Комментарии 116
Открытие Эйнштейна, основанное на работах Максвелла, Лоренца и других учёных, постулировало некоторые контринтуитивные свойства физической реальности, в частности — лоренцево сложение скоростей.
Лоренцево сложение скоростей, во-первых, было известно ДО Эйнштейна, во-вторых, не постулируется. С точки зрения экспериментальной физики это экспериментально подтвержденный факт, а с точки зрения СТО — следствие из постулатов.
ограниченность аксиоматики Цермело-Френкеля показала — уже в тридцатых годах — теорема Гёделя о неполноте.
Теорема Гёделя, во-первых, не имеет никакого специфического отношения собственно к теории множеств. Во-вторых, она её "ограничила" примерно в том же смысле, как "ограничила" всю математику, включающую в себя арифметику — т.е. по сути ничего не случилось, никакие основы в практическом смысле не ниспроверглись :).
А идея текста в целом непонятна (и даже непонятно, если ли она вообще).
Лоренцево сложение скоростей, во-первых, было известно ДО Эйнштейна, во-вторых, не постулируется. С точки зрения экспериментальной физики это экспериментально подтвержденный факт, а с точки зрения СТО — следствие из постулатов.СТО — это предположение о том, что физическая реальность соответствует некой математической модели. Поскольку такое предположение не может быть верифицировано, я считаю, что слово «постулировала» уместно.
Теорема Гёделя, во-перых, не имеет никакого специфического отношения собственно к теории множеств. Во-вторых, она её «похоронила» примерно в том же смысле, как «похоронила» всю математику, включающую в себя арифметику — т.е. по сути ничего не случилось, никакие основы в практическом смысле не ниспроверглись :).Теорема Гёделя похоронила мечту о полной формализации математики. ZFC я привёл в качестве примера наиболее успешной аксиоматики.
А идея текста в целом непонятна (и даже непонятно, если ли она вообще).Идея текста в том, что наши представления о натуральных числах «очевидны» только на сравнительно небольшом отрезке натурального ряда. Собственно, пост планировался как упрощённый и сдобренный личными переживаниями пересказ статьи Рашевского.
СТО — это предположение о том, что физическая реальность соответствует некой математической модели. Поскольку такое предположение не может быть верифицировано, я считаю, что слово «постулировала» уместно.
Вы не находите, что всё-таки лучше придерживаться общепринятой терминологии, иначе в вещах, о которых вы пишете, будет невозможно разобраться в принципе? "Постулировать" = "Считать истинным без доказательств". Лоренцево сложение скоростей в любом формализме СТО НЕ считается истинным без доказательств, оно выводится. В терминах математики это можно считать теоремой, а не постулатом.
пост планировался как упрощённый и сдобренный личными переживаниями пересказ статьи Рашевского.
Я прочитал статью и… не впечатлился. С примерами в виде сосуда с молекулами газа или мешков с зерном это даже более наивно, чем наивная теория множеств. :) Т.е. понятно, что хотел сказать автор, но на таком уровне рассуждений современная математика и физика прекрасно работает ведь.
Я прочитал статью и… не впечатлился. С примерами в виде сосуда с молекулами газа или мешков с зерном это даже более наивно, чем наивная теория множеств. :) Т.е. понятно, что хотел сказать автор, но на таком уровне рассуждений современная математика и физика прекрасно работает ведь.Но это ведь интересно) у человека есть интуитивное представление о натуральных числах, согласно этому представлению создана формальная модель. Но что если представление неверно, и модель нужна другая? То, что физика «прекрасно работает» — не аргумент, возможно, с «более лучшими» числами она бы работала ещё лучше.
Для того, чтобы представление было неверным, нужно найти какие-то примеры, его опровергающие, а годных примеров-то и нет. Другая модель, какой бы она ни была, должна как минимум не противоречить нынешней. Потому что, хотя нам и не нужно знать, сколько там в мешке зерен на самом деле, мы всё-таки можем это узнать, если захотим, тупо их пересчитав. То есть отличающиеся результаты модель должна давать в каких-то совершенно иных сферах (применительно к квантовой механике, например).
