История одного собеседования, или как в компании X кандидата «вешали»

    Действующие лица:
    X – крупная известная компания, в которой открыта вакансия аналитика (условно)
    A – сотрудник компании X, который проводил собеседования
    B – представитель отдела HR компании X
    С – кандидат на вакансию аналитика.


    Краткая предыстория

    Сразу хочу сказать, я, наверное, не стал бы сюда писать и обсуждать мое собеседование, если бы случайно не обнаружил, что A (сотрудник компании X), который проводил интервью со мной, по какой-то причине решил в своем аккаунте на фейсбуке вечером того дня, когда проходило собеседование, выложить пару вопросов, которые мне были предложены на этом интервью. А также, как мне показалось, описать это в несколько негативной коннотации, в т.ч. используя термины «повесил» (в применении к соискателю), «входить в ступор», «сжалился» и т.п.
    Также для меня это весьма необычно, можно сказать, я в первый раз встречаюсь с таким, чтобы детали моего собеседования, хотя и в обезличенной форме, были вынесены в открытый доступ, причем это сделано сначала не кандидатом (т.е. мной), а именно представителем компании.

    Его сообщение было процитировано другими пользователями фейсбука. В одной из веток развернулась дискуссия, и я тоже в нее вступил, пообещав на днях детально рассказать про взгляд на это собеседование с моей стороны (т.е. со стороны кандидата).

    Наутро A (тот, кто меня собеседовал), удалил свое оригинальное сообщение, а также вместе с этим стерлись все обсуждения других участников. Что именно его побудило это сделать, я не знаю, возможно, A понял, что его сообщение само по себе наносит репутационный ущерб компании X в глазах соискателей, но также допускаю, что связано именно с тем, что я захотел дать свои комментарии.
    Однако, так как я обещал ответить на этот топик, я все равно делаю это, несмотря на то, что сам топик стерли.

    Некоторые ограничения

    Я не буду раскрывать здесь истинные названия/имена X, A и B, а также комментировать, подтверждать или опровергать любые догадки, вопросы и утверждения, касающиеся их. Также я не буду рассказывать более подробно о самой вакансии, о содержании остальной части собеседования и любые другие подробности, так как они не относятся к сути вопроса. Замечу только то, что, несмотря на то, что у меня есть математическое образование, которое я получил более 10 лет назад, в описании вакансии не было сказано, что требуются глубокие, широкие или какие-то специфические знания в области математики, за исключением опыта применения методов математической статистики в списке требований.

    Сообщение А (сотрудника компании) в своем аккаунте на фейсбуке после проведения собеседования со мной

    Сегодня «повесил» кандидата (математика) вопросом про то, как посчитать интеграл от 0 до Pi от функции sin(x), не используя косинус.
    Через 10 минус кандидат отвис, и я добил его вопросом, что было бы в мире, если бы Pi было бы равным 3.
    Добрый аналитик (здесь указано имя коллеги A) еще предложил Pi^2=10, но я сжалился над кандидатом

    Отмечу, что данная цитата практически дословна, при необходимости это могут подтвердить те, кто ее видел.
    В своем ответе на один из комментариев на этот пост А также пишет следующее (точная цитата):
    Про задачки из разряда: «А что если?». Иногда человек уходит в ступор. Иногда начинается буйство воображения про что-то одно. Иногда человек раскладывает ситуацию на составляющие и через них комплексно оценивает ситуацию в целом. Такая «игра» помогает понять, как человек будет мыслить со сниженным наведенным эффектом от опыта. Собственно, в аналитике главное — то, как он мыслит. Спрашивая о знаниях, про мышление узнать очень сложно.


    Взгляд на собеседование со стороны кандидата

    Итак, рассмотрим первый вопрос, который мне был задан: как посчитать интеграл от 0 до Pi от функции sin(x).
    На мой быстрый ответ, что можно взять первообразную, и далее использовать формулу Ньютона-Лейбница, мне было сказано, что добавляется новое условие: косинус использовать в вычислениях нельзя.
    Сразу скажу, что мне такие вопросы нравятся, я люблю решать нестандартные и занимательные математические задачки. Поэтому вопрос сам по себе мне сразу показался интересным, и я принялся над ним думать.

    Но далее следует сделать одно важное замечание. Бумажку с ручкой использовать мне запретили (об интернете, естественно, речь даже не шла). И никаких наводящих вопросов или подсказок (я явно спросил об этом, будут ли какие-то подсказки).

    A (тот, кто меня собеседовал) писал в фейсбуке, что он меня «повесил» на 10 минут.
    Во-первых, мне не нравится этот термин «повесил» сам по себе, так как любой процесс раздумывания над задачей (особенно не тривиальной) может быть тоже формально охарактеризован как «повесил». Люди, которые решают задачи на зачете или на олимпиаде в тишине — они тоже находятся в «повешенном» состоянии? Так что ли?
    Во-вторых, из этой фразы создается впечатление, что я просто сидел, молчал, вообще не предложил хотя бы каких-нибудь подходов к решению, каких-либо оценок.
    Но это не так.
    Наоборот, зная, что в компании X от кандидатов хотят услышать не только само решение, но и его рассуждения, даже если они не приводят к верному решению, я старался говорить, какие мне приходят идеи в голову, чтобы как-то продемонстрировать ход моих мыслей.

    По порядку:

    Я сразу сказал, что, так как функция синус нечетная, то, например, интеграл от -Pi/2 до Pi/2 будет равен 0. На что A выразил сомнение, в том, что синус является нечетной функцией, а также в нуле принимает нулевое значение. Но после того, как я продемонстрировал свою уверенность в этом, он кивнул в знак согласия. Меня данная реакция A немного озадачила, хотя вполне допускаю, что в данном случае это просто проверка уверенности кандидата, и ничего более.
    При этом A меня спросил, нельзя ли это как-то использовать при ответе на исходный вопрос. Как именно это использовать, сразу я не понял, так и сказал (повторю, бумажкой с ручкой пользоваться нельзя).

    Далее я предложил (в кач-ве идеи) разложить sin(x) в ряд (x-x^3/3!+…) и посчитать интеграл от многочлена. Позже, после собеседования я понял, что это решение тупиковое, т.к. после интегрирования этого многочлена как раз получится разложение для минус косинуса, а как посчитать сумму ряда как-то иначе, мне в голову не пришло. Другое дело, что этот метод позволит быстро посчитать приближенное значение, но в уме это сделать явно не получится.

    О.К., идем дальше.
    За неимением каких-то зацепок я предложил оценить интеграл сверху и снизу. Снизу – «домиком», левая сторона «крыши» которого образована функцией y=x*2/Pi. Тут без пояснения на рисунке было совсем неудобно обойтись, поэтому я осмелился нарисовать этот домик, чтобы было понятней, о чем я говорю. У A снова было какое-то сомнение в моих словах, и я сказал, что оценка возможна, так как функция sin(x) выпукла вверх на участке от 0 до Pi. Поэтому снизу простейшая оценка снизу будет равна площади этих двух треугольников под графиком синуса, а именно, Pi/2.Простейшая же верхняя оценка определяется прямоугольником, образованным сверху прямой y=1. Таким образом, в качестве верхней оценки я предложил Pi.

    Далее я у него уточнил, что означает «нельзя использовать косинус». Попросил дать строгое логическое определение этого. На первый взгляд, это является очевидным и не требующим каких-либо пояснений, а мой вопрос казался наивным, но если подумать, то с формальной точки зрения функция (-cos x), рассматриваемая как самостоятельная функция, не является функцией «косинус», так как не совпадает с ней.
    Так вот, A уклонился от того, чтобы дать более строгое и формальное объяснение, что он вкладывает в понятие «нельзя использовать косинус». Таким образом, как я считаю, он не ответил на мой уточняющий вопрос.

    Далее я предложил следующую идею (трюк, если можно так назвать): так как фактически значение интеграла мне было известно (2, через формулу Ньютона-Лейбница с «запретным» косинусом), я сказал, что можно проанализировать, почему именно получается целое число, возможно, это наведет на правильное решение. Зная ответ, в некоторых случаях получается угадать, по какому пути могло идти решение. В ответ мне было сказано, что так поступать нехорошо.

    В конце концов, я попросил разрешения перейти к следующему вопросу, так как сомневался, что мне в голову придет решение этой задачи в ближайшие минуты, а время собеседования было ограничено.

    Решение (мой вариант). Отмечу, что после собеседования, дома, в спокойной обстановке, я все же нашел решение этой задачи. А именно, нужно было вспомнить формулу sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i), которая является следствием известной формулы Эйлера. После применения этой формулы, первообразная исходной функции sin(x) будет равна -(exp(ix)+exp(-ix))/2. На самом деле, это тот же минус косинус, записанный в альтернативной форме.
    Далее, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: -(-1-1)/2+(1+1)/2=2.

    Не уверен, кстати, что это бы решение подошло A, может он добивался от меня какого-то другого преобразования или представления, и данное решение тоже бы отверг. Могу только гадать. Я послал это решение A в сообщении через фейсбук вечером в день собеседования, но он мое сообщение проигнорировал.
    Да, кстати, время, которое я потратил на сами попытки решения этой задачи, я скорее бы оценил ближе к 5 минутам, а не 10, как сообщал A, так как надо учесть, что некоторую часть этого времени я объяснял идеи, которые мне приходили в голову (см. выше).

