maisvendoo 8 авг 2015 в 16:02

Магия тензорной алгебры: Часть 18 — Математическое моделирование эффекта Джанибекова

5 мин

28K

Математика*

+25

Комментарии 14

lamerok 8 авг 2015 в 21:12

Unity3D нет? docs.unity3d.com/ScriptReference/Quaternion.Euler.html

parpalak 9 авг 2015 в 19:46

Я тут подумал, а можно ли аналитически вычислить время переворачивания гайки (43 сантиметра из предыдущей статьи)?

С первого взгляда кажется, что это время зависит от возмущения $delta omega$ . Если возмущение нулевое, время равно бесконечности. Какая зависимость времени переворачивания от $delta omega$ ?

Было бы интересно с помощью моделирования определить время для нескольких значений возмущений и построить график.

maisvendoo 9 авг 2015 в 20:02

От возмущения не зависит. Возмущение принимается бесконечно малой величиной, что мы о нем знаем? При численном счете мы, разумеется принимаем конкретные значения, но по сути возмущения лежат в окрестности установившегося режима движения и малы.

А вот от начальной угловой скорости установившегося вращения и от безразмерных моментов инерции i_y и i_z — очень даже зависит. Это можно было конечно показать, и построить графики, но надо существенно модифицировать программу на Maple. Теперь жалею, что не заморочился. Но думаю, когда сделаю 3d-ролик в той же статье приведу и такие графики.

parpalak 9 авг 2015 в 20:26

Это вы выбрали возмущение малым, чтобы построить графики. Но ясно, что от величины возмущения будет зависеть, через какие промежутки времени тело переворачивается (у вас сейчас ~55 секунд). Иными словами, красные горизонтальные участки должны быть тем длиннее, чем меньше возмущение:

Если возмущение нулевое, то тело всегда будет вращаться вокруг оси с промежуточным моментом инерции, так как

является решением (хоть и неустойчивым) уравнений (9).

maisvendoo 10 авг 2015 в 03:05

Нет, возмущение будет именно малым. Если, например

сравнимо с

, то это уже совершенно другой режим установившегося движения, вопрос о об устойчивости которого следует решать, опять вводя малые возмущения.

Не путайте начальные условия и возмущения. Начальные условия четко определены, возмущения же — продукт действия неучтенных внешних факторов, как-то вязкость воздуха и его движение, микрогравитация, несовершенство резьбы винта, с которого начала движение гайка.

Задать малое возмущение в виде начального условия — самый простой вариант возмутить движение при моделировании, особенно в отсутствие малых силовых факторов, которыми мы пренебрегаем.

Но, повторюсь, задание угловых скоростей по оставшимся осям, так чтобы они были сравнимы с рассматриваемой омегой — означает задать совершенно другой режим движения. Мы его в контексте данной задачи не рассматриваем. Мы рассматриваем вращение гайки вокруг оси x.

Кстати, то движение которое начинается после лавинообразного переворота уже тоже не относится к первоначальному неустойчивому вращению, так как отклонение достигло таких величин, что движение окончательно ушло от первоначального режима. На графике, что Вы привели в комментарии — мы изучаем устойчивость движения от 0 до около 35 секунд. Дальше уже другое движение — система неустойчива

maisvendoo 10 авг 2015 в 03:17

Объяснение того, что есть

дается в следующей статье-довеске, в разделе посвященном функциям Ляпунова. Четко говорится о том, что функции, определяющие возмущенное движение удовлетворяют условию

где h — достаточно малое число.

maisvendoo 10 авг 2015 в 03:25

Ведь можно рассматривать и, например, задачу об устойчивости программного поворота спутника на орбите, когда вектор угловой скорости меняется по некоторому закону

. Этот закон будет установившимся режимом, а возмущенное движение будет отличаться от этого режима на некоторую малую величину

. И вот вопрос устойчивости как раз и заключается в выяснении того, останутся ли эти отклонения малыми, сойдутся ли к исходной программе движения или увеличатся, перестав быть малыми и испортив программу управления.

Только в этом случае система уравнений возмущенного движения будет не автономной (коэффициенты, зависящие от программы управления будут зависеть явно от времени), система будет нелинейной, но вопросы устойчивости будут рассматриваться всегда в контексте малых отклонений от программы. В этом вся суть теории устойчивости механического движения

maisvendoo 10 авг 2015 в 03:37

Кстати, на том графике, что Вы привели в комментарии, по осям отложены не дельты, там отложены проекции угловой скорости. И этот график показывает, что как ни мало начальное отклонение от установившегося режима (

!!!), в силу неустойчивости последнего, отклонение разовьется и даст вращение вокруг осей y и z.

Обратите внимание на график, иллюстрирующий устойчивое вращение

Он показывает, что в случае если рассматриваемое движение устойчиво, то отклонения от него не превысят первоначального возмущения. Отклонение здесь выбрано довольно большим, чтобы были видны колебания, но все же в 100 раз меньше угловой скорости основного вращения.

