, кстати, тоже.
                              0
                              В русском языке есть точное определение понятия куча.
                              Один объект, два объекта, три объекта, четыре объекта, но пять объектов, шесть объектов… Объекты перестают различаться, начиная с 5-ти. То есть 4 — еще не куча, а пять — уже.
                                0
                                Ого! Это супер! Запомню.
                                  0
                                  habrahabr.ru/users/VoidEx/ заметил это чуть раньше. Я нашел этот коммент уже после того, как написал свой, за что сильно извиняюсь!
                                    +1
                                    991 — не куча? =)
                                      0
                                      Браво! Видимо, предкам не встречались кучи более 20-ти штук))
                                  +1
                                  А в английском языке объекты перестают различаться начиная с 2 :-)
                              0
                              Однако до самого недавнего времени не было ясно, какие тогда рассуждения здесь использовать. Лишь с появлением теории нечетких множеств Лофти Заде и нечеткой логики стало ясно, что здесь уместны нечеткие расуждения, поскольку имеется в наличии классический объект нечеткой логики — неопределенное понятие «быть кучей».

                              Согласно таким рассуждениям заключение на каждом шаге остается прежним, но вероятность его правильности уменьшается с каждым шагом. Когда эта вероятность падает меньше 50%, то более правильным становится противоположное заключение.


                              Сначала говорится о нечеткой логике, только после появления которой вдруг стало понятно, что делать с парадоксом, и сразу же говорится о вероятностях, с которыми нечеткая логика не оперирует (вернее, открещивается от них, хотя и не очень успешно) и которые появились задолго до нее. Данный переход сам по себе выглядит несколько парадоксально :)
                                –1
                                ну так вероятностная логика тоже является нечеткой
                                  +1
                                  Неверно. Нечеткая логика является вероятностной, а вовсе не наоборот.
                                    0
                                    Да Вы правы, несколько необдуманное утверждение с моей стороны
                                  +1
                                  да, вы правы. Нечеткая логика оперирует не вероятностями, а принадлежностями к тому или инному терму. Уместнее сказать:

                                  Согласно таким рассуждениям заключение на каждом шаге остается прежним, но принадлежность его правильности уменьшается с каждым шагом. Когда эта принадлежность падает меньше 50%, то более правильным становится противоположное заключение.

                                  Функция принадлежности
                                    0
                                    согласен с Вами, поправил
                                  0
                                  ну так вероятностная логика тоже является нечеткой
                                    +16
                                    Как по мне, парадокс то, что это парадоксы.
                                    Парадокс кучи
                                    Ну да, не определили точного (численного) значения «куча» и говорим о парадоксе? Да таких можно миллионы придумать.
                                    Парадокс лжеца
                                    Используем грамматику языка и опять говорим о парадоксе, а если я скажу «круглый квадрат»?
                                    Парадокс Тесея
                                    Если части меняем постепенно, тогда это тот же корабль, так как в каждую итерацию, это один и тот же корабль, а если разобрали полностью, и собрали уже из новых деталей, то это будет новый корабль.
                                    Парадокс Абилина
                                    Как-то вообще странно, психология поведения человека в группе намного сложнее, чем это одно выражение.
                                    Парадокс Симпсона
                                    Смешиваем интуицию, логику и вероятность? Ну-ну.
                                    Исчезновение клетки
                                    Ага, «обманули дурака на четыре кулака» и получили парадокс :)

                                    Не воспринимайте мой комментарий за чистую монету, просто парадоксы повеселили, хотя некоторые на те времена были необходимы.
                                      0
                                      ну почему на «те», теория нечеткой логики была предложена менее 50 лет назад, а первые два парадокса не в последнюю очередь используются при обосновании ее состоятельности
                                        0
                                        Было бы интересно услышать пример реального, по вашему мнению, парадокса
                                          +6
                                          На мой непрофессиональный взгляд самые сильные парадоксы основаны либо на аксиоме выбора (множество Витали, теорема Хаусдорфа, парадокс Банаха-Тарского), либо на автореференции (парадокс Берри). Про них тоже можно сказать, что они «нереальные», но аксиома выбора стала для теории множеств аналогом пятого постулата Евклида и чуть не разломала её, а пользуясь автореференцией Гёдель чуть было не разломал теорию формальных систем, так что если не считать такие парадоксы реальными, то что вообще считать реальным в математике тогда.