Ок. Слегка увеличим масштабы. Условно говоря, мы можем подсчитать молекулы в ведре воды, но нет никакого реализуемого способа точно подсчитать число молекул в мировом океане (или, если на то пошло, число элементарных частиц в Солнце). И объект "вода в ведре" в принципе может иметь некие свойства, отличные от объекта "океан воды" (и наоборот). Дело за малым — экспериментом, хоть реальным, хоть мысленным. Ну или гениальным математиком, который разработает вроде бы какую-то абстрактную фигню, а через несколько десятков лет на её основе внезапно возникнет прорывная теория, как было с ОТО. :)
P.S. В некотором роде это перекликается, например, с идеей о том, что темная материя на больших масштабах представляет собой конденсат Бозе-Эйнштейна, а локально мы этого наблюдать не можем в силу возмущений, вносимых скоплениями барионной материи.
Правда, доказывать все доказываемые утверждения и не нужно, почти все из них не очень интересныеНу, теорема Гудстейна вполне себе забавная)
Я не помню примеров утверждений, недоказуемых в ZFC, но что-то хорошее там вполне могло заваляться.
Ведь в абстрактном счёте такое попросту невозможно и в счётных множествах не работает.
Ладно ещё при оперирование числами Грэма или когда речь идёт про субсветовые скорости. Но когда считают яблоки в моём саду и пытаются украсть одно — ни за что!
Да, можно придумать кучу факторов, меняющие характеристики подсчитываемого, но на то они и факторы — это просто дополнительные коэффициенты в формуле сложения.
Так можно дойти до мысли, что и 1=30, когда из одного яблока вырастает дерево и начинает плодоносить.
, и подумал: «А на каком комментарии их количество не изменится?».Вот строчил кто-нибудь миллионный комментарий, целую простыню накатал, а карма -100 или ниже, и пишет раз в неделю. А тут бац
на достаточно больших числах прибавление 1 не меняет суммы
Меняет же. Просто техника не всегда правильно считает, у неё есть ясные ограничения.
может лично познакомиться с «неклассическими» натуральными числами.
Так ведь в компьютерной технике нет натуральных, вещественных и прочих типов чисел. Есть приближение с какой-то точностью, ограниченной размером машинного слова или размером оперативной памяти.
Погрешности операций с натуральными числами в js объясняются тем, что натуральных чисел там нет. Все числа работают как float в других языках, а этот тип просто компромисс между занимаемой памятью и точностью расчетов.
Делать революцию в математике на костылях js — сомнительная идея.
Вообще идея "миллион плюс 1 равно миллион" — любопытная. Но не понятно какая величина будет считаться "достаточно большой", чтобы прибавление единицы работало иначе. А если мы миллион к миллиону прибавлять будем?
В СТО есть скорость света, относительно которой ведутся все расчеты.
Все числа работают как float в других языкахНеправда ваша, в JS тип Number — это странный кентавр, до определённого момента работающий как int, а затем превращающийся во float.
Но не понятно какая величина будет считаться «достаточно большой», чтобы прибавление единицы работало иначе.Ну, собственно, Рашевский писал: «Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда-нибудь суждено появиться на свет, будет единственной; наоборот, она должна будет зависеть от каких то „параметров“ (по своей роли отдаленно напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу геометрии неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.»
а в том, что единица при некоторых условиях равняется двум?
Прежде чем выяснять равняется ли число Один числу Два и при каких условиях, надо эти числа определить. Согласно их стандартному определению и аксиоматике натуральных чисел эти числа не равны «всегда».
А что вы в конечном итоге хотите нам всем доказать? Я после ознакомления с вашей статьей так и не смог извлечь какой-либо вменяемый тезис.
А согласно нестандартному определению и аксиоматике могут быть иногда равны.
Так это не противоречит моему предложению: определяйте объекты Один и Два как хотите, только сначала дайте определение, а затем уже ставьте вопрос о равенстве объектов. Единственно надо учесть, что у человечества эти слова «Один», «Два» уже зарезервированы для своих бытовых нужд.
Так это не противоречит моему предложению: определяйте объекты Один и Два как хотите, только сначала дайте определение, а затем уже ставьте вопрос о равенстве объектов.Так я и не ставил вопрос о равенстве объектов. Я ставил вопрос об альтернативных определениях.
Единственно надо учесть, что у человечества эти слова «Один», «Два» уже зарезервированы для своих бытовых нужд.А человеческое «Один» и единица Пеано — это одно и то же?
А человеческое «Один» и единица Пеано — это одно и то же?
Так можно и на ругань скатиться: единица это такая цифра «1». А по поводу альтернативных определений, то в математике все просто: суть объекта не меняется от альтернативного определения. Бывает, правда, отождествляют объекты разной природы, если между ними можно установить изоморфизм, но это другая история.
