Метод конечных элементов на примере уравнения Пуассона

В данной статье мне хотелось бы изложить реализацию метода конечных элементов на примере уравнения Пуассона. Рассмотрим задачу:

image

с однородным краевым условием

image

где
image

image

image


Требуется найти функцию , решающую заданное уравнение.

Решение

Умножим начальное уравнение на функцию , непрерывную, кусочно непрерывно-дифференцируемую и равную на краях нулю, и проинтегрируем полученное уравнение по всей области .
После применения формулы интегрирования по частям, получим следующее уравнение



Введем на области квадратную сетку с шагом :



и каждый квадрат разделим диагональю, параллельной биссектрисе первого координатного угла:



Получим разбиение области на треугольные элементы — триангуляция области . Триангуляция такого типа называется триангуляцией Фридрихса-Келлера.

Будем искать приближенное решение данного уравнения как функцию , равную нулю на границе (краевое условие), непрерывную на области и линейную на каждом полученном элементе триангуляции.

Функцию можно представить в следующем виде:



где значения функций в точке определены следующим образом:




Подставив функцию в первое уравнение, осуществив преобразования и вынос констант из под знака интеграла, сведем задачу для каждой базисной функции к подсчету интегралов вида:



Значение интеграла может быть не нулевым лишь в том случае, если базисные функции под знаком интеграла имеют непустую общую область определения. По построению, каждый элемент имеет три вершины. Вершина может быть общей максимально для 6 треугольников:



с соответствующими значениями производных для каждого из 6 случаев:



После подсчетов интеграла уравнение с номером будет выглядеть следующим образом:


где


и при достаточно малом :



Следовательно, уравнение может быть переписано в следующем виде:




Добавив граничные условия, а именно:



получаем полную СЛАР, решая которую, находим значения функции в точках сетки.

Большое спасибо Р.З. Даутову и М.М. Карчевскому за прекрасную литературу!
  • +21
  • 27,1k
  • 7
Поделиться публикацией

Комментарии 7

    +1
    Было бы интересно рассмотреть МКЭ не для уравнения Пуассона, для которого этот метод описывают подавляющее число авторов, а например решение ДУЧП гиперболического типа, описывающие движение воздуха по длинной трубе. Вот таких примеров раз два и обчелся, только в некоторых диссертациях встречал, и то без подробностей реализации конечно-разностной схемы
      0
      Конечно, будем работать.
      +6
      Добавив гранитные условия
      Вот он какой, гранит науки.
        +2
        Большое спасибо! Исправил!
        +2
        А я бы хотел научиться использовать МКЭ для моделирования течения жидкости, хотя бы плоскую задачу. Навье-Стокс и все дела.
          0
          Самая изюминка не в методе, а почему это работает и работает хорошо :)
            0
            Я когда-то занимался моделированием плазмы, где это уравнение используется. Пришел к выводу, что никто не учитывает флуктуации. В идеальном газе, если в некотором небольшом объеме N частиц в среднем, то реальное количество частиц распределено по гауссу с сигмой 1/sqrt(N). Для некоторых компонент смеси это просто убивает гладкую модель, так как эти флуктуации не диссипируют, а наоборот усиливаются.

            Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

            Самое читаемое