                                          P.S.:
                                          «God is real unless explicitly declared integer.»
                                          — J. Allan Toogood
                                            +2
                                            О-о-о, вот ваши парадоксы всем парадоксам парадоксы. Если вы напишете статью про них на хабр, будет просто замечательно.
                                              +2
                                              Ирония в том, что я уже про часть писал, третья ссылка у автора.
                                              +3
                                              Не вижу особой разницы между парадоксом Берри и парадоксом лжеца. Можно ещё вспомнить парадокс Кантора (или парадокс Рассела, или парадокс брадобрея) — он из той же серии.
                                              Множество Витали — неясно, в чём его парадоксальность. Существуют неизмеримые множества, ну и что? Пока меру Лебега определишь, придётся неоднократно задуматься «а почему делается именно так», и тот факт, что мера есть не у всех множеств, удивления уже не вызывает. Да и что такого особенного в этой счётной аддитивности?
                                              Вот «парадокс всемогущества» (сможет ли Бог создать такой камень, который не сможет поднять) — ещё можно обдумать. Но это не математика, а, скорее, психология.
                                                +1
                                                Под «парадоксом» я имею в виду утверждение, противоречащее так называемому «здравому смыслу», т.е. наивным представлениям о математических объектах, основанным на наблюдении реального мира.
                                                Поэтому, на мой взгляд, парадоксальность множества Витали и любых множеств на прямой, неизмеримых по Лебегу, в том, что для них нарушается инвариантность относительно движений, т.е. можно (как это сделал Хаусдорф) разбить на счетное число кусков отрезок [0, 1] и собрать из них при помощи сдвигов отрезок длины 2. И мне этот вывод кажется более парадоксальным, чем даже сильная формулировка теоремы Банаха-Тарского, т.к. там быстро становится понятно, что «режут» на части, не имеющие объема, а это уже «чит», а тут никакого «чита» на первый взгляд не видно.
                                                Все парадоксы авторефа похожи друг на друга, т.к. за ними одна и та же идея, но Берри, на мой взгляд, все же интереснее лжеца и брадобрея. Можно еще вспомнить парадокс Греллинга-Нельсона, раз уж вспомнили про симантические парадоксы.
                                                Если честно, я не знаю в современной математике по-настоящему нерешенных парадоксов. Там, где все ломает аксиома выбора, можно либо не пользоваться ей, либо ввести расширенную аксиоматику вместо ZFC, к примеру NBG, в которой существование «множества всех множеств» из парадокса Кантора противоречит системе аксиом. С авторефом разобрался Гёдель и группа товарищей, и теперь он используется не только для парадоксов, но и во благо.

                                              +1
                                              Сложно сказать, так как математика чертовски точная наука, поэтому реальным парадоксам здесь не место, или же они вне плоскости моего понимания). Все известные как бы парадоксы или разрешены; или просто являются некими феноменами; или скрывают некоторые данные. Есть замечательная работа Гёделя — «Теорема о не полноте», вот она на много лучше голову вскружит и заткнёт многие парадоксы. Потом, разные мелочи, как например 1 = 0.(9); 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2, скатерть Улама, тоже дают понять красоту и глубину математики. Из теории игр нравится очень Парадокс Браеса. Из поведенческих аномалий также сильным выводом является парадокс активного пользователя, из которого проистекает мода на минимализм и мэм «RTFM». В физике тоже больше интересных парадоксов, меня всегда поражали противоречия квантовой и релятивистской механики.
                                            +7
                                            Согласно таким рассуждениям заключение на каждом шаге остается прежним, но вероятность его правильности уменьшается с каждым шагом. Когда эта вероятность падает меньше 50%, то более правильным становится противоположное заключение.
                                            Это не математика, а софистика. В математике сначала даются определения, а потом из них делаются выводы. Например:
                                            Кучей называется такое число объектов, что при заданном инструменте измерения и доступном времени нельзя определить это число

                                            Для среднестатистического человеческого глаза не натренированного специально на такие задачи и доступному времени в одну секунду, минимальное такое число будет порядка 8. Как видно, задача скорее физиологическая, чем математическая.