    Далее мне был задан вопрос, что бы было, если бы в нашем мире Pi было бы равно 3.
    Я сразу сказал, что слышал про такое понятие, как тонкая настройка Вселенной. Константа Pi сама является фундаментальной и может входить в различные физические постоянные. При небольшом изменении этих констант мир настолько поменяется, что, возможно, будут невозможна жизнь, и даже существование молекул останется под вопросом и т.п. Вообще это сложный разговор, здесь, если глубоко думать, надо начинать разговор с обсуждения пространства и его метрики (последняя фраза — это мой комментарий, сделанный уже после собеседования).

    Мне был задан дополнительный вопрос, как изменится вращение Земли (видимо, подразумевался период вращения), если константа Пи была бы иной, например, 3.
    Я сказал, что не знаю, так как не помню формулы. Но я ответил следующее: даже если Pi не входит напрямую в формулу, тем не менее, вполне вероятно, что Pi входит в какие-то формулы, из которых выводятся эти формулы. Либо она неявно «зашита» в каких-то других константах. То есть, я имел в виду, что вполне допускаю, что период вращения Земли мог бы быть иной. Это чисто с формальной точки зрения, просто используя вычисления для данного изолированного случая.

    Честно скажу, во втором вопросе (про Pi) я мог допустить какие-то грубые ошибки в рассуждениях.
    Но задайте себе вопрос: что бы вы сами ответили за несколько минут, будучи на собеседовании и не имея доступ к интернету? Даже если это формула из школьной программы и очень простая, должны ли вы ее помнить, особенно, если она не относится к вашей специализации в ВУЗе и к вашей предыдущей работе? Если да, то ответьте на вопрос: «какая формула цветка для розоцветных»?

    Еще раз напомню, в фейсбуке A потом написал следующее:
    Про задачки из разряда: «А что если?». Иногда человек уходит в ступор. Иногда начинается буйство воображения про что-то одно. Иногда человек раскладывает ситуацию на составляющие и через них комплексно оценивает ситуацию в целом. Такая «игра» помогает понять, как человек будет мыслить со сниженным наведенным эффектом от опыта. Собственно, в аналитике главное — то, как он мыслит. Спрашивая о знаниях, про мышление узнать очень сложно.


    О.K., мысль в целом неплохая, но все зависит от реализации. Ниже примеры.

    Можно предложить один универсальный метод для подобного рода собеседований.
    Нужно собрать все известные доказательства теоремы Пифагора (а их, согласно Википедии, существует 367 штук) и отсортировать по простоте и наглядности. Затем просить кандидатов доказать теорему Пифагора. Если вдруг кандидат докажет ее, сообщать, что требуется другое доказательство, которое идет по другой схеме («А что, если нужно предложить другое доказательство?») И так дальше. После того, как кандидат, измученный, остановится, скажем, на первом или втором доказательстве теоремы, предложить ему самый простой и наглядный из оставшихся вариантов доказательств.

    Еще вариант: взять экзотический пример, который имеет простое решение. Например, попросить кандидата привести пример метрического пространства, в котором возможна такая ситуация, когда шар большего радиуса лежит внутри шара меньшего радиуса. Это одна из любимых моих задачек, кстати. Одной ее формулировки достаточно, чтобы, как выразился A, ввести человека в «ступор».
    В терминах A можно переформулировать задачу в таком виде: «А что если шар большего радиуса находится внутри шара меньшего радиуса? Возможно ли это? Приведите пример соответствующего метрического пространства»
    И пусть кандидат думает, варится в своем соку. Фантазирует. Пусть раскладывает ситуацию на составляющие и комплексно оценивает ситуацию. Структурирует, анализирует. Интересно, поможет ли ему весь этот инструментарий его мозга в данном случае? Как вы думаете? А решение очень простое, кстати.
    Но если человек с подобным примером ранее не сталкивался, он пример такой не придумает за 10 минут, если только он не очень талантлив.

    Если человек будет фонтанировать какими-то причудливыми или просто неверными идеями, нужно ли это? Если кандидат не только совершенно не разбирается в предметной области, о которой его спрашивают, но ему даже не от чего оттолкнуться, как он может разложить проблему на составляющие и комплексно оценить ее? Кстати, здесь многое зависит и от опыта человека, и это тоже нужно учитывать, а иногда сам собеседующий может это не учесть. У разных кандидатов может быть разный опыт в разных областях жизни.

    Пример. Наверное, если требуется оценить, сколько АЗС в городе Москве, то москвичу-автолюбителю проще дать оценку, так как он может оттолкнуться, например, от количества АЗС в своем районе (которое он, скорей всего, знает с точностью плюс-минус 1-2), потом, опираясь на численность населения в своем районе и население города, дать какую-то оценку и по кол-ву АЗС во всем городе. Человеку же, у которого нет автомобиля, сложно уже действовать по этой схеме, т.к., скорее всего он обладает гораздо менее точной оценкой количества АЗС в своем районе.
    Если же предметная область близка кандидату, но от него хотят какого-то специального решения, всегда ли он поймет, что именно от него хотят без соответствующих подсказок?

    Вообще тема, которую сформулировал А, на самом деле интересна.
    Можно ли измерить некие абстрактные аналитические способности человека вообще вне привязки к какому-либо опыту? Возможно ли это? Только учтите, что опыт решения математических головоломок – это тоже опыт (простите за тавтологию).
    Ваши мнения?

    Дополнение

    Первое. Я не упрекаю A в том, как он проводит собеседования. Он, как руководитель, набирает себе тех сотрудников, с которыми он будет работать. И делает это так, как он считает нужным. Если ему чем-то не нравится кандидат, он может им отказать просто без объяснения причин.

    Второе. Несмотря на предыдущий пункт, меня покоробило, что в своем аккаунте на фейсбуке A описал то, как он меня «подвесил» на 10 минут (объективность этого утверждения можете оценить сами по детально описанному мной этому куску собеседования), а также эпитеты «отвис», «сжалился» и т.п. Справедливости ради надо заметить, что он не упомянул моего имени и фамилии, возможно, из соображения такта. Поэтому отвечаю ему взаимностью.

    Третье (риторический вопрос). Хотел бы я работать с таким человеком, который так описывает процесс общения с кандидатами? У меня могло сложиться неверное представление, но, наверное, нет.
    Поделиться публикацией

    Комментарии 386

      –7
      Определенный интеграл от функции — есть площадь — не проще было ли найти площадь четверти круга?
      Наверное именно простейшего решения от Вас и добивались?
        +3
        Не совсем вас понял.
        Площадь какого круга вы имеете в виду?
        Может я и правда пропустил простейшее решение?
          –1
          Перейдите в полярные координаты, например.
            +1
            Интеграл в полярных координатах не равен площади.
              +1
              Да, верно. Требуется преобразование кординат х и у в р и ф. Просто я предположил, что может упроститься формула. Однако, я ошибся, навскидку кривая получается вообще невообразимой. Во-первых надо сместиться на пи/2 с точкой отсчета, во-вторых дикие формулы с арктангенсами не дают надежды на ростое сокращение.
            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                  +1
                  Тонкий вопрос связан с тем, что вы фактически все равно используете в промежуточных вычислениях (в выводе конечной формулы) косинус, когда вы говорите «я бы представил косинус как...»
                  Вы, конечно, можете его не упоминать и пропустить этот элемент в цепочке, но я не уверен, что про результат можно сказать, что он получен вообще без использования косинуса.
                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                0
                Площадь круга с радиусом 1 равна Пи.
                Другое дело что функция «четверти круга» и синус — это разные функции.
                  0
                  Другое дело что функция «четверти круга» и синус — это разные функции.
                  Вот и я о том. Уточнил, может имелось в виду что-то другое.
                  –33
                  Представьте график функции sin(x) в интервале от нуля до пи – это будет полукруг. Вот его площадь – это и будет результат вычисления этого интеграла в этом промежутке.
                    +25
                    Это *НЕ* будет полукруг.
                    Полукруг будет sqrt(1-x^2)
                      –6
                      Оу, да… Был неправ… Видимо, в таком масштабе представлял себе, вот первое и пришло в голову
                      +10
                      А теперь приведите пример метрического пространства, где график sin(x) будет полукругом. У вас 10 минут.
                        0
                        А что, если график sin(x) в интервале от нуля до пи будет полукругом?
                          0
                          Если от 0 до pi/2 — то легко, в полярных координатах. От 0 до pi уже получится полный круг.
                            0
                            Это уже не я предложил :)
                      0
                      Четверть круга вам мало поможет при нахождении интеграла от синуса.
                        0
                        deleted
                          0
                          Про площадь — хорошая подсказка. Круг тут не причем.
                          Нарисовать график (мы знаем несколько опорных точек) и посчитать «по клеточкам». Вполне приближенное значение получится
                            +1
                            Вероятностным способом точнее будет. Вписываем этот «полукруг» в прямоугольник (h=1, l=Pi/2). И начинаем «кидать» в него точки со случайными координатами. Штук так 1000.
                            Процент попавших точек умножаем на площадь прямоугольника.
                            Естественно, метод лучше реализовать в виде программы.
                          • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                            +15
                            Читал, как заклинания…

                            Магия…
                              +4
                              Пора освежить знания, а то тоже больше половины ничего не понял (:
                                +2
                                Я придумал новый способ собеседования. Даём каждому из кандидатов текст с математическими выкладками, где сложность материала постепенно растёт от начала к концу.
                                Побеждает тот кандидат, который, двигаясь от начала текста к концу, перестанет понимать о чём речь, позже других.

