О диагонали квадрата

    Введение в оборот комплексных чисел было далеко не первой революцией в понимании человеком природы числа. За две тысячи лет до этого мощнейшее потрясение испытал мир древнегреческой математики.

    Неприятности у пифагорейцев начались далеко не сразу. Основанная Пифагором научная школа в итоге кончила плохо, но сегодняшний рассказ не о том бодром погроме, который был учинен над пифагорейцами благодарным за просвещение народом, а в большей степени о духовных перипетиях.


    Термин «научная школа» по отношению к организации, основанной Пифагором, является эдаким эвфемизмом. Здраво взглянув на ее структуру и применяемые технологии, пифагореизм следует смело отнести к тоталитарным культам, что было вполне в духе времени (впрочем, это всегда в духе времени, вечная классика). Наличествовало и разделение на степени посвящения, и сложная система ритуалов с запретами (например, общеизвестные, вроде «не есть бобов» или «не откусывать от целой булки»), и сложное философское вероучение. Привет Рону Хаббарду сотоварищи. Ничто не ново под Луной.

    В целом, при жизни Пифагора его «школа» была солидным предприятием, к тому же обладающим значительным и все время растущим политическим влиянием.

    Вообще, философия Пифагора оказала значительное влияние на западную культуру (и на нас в том числе). Многие идеи нашли свое развитие в классической греческой философии, а уже про теорему Пифагора знают вообще все. Выражение «гармония сфер», кстати, также восходит к пифагорейцам.

    Одним из существенных элементов их философии была идея, что любое число можно представить как отношение двух целых чисел, то бишь в виде простой дроби. В этом они, в том числе, видели совершенство природы числа. Больше того, это представлялось вполне очевидным. В современной математике такие числа называются рациональными, а их множество обозначается знаком . Сделайте теперь паузу на несколько секунд, задумайтесь, откуда вообще следует, что это не так? Можете ли вы привести аргумент, который был бы достаточно убедителен для древнего грека? Ну или, хотя бы, достаточно убедителен для себя, лично?

    В общем, мир чисел был прост, изящен, и все были довольны. Источником возникших неприятностей, неожиданно, стала уже помянутая теорема, носящая имя Пифагора: одно из важнейших, дошедших до нас, его достижений. К сожалению, доказательство самого Пифагора нам неизвестно. Самое старое из дошедших до нас — приведено в «Началах» Евклида и датируется 3 в. д.н.э. Напомню, сам Пифагор жил в 6 в. д.н.э.

    Фрагмент из Vatican Manuscript Number 190, датируемого 10 в. н.э. (целиком здесь):


    Доказательство Евклида далеко не самое простое. Есть основания считать, что он знал путь и попроще, но из методических соображений привел именно этот вариант, демонстрирующий, помимо собственно теоремы Пифагора, и некоторые другие интересные идеи.

    Однако, вернемся к пифагорейцам.

    Вот представьте себе простейшую вещь: квадрат со сторонами единичной длины. Если обозначить длину его диагонали , то по теореме Пифагора получим:

    и, соответственно:

    Само-то по себе это еще не проблема. С точки зрения пифагорейцев, дальше просто нужно было найти целые числа и , такие что

    Вот на этом-то «простом» моменте все и застопорилось. Причем наглухо. Стопор сей продолжался до тех пор, пока один умник (как утверждают, Гиппас из Метапонта, тоже пифагореец), не доказал, внезапно, что таких чисел не существует. Все зло от шибко умных идет, как известно. По легенде, это научное достижение столь потрясло коллег, что, в ознаменование признания научных заслуг, Гиппаса не медля вышвырнули за борт корабля, на котором он в момент своего математического озарения плыл. А вот нечего было гадить уважаемым людям, подрывать основы столь любовно выпестованной и весьма доходной философской системы.

    Ныне, числа не представимые в виде отношения двух целых, называются иррациональными.

    Некоторое время пифагорейцы даже держали факт иррациональности в секрете. Однако, шила в мешке не утаишь, и правда довольно быстро (по историческим меркам) нашла путь наружу.

    Доказать иррациональность совсем не сложно.
    Пусть существуют такие , что

    Более того, будем считать, что хотя бы одно из чисел — нечетно. Если это не так, числитель и знаменатель дроби всегда можно сократить на 2 (нужное количество раз).
    Тогда получим:

    отсюда:

    Таким образом, — четное число. Но тогда и — четное.