                                            Для этого можно применить рассуждения используемые в предыдущем разделе, для этого положим, что утверждение истинно на 0,5, тогда оно и ложно на 0,5, то есть не всякую фразу можно назвать целиком ложной или целиком истинной — «в чем-то высказывание на картинке лжет, а в чем-то — говорит правду»
                                            Опять какая-то софистика. Данный парадокс, иллюстрирует лишь, что рекурсивные выражения могут быть противоречивыми и, как следствие, выпадают из области формальной логики, которая оперирует лишь непротиворечивыми выражениями. Парадокс брадобрея и теорема кантора — из той же оперы.

                                            В последнее время для решения парадокса Тесея предложили использовать 4-х мерную интерпретацию, в которой 3-х мерный корабль имеет также протяженность в 4 измерении-времени. Получившийся 4-х мерный корабль на протяжении временного ряда количественно идентичен с собой. Но отдельные «временные срезы» качественно могут отличаться друг от друга.
                                            И опять софистика, не имеющая отношение к математике. Введите чёткое определение понятию «тот же» и «парадокс» исчезнет. Например, я регулярно езжу на «том же» Сапсане. И не важно, что каждый раз это разные поезда, для меня он «тот же» по номеру рейса.

                                            Данный парадокс заключается в том, что группа людей может принять решение, противоречащее возможному выбору любого из членов группы из-за того, что каждый индивидуум считает, что его цели противоречат целям группы, а потому не возражает.
                                            Это вообще психологический парадокс, хорошо иллюстрирующий лицемерие нашего общества. Нет бы искренне сказать «не хочу ехать в Абилин, но если решите поехать, то я с вами».
                                              –2
                                              Согласен с Вами, что данные парадоксы завязаны на нечеткие определения, но и объяснить их пытаются с этими же нечеткими определениями, а как это делается и что из этого получается, я и пытался отразить в статье
                                              +2
                                              Только мне показалось что статья к математике имеет весьма слабое отношение? Нам про подобные парадоксы рассказывали на формальной (а не математической) логике, что вроде бы как не совсем математика.
                                                0
                                                если не использовать математический аппарат, то да, но нечеткая логика уже математика
                                                +7

