Комментарии 263
Теме неплохо раскрыта в книгах Мориса Клайна.
Математики не спешат признавать его заслуги. Он популяризатор, но не математик, а потому со стороны математиков к его тексту отношение снисходительно-безразличное, что ли.
А в массы он донёс идею о том, что имеет смысл подумать, чем же там занимаются математики. Но на самом деле математики в списке тех, о чьих занятиях реально стоит подумать, стоят где-то ближе к концу.
А в массы он донёс идею о том, что имеет смысл подумать, чем же там занимаются математики. Но на самом деле математики в списке тех, о чьих занятиях реально стоит подумать, стоят где-то ближе к концу.
всё просто — брадобрей бреется в другой деревне (сам или не сам — не важно). деревня ведь в условии задачи есть (в отличие от женщин).
некий брадобрей заявил, что он бреет в своей деревне всех, кто не бреется самВозможно, бреет себя с чьей-то помощью, поэтому бреет себя, но не сам. Или он живет в другой деревне, а под «своей» подразумевал рынок, разделенный между брадобреями. Или, что еще проще, он ошибся, брякнул, не подумав. Или для бритья себя выходит за пределы своей деревни, да.
Можно и другие ответы поискать, опираясь на несовершенства формулировки, но смысл статьи отнюдь не в этой одной из иллюстраций. И всё не просто.
Его бреет робот, на которого не накладывали ограничения, кого брить, а кого не брить (как минимум, не по признаку «бреется/не бреется сам»!
Или сам брадобрей является роботом, не входящим во множество бреющихся людей, о которых шла речь. Потому что если во множество входят не только люди, то брадобрей устанет брить камни, деревья и гоняться за птицами.
Можно и другие ответы поискать, опираясь на несовершенства формулировки, но смысл статьи отнюдь не в этой одной из иллюстраций.
Робот не спасет. Всех, кто не бреется сам (то есть пару брадобрея с роботом) должен брить брадобрей.
Или у него есть брат близнец и брадобрей это фамилия
Возможно, в деревне два брадобрея, и они бреют друг друга. В условии парадокса в посте не сказано, что он в деревне один.
Суть не в том, что бы найти изъян, опираясь на настоящих брадобреев или деревни. Суть в том, что можно сформулировать проблему, которая сама по себе противоречива. Вы легко можете дополнить задачу сами, добавив ограничение, что никто из деревни никогда не бреется за пределами деревни.
Ну мы же математику рассматриваем.
Люди — числа.
Люди или бреются сами, или их бреет брадобрей. Т.е. имеют всего 2 делителя. Значит все люди — простые числа.
Брадобрей и может бриться сам, и может быть брит брадобреем, но так как он и есть брадобрей, то эти ситуации равны, значит у него 2 одинаковых делителя. Вывод: брадобрей — единица.
Единица число не простое, значит правило брадобрея на нее не действует. Брадобрей выбирает себе любой делитель — бреется сам или будет бритым собой. Результат одинаков, правила математики не нарушены.
Всё, задача решена.
Люди — числа.
Люди или бреются сами, или их бреет брадобрей. Т.е. имеют всего 2 делителя. Значит все люди — простые числа.
Брадобрей и может бриться сам, и может быть брит брадобреем, но так как он и есть брадобрей, то эти ситуации равны, значит у него 2 одинаковых делителя. Вывод: брадобрей — единица.
Единица число не простое, значит правило брадобрея на нее не действует. Брадобрей выбирает себе любой делитель — бреется сам или будет бритым собой. Результат одинаков, правила математики не нарушены.
Всё, задача решена.
Собственно, не понимаю, почему нельзя сказать, что брадобрей бреет себя сам. По поводу тех, кто не бреется сам, брадобрей высказался предельно ясно. Но ничего не было сказано про тех, кто бреется сам: позиция брадобрея по этому вопросу не определена!
Ох уж эти брадобреи-слизеринцы.
Ох уж эти брадобреи-слизеринцы.
Просто в исходной формулировке еще есть слово «только».
В парадоксах всегда есть часть, которую решающий должен додумать сам. Иначе всё сведётся к виду вопроса про число, которое больше и меньше нуля одновременно. То есть когда всё ясно — парадокса нет. А когда есть неясность — есть возможность произвольных трактовок и она даёт надежду на разрешимость.
Если же мы добавим в задачу дополнительные ограничения, то всегда найдётся желающий указать на их неполноту.
Если же мы добавим в задачу дополнительные ограничения, то всегда найдётся желающий указать на их неполноту.