                                Отдельный вопрос: как проверить, где кандидат действительно понимает, а где уже нет.
                                Ответ: например пригласить какого-нибудь прожённого до мозга костей гуманитария и заставить кандидата объяснять материал ему, ведь как гласит известное высказывание: «если вы не можете объяснить что-то простым языком — вы этого не понимаете».
                                  +1
                                  Где же столько свежих прожжённых гуманитариев найти?..
                                    0
                                    Одного хватит.
                                      0
                                      не, не хватит. Один — после мало-мальски удачного объяснения «замылится», и чтобы выдать такую же оценку удачности, будет требовать объяснений существенно более удачных, которые подтвердят то, что он уже понял и объяснят ещё что-то сверх того.
                                        +1
                                        Ну окей, тогда можно фирме, которая проводит собеседования, договориться с каким-нибудь физкультурным или философским институтом, который бы поставлял на регулярной основе нерадивых студентов (например за пропуск пары — сидишь на одном собеседовании).
                                0
                                +166
                                Суд по своему опыту собеседований могу сказать — есть действительно интересные собеседники, которые всю встречу проводят как обычный дружеский разговор, могут спокойно угостить тортиком и позвать разговаривать в бильярдную комнату. А есть му@#ки, которые приходят на собеседование «подвешивать», «вгонять в ступор» и всячески доказывать свое превосходство, крутизну и ошеломительное остроумие постороннему человеку. Как правило — следствие личной неудовлетворенности, либо же тошнотворное состояние в текущей организации. В общем, не заморачивайтесь, я бы не хотел работать с таким вот индивидуумом в одном помещении. Очень многие здесь будут смотреть на вас, как на бога математики. В том числе и я.

                                А рассказ, задачи и ход мышления интересный, заставил разрыть вику в разделе математики и взять в руки листик с ручкой. Спасибо.
                                  +12
                                  Странность еще в том, что мой собеседователь производил впечатление адекватного человека, совсем не муд… ка (как вы выразились). Часть его вопросов была абсолютно релевантна вакансии. То есть я не могу сказать, что он меня пытался однозначно «завалить».
                                  Да и эти были вполне приемлемыми (за исключением того, что нельзя было пользоваться ручкой с бумагой).
                                  Но вот как он интерпретировал мои ответы — это уже другой вопрос.
                                    +75
                                    Как видите, быть адекватным человеком и производить впечатление адекватного человека — совершенно разные вещи.

                                    Да, забыл добавить. Проводя собеседования по программированию всегда предлагаю ручку-бумагу. Блок-схемы рисовать самое то. Но, честно говоря, попав на чисто математическое собеседование и услышав требование обойтись без ручки и бумаги я бы вежливо извинился и попрощался бы с товарищами, не раздумывая ни минуты. Математика — не тот предмет, в котором можно без последствий ткнуть пальцем в воздух и получить нужное решение.
                                      +4
                                      Можно ещё предположить, что искали кандидата с определённым складом мышления, чтобы потом можно было с ним общаться сразу на достаточно глубоком уровне обобщений, аналогий и умолчаний, не пробиваясь каждый раз через «аксиомы и определения». И «А» считал, что способность «вычислить интеграл синуса без косинуса», не пытаясь обмануть систему — или хотя бы порассуждать об этом — подходящий тестовый вопрос. Другой вопрос — найдут ли они кого-нибудь подходящего, а если найдут — смогут ли закончить хотя бы один проект, или будут радостно разрабатывать метаархитектуры исключительно на категорных принципах — и считать, что средства оправдывают цель :)
                                      +4
                                      Вот, например, на одном из собеседований у меня спросили, в чём задача ORM. Я ответил — в конвертировании данных различного формата и их связей в нативные объекты языка программирования и обратно.

                                      Оказывается, правильный ответ был — «задача ORM в предоставлении абстракции». Вот так, без дополнений и пояснений.
                                        0
                                        Ну если придираться, то конвертирование данных — это ответ на вопрос «что делает», а «задача» — синоним «цель», т.е., а нафига оно конвертирует данные туда-обратно?

                                        Но это если придираться, имхо, ведь можно от одного прийдти в один шаг к другому или наоборот, по одному наводящему вопросу.
                                          +1
                                          Задача и цель — это изначально разные вещи. Цель достигается через решение нескольких задач. Это ещё при написании диплома и курсовых было.
                                        –1
                                        Согласен, такие мудаки не стоят того чтобы тратить свое время
                                          0
                                          >> есть му@#ки, которые приходят на собеседование «подвешивать», «вгонять в ступор» и всячески доказывать свое превосходство, крутизну и ошеломительное остроумие постороннему человеку.

                                          Особенно круто, когда эти м%даки — нет, не твое будущее начальство. А твои будущие подчиненные. Которых не пойми с какой радости отправили тебя собеседовать, и которые со второй минуты разговора сразу говорят — «ну, будем тебя валить»(почти дословно). Нет, это не шутка была.
                                          +5
                                          Когда мне приходилось брать на работу экономистов, вероятно, часто я в их глазах выглядел этаким самодуром. Но, что поделаешь, когда требуемый уровень навыков и опыта кандидату даже приблизительно неизвестен?

                                          Вполне возможно, что Вы просто не до конца поняли требования к вакансии и решили, что она Вам подходит, хотя она требует качественно другого уровня знаний.

                                          А возможно произошел обычный личностный диссонанс. За Ваш счет попытались самоутвердиться.

                                          Определить наличие необходимых аналитических способностей у кандидата можно точно лишь в двух случаях.
                                          1. Известна необходимая методика анализа и требуется определенная степень владения методикой
                                          2. Есть критерии оценки правильно проведенного анализа и требуется такой анализ продемонстрировать

                                          Однако, есть ситуации, когда качество анализа проверить без серьезных затрат нельзя. Тогда все упирается в интуицию нанимателя и харизму нанимаемого
                                            +7
                                            Ну так это тоже разные вещи: требовательность и надменное неуважение. Типа «я такой крутой, сел, всех сразу повесил одним вопросом». Недавно тоже зашел в вк мужа одной тетеньки, а там фразы типа «куда подчиненного ни поцелуй, у него везде жопа». Очевидно, персонаж стал маленьким царьком недавно и сам прется от своей крутизны.
                                            +4
                                            Вариант с разложением на комплексные экспоненты — наверно, самый очевидный вариант, при запрете на косинус. В случае, если бы это не проканало, я бы предложил заменить функцию косинус по определению: отношение прилежащего катета к гипотенузе:)
                                            Вопрос про pi = 3 на мой взгляд некорректный. Действительно, очевидно, что поменялось бы всё на свете.
                                            а на вопрос про pi^2 = 10 я бы ответил, что в таком случае pi было бы равно корню из 10.
                                              +3
                                              а на вопрос про pi^2 = 10 я бы ответил, что в таком случае pi было бы равно корню из 10.

                                              Во-первых, мне этот вопрос задан не был (это был комментарий от самого собеседователя).
                                              Что он имел в виду — я точно не знаю.
                                              Но я думаю, что не все так просто, как вы думаете, имелось в виду что-то другое.
                                                +4
                                                Мне, просто, кажется, что на такие вопросы ждут не верного ответа, а чтобы вы быстро и уверенно смогли навешать им лапши на уши.
                                                Вот вы попросили человека А уточнить его ограничение на косинус. Я думаю, тут надо было трактовать это на своё усмотрение. Генерировать побыстрее ответ. А потом, если он к чему-то — ответить, что нюансы, которые не были оговорены, вы трактовали на своё усмотрение и что ваш ответ никак не противоречит условию.
                                                  0
                                                  Если бы пи было равно трем я бы подумал о переходе в пи-ричную систему счисления. По крайней мере это вопрос либо самого числового поля, либо топологии пространства.

                                                  Но я бы точно не стал бы вспоминать о формулах, поскольку число пи выводится как отношение длины окружности к ее диаметру и все остальные применния лишь связаны с этим топологическим свойством отношения минимального периметра для максимальной площади к его проекции.
                                                    0
                                                    Нет, разговор о возможности изменения системы счисления, в которой бы Pi=3 не стоял. То есть банально принимаем число 3 за Pi.
                                                    Я это сразу предложил (забыл написать здесь).

                                                    Ваше же второе утверждение достаточно глубокое, конечно. Но оно не закончено. Требуется продолжить, что бы было дальше, какие св-ва были у того пр-ва, где отношение длины окружности (в определении того пространства) к ее диаметру было бы другим (3)? Что дальше? Если бы там как-то изменились физические законы, то как именно? Приведите пример.
                                                      +8
                                                      Формально ничего не изменится, ведь топология это связанность, а не соотношения. Тот же периметр, та же площадь, только проекция будет не на прямую линию, а на что-то типа цепной линии. Таким образом получится, что весь мир как бы провисает во времени, время движется нелинейно, а так, что из любой точки оно выглядит самым быстрым прямо сейчас, все более удаленное будущее развивается медленнее, как и прошлое.

                                                      Получился бы такой парадокс застывшего времени, как в бесконечном прошлом, так и в бесконечном будущем.

                                                      В случае с пи как корнь из десяти цепная линия была бы чуть более пологой.

                                                      Это как если на доску нагрузить гири и они, ргибая доску скатываются ближе к ее центру.

                                                      Ничего более существенного, кроме математических казусов и трансформации значений физических констант с миром бы не случилось.

                                                      По сути это как смотреть на мир через искажающую линзу или зеркало. Меняется восприятие, но не мир.
                                                        0
                                                        А не вышло бы так, что пространство с отношением периметра к диаметру равным трём оказалось бы очень выпуклым?