Вообще, я написал не то, что подумал. Отношение «модель-явление» не является отношением изоморфизма. Поэтому даже если бы оно было транзитивно, из этого не следовал бы изоморфизм двух моделей.
Тем не менее, развивая мысль.
Если модель отражает не все признаки явления, то она ему не эквивалентна, а значит вопрос о транзитивности просто не стоит. Однако можно сделать факторизацию через проекцию на отражаемые признаки.
С изоморфизмом сначала стоит определить, что мы будем им считать, и только после этого мы сможем понять есть он или его нет.
Модель 2: «единица» — это $\emptyset$, взятие следующего элемента — это $x \to P(x)$. ($P(x)$ — «множество всех подмножеств $x$»).
Модели неизоморфны, т.к. отношение порядка на этих моделях натуральных чисел выражается разными отношениями в терминах теории множеств ($\subset$ и $\in$, соответственно)
Тогда другой пример, что-то такое проворачивали курсе на втором — к аксиомам Пеано добавим для каждого $n$ утверждения, что некий постоянный элемент $Z$ строго больше $n$. Конечные модели конечных подмножеств объединения этих семейств аксиом есть, значит (лемма Мальцева), и для всего объединения модель есть, а в ней $Z$ де-факто превратится в $+\infty$, которой нет в стандартной модели натуральных чисел.
Рассмотрим запись числа на русском языке, тогда например «два» и «три» имеет по 3 буквы, «пять» — 4 и так далее, «сто» — 3. Видно, что максимальное числа, которое можно записать тремя буквами — 100. Теперь построим конструкцию «Число на единицу большее максимального числа записываемого восмьюдесятью восьми буквами» и приходим к забавному результату.
В php 5.3 как-то столкнулся с похожей проблемой: при сравнении достаточно длинных чисел php их немного округляет, точнее приводит к типу float с потерей точности. На практике получилось, что два баркода (числа условные, может быть надо взять последовательности длинее или короче, чтобы эффект пpоявился, не помню уже) "12345678901234" и "12345678901257" равны, если сравнивать их через "==".
Проблема усугублялась ещё и тем, что проявлялась только если два подобных баркода были в одной партии и только на древней версии php 5.3, а на большинстве машин включая девелоперские и тестовые php был значительно новей.
Долго не могли понять, почему на тысячу посылок терялись 2-3. Сперва грешили на сканер баркодов и рукожо некорректный ввод данных пользователями.
Но ошибка, как это обычно бывает, сидела перед экраном монитора.
Автор начинает с теории относительности и почему-то пытается применить схожие идеи к натуральным числам, а потом снова провести аналогии с материальным миром. Разберёмся поэтапно.
По поводу переноса идеи СТО о «конечной бесконечности» на натуральные числа. Дело в том, что в СТО числа-то как раз и не натуральные. Да, там c (+) 1 = c (я намеренно использовал обозначение (+) чтобы была заметна разница между ним и обычным сложением). Но, с другой стороны, и 1 (+) 1 не будет равно 2. Просто операция (+) зависит от масштаба и и для малых величин разница незаметна. Поэтому напрямую эту идею перенести не получится.
С другой стороны, подход, предложенный автором, всё же возможно реализовать на практике. И более того, он даже активно используется. Речь о арифметике с насыщением. Если в ходе арифметических операций значение превышает заданный максимум, то оно равно максимуму. Это очень полезное свойство в компьютерной графике. Например, когда складываются дискретизированные и оцифрованные (как правило, натуральные) яркости двух пикселей, то сумма не может превышать максимальную яркость, которую способно выдать устройство.
Вообще, есть всем этим занимается абстрактная алгебра (которая не про уравнения в школе, а про кольца/группы/идеалы/и т. д.). Вот уж тут можно найти операции на любой вкус. Включая и эту. И заодно свойства изучить. Как я понял, автор учился на мехмате, так что эта наука ему знакома. Тем более странно, что он написал эту статью. Но не отрицаю, что я мог просто не понять смысл, который он хотел передать.
- А вот переносом алгебраических идей обратно на реальный мир всё сложно. Математика — это модели. И связь мира моделей с реальным миром не всегда биективная. (Неоплатонисты тут возразят. :)) Возможно, что для какой-то модели просто неизвестна задача, где она была бы к месту. В таком случае говорят о симулякре. Да и это довольно странно, искать прообраз для модели. Чистым математикам прообразы не нужны, им интересны сами модели. А прикладным — интересны задачи, и по ним они ищут модель, а не наоборот.
