Комментарии 29
А гладкие уравнения Навье-Стокса в реальном мире порвутся уже на дискретности частиц. Для начала заменить хотя бы кота Шрёдингера на эдакий вентиль — и вот вам нежданчики в гладкости математической модели течения жидкости.
Но «виноваты» в этом не математики, а физики.
Потому, что математики ничем никому не обязаны, ничего никому не должны.
Эти молодые люди просто заточены на приз — показать разрыв в решениях. Математики уже полвека забавляются в специально предусмотренном разделе математики под названием «теория катастроф». И доказывают, что для той или иной функции есть ситуации, где при сколь угодно малом дельта в начальных параметрах мы получаем скачок в её поведении.
Конкретно эти ищут совсем неустранимый разрыв специально внося дельту. Пытаются доказать, что это не «всюду дифференцируемая» функция.
вода начинает со спокойного состояния, взрывается в середине ночи, а затем возвращается в спокойное состояние
Пока Вы не решите уравнение Гамильтона-Якоби для полного гамильтониана системы молекул жидкости, любые «взрывы» будут просто грубым приближением к классической механике (другому грубому приближению к квантовой механике — более точной науке для описания финитного движения частиц).
Неуникальные решения Лере будут означать, что, согласно правилам Навье-Стокса, одна и та же жидкость с одними и теми же начальными условиями может прийти к двум разным физическим состояниям, что не имеет физического смысла, и подразумевает, что уравнения на самом деле не описывают то, что должны.
Про точки бифуркации в течениях никто из них не слышал, что-ли? В этом то на мой взгляд и прелесть, что уравнения навье-стокса могут иметь несколько решений. Это еще в прошлом веке доказали.
Точки бифуркации, емнип, подразумевают наличие неучтённых флуктуаций. В случае же, если математики правы, то 2 исхода возможны без каких либо вмешательств.
P.S. Пока писал подумал — а ведь эти флуктуации как раз и могут прятаться в неучтённых из-за "ослабления" точках. Так что да, работа, похоже, ни о чём.
Посмотрите задачу верёвки, лежащей на столе (без трения) так, что кончик на самом краю стола. Там аккурат два решения: либо она так и лежит на столе, либо за конечное время с него соскальзывает. Без всяких флуктуаций.
С формальной точки зрения – это "некорректно поставленная задача".
Может показаться, что проблема именно в начальных условиях. Но нет, можно чуть изменить задачу – пусть верёвка внутри Г-образной трубки, изначально находится в вертикальной части и имеет такую скорость, что кинетической энергии как раз хватит, чтобы "забраться" на перекладину. И вот бифуркация уже не в начальный момент.
это может иметь смысл для развития численных методов, как думаете?
Нет ничего удивительного что если мы как то огрубили начальное состояние и не заметили там мльенького торнадо между узлами решетки для численного расчета. Пост слабоват для гиктаймз, без единой формулы о таких вещах не поговоришь. И что такое слабые решения осталось загадкой.
Под «слабыми решениями» в работах, подобных этой, понимают решения в интегральном смысле, как правило из какого-нибудь пространства Лебега. Классическое решение дифференциального уравнения должно быть гладким (иначе как брать производную?). Поэтому трюк состоит в том, что от дифференциального уравнения переходят к интегральному, а уж интегрировать мы умеем всё подряд — и разрывные функции, и уходящие на бесконечность и чёрти какие. Вот решение такого уравнения и есть «обобщённое» или «слабое» решение.
Возвращаясь к Навье-Стоксу и этой статье. Не получается ли так, что для любого случая точности сетки «поля скоростей», дающего «неоднозначные решения» можно взять сетку с шагом в 2 раза меньше, адекватно подобрать время поменьше внезапно все проблемы пропадут?
А задачу о верёвке, падающей со стола, они не решали?
(Кто не в курсе: это классический пример "некорректно поставленной задачи". Верёвка (считаем её бесконечно тонкой и бесконечно гибкой) лежит на столе так, что кончик — на самом краю. За какое время она упадёт со стола? У уравнений, описывающих поведение верёвки, есть два решения).
Хоть что-то я понял, спасибо. Причина отсутствия решения в неправильном понимании физического смысла потока
Математики нашли проблему в знаменитых уравнениях для описания жидкостей