    По условию нечетности хотя бы одного из чисел , получим, что — нечетно.
    В силу четности , можно записать
    ,
    где — некоторое целое.
    Но тогда:

    отсюда

    Но это означает, что — четно, а значит четно и . Противоречие.

    Число невозможно представить в виде отношения двух целых чисел.

    Остается добавить, что — это вовсе не какой-то странный уродец. Можно показать, что иррациональных чисел больше, чем рациональных, принципиально больше. Кстати, отношение больше-меньше в мире бесконечных множеств само бывает весьма контритуитивным. Но это уже другая история.

    PS. Пользуясь случаем, поздравляю хабровчан с наступающими. Удачи в новом году!

    UPD. В связи с разгоревшейся в комментариях дискуссией хочу заметить следующее: если по-честному, то рациональные числа вводятся как поле частных кольца целых чисел. Использовать ли в качестве мультипликативной системы множество или множество — сугубо дело вкуса, никак не влияющее на результат. Вопрос же, какое из школьных псевдоопределений «верно», решается министерством образования, и к математике этот процесс имеет весьма отдаленное отношение.
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама

    Комментарии 67

      +2
      Если кому-то ещё интересна эта тема чисел, то вот ещё видео в двух частях про математические проблемы того времени.
      Видео очень интересные, правда они только на английском.

        +1
        Я что-то не понял — в первом видео она говорит дважды, что я не смогу угол разделить на три равных угла. Но она при этом дает полный инструментарий для этого?!?? Я что-то не так понимаю, что она говорит?
          –3
          Of course you can trisect some angles, like a right angle or a 45 degree
          angle, but there is no general procedure using straight edge and compass
          that will trisect any arbitrary angle.
          Что за фигня???? Что значит trisect? Разделить на три равных угла? Я могу это сделать используя только линейку и циркуль.
            0
            that is already addressed in the comment; the three new angles that you derive from that process will not be equal, the middle angle will be larger.
            Все равно фигня, хоть и обидно :-)
              +1
              Нельзя при помощи линейки и циркуля разделить произвольный угол на три равных.

              Если можете — алгоритм в студию.
                0
                Да-да, тоже мне интересно =)
                Несмотря на доказанную неразрешимость проблемы в общем случае, в прессе время от времени публикуются некоторые неверные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой
                ru.wikipedia.org/wiki/Трисекция_угла
          +10
          Поучительная история. И далекая.
          У меня есть менее поучительная на эту тему — зато недавняя.

          Моему приятелю на вступительном экзамене по математике (мех-мат МГУ) задали вопрос: -Что такое рациональное число?

          Он ответил, как автор статьи
          которое можно представить как отношение двух целых чисел, то бишь в виде дроби


          За этот ответ он получил двойку и ушел поступать в МАИ. Поступил, кстати, теперь директор крупной логистической компании.
            0
            А какой ответ от него ждали?
              +3
              Отношение целого к натуральному.
                0
                Почему это определение не равносильно тому, что выше?
                  +2
                  Потому что натуральное != целое.
                    +7
                    Возможны тонкости формулировок. Если он ответил «рациональные числа — это все отношения двух целых чисел», то это некорректно из-за нуля в знаменателе, как тут отметили ниже. Если он ответил «рациональные числа — это те, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел», то это корректное определение. Возможно, оно не считается стандартным или общепринятым, но оно им равносильно, что с лёгкостью доказывается.
                      +1
                      рациональные числа — это те, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел
                      Вот в этом и проблема. Таким образом нельзя определить понятие рациональных чисел. Вы понимаете «можно представить» как «существует число, эквивалентное данному», подразумевая, что уже есть какие-то числа, эквивалентные рациональным. То есть рациональные числа здесь определяются через самих себя.

