Операции над комплексными числами

    Здравствуй, %username%!
    Я получил довольно много отзывов о первой части и постарался все их учесть.
    В первой части я писал о сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел.
    Если не знаешь это — скорей беги читать первую часть :-)
    Статья оформлена в виде шпарлагки, истории здесь крайне мало, в основном формулы.
    Приятного чтения!

    Итак, перейдем к более интересным и чуть более сложным операциям.
    Я расскажу про показательную форму комлексного числа,
    возведение в степень, квадратный корень, модуль, а также про синус и
    косинус комплексного аргумента.
    Думаю, начать стоит с модуля комплексного числа.
    Комплексное число можно представить на оси координат.
    По x будут расположены вещественные числа, а по y мнимые.
    Это называется комплексная плоскость. Любое комплексное число, например

    $z=6+8i$


    очевидно можно представить как радиус-вектор:

    Формула расчета модуля будет выглядить так:

    $ r = |z| = \sqrt(x^2+y^2) $


    Получается, что модуль комплексного числа z будет равен 10.
    В прошлой части я рассказал про две формы записи комплексного числа:
    алгебраическую и геометрическую. Есть еще показательная форма записи:

    $z=r\:e^{i\phi}$


    Здесь r — это модуль комплексного числа,
    а φ — это arctg(y/x), если x>0
    Если x<0,y>0 то

    $φ=arctg(y/x)+\pi$


    Если x<0,y<0 то

    $φ=arctg(y/x)-\pi$


    Есть замечательная формула Муавра, которая позволяет возвести комплексное число в
    целую степень. Она была открыта французким математиком Абрахом де Муавром в 1707 году.
    Выглядит она вот так:

    $z^n=r^n{(cos(\phi) + i*sin(\phi))}^n$


    В результате можем возвести число z в степень a:

    $z.x=|z|^a*cos(a*arctg(y/x))$


    $z.y=|z|^a*sin(a*arctg(y/x))$


    Если Ваше комплексное число записано в показательном виде, то
    можно использовать формулу:

    $z^k=r^ke^{ik\phi}$


    Теперь, зная как находится модуль комплексного числа и формулу Муавра, можем найти
    n корень из комплексного числа:

    $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\;cos{\frac{\phi+2\pi k}{n}}+i*sin{\frac{\phi+2\pi k}{n}}$


    Здесь k это числа от 0 до n-1
    Из этого можно сделать вывод, что существует ровно n различных корней n-ой
    степени из комплексного числа.
    Перейдем к синусу и косинусу.
    Расчитать их нам поможет знаменитая формула Эйлера:

    $e^{ix}=cos({x})+i*sin({x})$


    Кстати, еще существует тождество Эйлера, которое является частным
    случаем формулы Эйлера при x=π:

    $e^{iπ}+1=0$


    Получаем формулы для вычисления синуса и косинуса:

    $sin\:z=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{{2i}}$


    $cos\:z=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{{2}}$


    Под конец статьи нельзя не упомянуть практическое применение комплексных
    чисел, чтобы не возникало вопроса
    image
    сдались эти комплексные числа?
    Ответ: в некоторых областях науки без них никак.
    В физике в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна.
    В электротехнике комплексные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам, которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока.
    В теореме Жуковского (подъемная сила крыла) тоже используются комплексные числа.
    А еще в биологии, медицине, экономике и еще много где.
    Надеюсь, теперь вы умеете оперировать комплексными числами и сможете
    применять их на практике.
    Если что-то в статье непонятно — пишите в комментариях, отвечу.
    Поделиться публикацией

    Похожие публикации

    Комментарии 11

      +3
      В коментах к прошлой статье узнал больше о комплексных числах, чем из Ваших двух статей

      Текст вида 'комплексные числа используются в уравнениях x и z и ещё много где' выглядит как отписка
        0

        В комментариях у прошлой статье было только про практическое примение, критика и наоборот похвала.
        Никаких формул не было

        +2
        Джон Дербишир. Простая одержимость
          0
          а φ — это arctg(y/x)

          это неверно и очень грубая ошибка. arctg, если вы не знали, определен только в интервале от -pi/2 до pi/2
          φ — это именно угол на комплексной плоскости
          все ваши формулы, где есть этот пресловутый арктангенс — неверны
          формулу Эйлера вы используете вовсю до того как ее обозначить
          у вас ошибки при наборе формул (корень из модуля), неряшливая типографика, отсутствует последовательность в обозначениях (через «x» вы то обнозначаете действительную часть числа z конструкциями вроде z.x, то рассматриваете ее как самостоятельную переменную, например, в ф-ле Эйлера, — причём непонятно комплексная она или вещественная)
          квадрат которой

          не квадрат, а квадрат модуля
            0
            Квадарт которой исправил.
            Какая грубая ошибка?
            Определен только в интервале
            Вы вообще про что?
            Область определения или область допустимых значений?
            0
            Любое комплексное число, например z = 6 + 8i можно представить как радиус-вектор:
            На картинке видим x, y, r и фи… Вы явно пропустили слово очевидно.
              0
              Да, так лучше.
              Спасибо, исправил
                0
                Это была ирония, представление мнимых чисел всегда заслуживает отдельного пояснения.
              0
              Важно заметить, что умножение двух комплексных чисел получает комплексное число модуль которого равен произведению модулей исходных чисел, а угол между ним и осью OX равен сумме исходных углов. Т.е. комплексное умножение ПОВОРАЧИВАЕТ ВЕКТОР. Это в принципе и диктует область применения — во всяких колебательных процессах и тому подобное.
                0
                P.S.
                Тождество Эйлера, кстати, как раз с помощью комплексного вращения (заметённого в операцию возведения в степень) по сути своей утверждает, что «если повернуть точку (1,0) на 180 градусов (пи радиан), то она попадёт в точку (-1,0)». Казалось бы простая штука, но сам вид этой формулы ввергает некоторых математиков в благоговение (подробности можно в той же вики посмотреть).
                0

                Для работы с комплексными числами есть прекрасная фунция arg(x, y) (см Вики), где x и y это вещественная и мнимая части z, соответственно. Функция эта многозначная, т.е. для любой пары (x, y) существует счетное количество значений (отличающихся, очевидно, на 2pi).
                Для вычислений давно изобрели atan2(y, x), которая возвращает угол с учетом знаков x и y. Иногда она обозначается как Arg(z).


                Без правильного учета этого свойства вы не получите правильных корней из единицы; вместо n корней будет только 1.

                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                Самое читаемое