Ну уж нет, условия задачи должны быть полными. Иначе как только её решат, тут же приходят другие люди и хотят странного: оказывается, были еще и другие условия, «само собой разумеющиеся»!
Я не сторонник абсурдно полного описания задачи, если она написана в школьном учебнике математики и касается подсчёта яблок. Но в логике подобный волюнтаризм недопустим.
Я не сторонник абсурдно полного описания задачи, если она написана в школьном учебнике математики и касается подсчёта яблок. Но в логике подобный волюнтаризм недопустим.
Ну уж нет, условия задачи должны быть полными
Тогда дайте алгоритм самоприменимости слова «несамоприменимо».
С какой целью вы просите меня это сделать? Я не вижу связи с темой разговора.
С целью дать вам возможность показать полные (на ваш взгляд) условия.
Связь самая прямая. Когда логическое высказывание (теорема) ссылается на само себя, возникают парадоксы. Так же с термином «несамоприменимо»: если рассматривать сам термин как логическое высказывание, то теорема «термин „несамоприменимо“ применим к самому себе» приводит к парадоксу.
Почему неясность и неполность условий нужно называть парадоксом?
Брадобрей бреет себя сам ровно до того момента пока не бреет себя сам. Типичная функция с разрывами (второго рода, вроде бы?) как только он начинает себя брить — он перестаёт себя брить и начинает себя брить заново.
В каждой точке этого процесса он себя бреет, если не брил и не бреет если брил. Но точки не обязаны быть связаными.
ЗЫ: но статья шикарная, спасибо. Никогда толком не задумывался о сути парадоксов.
В каждой точке этого процесса он себя бреет, если не брил и не бреет если брил. Но точки не обязаны быть связаными.
ЗЫ: но статья шикарная, спасибо. Никогда толком не задумывался о сути парадоксов.
Помню, в школе когда-то учительница подшутила и заставила строить график функции, которая оказалась в итоге прерывной в каждой точке. Вспомнить бы ещё теперь, что это была за функция…
Функция Вейерштрасса, например.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Да, конечно же. Имел в виду, что построить на графике отдельные точки функции Вейрштрасса в принципе можно, а соединить из плавной линией — уже нет. Построить одну точку на графике функции Дирехле уже затруднительно. Я бы на предложение построить график функции Дирехле нарисовал бы две параллельных прямых, а отсутствие видимых разрывов аргументировал бы тем, что они есть, но их не видно)
Есть ещё лестница Кантора.
Функция непрерывна, производная равна нулю везде, где она определена, но на интервале (0,1) она меняется от 0 до 1.
Функция Вейерштрасса — непрерывная, но не имеет производной в каждой точке.
Прерывная(разрывная) в каждой точке — Функция Дирихле
Прерывная(разрывная) в каждой точке — Функция Дирихле
Функция Римана, например. Она хоть и разрывна в каждой точке, но тем не менее интегрируема.
Бразобрей врет, неосторожно обращаясь с квантором всеобщности.
Объяснение всех этих парадоксов и еще множества похожих, сформулировано не мной
«Любая замкнутая формальная система либо неполна либо противоречива»
«Любая замкнутая формальная система либо неполна либо противоречива»
Любая ли?
В оригинале говорилось про формальную арифметику.
Ну а ваша цитата (не вспоминая про её неточности) относится именно к замкнутой системе. А брадобрей живёт в открытом мире. Он может выйти за пределы замыкания.
Ну а ваша цитата (не вспоминая про её неточности) относится именно к замкнутой системе. А брадобрей живёт в открытом мире. Он может выйти за пределы замыкания.
Возможно вы слышали о попытках описания объекта(-ов), часть которого включает сам объект? Я думаю что вопрос можно было бы сформулировать в терминах топологии, но я в ней не силён. Возможно ответ так же может быть где-то в дебрях теории категорий?
P.S. Спасибо автору за усилия — не поленился расписать значение всех мат. символов и привёл столько примеров.
P.S. Спасибо автору за усилия — не поленился расписать значение всех мат. символов и привёл столько примеров.
Мне больше всех парадоксов вынес мозг парадокс неожиданной казни.
Вообще, ИМХО, все парадоксы основаны на одной и той же ошибке: от неких абстракций, которые по сути являются приемами мышления ожидается поведение, которое ожидается от реально существующих объектов (в физической или виртуальной реальности).
Например, мы можем вообразить клеточный автомат с заданными правилами. Конфигурациям в автомате можно придавать любое состояние и они всегда будут вести себя согласно установленным правилам. При этом никаких парадоксов в работе автомата не возникает: правила применимы всегда, что бы мы не нарисовали и всегда дают ответ на вопрос что станет с описанной конфигурацией.