                                                Ах, видели бы вы глаза девушки, когда увидела это воочию=)
                                                  0
                                                  На 19 секунде шоколадка составлена из частей разных шоколадок)
                                                    0
                                                    Нет, тут как и с треугольниками в статье — угол длинного разреза иной, и он визуально скрашивает потерю части площади шоколадки. В конце даже видно, что правый верхний край не совсем параллелен общему ребру. Но на гуманитариев впечатление произведет.
                                                      0
                                                      Если вы пристально присмотритесь на 19 секунде на ту часть шоколадки (планку составленную из 3 долек), сверху которой палец убирает одну дольку, а именно в нижнюю часть на линии разлома, то заметите милиметровый выступ (снизу слева), который по логике должен принадлежать дольке снизу. Но эта долька-то целая (при геометрии разреза на 9 секунде эта долька не может пострадать)! Очевидно, что эта планка совершенно не отсюда.
                                                        +1
                                                        На самом деле авторы видеоролика сжульничали. Шоколадка разрезается вовсе не так, как показано в начале ролика. Настоящая шоколадка в оригинале появляется на 31 секунде. Вот если разрезать шоколадку так, как на 31 секунде и произвести обратные действия, то у вас как раз в левом верхнем углу появится свободное место для 1 дольки. А ее просто поставили из другой шоколадки. Это никакой не парадокс, а просто фокус. Легко можно убедиться, поставив дома эксперимент.
                                                      0
                                                      А в горшочке очевидно кусочки от предыдущих итераций ))) бесконечная шоколадкааа!!!
                                                      +2
                                                      К слову, парадокс лжеца практически повсеместно используется в электронике. Отрицание собственного утверждения — основа любого автогенератора.
                                                        0
                                                        Про парадокс Симпсона есть интересный вопрос. Какое минимальное число камней нужно, если во всех кучках должны присутствовать и чёрные и белые камни? А если допускаются одноцветные кучки?
                                                        В первом случае я нашёл пример с 19 камнями, во втором — с 9. Кто меньше?
                                                          0
                                                          Думаю, многим будет интересен недавний пост «Математика – один из видов искусства»: пост к столетию со дня рождения Мартина Гарднера (http://habrahabr.ru/post/244563/), в котором некоторые из рассмотренных выше парадоксов представлены в виде интерактивных моделей:
                                                          ,
                                                            –3
                                                            При чём здесь математика? В тексте описываются какие-то философские умозаключения (куча, зёрнышки...), логические подходы к жизненным ситуациям и чуть-чуть теория вероятности.

                                                            Что за математика без формул? Смех!
                                                              +3
                                                              Парадокс лжеца
                                                              Парадокс лжеца
                                                                +3
                                                                Про парадокс Тесея. Четырехмерность корабля не решает парадокс. Парадокс решает разнесение понятий функциональный объект и физический объект. Такое разнесение предложено в стандарте ИСО 15926. Я попытался дать намек на такое описание в статье. Смысл в том, что корабль существует только в сознании людей.
                                                                  0
                                                                  «Лысый» и «Куча» напомнили мне где-то однажды увиденный и до сих пор обескураживающий меня геометрический парадокс (или это не парадокс?):

                                                                  На некотором ненулевом расстоянии от прямой на плоскости находится точка. Через эту точку проходит другая прямая, перпендикулярная первой. Поскольку прямые перпендикулярны, то на плоскости они пересекаются. Начинаем поворачивать вторую прямую вокруг данной точки — при этом точка пересечения прямых смещается относительно изначальных координат пересечения прямых.

                                                                  И тут возникает вопрос: на каком расстоянии от места первоначального пересечения прямые перестанут пересекаться и станут параллельными? Они ведь когда-то станут параллельными, если продолжать вращение? Или это свидетельство того, что параллельных прямых на самом деле не существует? Вот рисунок, чтобы было проще себе представить описанное:

                                                                    0
                                                                    Это не«Лысый» и «Куча». Это — Ахиллес и черепаха.
                                                                      0
                                                                      Честно говоря, не улавливаю аналогию. Тут вроде нет речи о сходящихся рядах (пусть даже замаскированных под геометрические фигуры). Правда, я не математик и не представляю себе, как можно формализовать эту задачу. Можете дать популярно-математический ответ на мои вопросы?
                                                                        +2
                                                                        Аналогия в том, что если постоянно перемещать точку пересечения, угол между прямыми будет сколь угодно близок к нулю, но никогда не равен, так же как Ахилл никогда не догонит черепаху, приближаясь к ней сколь угодно близко.

                                                                        Вообще говоря, вопрос «на каком расстоянии от места первоначального пересечения прямые перестанут пересекаться и станут параллельными?» изначально поставлен неверно: если есть точка пересечения, прямые не параллельны по определению (если не считать, что параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке, тогда ответ «на бесконечном расстоянии»).
                                                                          0
                                                                          Если руководствоваться бытовым здравым смыслом, то получается именно это:
                                                                          параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке, тогда ответ «на бесконечном расстоянии»

