Математическая модель динамики финансового рынка

    Введение


    Изменение курса валют на финансовом рынке влияет на цены товаров и услуг. Поэтому важно знать период времени через который цены начнут реагировать на смену курса валют.

    Сложность решения указанной задачи состоит в большом количестве факторов влияющих на смену курса валют [1]. Эффективным способом отсеять ряд второстепенных факторов для определения основных тенденций рынка является применения «белого» фильтра Винера Хопфа [2,3].

    Понятно, что только применение фильтра не решает всех проблем анализа влияния курса валют на финансовый рынок, однако, как один из инструментов анализа безусловно интересен. Кроме этого на примере такого фильтра можно определить коэффициенты дифференциального уравнения финансового рынка.

    Постановка задачи


    На основе данных о колебаниях курса валюты с использованием корреляционного анализа и системы уравнений Винера Хопфа построить динамическую модель финансового рынка при помощи которой определить временные интервалы реагирования цен на смену курса валют.

    Определить автокорреляционную функцию Rx (τ) первого набора X данных о колебаниях курса валют и построить ее график


    Привожу листинг решения этой задачи средствами Python:

    import matplotlib.pyplot as plt
    from sympy import *
    from numpy import (zeros,arange,ones,matrix,linalg,linspace)
    X=[797.17, 797.25, 797.15, 797.23, 797.15, 797.08, 797.05, 797.04, 797.14, 797.14, 797.1, 797.1, 797.11, 797.11, 797.11, 797.11, 797.11, 797.1, 797.1, 797.1, 797.12, 797.12, 797.12, 797.12, 797.12, 797.12, 797.1, 797.08]
    n=len(X)
    m=int(n/4)
    Xsr=sum([w for w in X])/n
    Dx=sum([(X[i]-Xsr)**2 for i in arange(0,n,1)])/(n-1)
    Rxm=sum([(X[i]-Xsr)*(X[i+m]-Xsr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx)
    def fRxm(m):
             return sum([(X[i]-Xsr)*(X[i+m]-Xsr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx)
    ym=[fRxm(m) for m in arange(0,m+1)]
    xm=list(arange(0,m+1,1))
    M=zeros([1,m+1])
    for i in arange(0,m+1,1):
             M[0,i]=fRxm(i)      
    plt.figure()
    plt.title('График автокорреляционной функция Rx (τ). ')
    plt.ylabel('Rx (τ) ')
    plt.xlabel(' Номер интервала времени -m ')
    plt.plot(xm, ym, 'r')
    plt.grid(True)
    

    Получим:

    Здесь — промежуток времени (смещение) между значениями случайного процесса x(t) соответствующее значению R(m) автокорреляционной функции.

    Для значений Rx(τ) находящихся в диапазоне 0.7<= Rx(k) <=1 значения x(t) тесно связанным между собой статистически. Другими словами значения отстоящие друг от друга на промежуток времени влияют значительно друг на друга.

    Для значений Rx(τ) находящихся в диапазоне 0.4 <= Rx(k) <0,7 значения x(t) имеют среднюю статистическую связь. Это означает, что значения отстоящие друг от друга на промежуток времени влияют друг на друга, но это влияние можно предсказать со значительной ошибкой.

    Для значений Rx(τ) находящихся в диапазоне 0. <= Rx(k) <0,4 значения x(t) имеют слабую статистическую связь и их взаимосвязью можно пренебречь.

    Рассчитать взаимно корреляционную функцию Rxy (τ) первого набора X и второго набора Y данных, построить ее график


    Привожу фрагмент листинга для решения этой задачи на Python:

    Y=[577.59, 622.61, 602.23, 554.64, 567.67, 635.47, 608.27, 620.82, 561.73, 639.0, 550.1, 609.31, 640.45, 611.92, 579.33, 552.04, 597.73, 553.4, 605.72, 647.94, 602.26, 610.99, 575.95, 638.99, 631.86, 589.89, 608.17, 619.26]
    n=len(Y)
    m=int(n/4)
    Ysr=sum([w for w in Y])/n
    Dy=sum([(Y[i]-Ysr)**2 for i in arange(0,n,1)])/(n-1)
    Rxy=sum([(X[i]-Xsr)*(Y[i+m]-Ysr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx**0.5*Dy**0.5)
    def fRxy(m):
             return sum([(X[i]-Xsr)*(Y[i+m]-Ysr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx**0.5*Dy**0.5)
    xy=[fRxy(m) for m in arange(0,m+1)]
    plt.figure()
    plt.title('График автокорреляционной функции Rxy (τ). ')
    plt.ylabel('Rxy (τ) ')
    plt.xlabel(' Номер интервала времени -m ')
    plt.plot(xm, xy, 'r')
    plt.grid(True)

    Получим:

    По максимуму взаимно корреляционной функции Rxy определяют запаздывание или экономический лаг рынка τ0. На графике. максимум функции Rxy(m) соответствует m=4. Следовательно, изменение курса валюты повлияет на изменение цены товара через промежуток времени равный = 4*1 сутки= 4 суток. Т.е., через трое суток цена на данный товар изменится вследствие изменения курса валюты(доллара).