                      Поэтому «можно представить» в определении следует заменить на «по определению является». Тогда вы получите желаемое противоречение, что числа с нулевым знаменателем являются рациональными.
                        0
                        эквивалентные рациональным
                        Это неверно, достаточно, чтобы они включали в себя рациональные (например, взять множество действительных чисел). Да, традиционно множества определяются от меньших к большим, но никто не запрещает действовать как-нибудь по-другому, лишь бы это не вызывало противоречий.
                          +2
                          Но согласен с вами, что «можно представить» звучит недостаточно строго. В строгой форме оно должно звучать как-нибудь так: «Действительное число x называется рациональным, если существуют целые числа p и q, такие что x = p/q». Соответственно, нам нужно определение действительных чисел, операция равно и операция деления двух целых чисел. Вроде как, это всё можно ввести, не используя рациональные числа. Хотя проще, разумеется, просто запретить 0 в знаменателе)
                            +3
                            Так ведь и сам вопрос «что такое рациональное число» можно прочитать двояко — «какие действительные числа являются рациональными» и «как определить рациональные числа через целые/натуральные». В первом случае «те, которые можно представить...» — правильный ответ (и ни про нуль в знаменателе, ни про несократимость говорить не нужно), во втором — дать полное определение поля частных для кольца целых чисел (множество пар с таким-то ограничением, таким-то отношением эквивалентности и так-то определёнными операциями).
                            Чтобы за пропущенное слово «несократимый» ставили двойку, не очень верится. Скорее всего, абитуриент ещё в чём-то провинился. Например, неправильной записью в графе «национальность», если дело было в начале 80-х.
                              0
                              По вашему определению 3 и 2,5 — не рациональные числа.
                              Вы понимаете «можно представить» как «существует число, эквивалентное данному», подразумевая, что уже есть какие-то числа, эквивалентные рациональным. То есть рациональные числа здесь определяются через самих себя.
                              Не эквивалентные, а они же. Число и его представление — это разные вещи. 2,5 = 2½ = 5/2 = 150 / 60 = √6.25— это всё одно и то же число. Не «эквивалентные», а одно и то же.
                                0
                                2,5 = 2½ = 5/2 = 150 / 60 = √6.25 — это всё одно и то же число.

                                Так, а 3-адическое число ...111121 — это то же самое число? Оно равно 5/2, но большинство 3-адических чисел аналога в действительных числах не имеют. И, скажем, sqrt(5/2) в этих полях уже не будут иметь между собой ничего общего. Так что говорить, что рациональное, действительное и 3-адическое 5/2 это одно и то же — не совсем правильно. Просто существует канонический гомоморфизм из Q в R.
                                Вы ещё скажите, что мнимая единица и кватернион i это одно и то же число :) Да, кватернионы a+i*b ведут себя точно так же, как комплексные числа. Но так же ведут себя a+j*b, и a+(0.8*j+0.6*k)*b… И кто из них мнимая единица?
                                  +1
                                  Так, а 3-адическое число ...111121 — это то же самое число?
                                  Не знаю, что вы обозначаете как «адические числа», но если оно строго равно, то да, то же самое. Те, что не имеют «аналогов» — те не рациональные. Что вы вообще вот этим
                                  большинство 3-адических чисел аналога в действительных числах не имеют.
                                  хотите доказать? Большинство даже действительных чисел «не имеют аналогов в рациональных». Называются иррациональными, если что.
                                    0
                                    3-адические числа — частный случай p-адических, при p=3. Это бесконечные ряды a0+a1*3+a2*3^2+a3*3^3+..., где цифры a0, a1,… принимают значения 0,1,2. Кроме того, число может иметь конечное число разрядов с отрицательными степенями троек.
                                    Эти числа образуют поле, включающее в себя все целые, а следовательно, и все рациональные числа. Оно, как и действительные числа, континуально, но «пересекается» с действительными только по рациональным числам. И говорить, что эквиваленты рациональных чисел в этих полях — одни и те же числа, опасно. Потому что операции, выходящие за пределы арифметики, ведут себя по-разному. Как тот же квадратный корень — он может существовать в одном поле и не существовать в другом, а если есть и там, и там — то выглядит совершенно по-разному. И является пределом совершенно других последовательностей.
                                      0
                                      Оно, как и действительные числа, континуально, но «пересекается» с действительными только по рациональным числам.

                                      А не пересекаюттся по каким? То есть иррациональных там нет?
                                        0
                                        Есть, но там свой набор иррациональных чисел, и они не имеют аналога в действительных. Это тоже числа с непериодической записью, но цифры продолжаются влево, а не вправо. Например, 7-адическое число sqrt(2) выглядит как ...16213 (можете проверить — если его возвести в квадрат в 7-ричной системе, получится ...00002). В 3-адических и 5-адических числах sqrt(2) не существует, зато есть 5-адическое sqrt(-1)=...31212 (его квадрат равен ...44444)
                                          0
                                          Это тоже числа с непериодической записью, но цифры продолжаются влево, а не вправо.
                                          То есть это бесконечные числа? Или это другая запись иррационального числа? Всегда думал, что действительные числа включают в себя ВСЕ иррациональные. И еще интересно получается, как одна и та же операция для по сути одного и того же числа но в другом представлении дает другой результат.
                                            +3
                                            То есть это бесконечные числа?