Поиск прообраза для модели может, впрочем, быть элементом научного поиска. Когда тыкаешь в разные стороны, авось что-то и найдёшь. Но, увы, автор ничего значимого не нашёл, да и суть проблемы не особо и вскрыл. Потом и плюсиков мало. Не то, чтобы мне статья не понравилась. Просто неясно, для чего она, что пытается донести.
Арифметика натуральных чисел, смею предположить, возникла опытным путём. Древние люди считали камешки, зарубки, овец. Эмпирически выведенные свойства сложения и умножения были затем перенесены на конструкцию идеального мира — натуральные числа. От них есть пошла вся остальная арифметика.
Я предполагаю (на правах научной фантастики, хотя кто знает), что из-за недостаточности экспериментального материала (никто ещё не пробовал пересчитывать стада, скажем, из гугола овец) у людей могло сложиться превратное впечатление относительно свойств количества, и та же ошибка закралась в натуральные числа. Может случиться так, что макроколичества ведут себя иначе, чем микроколичества, и для описания их поведения нужны иные числа и иная арифметика.
Наука, связанная с реальным миром, опирается на веру. Мы верим, что закон всемирного тяготения работает, так как доказать, что он работает всегда методологически невозможно. Может, вы и правы. Может, даже и для малых количеств. Но ваша теория сложна и ломает все остальные теории, многократно подтверждаемые наблюдениями. А существующая проста и работает.
Гугол овец — это, кстати, тоже абстракция. Они сколлапсируют. Даже если вы столько найдете. Да и что такое овца? Где она начинается и где заканчивается? И что значит «считать»?
И вообще, это не математика, а философия. Лучше о математике поговорим. :) В теории множеств вот есть тоже куча интересного и контринтуитивного. Или в теории меры.
И почему никто не думает что бесконечности разные бывают и бесконечность + 1 больше чем бесконечность (таже что прибавляется к 1). Это же очевидно!Ну почему же никто? В нестандартном анализе всё так и работает.
По поводу топологии и скорости рядов я вам сказать ничего не могу, поскольку мне неведомо значение этих слов в контексте рядов.
Скорость: 1 + 2 + 3 + 4 и 1 + 4 + 8 + 16 имеют разную скорость возрастания. Поэтому бесконечность первого ряда будет меньше бесконечности второго. Вот 0 он и в африке 0, а бесконечности разные.
Считаю, что делать известные махинации как при пояснении, что 1 + 2 + 3… = — 1/12 не стоит. Хотя кто знает, может в будущем что-то откроем физическое, где это всплывет и окажется правдой.
И стоит определить что значит в ваших терминах бесконечность, бесконечность плюс 1 и больше.
Бесконечности действительно бывают разные. Погуглите кардинальные числа. Но в вашем примере бесконечности у сумм рядов одинаковы.
Можно представить, что 1+2+3+… — это мощность объединения множеств из одного, двух и так далее элементов. Для такого множества легко ввести сквозную нумерацию, то есть каждому элементу сопоставить натуральное число. То есть получившаяся бесконечность равна количеству натуральных чисел. Аналогично, для второго ряда получаем, что его сумма тоже равна количеству натуральных чисел. Ну, отсюда делаем вывод, что они равны.
Кстати, та же в математике доказывается, что чётных чисел столько же, сколько и натуральных (как чётных, так и нечётных). А вот действительных чисел больше.
Можно, конечно, придумать какую-то другую процедуру сравнения. Но тогда это уже будет либо противоречивая система, либо что-то контринтуитивное, далёкое от обычной арифметики. Изучать такие далёкие вещи, конечно, тоже интересно. И алгебра как раз этим и занимается, но переносить выводы обратно на арифметику было бы некорректно.
Но в вашем примере бесконечности у сумм рядов одинаковы
Повторюсь, если рассматривать всё над полем гиперреальных чисел то у рядов окажутся разные суммы. Правда, тогда немного непонятно, что считать бесконечностью.
Про гипервещественные было в другой ветке, я и решил, что речь о натуральных. Хотя строго говоря, бесконечности как элемента среди них тоже нет. И нельзя говорить, что сумма равна бесконечности. Просто сумма неограниченно растёт.
Считаю, что делать известные махинации как при пояснении, что 1 + 2 + 3… = — 1/12 не стоит. Хотя кто знает, может в будущем что-то откроем физическое, где это всплывет и окажется правдой.