    Решить систему уравнений Винера-Хопфа и построить график импульсной переходной функции h(t)


    Приведём фрагмент листинга для решения этой задачи на Python:

    Решение системы уравнений Винера-Хопфа алгебраическим методом
    P=zeros([m,1])
    for i in arange(0,m,1):
             P[i,0]=fRxy(i)
    Q=zeros([7,7])
    for i in arange(0,7,1):
             Q[0,i]=M[0,i+1]
             Q[1,i]=M[0,i]
    for i in arange(0,6,1):
             Q[2,i+1]=M[0,i]
    Q[2,0]=M[0,1]
    for i in arange(0,5,1):
             Q[3,i+2]=M[0,i]         
    Q[3,1]=M[0,1]
    Q[3,0]=M[0,2]
    for i in arange(0,4,1):
             Q[4,i+3]=M[0,i]         
    Q[4,0]=M[0,3]
    Q[4,1]=M[0,2]
    Q[4,2]=M[0,1]
    for i in arange(0,3,1):
             Q[5,i+4]=M[0,i]         
    Q[5,0]=M[0,4]
    Q[5,1]=M[0,3]
    Q[5,2]=M[0,2]
    Q[5,3]=M[0,1]
    for i in arange(0,2,1):
             Q[6,i+5]=M[0,i]         
    Q[6,0]=M[0,5]
    Q[6,1]=M[0,4]
    Q[6,2]=M[0,3]
    Q[6,3]=M[0,2]
    Q[6,4]=M[0,1]
    H=linalg.solve(Q, P)
    hxy=[H[m]  for m in arange(0,int(m),1)]
    xm=list(arange(1,m+1,1))
    plt.figure()
    plt.title('График импульсной переходной функции h(t)')
    plt.ylabel('H ')
    plt.xlabel(' Номер интервала времени -i ')
    plt.plot(xm, hxy, 'r')
    plt.grid(True)
    


    Получим:

    При снижении курса валют два одинаковых импульса и спад. Для анализа необходимо получить переходную функцию и определить коэффициенты дифференциального уравнения рынка, решение которого подтвердит общую тенденцию.

    Построить переходную функцию из найденного решения системы уравнений Винера-Хопфа, и получить дифференциальное уравнение финансового рынка


    Приведём фрагмент листинга для решения этой задачи на Python:

    Построение переходной характеристики и дифференциального уравнения финансового рынка
     s1=H[0,0]/2
    s2=(H[0,0]+H[1,0])/2
    s3=(H[1,0]+H[2,0])/2
    s4=(H[2,0]+H[3,0])/2
    s5=(H[3,0]+H[4,0])/2
    s6=(H[4,0]+H[5,0])/2
    s7=(H[5,0]+H[6,0])/2
    N=zeros([8,1])
    N[0,0]=0
    N[1,0]=s1
    N[2,0]=N[1,0]+s2
    N[3,0]=N[2,0]+s3
    N[4,0]=N[3,0]+s4
    N[5,0]=N[4,0]+s5
    N[6,0]=N[5,0]+s6
    N[7,0]=N[6,0]+s7
    nxy=[N[i,0] for i in arange(0,m,1)]
    xm=[i for i in arange(0,m,1)]
    plt.figure()
    plt.plot(xm, nxy,color='r', linewidth=3, label='Решение системы Винера-Хопфа')
    var('t C1 C2')
    u = Function("u")(t)
    de = Eq(u.diff(t, t) +0.3*u.diff(t) + u, -0.24)
    print(de)
    des = dsolve(de,u)
    eq1=des.rhs.subs(t,0)
    eq2=des.rhs.diff(t).subs(t,0)
    seq=solve([eq1,eq2],C1,C2)
    rez=des.rhs.subs([(C1,seq[C1]),(C2,seq[C2])])
    g= lambdify(t, rez, "numpy")
    t= linspace(0,7,100)
    plt.title('Динамика финансового рынка')
    plt.xlabel('Номер интервала (лага) времени')
    plt.ylabel('y(t), N')
    plt.plot(t,g(t),color='b', linewidth=3, label='Решение ДУ финансового рынка')
    plt.legend(loc='best')
    plt.grid(True)
    plt.show()


    Получим:

    Дифференциальное уравнение финансового рынка:

    Eq(u(t) + 0.3*Derivative(u(t), t) + Derivative(u(t), t, t), -0.24).