                                            В некотором смысле, да. Это числа, в которых младшие разряды важнее, чем старшие. Числа считаются тем ближе друг к другу, чем на большую степень числа p делится их разность. Так, расстояние от 1000 до 2000 меньше, чем от 1000 до 1001 (считаем, что числа записаны в p-ричной системе). Последовательность чисел в троичной записи 1, 21, 121, 1121, 11121,… сходится к бесконечному числу ...111121, которое целым не является. Но если мы умножим все числа в последовательности на 2, то получим 2, 112, 1012, 10012, 100012,… которая сходится к целому числу 12 (т.е. 5 в десятичной системе). Поэтому, ...111121=5/2.
                                            p-адические числа удобны тем, что при арифметических операциях с ними не теряется точность: сколько младших разрядов было известно у операндов, столько же осталось у суммы и произведения. Применяются они, например, в некоторых алгоритмах разложения многочленов на множители: разложение выполняется в конечном поле, результат «поднимается» в p-адические числа, после чего ищутся комбинации множителей, дающие произведение с целочисленными коэффициентами. Проделывать то же с вещественными числами сложнее из-за потери точности.
                                              +1
                                              В некотором смысле, да. Это числа, в которых младшие разряды важнее, чем старшие.

                                              Спасибо за разъяснение. С представлением понятно. Я имел ввиду бесконечные в смысле значения, а не представления. Так что множество p-адических не пересекаются с множеством действительных, так как все действительные конечные по значению, а p-адические нет. Как например уходит в бесконечность предел деления на ноль, так? Или там при переводе корень из отрицательных и они подмножество комплексных?
                                                +1
                                                В p-адических и действительных числах разные метрики. Поэтому разное понятие бесконечности. Например, в действительных числах последовательность 1, 11, 111, 1111,… уходит в бесконечность. В p-адических она сходится к числу -1/(p-1). И наоборот, последовательность 0, 0.1, 0.11, 0.111,… в действительных числах стремится к 1/(p-1), а в p-адических — к бесконечности: чем больше в числе знаков после точки, тем дальше оно от нуля.
                                                Казалось бы, достаточно развернуть знаки в записи числа, чтобы из действительных чисел получить p-адические и наоборот, но это не так. Во-первых, разряды при сложении и умножении переносятся не в ту сторону. Во-вторых (и это следствие первого), в действительных числах последовательность 0.9, 0.99, 0.999,… стремится к 1.0000, а в p-адических такой трюк не работает: если последние цифры стабилизировались, они уже не изменятся. И последовательность 5-адических чисел 0, 40, 440, 4440, 44440,… стремится вовсе не к ...00001, а к числу ...4444440, которое, кстати, является конечным целым (и равно -5).
                              +2
                              рациональные числа — это те, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел
                              Тонкость этого определения в том, что здесь неявно используется третье множество, скрытое под «те» — некоторое более общее множество "чисел". Поэтому надо четко оговорить, что это за множество (действительные, комплексные, какие-то ещё), и убедиться, что мы сможем это множество (и нужные нам от него свойства) определить, не пользуясь понятием рациональных чисел.
                                0
                                Тонкость этого определения в том, что здесь неявно используется третье множество, скрытое под «те» — некоторое более общее множество «чисел».
                                К определению «числа» заодно потребуются определения понятий «точка», «объект», «сущность» и «вселенная».
                                Можете заменить «те, которые» на «что угодно, что».
                          +4
                          Является ли ноль натуральным числом — этот вопрос в разных школах (не общеобразовательных, а научных) решается по-разному:)

                          Можно сказать «отношение целого к положительному целому». Но я в любом случае сомневаюсь, что ответ «отношение двух целых» заслуживает двойки на _вступительных_ экзаменах.
                          –1
                          Он забыл слово несократимой
                            +3
                            То есть, сократимая дробь — не рациональное число?
                              +7
                              вот это уж точно не принципиально.
                                –7
                                Я не буду спорить. Спорьте сами с классиками математического анализа — у них все четко определено, лишних слов нет.