                                                        Тут-то и подкрадывается «Большой Пц» в виде «Большого схлопывания». А поскольку метрика уж очень чрезмерно выпукла, то БПц/БСхл наступит очень чрезмерно быстро. Типа через минут 5 после Большого взрыва.
                                                  +18
                                                  Ну тут действительно не совсем понятно, что именно подразумевается под запретом косинуса и насколько далеко эти запреты распространяются. В решении с экспонентами мы получаем, как верно заметил автор, тот же косинус, но записанный в виде формулы. Если так, то можно не городить огород, а просто в самом очевидном решении в первообразной использовать не -cos, а -sqrt(1-sin^2). По смыслу это то же самое, что косинус, замаскированный под экспоненты. А если и такой вариант запрещен, то можно довести задачу до абсурда, сказав, что тогда и синус оказывается автоматически запрещенным, так как выводится из этой формулы через косинус.
                                                    +4
                                                    Вы прекрасный математический анти-демагог!
                                                      +1
                                                      Но синус и есть форма косинуса.

                                                      (И наеборот)
                                                        0
                                                        В принципе, верно, можно было бы ответить, что вычислить предложенный интеграл от синуса совсем без применения косинуса не удастся, т.к. сам синус — это фактически сдвинутый на Pi/2 косинус.
                                                        Я об этом сразу даже не подумал, хотя это лежало на поверхности.
                                                        Но если верный ответ предусматривал именно это решение, то это сродни задачке «А и Б сидели на трубе».
                                                    +3
                                                    Решение с экспонентами нельзя использовать, на мой взгляд. Как подсчитать exp(i*Pi)? Единственный известный мне способ — это через ту же формулу эйлера разложить ее на синус и косинус*i. Опять получаем косинус. Ну или в ряд раскладывать, но это ничем не лучше, чем разложить в ряд синус и проинтегрировать его. Или косинус считать через известный уже ряд.
                                                      0
                                                      Ну или в ряд раскладывать, но это ничем не лучше, чем разложить в ряд синус и проинтегрировать его. Или косинус считать через известный уже ряд

                                                      В том-то и проблема, что если разложить в ряд синус, а потом проинтегрировать, то получится ряд для минус косинуса, я об этом писал. Как вы будете еще считать без применения косинуса? Можете показать решение?

                                                      Решение с экспонентами нельзя использовать, на мой взгляд. Как подсчитать exp(i*Pi)?

                                                      Здесь вопрос, что именно имел в виду интервьюер. Может он хотел, чтобы в самом решении не использовалось написание cos нигде? Тогда такой вариант пройдет, т.к. мы полагаем exp(i*Pi)=-1 известным фактом и не проверяем, как он был получен.

                                                      P.S. А как бы вы сами стали решать это задачу?
                                                        0
                                                        Пока интервьювер не объяснит, что значит — не использовать косинус, никак. Задача из серии «сколько лампочек в аудитории?». И сиди думай, принес ли интервьювер свою лампочку, и сколько. Если без объяснения — то просто сказал бы, что ответ площадь под графиком. Любое численное значение посчитанное через какие-либо известные значения каких-либо функций рано или поздно упирается в значения первообразной от синуса, что и есть косинус.
                                                          0
                                                          Вот здесь
                                                          интересное решение без косинуса, посмотрите.
                                                      +6
                                                      Не корню из 3, а плюс-минус корню из 3. Мне кажется, вариант с отрицательным пи подвнсил бы уже спросившего
                                                        –2
                                                        Я бы ответил, что если бы число Pi равнялось 3, то длина окружности, равнялась бы, скажем 2LuR, где Lu — это 3.14…

                                                        В том смысле, что Pi — это всего лишь имя числа имеющего определённое значение и высчитывающегося определённым образом, а не наоборот.
                                                          0
                                                          Он некорректный не потому, что поменялось бы всё на свете, а потому что этого просто не может быть, как не может быть 2*2=5.
                                                            –2
                                                            Да ну… а вас не смущает, что 2*8 в десятичной системе равно 16, а шестнадцатиричной 10. Это с одной стороны.
                                                            С другой же, можно представить себе «мир», где pi равно 3. Так же, как я могу себе представить что pi равно 3.14 или 3.14159. До какого знака после запятой вы обычно округляете пи? 3.14? Так я вам заявляю:
                                                            это некорректно не потому, что поменялось бы всё на свете, а потому что этого просто не может быть, как не может быть 2*2=5
                                                            Выражение пи равно 3, как правило означает всего лишь, что точностью в вычислении можно принебречь (я округлил до 0 знака). Всё.

                                                            Ну или как в симпсонах, для привлечения внимания :).
                                                              +1
                                                              Почему не может? Я плоховато помню линейную алгебру, но вроде бы никто не запрещает создать свою конечную группу и на ней объявить умножение таким образом, чтобы 2*2 было равно 5.
                                                              0
                                                              а на вопрос про pi^2 = 10 я бы ответил, что в таком случае pi было бы равно корню из 10.
                                                              Как скучно. Можно было бы предположить, что пи равно минус корню из десяти. И начать рассуждения а том, что получится с пространством, если пи будет отрицательным.
                                                              Может получилось бы «вогнать в ступор» собеседуещего.
                                                              +37
                                                              Если вы таким образом искали ответ на риторический вопрос «почему человек A — говнюк?», то вы явно не по адресу. Также вы сами прекрасно понимаете, что подобными вопросами аналитический уровень человека проверить невозможно. Поэтому если в следующий раз вы попадете в аналогичную ситуацию — сэкономьте себе время и просто напишите в твиттере, что представитель компании X проводящий собеседование на позицию аналитика — говнюк. Нужно просто быть более толстокожим и не обижаться на ерунду.
                                                                +4
                                                                Интересный случай, но более интересен ответ на вопрос про два шара:) Правда ли, что можно отвечать так: возьмём ограниченное метрическое пространство (например, сферу или поверхность тора), и выберем в нём два шара радиуса R_1 и R_2 большего, чем максимальное расстояние между точками в этом пространстве? Тогда эти шары совпадут (каждый заполнит всё пространство) и каждый будет лежать внутри другого. И есть ли более красивое решение?
                                                                  +1
                                                                  Прикольное решение :)
                                                                  Я, правда, забыл уточнить, что «внутри» означает то, что шары не должны совпадать друг с другом полностью как множества.
                                                                    +4
                                                                    Хорошо) Тогда возьмём в качестве пространства, ну, например, квадрат (с евклидовой метрикой). Первый шар имеет центр в вершине квадрата (и в этом пространстве представляет собой сектор), центр второго — на некотором небольшом расстоянии от него. Его радиус можно выбрать чуть меньше и он всё равно покроет весь сектор.
                                                                      +1
                                                                      Хм… похоже на правду!
                                                                      Завтра точно скажу, надо проверить свойства метрики. Но вроде все верно.
                                                                      Я подразумевал другой пример, он чуть проще. Но этот тоже очень простой получился.
                                                                      P.S. Быстро вы сообразили. Вы не 239 школу случайно закончили? :)
                                                                        0
                                                                        Лицей 110 города Екатеринбурга;-)
                                                                          0
                                                                          Вы не 239 школу случайно закончили? :)
                                                                          В замкадье жизни нет?
                                                                            0
                                                                            239 находится в Питере. :)
                                                                              –2
                                                                              Я почем знаю?
                                                                                +11
                                                                                А так же в Москве, Киеве и т.д.
                                                                        +3
                                                                        Отрезок [0,3]. Берем шар радиуса 3/2 с центром в точке 2 и шар радиуса 2 с центром в точке 3.
                                                                        Минимальный пример, конечно, пространство из двух точек.
                                                                          0
                                                                          А не из трёх ли, если хочется именно строгое включение?
                                                                            +1
                                                                            Да, верно, чтобы было строгое включение нужно три точки (насколько я помню). Достаточно построить шары на треугольнике со сторонами 3,4,5.
                                                                            Точки нашего пр-ва — это вершины треугольника.
                                                                            Первый шар — с центром с вершиной при прямом угле и радиусом 4.1 В этот шар войдут три точки.
                                                                            Второй шар — в любой другой вершине и с радиусом 4.2. В этот шар войдут только две точки.
                                                                            Метрика евклидова из R2
                                                                              0
                                                                              Да, три, глупость сказал. Можно взять точки 0, 1 и 2 на прямой c обычным расстоянием.
                                                                                0
                                                                                Ну а тогда для нестрогого включения минимальный пример вообще из одной точки.
                                                                                  0
                                                                                  Шаров там всё-таки два.
                                                                                    0
                                                                                    Ну да:) Шар S и шар S. Два:)

                                                                                    Просто один раз рассматриваем его как шар радиуса 1, а другой — как шар радиуса 2.
                                                                                  –2
                                                                                  Да, все верно, вроде. Пример получился еще проще, чем у меня.
                                                                                  Что мы имеем: очень простой пример для задачи, которая формулируется очень непривычно.
                                                                                  Хотя пример и выглядит предельно простым, мне кажется, все равно нужно определенное чутье или опыт, чтобы быстро такой пример придумать.
                                                                                  Грубо говоря, не каждый человек, которому дали определение метрического пр-ва, сразу сможет построить такой пример.
                                                                                  Мне кажется так. Может я ошибаюсь.
                                                                                    –1
                                                                                    Еще вариант с отрицательными радиусами. Или с комплексными.
                                                                                      0
                                                                                      Метрика — вещественнозначная и неотрицательная функция по определению.
                                                                                        –1
                                                                                        В прикладном смысле — да. Исследовать, что будет с комплекснозначной метрикой — тем не менее вполне возможно. Чаще всего — ничего, но иногда целая новая вселенная возможностей.
                                                                          • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                              +1
                                                                              Про шары. От меня до соседа 2 метра, но когда я отправляю сообщение ему и в ЦОД. Latency между мной и ЦОДом — 0,2. А latency я — ЦОД — сосед = 0,4.
                                                                                +4
                                                                                Вы меня подвесили.
                                                                                  0
                                                                                  Давайте проще. От ЦОДа до любого пользователя пинг 0,2. От пользователя до пользователя пинг 0,4, потому что он бегает через ЦОД. Теперь представьте что пользователей и ЦОДов много. Но я не уверен, что это соответствует точному определению метрического пространства.
                                                                                  0
                                                                                  Погодите. Не совсем вас понял.
                                                                                  Вы фактически можете подразумевать две вещи под метрикой:
                                                                                  1. Метрика из R^3 (в метрах)
                                                                                  2. latency (в мс)