    На рассматриваемом временном отрезке финансовый рынок может быть представлен колебательным звеном второго порядка, отвечающим нарастающим периодическим колебанием цен при росте курса валют и сдержанным периодическим колебанием цен на снижение курса валют.

    Полный листинг программы
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sympy import *
    from numpy import (zeros,arange,ones,matrix,linalg,linspace)
    "Рассчитать автокорреляционную функцию Rx (τ) и построить ее график. "
    X=[797.17, 797.25, 797.15, 797.23, 797.15, 797.08, 797.05, 797.04, 797.14, 797.14, 797.1, 797.1, 797.11, 797.11, 797.11, 797.11, 797.11, 797.1, 797.1, 797.1, 797.12, 797.12, 797.12, 797.12, 797.12, 797.12, 797.1, 797.08]
    n=len(X)
    m=int(n/4)
    Xsr=sum([w for w in X])/n
    Dx=sum([(X[i]-Xsr)**2 for i in arange(0,n,1)])/(n-1)
    Rxm=sum([(X[i]-Xsr)*(X[i+m]-Xsr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx)
    def fRxm(m):
             return sum([(X[i]-Xsr)*(X[i+m]-Xsr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx)
    ym=[fRxm(m) for m in arange(0,m+1)]
    xm=list(arange(0,m+1,1))
    M=zeros([1,m+1])
    for i in arange(0,m+1,1):
             M[0,i]=fRxm(i)      
    plt.figure()
    plt.title('График автокорреляционной функция Rx (τ). ')
    plt.ylabel('Rx (τ) ')
    plt.xlabel(' Номер интервала времени -m ')
    plt.plot(xm, ym, 'r')
    plt.grid(True)
    "Рассчитать взаимокорреляционную функцию Rxy (τ) первого набора X и второго набора Y данных, построить ее график"
    Y=[577.59, 622.61, 602.23, 554.64, 567.67, 635.47, 608.27, 620.82, 561.73, 639.0, 550.1, 609.31, 640.45, 611.92, 579.33, 552.04, 597.73, 553.4, 605.72, 647.94, 602.26, 610.99, 575.95, 638.99, 631.86, 589.89, 608.17, 619.26]
    n=len(Y)
    m=int(n/4)
    Ysr=sum([w for w in Y])/n
    Dy=sum([(Y[i]-Ysr)**2 for i in arange(0,n,1)])/(n-1)
    Rxy=sum([(X[i]-Xsr)*(Y[i+m]-Ysr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx**0.5*Dy**0.5)
    def fRxy(m):
             return sum([(X[i]-Xsr)*(Y[i+m]-Ysr) for i in arange(0,n-m,1)])/((n-m)*Dx**0.5*Dy**0.5)
    xy=[fRxy(m) for m in arange(0,m+1)]
    plt.figure()
    plt.title('График взаимокорреляционной функции Rxy (τ). ')
    plt.ylabel('Rxy (τ) ')
    plt.xlabel(' Номер интервала времени -m ')
    plt.plot(xm, xy, 'r')
    plt.grid(True)
    """ Решение системы уравнений Винера-Хопфа."""
    P=zeros([m,1])
    for i in arange(0,m,1):
             P[i,0]=fRxy(i)
    Q=zeros([7,7])
    for i in arange(0,7,1):
             Q[0,i]=M[0,i+1]
             Q[1,i]=M[0,i]
    for i in arange(0,6,1):
             Q[2,i+1]=M[0,i]
    Q[2,0]=M[0,1]
    for i in arange(0,5,1):
             Q[3,i+2]=M[0,i]         
    Q[3,1]=M[0,1]
    Q[3,0]=M[0,2]
    for i in arange(0,4,1):
             Q[4,i+3]=M[0,i]         
    Q[4,0]=M[0,3]
    Q[4,1]=M[0,2]
    Q[4,2]=M[0,1]
    for i in arange(0,3,1):
             Q[5,i+4]=M[0,i]         
    Q[5,0]=M[0,4]
    Q[5,1]=M[0,3]
    Q[5,2]=M[0,2]
    Q[5,3]=M[0,1]
    for i in arange(0,2,1):
             Q[6,i+5]=M[0,i]         
    Q[6,0]=M[0,5]
    Q[6,1]=M[0,4]
    Q[6,2]=M[0,3]
    Q[6,3]=M[0,2]
    Q[6,4]=M[0,1]
    H=linalg.solve(Q, P)
    hxy=[H[m]  for m in arange(0,int(m),1)]
    xm=list(arange(1,m+1,1))
    plt.figure()
    plt.title('График импульсной переходной функции h(t)')
    plt.ylabel('H ')
    plt.xlabel(' Номер интервала времени -i ')
    plt.plot(xm, hxy, 'r')
    plt.grid(True)
    s1=H[0,0]/2
    s2=(H[0,0]+H[1,0])/2
    s3=(H[1,0]+H[2,0])/2
    s4=(H[2,0]+H[3,0])/2
    s5=(H[3,0]+H[4,0])/2
    s6=(H[4,0]+H[5,0])/2
    s7=(H[5,0]+H[6,0])/2
    N=zeros([8,1])
    N[0,0]=0
    N[1,0]=s1
    N[2,0]=N[1,0]+s2
    N[3,0]=N[2,0]+s3
    N[4,0]=N[3,0]+s4
    N[5,0]=N[4,0]+s5
    N[6,0]=N[5,0]+s6
    N[7,0]=N[6,0]+s7
    nxy=[N[i,0] for i in arange(0,m,1)]
    xm=[i for i in arange(0,m,1)]
    plt.figure()
    plt.plot(xm, nxy,color='r', linewidth=3, label='Решение системы Винера-Хопфа')
    var('t C1 C2')
    u = Function("u")(t)
    de = Eq(u.diff(t, t) +0.3*u.diff(t) +u, -0.24)
    print(de)
    des = dsolve(de,u)
    eq1=des.rhs.subs(t,0)
    eq2=des.rhs.diff(t).subs(t,0)
    seq=solve([eq1,eq2],C1,C2)
    rez=des.rhs.subs([(C1,seq[C1]),(C2,seq[C2])])
    g= lambdify(t, rez, "numpy")
    t= linspace(0,7,100)
    plt.title('Динамика финансового рынка')
    plt.xlabel('Номер интервала (лага) времени')
    plt.ylabel('y(t), N')
    plt.plot(t,g(t),color='b', linewidth=3, label='Решение ДУ финансового рынка')
    plt.legend(loc='best')
    plt.grid(True)
    plt.show()       