Вообще-то уже открылось, читай Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…:
Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:
.
Натуральный ряд и был задуман для того чтобы складывать палки, камушки и овец). В чем смысл дискуссии?
Имеем комнату с двумя дверьми. В одну дверь выпускаем очередь из 50 человек (каждый из которых живет по 100 лет), а через другую выпускаем. Сколько людей выйдет из другой двери? 50 и выйдет. А если за единицу времени взять 100 лет, то выйдет 0 человек?
Насколько я понял автора, мысль такая.
200 лет назад люди думали, что 2 м/с + 3м/с = 5м/с. А потом выяснили, что все же нет.
Почему такого же эффекта не может возникнуть с количествами чего-то в реальной жизни?
Ведь вы же не проверяли, что если сложить 2 кучи по 1e9 камней, то получится 2e9, не так ли?
Эту мысль можно развить дальше.
Допустим есть некая динамическая система "рой". В/из него постоянно добавляются/извлекаются элементы. Стоит задача подсчета количества элементов в системе. Мы ограничены тем, что на подсчет элементов тратится время, меньшее чем время жизни элемента в системе. Т.е. пока будем считать, количество элементов в системе изменится.
Предположим, что время между добавлениями и извлечениями элементов у нас непостоянное и подчиняется нормальному закону распределения.
Когда (реальное количество элементов) * (время подсчета) будет больше, чем ожидаемое время жизни элемента, предложенная арифметика подойдет лучше, чем привычная.
Оказалось, что если бегун Б движется в ту же сторону, что пешеход П, скорость П относительно земли составляет 2 м/с, а скорость Б относительно П составляет 5 м/с, это не означает, что скорость Б относительно земли равняется 7 м/с. Согласно релятивистской физике, скорость Б будет приблизительно 6,9999998 м/с.
Ага, я кажется понял, где ошибка.
Если измерять скорость в метрах в секунду, то число будет
6.999. А если в миллиметрах в секунду, то 6999. А если скорость света взять за 1, то вообще больше единицы чисел не будет.Вывод — этот эффект не связан с числами и их сложением. Это свойства физического явления, которое ими измеряется. В зависимости от масштаба единицы измерения поправка к сложению
1+1 будет разная.C = (A+B)*k | k < 1, и это было бы свойством самой последовательности чисел, то такое же C должно получаться всегда для тех же самых A и B, независимо от того, обозначают ли они яблоки или метры в секунду. А если k зависит от единиц измерения, то это уже не свойство натурального ряда.А вообще, если мы осмеливаемся предполагать, что неверно нечно фундаментальное для математики, нужно очень внимательно отследить всё, что на этом фундаменте стоит, и во всём этом последовательно усомниться. Как в реактивном программировании: изменилось значение атома — изменились значения всех других атомов, использующих его для вычисления своего.
Кстати, я вот тут тоже размышлял по поводу того, как устроен счет.
Например, если мы нальём в ведро сначала два литра воды, а затем ещё пять, вдруг мы получим не семь литров, а шесть с шестью девятками и одной восьмёркой после запятой? Или иную величину, в зависимости от того, что в данном случае считать «скоростью света».
Математически это можно описать, например, при помощи следующей формулы:
logplus[x_,y_,k_] := Log[E^x+E^y+k] - Log[E^-x+E^-y+k] Коэффициент k здесь определяет «скорость затухания». При k=0 получим просто сложение:
logplus[2,5,0] = 7А при k близким к 0, результат до 7 уже не дотягивает:
logplus[2,5,0.0000001] = 6.999999296779720960632
Хотите построить другую внутренне непротиворечивую арифметику (теорию чисел)? Ну попробуйте. Только это не отменит классическую, как геометрия Лобачевского не отменяет Евклидову геометрию.
Хотите построить другую внутренне непротиворечивую арифметику (теорию чисел)?Скорее лениво размышляю о её возможности.
Только это не отменит классическую, как геометрия Лобачевского не отменяет Евклидову геометрию.Точно так же СТО не отменила ньютоновскую механику. Однако всё же есть право говорить, что СТО «более верна».
Про СТО можно говорить, что она "более верна", чем ньютоновская механика, как модель наблюдаемого мира. Но математика в отличие от физики сама по себе моделью реального мира не является. Математика — это только абстрактное логическое построение. Если две математические теории внутренне непротиворечивы, то никак нельзя сказать, что одна из них "более верна", чем другая. Геометрия Римана не "более верна", чем Евклида, она просто другая.