                                                                                  Это две разные метрики.
                                                                                  Какую из этих двух метрик вы используете, чтобы построить этот пример?
                                                                                  Не должно быть такого, что один шар вы считаете по одной метрике, а другой — по другой.
                                                                                    0
                                                                                    Да, вы правы. Я тут вырезал два круга из бумаги, скомкал большой и впрессовал его в маленький. То есть выполнил N+1-мерное преобразование в N-мерном пространстве.
                                                                                      0
                                                                                      Поясню. Я имел в виду, что я при времени 0,3 охватываю только две точки (включая себя), а ЦОД при времени 0,25 охватывает три точки (включая себя).
                                                                                    +34
                                                                                    Директор по кадрам Гугла рассказал все, что нужно знать, вот в этой статье:

                                                                                    www.nytimes.com/2013/06/20/business/in-head-hunting-big-data-may-not-be-such-a-big-deal.html?pagewanted=all&_r=2&

                                                                                    Вкратце: Гугл проанализировал десятки тысяч собеседований и их связь с последующей полезностью нанятых сотрудников, и не обнаружил таковой практически вовсе. Зато стало ясно, что обычные методики собеседований ничего не стоят. В частности, головоломки типа «а мы хотим посмотреть, как он мыслит в нестандартной ситуации и под давлением», бесполезны абсолютно и в основном нужны для повышения ч.с.в. интервьюера. Также абсолютно бесполезно смотреть на оценки в дипломе, поэтому Гугл больше ими не интересуется.

                                                                                    А что работает? Вроде бы немного работают вопросы типа «расскажите о сложной ситуации в своей работе, и как вы из нее выбрались», да и то не факт.

                                                                                    В общем, даже Гугл не знает, как проводить собеседования, чего же вы хотите от несчастных гуманитариев из HR, которые верят в сказки, рассказанные им на трехдневных тренингах, и от таких же несчастных тимлидов, которые не знают что спросить, и спрашивают, что вспомнят из статей о Гугле и Эппле? :)
                                                                                      +4
                                                                                      вот пара цитат:

                                                                                      «we found that brainteasers are a complete waste of time. How many golf balls can you fit into an airplane? How many gas stations in Manhattan? A complete waste of time. They don’t predict anything. They serve primarily to make the interviewer feel smart. Instead, what works well are structured behavioral interviews, where you have a consistent rubric for how you assess people, rather than having each interviewer just make stuff up.»

                                                                                      «Years ago, we did a study to determine whether anyone at Google is particularly good at hiring. We looked at tens of thousands of interviews, and everyone who had done the interviews and what they scored the candidate, and how that person ultimately performed in their job. We found zero relationship. It’s a complete random mess, except for one guy who was highly predictive because he only interviewed people for a very specialized area, where he happened to be the world’s leading expert.»
                                                                                        +3
                                                                                        Некоторые вопросы задаются не с целью решить «достаточно умный или недостаточно», а с целью понять, как этого человека потом правильно «готовить» и справимся ли мы с этой готовкой.

                                                                                        Грубый пример: Загадки не решает, но код нормально пишет. Гм… Может быть у нас есть достаточно задач без загадок?

                                                                                        Мне вообще кажется, что при минимальном фильтре бездельников и неадекватов, «полезность в перспективе» гораздо больше зависит от того, как человека готовят, чем от начальных умений этого человека.
                                                                                          +2
                                                                                          В одной любопытной книге рассказывают про похожее исследование в армии США.
                                                                                          Результаты те же: за исключением совсем специальных навыков, единственное с чем коррелирует успех человека на службе — это IQ. С другими тестами он связан ровно настолько, насколько эти тесты связаны с IQ.
                                                                                          +2
                                                                                          Вопрос про Pi = 3 на самом деле крутой! Мне бы понравился :) Правда он хоть что-то показывает только если не «подвешивает» человека полностью. А ещё может показать что-то, что не ожидает собеседующий. Но если собеседующие с этим готовы мириться, то вполне хороший вопрос! :)
                                                                                          Вот в вашем случае вы показали кругозор и начитанность. И это дало собеседующему какую-то информацию. Дало информацию, значит вопрос был полезен. Все, больше тут обсуждать нечего.

                                                                                          А тот факт, что человек что-то написал про не очень удачное собеседование у себя в fb, вероятно означает, что собеседует он мало, неопытный и мало реальных чудиков повидал. Зачем его бедненького, маленького, неопытного сразу на хабре мочить? :)
                                                                                            +3
                                                                                            > Зачем его бедненького, маленького, неопытного сразу на хабре мочить? :)

                                                                                            Классно написано. =)
                                                                                            +8
                                                                                            Собеседование проводили идиоты, да. Так бывает, переживать не надо, так как даже если бы вы его прошли — вам потом с ними работать. А зачем?
                                                                                              +19
                                                                                              Вопрос про pi = 3 некорректен. Пи — это не физическая константа, а математическая, и мир, в котором pi = 3 не возможен в принципе, в отличие от мира с другой скоростью света или гравитационной постоянной.
                                                                                                +2
                                                                                                Почему не возможен в принципе?
                                                                                                Докажите, что невозможно существование пространства, в котором отношение длины окружности (в терминах того пр-ва) к диаметру было бы равным 3, а не 3.14159...?
                                                                                                Для меня это не совсем очевидно.
                                                                                                  +14
                                                                                                  Пи — это не свойство простраства. Это константа, которая одновременно обладает многими свойствами. Вот к примеру, рассмотрим решение дифференциального уравнения x'' = -x. Как видно, никаких пространств в этом уравнении не фигурирует, однако период любого решения этого уравнения будет равен 2*pi. Тот факт, что пи — это отношение длины окружности к диаметру на евклидовой плоскости равно пи — лишь одно из свойств данной константы.
                                                                                                    +3
                                                                                                    Как это не фигурирует никакого пространства? Производная считается через предел, предел это понятие топологическое.
                                                                                                    Тут, конечно, можно сказать, что это уравнение в кольце с дифференциальным оператором, но в таком случае я не стал бы что-то утвеждать про «любое решение».
                                                                                                      +8
                                                                                                      Это уравнение на функциях вещественной переменной.

                                                                                                      Рассмотрим произвольное арифметическое свойство пи. Ну например, 1 + 1/2^2 + 1/3^2 +… = pi^2/6. Как вы тут можете изменить пространство, чтобы пи стало равно 3?
                                                                                                        –4
                                                                                                        Мне не очевидно, почему в какой-нибудь изощренной метрике этот ряд не может сойтись к 3/2.
                                                                                                          +7
                                                                                                          Довольно очевидно: потому что никакой метрики здесь нет.
                                                                                                            +7
                                                                                                            Это же вещественные числа. На них есть естественная норма. Более того, метрика здесь вообще не причём. Тот факт что этот ряд сходится к pi^2/6 формулируется в терминах целочисленной арифметики, без всяких метрик. В частности, можно доказать, что сколько бы первых его членов вы не взяли, их сумма будет меньше чем 1.8.
                                                                                                              –3
                                                                                                              Сумма ряда это предел частичных сумм, как же тут без метрики (или хотя бы топологии или чего-нибудь такого)?

                                                                                                              И вообще, слева стоит предел последовательности рациональных чисел. Он не рационален. А уж где мы его возьмём, в вещественных числах или в p-адических — отдельный вопрос.

                                                                                                              > их сумма будет меньше чем 1.8.
                                                                                                              Вот это к тому, что «естественная норма» согласована со структурой упорядоченного поля, но никак не про «формулируется в терминах целочисленной арифметики».
                                                                                                                +6
                                                                                                                Нет, я конечно понимаю, что можно назвать стулья столами, а жигулёвское пиво односолодовым виски. И тогда у нас будут и свиньи летать и число пи будет равно трём.

                                                                                                                Только это будет уже не число пи в традиционном понимании.
                                                                                                                  –1
                                                                                                                  Это вопрос к тому, почему традиционное понимание именно таковое. Ворос сути, природы наблюдаемого мира.

                                                                                                                  Есть, к примеру, такое свойство пи, как трансцендентность. Это значит, его нельзя выразить конечной арифметической формулой. А бесконечные прогрессии уже имеют заложенные в их способе определния явные и неявные отношения, то есть — метрику.
                                                                                                                    +3
                                                                                                                    В соседнем комментарии я уже написал, что для того, чтобы прийти к понятию пи никакого наблюдаемого мира не нужно.

                                                                                                                    И трансцендентность — это не про представимость арифметической формулой. Это тот факт, что число не является корнем полинома с целыми коэффициентами, что неэквивалентно тому, что вы сказали.
                                                                                                                    +1
                                                                                                                    Так я ж не спорю! Я просто говорю, что все эти «арифметические свойства» не являются реально арифметическими, потому что сильно используют свойства поля вещественных чисел.
                                                                                                                    Это как с запретом на использование косинуса в посте: даже если вы его явно не пишете, он всё равно там. Можно его глубже запрятать, но избавиться от него не удастся.
                                                                                                                      +3
                                                                                                                      Вещественные числа можно определить на основе натуральных. И потом, я тут приводил примеры, что это равенство выливается во вполне определённые целочисленные неравенства. Можно вообще вещественные числа не упоминать.
                                                                                                                        +1
                                                                                                                        Вы, возможно, удивитесь (хотя как выпускник кафедры алгебры не должны), но p-адические числа с тем же успехом вводятся на основе натуральных, надо только пополнение брать по другому нормированию.