                                Типа два срока. Подряд.
                                  +7
                                  В математике нет авторитетов. Утверждение либо верное, либо неверное, независимо от мнения классиков математического анализа. В данном случае двойку поставили за совершенно верное определение.
                                    +35
                                    Еще легко отделался. Всего лишь двойка. Гиппаса вон утопили… несмотря на правоту.
                                      –3
                                      Сборище двоечников вместо хабра? Если не следовать правильному определению, то доказать иррациональность корня из 2 невозможно.

                                      Согласно Вашему определению любое рациональное число можно представить бесконечным числом пар. Вы вляпались в слово бесконечность, а значит никогда не сможете сократить дробь до состояния четное/нечетное. Ведь делить на 2 Вам придется бесконечное число. Таким образом, не исключено, что в бесконечном представлении рационального числа есть искомый корень из 2.
                                        +3
                                        Согласно Вашему определению любое рациональное число можно представить бесконечным числом пар. Вы вляпались в слово бесконечность, а значит никогда не сможете сократить дробь до состояния четное/нечетное. Ведь делить на 2 Вам придется бесконечное число.

                                        Существует бесконечное число чисел, являющихся натуральными степенями двойки. Возьмём произвольную степень двойки. Будем делить на 2, пока число чётное. Значит ли слово «бесконечное» в начале комментария, что к единице мы никогда не придём?

                                        Количество разных представлений одного и того же числа действительно бесконечное, но числитель и знаменатель каждого из представлений конечны, значит, и сокращать нужно будет лишь конечное число раз.
                                          0
                                          Согласно Вашему определению любое рациональное число можно представить бесконечным числом пар. Вы вляпались в слово бесконечность, а значит никогда не сможете сократить дробь до состояния четное/нечетное. Ведь делить на 2 Вам придется бесконечное число.

                                          С чего это вдруг? Да, сокращать нам придётся каждую из бесконечного множества дробей. Но у каждой из них p и q будут конечными, и делить на 2 бесконечное число совсем не нужно.
                                          Конечно, неплохо было бы понять, доказана ли у нас к этому моменту единственность представления в виде несократимой дроби. Если нет — придётся указать, что для всех несократимых представлений p/q одного и того же числа чётность чисел p одинакова (и чётность чисел q тоже), доказывается это элементарно.
                                            –1
                                            Делите, Шура, делите — я не против.
                                            Кстати, в случае неправильного определения нельзя доказать что множество рациональных чисел — счетное.

                                            Ладно, это школьники невежи, я тебе хочу задачку на эту тему из всероссийской олимпиады загадать из далеких 70-х годов

                                            Может ли иррациональное число возведенное в иррациональную степень быть рациональным?

                                            На Олимпиаде ее решило только 60 процентов участников.
                                              +7
                                              (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) что ли? Было такое. И 60% для такой задачи не так уж мало.
                                              А множество дробей останется счётным, даже если мы сохраним несократимые дроби: это N^2, которое эквивалентно N. Потом воспользуемся теоремой, что бесконечное подмножество счётного множества счётно — насколько я понимаю, она аксиомы выбора не требует.
                                  +1
                                  Всё-таки это мехмат МГУ, так что вполне возможно, что вопрос был с подвохом. Возможно, экзаменаторы хотели услышать ответ вида «Рациональным числом называется элемент поля частных над кольцом целых чисел», что показало бы общую осведомленность экзаменующегося об алгебре, теории множеств, современной математике, дало бы почву для дальнейшего обсуждения. Лично знал школьников, которые поступали на мехмат и уже ориентировались в общей алгебре.
                                    +8
                                    От абитуриентов они этого слышать не хотели. То, что есть школьники, знающие программу первых двух курсов мехмата, не означает, что принимать нужно только таких.
                                      0
                                      Они вполне могли бы хотеть такое услышать, но это уже «добивающий вопрос на пятёрку с плюсом», а не отсеивающий вопрос на двойку. Впрочем, полагаться на воспоминания очевидца, к тому же морально заинтересованного — последнее дело (а тем более — в пересказе третьего лица). Факт в том, что он получил двойку, а за что конкретно — мог бы сказать только экзаменатор. С некоторой натяжкой можно ещё допустить, что ему на экзамене задали _какой-то_ вопрос про рациональные числа, но какая была _точная_ формулировка этого вопроса, и, тем более, что он _в точности_ на него ответил — мы не знаем.
                                  +3
                                  За этот ответ он получил двойку и ушел поступать в МАИ. Поступил, кстати, теперь директор крупной логистической компании.


