Размышление о средней величине в задачах



    Если Вася на обед съедает 5 котлет, а его жена одну, то в среднем они съедают по 3 котлеты. Это понятно, поэтому люди всегда интуитивно используют среднее арифметическое и простое сложение в обычной жизни. Вот другая задача. Вася, еще студент, за семестр должен выполнить 4 лабы, прошла половина семестра, а он выполнил только одну, во сколько раз ему надо ускориться? То есть половину дистанции он работал с половинной скоростью, теперь ему надо оставшиеся 3 лабы сделать за половину семестра, ответ, очевидно, что в 3 раза надо ускориться. Теперь рассмотрим поезд, который половину пути прошел со скоростью в два раза ниже, чем средняя по расписанию, во сколько раз ему надо ускориться, чтобы прибыть вовремя? Здесь ответ уже не 3, и не 10, и даже стотысяч пятьсяот маловато будет, так как поезд опоздает в любом случае. Именно в этом и состоит разница между средним арифметическим и средним гармоническим (wiki).




    Для чисел 10 и 15 среднее гармоническое равно 12, это редкий случай, когда для целых чисел получается целое число, им дальше и воспользуемся. Например, задача: вы кинули собаке палку, за палкой она бежит со скоростью 15 км/ч, а назад с палкой со скоростью 10 км/ч, чему равна средняя скорость движения собаки? Ответ: 12 км/ч. А вот если бы вы один час бежали со сскоростью 15 км/ч, а потом еще один час со скоростью 10 км/ч, тогда ваша средняя скорость была бы 12,5 км/ч.
    Еще две задачи на гармоническое значение. Автобус на остановке в среднем ждут 15 минут, а троллейбус 10 минут, сколько ждут в среднем те, кому подходит и автобус и троллейбус? Вася за спринт может сделать 15 фич, или 10 фич покрыть тестами, сколько фич Вася может и сделать и покрыть тестами? Здесь ответ 6 на обе задачи, такие задачи даже скучно придумывать, а вот следующая задача ставит меня в тупик.
    Задача. Вы держите пари с Антоном во сколько раз акечан круче, чем анопил. Антон утверждает, что в 2, а вы настаиваете на 50. После экспертных измерений выяснилось, что в 20 раз. Кто выиграл пари? На первый взгляд кажется, что ответ Антона ближе: отличается на 18, а ваш на 30. Но давайте это нарисуем на разных графиках.



    Здесь именно вопрос «в/на». Антон ошибся на 18, но в 10 раз, а вы ошиблись на 30, но в 2,5 раза. Вот на вопросы: «кто выиграл пари?», «как справедливо делить выигрыш?» и «при каком результате объявлять ничейный исход?» я ожидаю получить ответы в комментариях.
    Поделиться публикацией

    Комментарии 29

      +15
      Отсыпьте!

      P.S.: Я читаю теги.
        0
        Что примечательно, есть всего один тег, который встречается в другой статье кроме этой — [скоро весна]
        +4
        Опять-двадцать пять. Сколько ж людей должны разбить головы, прежде чем научаться правильно обрабатывать экспериментальные данные.

        Прежде чем говорить о величине ошибки вы прежде введите модель ситуации. Проанализируйте чувствительность на изменения параметров и в целом устойчивость модели. Введите модель причины возникновения ошибки.

        И вот только тогда, вы можете правильно применить теорию вероятности.

          +1
          P.S. Если паравоз прошел половину пути на скорости в два раза ниже, чем надо по расписанию. То
          l/2 /v/2 = l/v = t
          Времени у него не осталось. И зачем тут среднегармонические я не понимаю.
            0
            Это просто подводит к тому, что обычное суммирование может не сработать, с собакой более наглядный пример.
              +3
              Ну знаете, инструменты надо применять правильно. По этому поводу ничего лучше следующего анекдота, по-моему, нет:
              Скрытый текст
              Наши в Египте. Парень с девушкой на дискотеке. К девушке начинает приставать местный. Подходит парень и говорит.
              — Вы в жопе, т.к. вы постоянно делаете три ошибки. Первая из них — вы слишком наглые.
              Местный вскипает и предлагает выйти. Парень соглашается и добавляет
              — Вторая — вы слишком горячие.
              Выйдя из клуба парня начинает окружать группа местных с ножами. Парень, тянусь к поясу:
              -Ну и наконец ваша третья ошибка — вы постоянно приходите с ножами на перестрелку.
                –7
                Стесняюсь спросить, но все же: Парень их поясом отхлестал или это пояс шахида?
                  +5
                  За поясом был пистолет, не?
          +3
          На самом деле, этих средних определено бесконечное много.

          В математике используется понятие среднее степени d.

          При этом среднее степени d от n величин определяется следующим образом:
          image

          Кроме того, по непрерывности определяются средние степени -∞, 0 и +∞.

          DancingOnWater правильно сказал вам. Ваша ошибка в том, что вы не формализовали задачу должным образом, не ввели математическую модель её. Это не так просто, как кажется на первый взгляд.