                                                                                                                        Я, видимо, что-то упустил, но я никак не вижу, как избавиться от использования вещественных чисел в определении вещественного числа (которое ни в какие меньшие разумные структуры не попадает).
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Вещественное число определяется исключительно на основе порядка, определённого на рациональных числах, согласованного с операциями умножения и сложения: вещественным числом x называется любое подмножество множества рациональных чисел Q (отличное от пустого множества и самого Q), которое вместе с каждым своим элементом a содержит все числа, большие его. Числа, задаваемые множествами {x: x>q} и {x: x>=q}, где q — рациональное число, считаются эквивалентными. Они задают вещественное число, которое считается равным числу q.
                                                                                                                          Пока никаких метрики и топологии не потребовалось. Возможно, они пригодятся дальше, при доказательстве корректности и определении арифметических операций.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            Вы по существу записали то же самое другми словами. Между стандартной метрикой на Q и стандартным порядком там же нет никакой разницы.

                                                                                                                            Я понимаю, что вы с Олегом мне пытаетесь сообщить, что вещественные числа выделяются среди других пополнений поля рациональных. Я же говорю про то, что когда вы берете предел последовательности (сумма ряда, ага), то надо всегда помнить, в какой топологии этот предел берется.

                                                                                                                            Как я уже говорил выше: «даже если вы его явно не пишете, он всё равно там». Хотя кажется, что в этой формуле кроме Pi есть только арифметические операции и целые числа, это не так — там есть многоточие, в котором спрятана вся топологическая часть.
                                                                                                                              0
                                                                                                                              Порядок, конечно определяет какую-нибудь интервальную топологию, но пока необходимости в ней нет. Вы можете взять её хоть дискретной — конструкция останется той же самой. Где спрятан предел в определении числа как монотонного подмножества рациональных чисел? Да, после того, как мы введём топологию эпсилон-окрестностей, мы докажем, что наше вещественное число — это нижняя грань некоторого подмножества образов рациональных чисел в нашем построенном множестве R. Но до того мы этого сказать не сможем (нижняя грань где? Вещественных чисел ещё нет, мы их только определяем), да и не захотим, пока в конструкции это не нужно.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            Я правильно понимаю, что ваш вопрос таков: если у нас есть только натуральные числа, и мы не знаем никакой геометрии, почему нам придёт в голову пополнить рациональные числа именно до вещественных, а не до p-адических?

                                                                                                                            Ответ: потому, что вещественные числа тупо полезнее, даже в той же теории чисел или комбинаторике. Ну вот чему, к примеру равна вероятность, что в случайной перестановке из n элементов есть элемент, оставшийся на своём месте? Она равна примерно 1/e. Я может быть чего-то не догоняю, но я не уверен, что тот же факт можно вывести с помощью p-адических чисел.
                                                                                                                    0
                                                                                                                    а что такое целочисленная арифметика?
                                                                                                                  +2
                                                                                                                  Сумма первых 7-и членов этого ряда уже больше 3/2.
                                                                                                                  +2
                                                                                                                  Забавно, почему Вы назвали арифметическое свойство предела бесконечной последовательности арифметическим свойством числа пи :)

                                                                                                                  Вопрос то куда проще. Вот, Вы измеряете доступными способами число пи, и обнаруживаете его равным трем. Каким Вы видите мир? Возможен ли такой мир без разрушения топологии?

                                                                                                                  Вы же вместо решния задачи ограничиваете свою возможность ее решить, вводя дополнительные ограничния, ри которых задача решния не имеет.

                                                                                                                  А весь вопрос заключен в способности наблюдателя производить измерения и определения понятия круга для произвольной топологии.
                                                                                                                    +18
                                                                                                                    Давайте поговорим о том, что такое число пи. Вот предположим, мы с вами — программы в памяти компьютера и никакого пространства у нас вообще нет. Ни двумерного, ни трёхмерного — никакого. Есть байтики.

                                                                                                                    Но мы какие попало программы, мы у умные, и поэтому изобрели математику. Ни о какой геометрии, конечно, речь не идёт, так как у нас нет пространства. Но вот натуральные числа мы придумали. Потом придумали рациональные, чтобы можно было оценивать, к примеру, вероятности. Потом пришли к концепции полноты пространства и определили вещественные числа и придумали анализ.

                                                                                                                    И тут хлоп, мы внезапно обнаружили, что во многих наших формулах появляется одна и та же константа. Продолжили мы экспоненту на комплексные числа — а у неё период 2*X*i оказался. Или посчитали сумму приведённого выше ряда, она оказалась равна X^2/6. Ну и так далее. Во многих-многих формулах вылезает одна и та же константа. Ну и решили её назвать pi. Вот и сказочке конец.

                                                                                                                    А то что вы спрашиваете — это не про значение пи, а про то, что мы померили длину какой-то окружности, и она оказалась в 3 раза больше её диаметра. Ну что поделаешь, кривое пространство, с кем не бывает. Только pi-то тут причём?
                                                                                                                      +1
                                                                                                                      Вы попали в старую ловушку формальной логики. Во-первых, Вы не проверили, появится ли у Вас пи, или нет, до тех пор, пока Вы не свяжете топологически два пространства чисел. Пока Вы находитесь в операциях над числами расширяющими поля, у Вас не появится тригонометрия. Пока Вы не введете ортогональность, у Вас не будет периодичности, а поле комплексных чисел не приведет Вас к тригонометрии, Вы не сможете ее определить.

                                                                                                                      Пока у Вас нет связанного пространства, у Вас нет топологии и нет никаких особых чисел. Все особые числа определены операционно. И одномерные преобразования сами по себе никогда не дают дополнительной метрики. Она не нужна.
                                                                                                                        +6
                                                                                                                        Какие пространства чисел? И причём тут пи? И где я упоминал тригонометрию?
                                                                                                                          –2
                                                                                                                          То то и оно, что Вы ее не упомянули. Значит не понимаете, как двумерность определяет пи, но никакие операции без двумерности числа пи не дадут никогда.

                                                                                                                          Можете проверить Вашу модель с программами в памяти. Приведите логическую последовательность, которая выявляет в свойствах чисел и операций над ними число пи и Вы увидите, что это свойства ортогональной связи (или какой-то другой) чисел, помимо определенных над полем операций.

                                                                                                                          Как только дойдете до функций, задумайтесь хорошенько, чем они отличаются от операций.
                                                                                                                            +8
                                                                                                                            Мне кажется, вы троллите. Что такое «ортогональная связь чисел»? Я в посте выше написал последовательность выведения числа пи без геометрии. Если нужно, могу подробнее, я в ней все шаги хорошо понимаю.
                                                                                                                              –2
                                                                                                                              Да, мне интересно увидеть введение числа пи в рамках теории множеств или полей чисел.
                                                                                                                                +5
                                                                                                                                А что такого? Натуральные числа в теории множеств вводятся. Рациональные получаются автоматом. Вещественные — как сечения рациональных. Функции в теории множеств сразу есть. Непрерывность и прочий анализ выводятся с эпсилонами по Коши. Дальше естественным образом появлется экспонента и тригонометрические функции как решения дифференциальных уравнений.
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Не так уж и автоматом (выше упоминали про p-адические числа). Но если мы догадаемся использовать архимедову метрику и будем поддерживать линейный порядок, то вещественных чисел, в самом деле, не избежать. При условии, что в нашем мире вообще есть конечные множества (и, как следствие, натуральные числа). У нас они возникли, потому что мы видим мир в виде множества изолированных объектов. А если бы математику решили начать сразу с каких-нибудь волновых функций, то до понятия числа могли бы не дойти вообще. Но я не очень пытался такое представить.
                                                                                                                                –2
                                                                                                                                Ортогональная связь это, к примеру, комплексные числа. Где возникает, по сути, вектор. Это и есть топология. Я бы хотел увидеть введение комплексной плоскости вне определения топологии и топологических свойств
                                                                                                                                  +6
                                                                                                                                  Комплексные числа появляются не как векторы, а чисто алгебраически, как алгебраическое замыкание вещественных. Появились они из несколких разных задач никак не связанных с геометрией.
                                                                                                                                    –3
                                                                                                                                    Только без введения геометрии возникает вопрос полноты этих чудесных чисел

                                                                                                                                    Одно дело, корни уравнений с вещественными числсми, совсем другое, понимание ортогональности действительной и мнимой части и введение плоскости комплексных чисел и применение к ней геометрии, которая была взята из реального мира.

                                                                                                                                    Попробуйте остаться в рамках одномерного мира для выведения пи. И вот уже в таком мире комплексные числа будут не получившей развития причудой. Найдите негеометрический способ возведения в комплексную степень. И помните, у вас нет углов, синусов, векторов. Ваш мир однообразен, он не может обнаружить периодичность через геометрию. Все числа изначально последовательны, где это Вы встречали периодичность?
                                                                                                                                      +7
                                                                                                                                      Легко.

                                                                                                                                      Комплексные числа появились когда придумали формулы для корней кубического уравнения. С ними была следующая проблема: в формуле для абсолютно законных вещественных корней появлялись квадратные корни из отрицательных чисел. Ладно бы уравнение изначально не имело вещественных корней, тогда это никого бы не смутило, но тут-то корень был и его в каком-то смыле можно было вычислить… Собственно, для этого и пришлось придумывать комплексные числа как костыли для проведения этих вычислений.