                                  Ну так на ноль делить нельзя.
                                  В знаменателе конечно же натуральное.
                                    +2
                                    А разве определение «которое можно представить как отношение двух целых чисел» разрешает где-либо делить на ноль? Ни у какого числа, которое можно так представить, нуля в знаменателе не окажется.
                                      0
                                      Ноль относится к множеству целых чисел.
                                        +5
                                        Ну и что это меняет? Все рациональные числа можно представить в виде отношения двух целых, при этом ноль в знаменателе ни в каком из этих представлений не встретится.
                                          –1
                                          Для МАИ, видимо, ничего не меняет. А вот на мехмат МГУ с такими рассуждениями не берут. :-)
                                            +5
                                            Печально, что за правильный ответ не берут.
                                              0
                                              В википедии написано именно о том варианте ответа, про который писали в комментариях. А не о том, за который поставили двойку.
                                                0
                                                Если уж включать зануду, то за определение википедии можно тоже ставить двойку, поскольку по поводу нахождения нуля в натуральном ряду есть разные мнения, что признается той же википедией.
                                                  +1
                                                  В википедии также приводится формальное определение. Скорее всего, именно его и хотели услышать.
                                              +3
                                              Определение предполагает отношение эквивалентности, а у вас здесь только вложенность одного множества в другое. Проще говоря, это все равно, что дать определение «квадрат — это прямоугольник». Как утверждение оно верно (любой квадрат является прямоугольником), но определением множества квадратов, очевидно, не является.
                                                0
                                                А так пойдет? — Рациональные — подмножество действительных, которые можно представить отношением двух целых.
                                                По аналогии — квадрат — это прямоугольник, у которого стороны равны.
                                      +6
                                      Позволю себе усомниться, что вашего приятеля не приняли в МГУ именно по этой причине.
                                        0
                                        Теперь я знаю, откуда взят эпизод с экзаменом по математике в «Космических рейнджерах».
                                        –4
                                        Вообще, статья не плохая, но мне её объяснили на лекции мат. анализа на первом курсе. Хотя нам не говорили, что первого усомнившегося утопили :)
                                          +7
                                          Тебе статью объясняли? Не_плохо?
                                            0
                                            Весь материал, выложенный в статье был мне уже известен с лекций первого курса, изложим так.
                                          0
                                          Клево-клево! А можно также про то, почему есть числа, не представляемые в виде нуля какого-либо многочлена? =)
                                            +3
                                            Не, ну это совсем просто.
                                            Пусть есть какой-то многочлен P(x) степени n с целыми коэффициентами. Тогда все его корни лежат на некотором отрезке |x|<C, и его производная ограничена числом M. Если мы подставим в этот многочлен рациональное число p/q, то значением будет число a/q^n, где a — целое. И если x — корень многочлена, то |x-p/q|>(|a|/M)/q^n>1/(M*q^n).
                                            Значит, если мы подберём такое иррациональное x, что для любых M,n найдётся такое p/q, что |x-p/q|<1/(M*q^n), то x не может быть алгебраическим. Нам подходит x=sum(((-1)^k)/(2^(k!)))=-1/2+1/4-1/64+… Частичная сумма этого ряда от 1 до m равна p/q, где q=2^(m!), и |x-p/q|<1/(2^((m+1)!))=1/q^(m+1). Взяв m такое, что m>n, 2^(m!)>M, получим, что |x-p/q|<1/(M*q^n), что и требовалось.
                                            Доказательство ненамного длиннее, чем для sqrt(2) :)
                                              +1
                                              А не проще сослаться на то, что корней многочленов счётное число, а действительных чисел — несчётное? :-)
                                                +1
                                                Проще, но не так интересно. Тем более, что множество «формул» счётно. А здесь трансцендентное число записывается суммой ряда, и при этом есть простое доказательство :) Конечно, e или 2^sqrt(2) записываются проще, но доказательства для них гораздо длиннее…
                                            0
                                            Очень хорошо, но как-то мало.
                                              0
                                              Не все сразу. :)
                                                +1
                                                Если хотите больше, то можете почитать серию книг «За страницами учебника математики» Депман И. Я., Виленкин Н. Я. начиная вроде с 5-класса.
                                                Вот я их читал в детстве и после подобных книг этот пост выглядит как-то совсем пресным.

                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                              Самое читаемое