Дальше мы вводим некие абстрактные понятия типа «множество», «высказывание» или даже «сознание» и выявляем для них правила поведения. В первом приближении это похоже на пример с автоматом — есть некие сущности и правила поведения для них. Но дальше всегда есть способ поставить эти сущности (приемы мышления, абстракции) в ситуацию, когда логика описания этих абстракций мешает работать сама себе. И здесь нет ничего парадоксального.
Вообще, ИМХО, все парадоксы основаны на одной и той же ошибке: от неких абстракций, которые по сути являются приемами мышления ожидается поведение, которое ожидается от реально существующих объектов (в физической или виртуальной реальности).
Например, мы можем вообразить клеточный автомат с заданными правилами. Конфигурациям в автомате можно придавать любое состояние и они всегда будут вести себя согласно установленным правилам. При этом никаких парадоксов в работе автомата не возникает: правила применимы всегда, что бы мы не нарисовали и всегда дают ответ на вопрос что станет с описанной конфигурацией.
Дальше мы вводим некие абстрактные понятия типа «множество», «высказывание» или даже «сознание» и выявляем для них правила поведения. В первом приближении это похоже на пример с автоматом — есть некие сущности и правила поведения для них. Но дальше всегда есть способ поставить эти сущности (приемы мышления, абстракции) в ситуацию, когда логика описания этих абстракций мешает работать сама себе. И здесь нет ничего парадоксального.
Жёсткое следование только лишь озвученным условиям, исключающее нахождение решений вне противоречивой области, есть очевидный признак
Признак математики и логики в целом. Интересно было бы взглянуть на математику, где разрешено искать "бытовые" решения, где можно следовать условиям мягко и учитывать какие-нибудь ещё дополнительные условия.
— Найдите целочисленный корень из двух.
— Единица, но у неё с собой записочка есть (она же может хранить записочку), что если в квадрат возведут, ей надо на ещё одну единичку увеличиться.
Интересно было бы взглянуть на математику, где разрешено искать «бытовые» решения
Бытовые решения каждый день принимаются в быту. То есть вы каждый день видите такую математику в действии.
Нет, не вижу. И полагаю, что и вы не видите. Большинство решений в быту принимаются интуитивно или на опыте. Часть — на логике. Оставшаяся небольшая часть использует арифметику, но не более.
А если это аллегория, то да. Бытовая "математика" нелогична, часто противоречива и универсальных решений не предполагает. Что есть, то есть.
В скобках же мы видим значок ∋, обозначающий принадлежность х ко множеству у
Для данного знака, вроде бы, наоборот? А то, что вы утверждаете, обозначается знаком ∈?
«Критерий истинности — практика»
==================
Давайте посмотрим правде в глаза — у Природы парадоксов не бывает.
Они есть только в Дуальной Логике.
Следовательно, Дуальная Логика или двоичная логика сама по себе НЕДОСТАТОЧНА.
Природа использует ТРИАДНУЮ логику.
«В качестве примера можно посмотреть „Задача о двух паровозах“.
==================
Давайте посмотрим правде в глаза — у Природы парадоксов не бывает.
Они есть только в Дуальной Логике.
Следовательно, Дуальная Логика или двоичная логика сама по себе НЕДОСТАТОЧНА.
Природа использует ТРИАДНУЮ логику.
«В качестве примера можно посмотреть „Задача о двух паровозах“.
В каких-то случаях недостаточна одна логика, в других — другая.
Логика сторонников парадоксов достаточна до момента, пока нам с ними весело и занимательно. А в реальной жизни мы бы немного остудили их пыл.
Логика сторонников парадоксов достаточна до момента, пока нам с ними весело и занимательно. А в реальной жизни мы бы немного остудили их пыл.
Остудили, то остудили, но все эти исключения, синие экраны смерти и прочие сбои — это как раз следствие использования двоичной логики.
Но есть одно «но» — ИИ невозможно построить на двоичной логике.
Это будет всего лишь сверхбыстрый калькулятор с видимостью разумности.
Но есть одно «но» — ИИ невозможно построить на двоичной логике.
Это будет всего лишь сверхбыстрый калькулятор с видимостью разумности.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Да я в курсе, что есть разработки n-мерных логик.
Но все они в итоге сводятся к двоичной (((x@y)@z)@k).
Логика, которую использует Природа невозможно свести к двоичной.
Я могу это объяснить с философской точки зрения, но я не профессиональный математик и не смогу обосновать математически.