                                                                                                                                      Как видите, никакой ортогональности и геометрии.
                                                                                                                                        –8
                                                                                                                                        Нет, Вы все еще не видите. Сделайте формализацию комплексных чисел без геометрии. Далеко Вы уйдете? Пока не была введена комплексная плоскость и геометрические преобразования не были применены, это был просто способ показать на неполноту поля вещественных чисел.

                                                                                                                                        Как Вы будете исследовать без представлений о геометрии? Предложите идею.
                                                                                                                                          +7
                                                                                                                                          Я что-то не понял. Вводим i, и дальше естественным образом продолжаем все операции. Вполне можно обойтись без геометрического представления.
                                                                                                                                            –3
                                                                                                                                            Обойдитесь. Ввели i. Следующий шаг — какой?
                                                                                                                                              +7
                                                                                                                                              Если честно, я уже начал утомляться пересказывать всю математику.

                                                                                                                                              Но ладно. Итак, мы хотим, чтобы на корни из отрицательных чисел распространились арифметические действия, и эти действия сохранили все свои свойства.

                                                                                                                                              sqrt(-a) = sqrt(-1 * a) = sqrt(-1) * sqrt(a) = i * sqrt(a)
                                                                                                                                              a * i + b * i = (a + b) * i
                                                                                                                                              i * i = sqrt(-1) * sqrt(-1) = -1
                                                                                                                                              (a + b*i) * (c + d*i) = a*c + a*(d*i) + (b*i)*c + (b*i)*(d*i) = a*c + (a*d)*i + (b*c)*i + (b*d) * (i*i) = (a*c — b*d) + (a*d + b*c) * i

                                                                                                                                              Ну и так далее.
                                                                                                                                                –6
                                                                                                                                                И при чем здесь пи? Вы суть дискуссии помните?
                                                                                                                                                  +5
                                                                                                                                                  Ох. Ладно. Следующие два шага:

                                                                                                                                                  a^2 + b^2 = |(a + b*i) * (a — b*i)| = |a + b*i| * |a — b*i|

                                                                                                                                                  Определили модуль как sqrt(a^2 + b^2). Раз есть модуль, есть сходимость.

                                                                                                                                                  Определяем exp(z) = 1 + z/1! + z^2/2! + z^3/3! +…

                                                                                                                                                  Замечаем что существует такое Z отличное от 0, что exp(Z) = 1. Определяем pi = Z / (2*i).
                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                    Не пойдет. Как Вы определили модуль? Это геометрическая связь а и б. Введенная метрика, имеющая смысл как рассояние в пространстве.

                                                                                                                                                    Далее еще хуже. Зачем Вы определили пи? Чем оно Вашем случае особенное? Так можно определить любое число.

                                                                                                                                                    Более того, Вы просто развернулиисторический процесс.

                                                                                                                                                    Приведите вывод экспоненты как степенного ряда. Зачем она могла понадобиться, в решении каких задач?
                                                                                                                                                      +7
                                                                                                                                                      Модуль я определил пользуясь исключительно свойством |a| * |b| = |a * b|. Я определил модуль чтобы определить сходимость ряда.

                                                                                                                                                      Экспонента была придумана для того, чтобы облегчить умножение. Переводили числа в их экспоненты по таблице, складывали и переводили обратно. Использовалась именно экспонента, а не любая друга степенная функция, поскольку exp(x) при малых x очень близко к 1 + x, что сильно облегчает вычисления.

                                                                                                                                                      Вывод степенного ряда для экспоненты посмотрите в учебнике. Использовать его для того, чтобы продолжить экспоненту на комплексные числа — естественное решение.

                                                                                                                                                      Наконец, почему я определил пи — а) потому что вы просили определить его без геометрии, б) потому что точно та же констата вылезает при решении многих других задач, включая решение приведённого мной дифура и сумму ряда с обратными квадратами.

                                                                                                                                                      Увы, это будет мой последний вам ответ. Право слово, я готов найти своему времени лучшее применение, чем пересказ учебников.
                                                                                                                                                        –16
                                                                                                                                                        Мне Ваши ответы и не нужны. Оказалось все очень просто, Вы не понимаете, как и откуда появляются все эти пи. Для Вас это просто странная константа которая отовсюду лезет сама собой.

                                                                                                                                                        Однако соглашаться с Вами в этом резона нет. Вы прагматик, пользуетесь математикой утилитарно и не любите ее исследовать.

                                                                                                                                                        Студентам все подают на блюдечке, чего еще ожидать-то. Применять научились и то — отлично.

                                                                                                                                                        Вот только зачем Вы тут трудились — непонятно, Вы так и не поняли своей ошибки. Зато уверены, что сделали свое дело хорошо.

                                                                                                                                                        И вот это очень плохо.
                                                                                                                                                          +3
                                                                                                                                                          Вы случайно не имеете в виду теорию, по которой «pi» возникает как проявление инвариантности пространства при поворотах, а «e» — как проявление существования преобразований подобия? Где-то я такое видел. Наверное, можно попытаться принять её за основу. Но почему это лучше, чем идти через теорию множеств, архимедову метрику и матанализ, не знаю. Можно придумать много наборов аксиом, все они дадут одну математику (в её современном понимании, где есть такие понятия, как «аксиома», «теорема», «доказательство» и «закон исключенного третьего»).
                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                            Одна система аксиом лучше другой, если она состоит из меньшего количества эмпирических утверждений и даёт сравнимое пространство следствий… Иначе говоря, вариант, когда Пи лезет само по себе из разных аксиом хуже варианта, когда аксиома про Пи одна, а всё остальное, что Пи упоминает, из неё так или иначе следует.
                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                          Этого свойства не достаточно для однозначного определения модуля. f(x)=1 обладает ровно таким же свойством.
                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                            Само собой, модуль на комплексных числах должен быть продолжением вещественного.
                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                              И ещё должно выполняться неравенство треугольника. На всякий случай.
                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                Если я не ошибаюсь, оно будет следствием. Мы же хотели всё без геометрии строить, так что не будет принимать геометрическое свойство за определение.
                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  Метрическое пространство — это ещё не геометрия, это матанализ. Геометрия возникает, когда у нас есть преобразования, сохраняющие метрику.
                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                Как только Вы этот модуль используете как меру расстояния между числами при определении предела — в этот момент Вы превращаете поле действительных чисел в метрическое пространство, о чем Вам тут уже давно намекают.
                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  Но число pi от этого не становится более геометрическим. Хотя, конечно, оно является следствием использования архимедовой метрики.
                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                    Как бы сказать. Конечно, по-идее оно будет метрическим. Но для того, чтобы говорить о пределах и т.п., знать об этом вовсе не нужно. Более того, вещественный анализ был придуман задолго до понятия метрического пространства.
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Когда придумывали анализ, пространство тоже было только евклидовым и мера казалась естественной и единственной. С тех пор математика на месте не стояла. Посмотрите уже на определение предела последовательности. Там обязательно или используется или мера или топологические св-ва пространства.
                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                        Вероятно, вы имели в виду не меру, а метрику, но не суть.

                                                                                                                                                                        Вы возможно удивитесь, но я готов дать определение предела последовательности вещественных чисел, не употребляя слов «метрика» и «топология».
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          А также не используя понятия «окрестность» и выражения |a-b|? (первое — неявная отсылка к топологии, второе — явное использование метрики).
                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                            Я думаю, что ценой некотрого усложнения могу обойтись и без окрестности и без модуля, пользуясь исключительно порядком.
                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                              Согласен. Интервальной топологии здесь достаточно, а её можно и замаскировать. «В любом интервале, содержащем точку С, содержатся все элементы последовательности, кроме конечного их числа».
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Ну, модуль и расстояние сами по себе — это одномерные понятия, и Пи тут ещё нету.
                                                                                                                                                                      +4
                                                                                                                                                                      Мужики, вы же профессионалы! Просто померяйтесь! :)

                                                                                                                                                                      А если серьезно, то получаю огромное удовольствие от чтения!
                                                                                                                                                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Не то удивительно, что в диффуре получаются тригонометрические функции, а то, что получаются они вообще безо всякой геометрии, без катетов и даже без каких-либо углов.
                                                                                                                                                                      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          Даже если свойства производных выводятся из геометрии, то потом оказывается, что этих свойств достаточно для определения самих функций. А геометрия, как бы, и ни при чём…
                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                            это как это?
                                                                                                                                                                      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                                                                                                –4
                                                                                                                                                                Я прекрасно знаю всю эту математику, не надо ее пересказывать. Просто доведите рассуждения до конца, там где у Вас хоп и получается пи без геометрии.

                                                                                                                                                                Вы сами себя утомляете, не вздумайте на меня обижаться.
                                                                                                                                                                  +3
                                                                                                                                                                  Ну, раз вы такой умный, расскажите нам, неучам, пожалуйста, в чем соль. Я без троллинга и без наезда, я абсолютно серьезно.
                                                                                                                                                                    +1
                                                                                                                                                                    Соль увы, не излагается в нескольких абзацах. Просто нужно знать, что мат. анализ, который излагается на первых курсах вузов — это частный случай, однако имеющий широчайшее применение в нашем почти евклидовом приземном пространстве. Понятие метрики (или сразу нормы) применяется уже при определении предела и дальше, таким образом, присутствует в большинстве результатов. Однако даже в нерелятивистской физике иногда нужны другие определения пространства аргумента функции.
                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  Здесь вообще можно вспомнить и о матричном представлении комплексных чисел, чтобы все операции распространить?
                                                                                                                                                                    –4
                                                                                                                                                                    Можно. Матрица это структура связи, эквивалент пространства. Геометрия.
                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                    Двумерность, и все её геометрические следствия, в том числе и Пи, возникают при введении операций произведения и обратной ей операции извлечения корня.
                                                                                                                                                                      –1
                                                                                                                                                                      Проще говоря, угол — это логарифм, и Пи — один из них…
                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                        Мы не обязаны об этом знать, чтобы работать с комплексными числами.
                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                Первый раз — чуть раньше появились. «В рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении дают 40». При этом получилось квадратное уравнение и комплексные корни.