                                                                          Но это означает, что параллельные прямые всегда пересекаются (в бесконечно удалённой от наблюдателя точке) и, следоствательно, не существуют!
                                                                          Я не хочу доказать или опровергнуть какую-то теорему, а просто пытаюсь для себя лично ощутить рациональность пространства, в котором живу. Получается, Евклид был прав только в ограниченном пространстве, а в бесконечном понятие параллельных прямых не имеет смысла. Правда, неизвестно пока, является ли наше пространство бесконечным… Но это я уже в другие дебри залез. Просто было интересно, как хабралюди воспринимают для себя лично и объясняют (в том числе научно) описанную ситуацию.
                                                                            0
                                                                            Бесконечность — это отсутствие конца. А пересечение на бесконечности — это пересечение там, чего нет, то есть отсутствие пересечения.

                                                                              0
                                                                              Бесконечность — вполне определённое место, конец бесконечной прямой. Так же, как и самое большое натуральное число — конец натурального ряда. И пусть математики утверждают, что этих объектов не существует — здравый смысл с этим не согласен. Ведь все знают, что рельсы сходятся на горизонте…
                                                                                0
                                                                                А пересечение на бесконечности — это пересечение там, чего нет

                                                                                Ну, это немного спорно, на мой взгляд. Про бесконечность сложно сказать, что её нет. Она всё же скорее есть.

                                                                                Можно представить себе 2 принципиально разных случая с этими прямыми:
                                                                                1. Прямые не пересекаются нигде.
                                                                                2. Прямые пересекаются на бесконечном удалении от наблюдателя.

                                                                                Либо пересечение есть, либо его нет :) Или тут вступает в силу какая-то квантовая геометрия: пересечение одновременно и есть, и его нет. В общем, как-то непросто оказалось с параллельными прямыми. Хотя в школе казалось элементарно: не пересекаются, значит, не пересекаются, что тут ещё размышлять?..
                                                                                  +1
                                                                                  Если бесконечность «есть», то, скорее всего, вы попали в проективную геометрию. Там «бесконечно удалённые точки» — вполне легальные объекты, образующие «бесконечно удалённую прямую». И параллельных прямых там нет. В качестве побочного эффекта, там парабола, гипербола и эллипс ничем не различаются — это одинаковые кривые типа «овал».
                                                                                  Но попробуйте ответить на вопрос: с какой стороны пересекаются параллельные прямые? Если с обеих — то как это они пересекаются в двух точках? Нарушается базовая аксиома геометрии…
                                                                                    +1
                                                                                    Пересечение на бесконечности — это как нулевой указатель на объект: указатель есть, но объекта по нему нет. Так вот, «бесконечность» — это нулевой указатель на конец. Указатель есть (сам термин «бесконечность»), но собственно конца, где происходит пересечение, — нет.
                                                                                      0
                                                                                      При монотонном вращении правые лучи прямых интуитивно очевидно и доказуемо перестанут пересекаться. Искомая точка пересечения перестанет существовать. Перестанет существовать и ее Координата. Невозможно судить об атрибутах несуществующего объекта. Однако можно осмысленно говорить о Пути пройденном точкой за время ее существования. Такая величина имеет суть [формально Путь = -ln(cos(УглаПоврота)) для УголПоворота=прямой в нашем случае], но этот Путь очевидно и доказуемо больше любого действительного числа, а значит не может быть представлен действительным числом.
                                                                                        +1
                                                                                        Попробую ещё немного перефразировать то, что меня смущает в этой истории с прямыми: в самом конце вращения — скажем, за 1° до «параллельности» прямые ещё пересекаются под вполне конкретным углом и точка их пересечения находится на вполне конкретном расстоянии от высоты, опущенной из точки вращения на нижнюю прямую. Верхняя прямая поворачивается ещё на 0,5° — расстояние ещё увеличивается, но выражается всё ещё конкретным числом. Поворачивается ещё на 0,45° — расстояние ещё конкретно. И в какой-то момент оно вдруг (с чего бы это?) становится неконкретным: «бесконечным», а прямые выравниваются параллельно друг другу и внезапно становятся непересекающимися. Мне по-человечески интуитивно непонятно, после какого именно значения ни с того ни с сего возникает бесконечность :(

                                                                                        Тут чувствуется какое-то математическое лукавство: можно придумать кучу терминов, «объясняющих» наличие или отсутствие несуществующих объектов, стремление значения к нулю, схождение математического ряда и т. п., но всё же непонятно, как в какой-то момент времени во время вращения прямой после некоторого конкретного числа возникает неконкретное значение, которое нельзя выразить никаким числом.