Соответственно, натуральные числа отражают свойства таких вещей, как количество и счёт. Если бы вдруг экспериментальным путём выяснилось, что два яблока и ещё два яблока будет три яблока, это означало бы, что натуральные числа со своей задачей справляются плохо.
Наиболее правильное отражение реального мира — это не про математику, это про физику. В реальном мире нет наблюдаемых бесконечностей.
Никто сингулярности не видел. И появление бесконечности в некоторой точке пространства в математической модели реального мира говорит о том, что в этой конкретной точке пространства (и вероятно в некоторой ее окрестности) данная модель неприменима.
Они появляются как минимум в ПО, написанном криворукими программистами, которые например не могут правильно сложить 2 числа.
Наверное, несмотря на контринтуитивность, нельзя просто взять и отмахнуться от этих идей утверждением типа «это противоречит самым первым аксиомам», потому что эти аксиомы вообще-то тоже кто-то когда-то придумал. Если будем критично относится ко всему, что не звучит как правда, то мы никогда не откроем ничего нового и рискуем оказаться в позиции тех глупцов, которые 500 лет назад верили в то, что Земля плоская, и над которыми сейчас с таким удовольствием смеемся.
Другие наборы аксиом очень даже изучаются математиками. Какие только аксиомы алгебраисты не рассматривают. Тут дело в том, что существующая арифметика просто прекрасно работает в реальном мире (в границах своей применимости, разумеется).
Можно, конечно, сказать, что, дескать, Эйнштейн задумался о сложении скоростей, провёл мысленные эксперименты и создал СТО, которая, как оказалось, работает. Но тут важно заметить, что это были не праздные размышления. Была проблема — постоянство скорости света. Это было экспериментально обнаружено и не укладывалось в рамки существующих моделей. И Эйнштейн предложил решение. А с арифметикой вроде всё ОК.
Тут я кое-что напомню.
Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений,— понятия твёрдого тела и светового луча, по-видимому, теряют всякую определённость в бесконечно малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы действительно должны были бы принять это положение, если бы с его помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления.
Праздные размышления из середины 19 века. 50-60 лет до СТО, квантовой механики и ОТО. Лоренц и родители Эйнштейна либо еще не родились, либо младенцы.
Эти размышления слишком общие и не позволяют создать СТО, так из них можно вывести очень много такого, что в реальном мире отсутствует, не только СТО. Грубо говоря, до опытов Майкельсона проблема, которую решает СТО, не особо-то известна была. А как решать проблему, которую не знаешь? Я об этом хотел сказать.
Вот парадокс в том, что такие размышления позволили создать их автору матаппарат для ОТО. За десятки лет до, без всяких на то видимых причин. Мне показалось занятным, что исходный текст по сути очень близок к римановским рассуждениям. С той разницей, что Риман при этом был конструктивен и не просто размышлял, но еще воплотил эти размышления в математические построения.
тех глупцов, которые 500 лет назад верили в то, что Земля плоская
500 лет назад образованные люди вполне себе знали, что Земля шарообразная. А товарищи, которые не знают об этом, есть и в наше время.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4
На ту же тему, 1-2+3-4+...=1/4
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4
Ну и 1-1+1-1+...=1/2
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B8
Эти суммы могут быть равны чему угодно в зависимости от того, как мы договоримся считать бесконечные суммы. В этом и фишка математики. Мы заранее говорим, что считаем аксиомами и даём базовые определения, а потом пользуемся. Какие-то наборы проще и, как мы считаем, ближе к нашим интуитивным представлениям о мире, какие-то дальше. Обычно, когда в дело вступают бесконечности, интуиция начинает подводить и возникают вопросы, а какая система лучше.
Если представить в виде графика, то не такие уж и контринтуитивные значения: Why does 1+2+3+⋯=−1/12?:
.
Всегда не просто понять мысль, которая выходит за привычные рамки.
Но в переосмыслении казалось бы очевидных и устоявшихся понятий и состоит прогресс.
Рашевский пишет:
«Наша гипотетическая реформа числового ряда должна, конечно, сопровождаться соответствующей реформой и числовой прямой… И эта ''реформированная» числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов..."
По-моему, это близко к понятию нелокальности. Во всяком случае, «размытая (нелокальная)» прямая — это вполне себе существующий и понятный геометрический объект, который можно «пощупать руками».
Миллион плюс один равно миллион. Теория относительности натурального ряда