    Выводы:

    Средствами высокоуровневого языка программирования Python c применением корреляционного анализа и «белого» фильтра Винера Хопфа получен доступный инструмент для анализа динамики финансового рынка.

    Спасибо Всем за внимание!

    Ссылки:

    1. От чего зависит курс валюты? Факторы, влияющие на валютный курс.
    2. Фильтр Винера-Хопфа.
    3. Финансовые рынки.
    4. Математические модели финансового рынка в виде дифференциальных и разностных уравнений.
    5. Алгебраический метод решения уравнения Винера-Хопфа.
    Поделиться публикацией

    Комментарии 9

      0
      Спасибо. Очень здорово. Но всегда настораживает точность таких предсказаний. Ведь ищутся зависимости в сильно зашумлённых сигналах.

      По поводу зависимости курса, я бы еще такую ссылку привел:

      image
        0

        И что характерно, обе величины практически не влияют на цену бензина в рублях.

          +2
          хвостик 0.0014 зачем?! Претензия на точность до 4го знакак после запятой? При том, что формула гуляет уже в первом знаке перед запятой?
            0
            Взяли, методом наименьших квадратов аппроксимировали исходную зависимость линейной зависимостью. И вот, именно, при такой 0.0014 наблюдается наименьшая сумма квадратов отклонения прямой от исходной зависимости. Т.е. данная формула дает наименьшую погрешность аппроксимации. Если взять другой коэффициент = 0, то точность формулы упадет.
            0
            Эм… А что вас удивляет? У нас же весь бюджет строится из предположений о цене барреля нефти, это всё в официальных государственных документах написано. Вы новости не смотрите чтоли?
            0
            Насчет вывода я не совсем понял, ну получил я синусоидальный график, как анализировать то? Что говорит мне точка на графике (1.5, -0.20)? Эта функция охватывает колебания цен на любой продукт относительно изменений цен валюты? Или имеется ввиду индекс цен в стране. Какая валюта имеется ввиду? Твоей страны? Или всех валют мира? Работает эта модель для всех стран мира, стран любого размера, стран с любой экономичиской структурой и политическим строем?
            Вобщем хотелось бы увидеть побольше оговорок. А то создается впечатление, что найдена золотая формула зависимости чего-то от чего-то. А это вряд ли так.
              0
              Почитал повнимательней. Возник вопрос: как рисовать сову.
              Пусть курс валют: X=[1/(1+(i-4)**2) for i in range(28)]
              Цена на товары пропорциональна, но с лагом 3: Y=[1/(1+(i-7)**2) for i in range(28)]
              Временной временной интервал реагирования мы увидим на Rxy
              1. Какие будут коэффициенты дифференциального уравнения ( u"+0.3u'-0.24=0 )
              2. Что описывает результат модели получаемый в nxy.
              3. Как его применить к новым данным для проверки модели на данных X2, Y2
                –1
                Мне кажется, что такая модель работает плохо.
                  +2
                  Статья похожа на вырезку из чьей-то дипломной работы. В том смысле, что оно всё очень интересно, но как-то малоинформативно. Вы бы хоть как-то вводные описали чтоль…

                  Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                  Самое читаемое