Как стать автором
Обновить

Футбольный мяч и фуллерены

Математика *
Одним из красивейших математических результатов можно смело считать теорему Эйлера, которая впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонарда Эйлера «Элементы учения о телах» и «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Теорема Эйлера. Пусть ${\rm B}$ – число вершин выпуклого многогранника, ${\rm P}$ – число его ребер и $\Gamma$ – число граней. Тогда верно равенство

$ {\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2. $


Число $\chi = {\rm B} - {\rm P} + \Gamma$ называется эйлеровой характеристикой многогранника. Легко вычислить эйлерову характеристику для некоторых знакомых нам многогранников.

Многогранник ${\rm B}$ ${\rm P}$ $\Gamma$ $\chi$
Тетраэдр 4 6 4 2
Куб 8 12 6 2
Октаэдр 6 12 8 2

Доказательство теоремы Эйлера может быть найдено здесь.

Давайте воспользуемся теоремой Эйлера для установления некоторых интересных фактов. Посмотрите на изображение футбольного мяча.


Вопрос: сколько нужно взять пятиугольников, чтобы сшить мяч? Пусть $x$ – количество шестиугольников, а $y$ – количество пятиугольников. Давайте применим теорему Эйлера к нашему футбольному мячу:

$ {\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2, $


где ${\rm B} = \frac{6x + 5y}{3}$, ${\rm P} = \frac{6x+5y}{2}$, а $\Gamma = x+y$. Формулы для количества вершин, ребер и граней легко получаются из наблюдения, что каждая вершина попадает на три грани, а по каждому ребру пересекаются только две грани. Подставив значения в формулу, вы получите ответ: $y=12$. Переменная $x$ исключается из уравнения, т.е. количество шестиугольников может быть каким угодно. На следующей картинке изображен мяч, сшитый из одних только пятиугольников. Сколько их?



Этот многогранник называется додекаэдром и является одним из пяти правильных многогранников.



Давайте рассмотрим другой сюжет. Фуллерены — молекулярные соединения, принадлежащие классу аллотропных форм углерода и представляющие собой выпуклые замкнутые многогранники, составленные из чётного числа трёхкоординированных атомов углерода. Своим названием фуллерены обязаны инженеру и архитектору Ричарду Бакминстеру Фуллеру, чьи геодезические конструкции построены по этому принципу. Первоначально данный класс соединений был ограничен лишь структурами, включающими только пятиугольные и шестиугольные грани.



И наконец, давайте посмотрим на следующую картинку.




Ничего особенного — всего лишь купол, собранный из шестиугольников. А теперь еще раз помедитируйте над формулой Эйлера и вперед искать пятиугольники.




Этот и многие другие математические сюжеты смотрите в замечательных лекциях Алексея Савватеева или в его книге «Математика для гуманитариев».

Теги:
Хабы:
Всего голосов 19: ↑16 и ↓3 +13
Просмотры 21K
Комментарии Комментарии 21