Три цикла в аттракторе Лоренца

    image

    Изучая иностранную литературу, на днях наткнулся на работы [1, 2] профессора Мичиганского университета Дивакара Вишваната (Divakar Viswanath) об итерационном алгоритме вычисления периодических орбит динамических систем, основанном на методе Линдштедта-Пуанкаре (ЛП) (для ознакомления с ним рекомендую книгу [3, с. 408-411]). Преимуществом данного метода является то, что он не требует численного интегрирования дифференциального уравнения, поэтому может быть применён к построению и неустойчивых циклов.

    На сегодняшний день в математике одно из популярных направлений исследований — это теория динамического хаоса. Самым известным объектом здесь является система Лоренца, введённая в 60-е годы 20-ого века. Отмечу, что с того времени появилось много нелинейных математических моделей, где имеет место хаотическое поведение решений, в различных областях науки. Несколько лет назад получили популярность хаотические системы без положений равновесия, применяемые для шифрования сигналов (см., например, [4]). Тем, кто только начинает заниматься теорией хаоса, советую посмотреть математический фильм ХАОС, состоящий из девяти глав.

    Считается, что Уорвик Такер (Warwick Tucker) в работе [5] решил 14-ую проблему Смейла при помощи интервальной арифметики, но убедительных доказательств найденных циклов в численных экспериментах авторов различных статей мне не удавалось найти.

    Пусть x(t), y(t) и z(t) — фазовые координаты системы Лоренца. В 2004 году Вишванатом в работе [2] были найдены три цикла ЛП-методом. Он привёл значения начальных условий и периода:



    где T — период.

    На мой взгляд, это значительный прорыв в исследовании аттрактора Лоренца.

    Может возникнуть вопрос — зачем 99 знаков в дробной части чисел? Дело в том, что периодические орбиты являются неустойчивыми (и эти числа, скорее всего, являются иррациональными), и чтобы их построить численными методами на периоде с приемлемой точностью, нужно располагать большим количеством знаков после запятой.

    Я решил проверить и построить циклы Вишваната в программе, приведённой в топике [6] (численная схема также описана в работе [7]). Для этого была взята точность 1e-110 по степенному ряду, количество бит под мантиссу вещественного числа — 390 (машинный эпсилон при этом равен 7.93107e-118), проход по времени — только вперёд. Осуществлялась проверка следующих равенств:

    x(0) = x(T),
    y(0) = y(T),
    z(0) = z(T).


    Для первого цикла совпали все знаки в дробной части у всех координат, кроме последнего знака для y(T) (у меня там получилась цифра 6), для второго — 80 знаков, для третьего — 38 знаков.

    Далее приведены рисунки циклов Вишваната.

    image
    image
    image

    И анимация, загруженная на YouTube.


    Для второго рисунка меня заинтересовало, насколько близко траектория системы проходит к началу координат O(0;0;0). В численном эксперименте найдена точка с координатами



    Поскольку базовым методом для численной схемы является метод степенный рядов, для третьего цикла определена максимальная степень аппроксимирующего полинома на переменных шагах интегрирования, где решение раскладывается в ряды, — 78, приближенное максимальное значение шага интегрирования при этом = 0.0120621. Так как значение T здесь достаточно велико, время вычислений на моём компьютере составило примерно 6.2 мин.

    Литература
    1. Viswanath D. The Lindstedt-Poincare Technique as an Algorithm for Computing Periodic Orbits // SIAM Review. — 2001. — Vol. 43, Iss. 3, pp. 478-495.
    2. Viswanath D. The Fractal Property of the Lorenz Attractor // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2004. — Vol. 190, Iss. 1-2, pp. 115-128.
    3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985. — 448 с.
    4. Wang Z., Akgul A., Pham V.-T., Jafari S. Chaos-Based Application of a Novel No-Equilibrium Chaotic System with Coexisting Attractors // Nonlinear Dynamics. — 2017, pp. 1-11.
    5. Tucker W. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem // Foundations of Computational Mathematics. — 2002. — Vol. 2, Iss. 1, pp. 53-117.
    6. Пчелинцев А. Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент, 2014. Хабрахабр. https://habrahabr.ru/post/229959/
    7. Пчелинцев А.Н. Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2014. — Т. 17, №2. — С. 191-201.
    Поделиться публикацией

    Комментарии 16

      0
      Когда то измеряли скорость жидкости в течении Куэтаа и при выводе на экран получались такие же картинки.
      https://iae.nsc.ru/images/stories/5_Autometria/5_Archives/1983/2/69-76.pdf
        +6
        Александр, хотя бы пару строк о самом аттракторе — все же ресурс тут не специализированный, а больше познавательный.
          +3
          Для любого решения системы Лоренца существует такой момент времени, когда соответствующая фазовая траектория навсегда погружается в сферу фиксированного радиуса. Поэтому существует предельное множество — аттрактор Лоренца, — к которому притягиваются все траектории динамической системы, когда время стремится к бесконечности. Таким образом, аттрактор определяет поведение решений динамической системы на больших отрезках времени. Когда я начинал знакомиться с хаотической динамикой, помогла книга Сергея Петровича Кузнецова «Динамический хаос».
            +1
            Лекции по Нелинейной Динамике Ю.Данилова также достаточно неплохи. Насколько я знаю, их выпустили отдельной книгой.
          0
          В университете ИТМО на курсе методы обработки информации в фотонике была тема теории детерминированного хаоса. Было очень интересно. Особенно лабораторная работа по шифрованию сигнала на основе нелинейного итерирующего отображения, изученного по сценарию Фейгенбаума. По ссылке есть дополнительная информация. Немного лекционного материала и вопросы к практическим работам.
            0

            Вы код не планируете опубликовать?

              0
              Николай, он был опубликован здесь.
                0

                Ясно, значит не заметил.


                А вы его для этой задачи никак не меняли? (я без сарказма, просто интересно)

                  0
                  Менял настройку точности и разрядность мантиссы. Перед запуском подготовил текстовый файл с приведёнными данными из статьи Вишваната.
                    0
                    И запустил через перенаправление ввода.
                      0
                      Для построения графиков добавил код, выводящий данные в текстовый файл для gnuplot. Он же умеет строить анимацию (я сделал раскадровку).
                  0
                  Эта штука в гидродинамике имеет место быть. И солитоны… это вот то, что следует покрутить. Тут и волна и частица. Особенно трехмерные. Никто не промоделирует?
                    0
                    Это gnuplot? Или мне показалось?
                    0
                    Видео о методе Линдштедта-Пуанкаре.

                      +1
                      Аттрактор Плыкина. Красотища ведь.

                      image

                      Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                      Самое читаемое