Так что рассматривать период переворотов как функцию дельт омеги не правильно, исходя из самой сути задачи об изучении устойчивости.

parpalak 10 авг 2015 в 14:31

Принимаю поправку насчет терминов (возмущения и начальных условий). Но суть моего вопроса от этого не меняется.

Вектор момента импульса обходит траектории на эллипсоиде из интерпретации Мак-Куллага. Мой вопрос в том, какое время занимает этот обход. Время обхода у каждой траектории своё. Очевидно, выбор начальных условий эквивалентен выбору траектории, больше он ни на что не влияет.

Я поэкспериментировал с маплом. У меня получилось, что с уменьшением отклонения оси вращения от оси с промежуточным моментом инерции время обхода растет логарифмически. Из соображений размерности для угловой скорости $\vec{\omega}=(\omega,\delta\omega,0)$ время обхода должно быть таким: $T\sim{1\over \omega}\ln{\omega\over\delta\omega},\ \delta\omega\to 0$ .

Логарифм наверняка можно получить из эллиптических функций, через которые в общем виде выражается решение уравнений для свободного вращения твердого тела.

Кстати, из первоначальной процитированной вами формулировки следует, что расстояние до переворота в 43 сантиметра повторялось от измерения к измерению. Скорее всего это объясняется неточностью изготовления гайки: ось ее вращения не совпадает с осью с промежуточным моментом инерции. Неопределенность начальных условий (то, как гайка болталась при закручивании) была небольшой и влияла меньше, чем несовпадение осей. Иначе гайка пролетала бы различные расстояния и переворачивалась бы в разные стороны.

maisvendoo 10 авг 2015 в 22:40

ось ее вращения не совпадает с осью с промежуточным моментом инерции

Почти наверняка не совпадает. Не думаю, что производители гаек для крепления грузов (даже космических) подобным заморачиваются.

Да, однако с величиной начального возмущения интересно поиграться. Вот например просто поменял знаки — получается разная картинка

Движение гайки Джанибекова при различных начальных возмущениях

Причем получается как-то «крест-накрест» — одинаковые движения при наблюдаются при противоположных знаках у дельты омега игрек и дельты омега зет.

parpalak 10 авг 2015 в 23:13

Не совсем. На первых двух графиках три зеленых «зубца» смотрят в одну сторону, а четвертый в другую. На вторых двух — по два «зубца» смотрят вверх и вниз.

Вообще критические траектории из интерпретации Мак-Куллага делят эллипс на 4 части, в каждой из которых траектории своего типа.

Вот что пишет Журавлев

4 варианта начальных условий как раз соответствуют этим частям.

maisvendoo 10 авг 2015 в 22:59

Ну и еще результаты, для различного значения начального возмущения по оси игрек

Характер движения гайки Джанибекова при различной величине начального возмущения

$\Delta\omega_y = 0.1, \quad \Delta\omega_z = 0$

$\Delta\omega_y = 0.01, \quad \Delta\omega_z = 0$

$\Delta\omega_y = 0.001, \quad \Delta\omega_z = 0$

$\Delta\omega_y = 0.0001, \quad \Delta\omega_z = 0$

$\Delta\omega_y = 1 \cdot 10^{-5}, \quad \Delta\omega_z = 0$

$\Delta\omega_y = 1 \cdot 10^{-10}, \quad \Delta\omega_z = 0$

$\Delta\omega_y = 1 \cdot 10^{-20}, \quad \Delta\omega_z = 0$

$\Delta\omega_y = 1 \cdot 10^{-30}, \quad \Delta\omega_z = 0$

Видно, что при передельном уменьшении отклонения, период сходится к постоянной величине, а время сваливания с устойчивого вращения — увеличивается

parpalak 10 авг 2015 в 23:31

На последнем графике есть интересный эффект, который я тоже наблюдал в мапле. Первые ~100 секунд ничего не происходит, а потом тело переворачивается с полупериодом ~50 секунд.

Я думаю, что это артефакт численных расчетов, потому что физических причин для такого поведения нет.

Скорее всего в момент переворачивания происходит потеря точности из-за округления, и численный расчет перескакивает к другой траектории на эллипсоиде Мак-Куллага, для которой период меньше. И, наверно, вместо замкнутой линии в ходе моделирования получается незамкнутая спираль.

Мне кажется, что если применить более точный метод численных расчетов, то полупериод на последнем графике будет ~200 секунд. Я больше доверяю времени до переворота, а не периоду «установившегося» движения, потому что оно растет как нужно, логарифмически: $T\sim\ln{1/\delta\omega}$

maisvendoo 10 авг 2015 в 23:39

Надо попробовать интегрировать более точным методом. Использовал «умолчальный» метод в настройках dsolve()

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий

Показать лучшие за всё время