            0
            А надо с самого начала критерий установить, и все. Иначе никак.
              0
              Поясните про собаку, пожалуйста.
                +2

                Статья о том, чтобы в таких задачах сразу формулу применять, не вспоминая S
                  0
                  Кинули на l

                  image
                  image
                  +1
                  В задаче про пари имелся в виду ответ, что надо сравнивать со средним геометрическим?
                  А вот «как справедливо делить выигрыш» — как договорились. Вообще-то, всё получает тот, кто угадал точнее, т.е. не Антон — даже если бы точность оценок различалась всего на 1%. Но если хочется делиться более по-братски, то есть варианты:
                  — раз первый ошибся в 2.5 раза, а второй в 10 раз, то первый в 4 раза точнее, и получает в 4 раза больше другого, т.е. 80%
                  — замечаем, что «во сколько раз ошибся» не может быть меньше 1, и отнимаем 1 от обеих частей (чтобы тот, кто точно угадал, получал всё). Приз делится в отношении 9:1.5 = 6:1
                  — считаем log(10)/log(2.5)=2.5129… (типа «ты ошибся на один порядок, а я на два — поэтому мне полагается вдвое меньше). Замечаем, что отношение не зависит от основания логарифма и радуемся — формула корректна. В итоге один получает 28.5%, а другой 71.5%.Получается гуманнее обоих вариантов. Но если бы кто-то угадал, он бы, тем не менее, получил всё. Так что формула гуманна к тем, кто сильно промахивается, но при этом справедлива к тем, кто очень точен.
                    0
                    Выходит, что Антон угадывает точнее только при результатах от 1 до 10 (в последнем случае поровну). А «я» — при результате от 10 до бесконечности. Я бы не назвал это справедливым.
                      +1
                      Антон угадывает точнее при результатах от 0 до 10 — т.е. включая все ситуации, когда «круче» оказывается анопил. На логарифмической шкале видно, что всё честно.
                        –1
                        Если считать, что круче может быть любой зверь, то да. Но сама постановка пари подразумевает, что это не так, и круче именно первый из них. Только неясно, насколько именно.

                          0
                          Акечан может оказаться круче в ½ раза. Измерение же проводится после заключения пари.
                            0
                            Давайте пари: во сколько раз самолёт быстрее автомобиля? Я бы мог сформулировать иначе и предложить пари «во сколько раз автомобиль быстрее самолёта», но это было бы глупой формулировкой.

                            Одно дело — факт (быстрее или нет), другое — его конкретизация (во сколько раз быстрее). Вы думаете техническими размерами, оторванными от реальности.
                              +1
                              Ан-2 быстрее, чем болид Формулы-1, в 0,75 раза, в чём проблема?

                              На глаз (скорее даже в уме, судя по постановке задачи) может казаться, что акечан круче анопила, а измерения могут показать обратное. Во сколько раз вот, условно, Робокоп круче Терминатора? На глаз как будто один круче, а если сравнить ТТХ, может оказаться, что другой.
                                0
                                Ан-2 быстрее, чем болид Формулы-1, в 0,75 раза, в чём проблема?
                                Отличный пример! Но, вы много таких примеров можете привести? Распределение будет примерно равным? Мы же о справедливости говорим.

                                Здравое зерно в ваших рассуждениях, конечно, есть, но на каждый случай подобную систему распространять, на мой взгляд, некорректно.
                    0
                    А ещё есть медиана — количество денег в кармане у среднего человека. Для ряда 1,2,3,4,5,6,7,8,9 медианой будет 5, для 1,5,6 — тоже 5.
                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                      +2
                      Там берётся не среднее гармоническое, а «гармоническая сумма» (она вдвое меньше среднего гармонического): если время ожидания автобуса t1, троллейбуса t2, а хоть кого-нибудь t, то 1/t=1/t1+1/t2. В самом деле, за время t1*t2 придёт t2 автобусов и t1 троллейбусов, и ждать кого-нибудь мы будем в среднем t=t1*t2/(t1+t2).
                      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                      +1
                      Вопрос в том, какую шкалу используют спорщики. Если обычную линейную, не со сбитым нулем, то понятно, что меряется то, Во-сколько раз один ближе второго в своей оценке. Повторю: ноль у шкалы выбран подходящим образом, а шкала — линейная. Но в жизни чаще встречаются шкалы, построенные на другом принципе. На принципе субъективных ощущений. А эти ощущения — имеют логарифмическую шкалу оценок. С этим столкнулся Саати при разработке методике по оценке решений на основе субъективных оценок респондентов. Он выяснил, что субъекты мыслят логарифмическими шкалами. И в логарифмической шкале ценностей то, На сколько отличаются оценки, дает представление о том Во сколько раз отличаются значения, например, прибыли. Поэтому в абстрактном споре, приведенном автором, я бы поставил на «На сколько отличаются оценки». а не на «Во сколько»
                        +1
                        В таком случае, вопрос будет «на сколько круче», и ответ будет измеряться в каких-нибудь баллах, в которые будут намешаны и количественные и качественные характеристики. Количественные, скорее всего, в виде логарифма, да ещё и по разным основаниям, когда «в два раза выше» и «в десять раз быстрее» имеют одинаковую цену. Возможно, дело будет обстоять ещё хуже, и шкала сравнения по каждому параметру будет сжата в интервал, скажем, от -3 до 3 (сильно хуже / хуже / немного хуже / одинаково /...) А потом результаты ещё и сложатся с весами. Тогда, действительно, надо будет смотреть, на сколько баллов кто ошибся в оценке.
                          0
                          Вы абсолютно правы. Более того, наши органы чувств так же используют логарифмические шкалы (зрение/слух/и т.д.).
                          Тут популярно и развернуто описано.

                        Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                        Самое читаемое