                                                                                                                                                                А где перемножение — там уже двумерность, при представлении перемножаемого в виде прямоугольника на числовой плоскости. С её метрикой.
                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                        Чтобы понять, что пространство рациональных чисел не полно вам не нужна метрика — дело в том, что если вы возьмете наиболее естественную для Q топологию (с базой открытых отрезков (x1, 2)), то вы не найдете никакой метрики, которая бы индуцировала такую топологию и, при этом, была бы полна.

                                                                                                                                                        После того, как это становится понятным, следующим шагом является ввод какой-нибудь удобной метрики (например, наиболее простой — задаваемой модулем разности) и пополнение пространства пределами.

                                                                                                                                                        Кстати, R не единственное такое расширение Q. Вы можете, например, определить такие объекты, как ультрафильры и построить с помощью них другие интересные пространства — например, пространство гиперреальных чисел, в котором будут существовать объективные бесконечно малые и бесконечно большие. Однако, все эти конструкции значительно менее тривиальны, чем евклидова метрика.

                                                                                                                                                        Исходя из вышесказанного я бы все-таки сделал вывод, что пи можно сконструировать без какой-либо геометрии.
                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                          Устроит один конкретный пример вывода числа пи без геометрии
                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                            В дополнение к тому, что я писал выше: если у нас есть только вещественные числа (и никакой геометрии), и мы решим на них дифференциальное уравнение y'' = -y, мы получим синус. Чем не вывод пи без геометрии?
                                                                                                                                                              –1
                                                                                                                                                              Нельзя. Связь времени и пространства это уже топологияи именно в ней содержится это самое пи.

                                                                                                                                                              Откуда Вы возьмете эту связь, если у Вас нет пространства, а значит нет времени и нет движения?

                                                                                                                                                              Ортогональность измерний пространстваи времен задает геометрю пространства и порождает пи как один из параметров связи.

                                                                                                                                                              Ие ещекозыри в рукаве?
                                                                                                                                                                –7
                                                                                                                                                                Да, планшет пока не средство для работы. Так, котят полайкать. Никак не найду достойную клавиатуру. Стандартная от самсунга — тупая. Умная — не отрабатывет все нажатия и ридумывает страшные замены… в результате отправляю текст шизодного маньяка
                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  Нет никакого времени и пространства.

                                                                                                                                                                  Есть функции вещественной переменной. Мы задаёмся вопросом, какая функция отвечает функциональному соотношению y''(x) = -y(x).
                                                                                                                                                                    –2
                                                                                                                                                                    В каком базисе? Если Вы не вводите базис, у Вас нет и поисков функций.

                                                                                                                                                                    Вы говорите о соотношении, подумайте, пи относится к свойствам этого соотношения или нет?

                                                                                                                                                                    Базис это геометрия.
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Какой базис?! Это функция действительной переменной. Одномерная.
                                                                                                                                                                        –1
                                                                                                                                                                        Дифференцируем по ней же? Посмотрите у это одна переменная. Х другая.
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          y — это не переменная. Это функция. Для определения производной y(x) по x не нужны никакие базисы.
                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                            Жесть. Вы утверждаете, что между х и у не вводится связь?
                                                                                                                                                                            Вы утверждаете, что у семейства функций нет единого базиса?

                                                                                                                                                                            Декарт не нужен. Я умываю руки, можете минусовать сколько влезет.
                                                                                                                                                                              +1
                                                                                                                                                                              Для определения производной нужно вводить понятие предела, а для него обязательно разбираться со свойствами пространства аргумента и того утверждения, что это действительные числа не достаточно. Обязательно потребуется или введение метрики или какое-либо описание топологических свойств. В том определении, которое Вы почему-то считаете единственно возможным, пространство аргумента — это множество действительных числ (непрерывное упорядоченное поле) с метрикой m(a,b) = {b-a при b >= a и a-b в остальных случаях}. Однако даже на том же поле действительных чисел можно ввести другие, например, метрики и получить совсем другие производные.
                                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                                Однако даже на том же поле действительных чисел можно ввести другие, например, метрики и получить совсем другие производные.

                                                                                                                                                                                Хм. Когда мы вводим метрику на поле, мы хотим, чтобы сложение и умножение оставались в этой новой метрике непрерывными. А ещё было бы неплохо, чтобы dist(a+c,b+c)=dist(a,b) и dist(0,a*b)=dist(0,a)*dist(0,b). Есть ли хоть одна нетрадиционная метрика с этими условиями, не сводящаяся к автоморфизму поля R?
                                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                                  Какое это имеет отношение к вопросу недостаточности понятия множества для введения предела на нем? Вы пытаетесь доказать единственность метрики на множестве? Может быть есть такие множества, но R не такое.
                                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                                    А можете привести пример метрики на R, при которой будут получаться другие производные?
                                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                                      Если сказать, что x и y определены на какой-либо кривой поверхности, то и длина линии функции, и площадь части этой поверхности под ней, и «углы» касательной по отношению к оси могут очень отличаться от того, что возможно на плоскости…
                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                        У Вас уже тут x и y, это уже два измерения. Приплыли. Плоскость и её свойства уже все с Вами.
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          Я вот могу и 5 переменных в одной формуле написать, а в 5-мерном пространстве никогда не жил.
                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                            Ну, я в двумерных и одномерных тоже не бывал, но вот свойства их изучать мне это не мешает.
                                                                                                                                                                              +1
                                                                                                                                                                          +1
                                                                                                                                                                          А в каком месте вы перешли от геометрии к топологии? Топологические пространства можно найти где угодно, и действительно, без них не очень удобно определять полноту, непрерывные функции и т.п. (эпсилон-дельта подход матана это хорошо, но он не более, чем скрытая топология). Но откуда возьмётся геометрия? Да, её построят в качестве математического курьёза (метрическое пространство, элементами которого являются пары действительных чисел; метрика определяет топологию). Так же, как мы строим многомерные пространства, пространства Лобачевского и пространства последовательностей с метрикой L_\infty. Но число pi, которое там будет появляться, мы, скорее всего встретим, как интеграл от sqrt(1-x^2) — объект, давно знакомый нам по работе с числами и функциями (правда, зачем он нам понадобился — сказать трудно. Если мы существа одномерные, то интеграл — путь, пройденный при переменной скорости, а если программы — то очередной математический курьёз?) Но в любом случае, pi приходит не из геометрии, а из матанализа.
                                                                                                                                                                      +1
                                                                                                                                                                      Давайте вернемся к полноте целых чисел. Мы же понимаем, что рациональные дроби это не шаг в сторону полноты. Как от целых чисел перейти к вещественным? Здесь топология как обобщение метрики — анахронизм. Нельзя определить обобщение метрики, если у нас нет метрики. Нельзя ввести метрику без пространства. Вводя пространство мы вводим связанность. Связанность имеет скрытые параметры связи, которые мы потом радостно вычислим.

                                                                                                                                                                      Итак, у нас есть целые числа, что дальше?

                                                                                                                                                                      Ввели мы умножение, деление, степень, корень, мнимые числа.

                                                                                                                                                                      Как мы свяжем мнимые числа с действительными? Как поймем неполноту и исследуем дополнение, не введя второго измерения с присущими ему свойствами связи в виде угла вектора?
                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                        Про переход от вещественным к комплексным написал выше.

                                                                                                                                                                        Про переход от целым к вещественным:

                                                                                                                                                                        1. От целых к рациональным один шаг.
                                                                                                                                                                        2. Определяем вещественные числа как сечения рациональных. Сечение — разбиение рациональных на два множества таких что в одном все элементы меньше всех элементов другого.
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          Уже этот переход под вопросом. Зачем он? Для чего не хватает рациональных дробей? Для иррациональных чисел, возникающих при извлечении корней. Их не представить конечными дробями. Но нет способа получить любые иррациональные числа. И, что у нас с полнотой? Нет ее. И как движущий наш прогресс механизм поисков полноты — сломался.
                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                            Для чего вещественные числа? Например для того, чтобы можно было работать с непрерывными функциями, а это очень-очень полезная возможность, даже если вокруг нас нет никакого пространства.
                                                                                                                                                                              –1
                                                                                                                                                                              Вот мы и пришли к функциям. Функции это отображения одного пространства в другое. Привет топологии и скрытым параметрам связи.
                                                                                                                                                                                +1
                                                                                                                                                                                Функция — это отображение любого множества в любое. Для того, чтобы рассматривать функции, никакая топология не нужна.
                                                                                                                                                                                  –1
                                                                                                                                                                                  А что такое отображение как не определение связи?

                                                                                                                                                                                  Далее происходит обобщение до пространства и введение метрики.

                                                                                                                                                                                  Как только мы это сделаем, мы спрячем пи. Которое потом начнет всплывать.

                                                                                                                                                                                  Если все еще не видите, попробуйте не обобщая отображения до геометрически инвариантной связи (ортогональность, дающая возможность вычислять расстояние) определить число пи хоть в каких-то вычислениях как особое число, связывющее числа внутри поля или множества.
                                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                                    Наша беседа зашла в тупик.