                                                                                        Наверное, в подобные моменты люди обращаются в религию :) Такое ощущение, что это просто ни из чего невыводимая аксиома наподобие той, согласно которой любой ограниченный отрезок прямой состоит из бесконечного числа точек. Сформулировать легко, а действительно представить себе это можно после минимум 20 лет медитации. Иначе говоря, в это нужно поверить и принять как должное, а это уже вроде как совсем не классический научный подход.

                                                                                        Спасибо всем, кто комментировал — надеюсь, теперь вам стало ещё немного неспокойнее спать по ночам ;)
                                                                                          0
                                                                                          Единицу можно делить на любое сколь угодно малое число. В математике даже вводятся так называемые «бесконечно малые» при делении на которые получаются «бесконечно большие». Но при делении на ноль мы не получим ничего (с некоторыми не существенными в данном случае оговорками). Ахилес и черепа тут как раз кстати.
                                                                                            0
                                                                                            Это всегда происходит, когда сталкивается то, что называется здравым смыслом с математическими объектами. Если вас смущает, что параллельность достигается на бесконечности, то у меня для вас есть физическая аналогия:

                                                                                            Предположим, что мы решили провернуть (pun not intended) такой парадокс в нашей реальности. Мы взяли два отрезка, один из которых имеет ось вращения. Отрезки достаточно длинны, чтобы пересекаться. И вот мы вращаем один отрезок, и опа! внезапно они перестали пересекаться. Причём это произошло на некотором конечном расстоянии от оси вращения в силу конечности отрезков. Но не беда, давайте возьмём бесконечные прямые, а стоп, мы не можем взять такие прямые, у нас нет таких прямых. А если бы и были, то они имели бы бесконечную инерцию и мы не смогли бы их провернуть, либо они бы гнулись при вращении, потому что материал бы не был достаточно прочен.
                                                                                            Вот и получается, что мы можем оперировать этими понятиями только в рамках математической модели.

                                                                                            К чему я это: к тому, что если рассматривать некоторую идею, то мы должны принять все её составные части, а не заменять недостающие из них некоторыми «запасными» частями из здравого смысла.
                                                                                      0
                                                                                      просто пытаюсь для себя лично ощутить рациональность пространства, в котором живу. Получается, Евклид был прав только в ограниченном пространстве, а в бесконечном понятие параллельных прямых не имеет смысла.
                                                                                      А давайте еще подмешаем немного «Интерстеллара» и представим что в придачу к такому абстрактному понятию как бесконечность добавляется еще и искривление самого пространства…
                                                                                  +2
                                                                                  И куда же ты полез,
                                                                                  Ахиллес?
                                                                                  Говорил: «Вон ту фигню?
                                                                                  Догоню!”
                                                                                  Никому, едрёна мать,
                                                                                  не поймать
                                                                                  философских черепах
                                                                                  в черепах.

                                                                                  :)
                                                                                0
                                                                                Мне вот интересно, парадокс Абилина не связан с тем, что человек хочет казаться лучше, чем есть на самом деле и принимает решение, противоречащее своим желаниям, для того, чтобы вызвать симпатию(одобрение) к себе от членов группы, в котором он находится?
                                                                                В любом случае, если мы не будем идти вразрез со своими желаниями, то никакого парадокса не будет?
                                                                                  0
                                                                                  Нет, не связан в общем случае. Это все идет из группового мышления, или простыми словами психика так работает в определенных условиях.

                                                                                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                                Самое читаемое