Вот несколько положений Природной Логики, которые я смог вывести из «задачи о двух паровозах»:
— она проявляется только в Движении — Движение это Форма Существования Всего. Набор паровозов и вагонов превращается в Состав только в процессе движения.
— три ее логических полюса НЕРАВНОЦЕННЫ — два из них являются противоположностями, а третий Разделителем Противоположностей. В Составе образуется три группы вагонов — растянутые, свободные и сжатые.
— этот третий полюс является Стабилизатором — он гасит дестабилизирующие воздействия внешней среды в определенных пределах. Выход за эти пределы будет означать уничтожение сущности. Вагоны из группы свободных присоединяются могут присоединятся то к сжатым, то к растянутым.
Таким образом, любая Сущность либо стабильна, либо не существует.
Но все они в итоге сводятся к двоичной (((x@y)@z)@k).
Логика, которую использует Природа невозможно свести к двоичной.
Я могу это объяснить с философской точки зрения, но я не профессиональный математик и не смогу обосновать математически.
Вот несколько положений Природной Логики, которые я смог вывести из «задачи о двух паровозах»:
— она проявляется только в Движении — Движение это Форма Существования Всего. Набор паровозов и вагонов превращается в Состав только в процессе движения.
— три ее логических полюса НЕРАВНОЦЕННЫ — два из них являются противоположностями, а третий Разделителем Противоположностей. В Составе образуется три группы вагонов — растянутые, свободные и сжатые.
— этот третий полюс является Стабилизатором — он гасит дестабилизирующие воздействия внешней среды в определенных пределах. Выход за эти пределы будет означать уничтожение сущности. Вагоны из группы свободных присоединяются могут присоединятся то к сжатым, то к растянутым.
Таким образом, любая Сущность либо стабильна, либо не существует.
Может «тернарную»?)
Тут проблема вот в чем — полюсы этой Природной Логики неравноценны.
Два из них являются Противоположностями, а третий их Разделителем.
Поэтому я и выбрал термин Триадная.
Два из них являются Противоположностями, а третий их Разделителем.
Поэтому я и выбрал термин Триадная.
Понятно.
И что можно выразить Триадной логикой?
Или зачем она нужна? )
И что можно выразить Триадной логикой?
Или зачем она нужна? )
Я уже говорил, ВСЕ ЧТО СУЩЕСТВУЕТ — существует по законам Природной Логики.
Вот допустим, есть две руки правая и левая, но между ними туловище.
И так во всем.
То есть даже та же квантовая физика должна описываться не волновой функцией с вероятностями в качестве аргументов, а в терминах Природной логики.
Вот допустим, есть две руки правая и левая, но между ними туловище.
И так во всем.
То есть даже та же квантовая физика должна описываться не волновой функцией с вероятностями в качестве аргументов, а в терминах Природной логики.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Тут нужно понять что такое Вероятность.
Вероятность — это мера нашего НЕЗНАНИЯ.
И Вероятность — это не синоним Случайности.
Случайность — это отсутствие Закономерности.
В случайной Вселенной невозможны ни какие регулярные процессы.
==================
Логика — это наличие алгоритмизированности, позволяющей предвидеть конечный результат.
Отсюда «научный метод» — повторяемость результатов.
Вопрос только в том, что «научный метод» не дает нам знаний.
Он дает нам технологии по методу «черного ящика» или «научного тыка».
Научное открытие — это нахождение некоего алгоритма, который позволяет получить ожидаемый результат, но не дающий знания почем так происходит.
Самый наглядный пример — электричество.
Его использовал еще Архимед, но мы и до сих пор не знаем что это такое.
====================
Поэтому ответ на вопрос «кому нужна» — процессу Познания.
На начало 21 века у Человечества НЕТ НИ ОДНОГО фундаментального Знания, только прикладные технологии.
Вероятность — это мера нашего НЕЗНАНИЯ.
И Вероятность — это не синоним Случайности.
Случайность — это отсутствие Закономерности.
В случайной Вселенной невозможны ни какие регулярные процессы.
==================
Логика — это наличие алгоритмизированности, позволяющей предвидеть конечный результат.
Отсюда «научный метод» — повторяемость результатов.
Вопрос только в том, что «научный метод» не дает нам знаний.
Он дает нам технологии по методу «черного ящика» или «научного тыка».
Научное открытие — это нахождение некоего алгоритма, который позволяет получить ожидаемый результат, но не дающий знания почем так происходит.
Самый наглядный пример — электричество.
Его использовал еще Архимед, но мы и до сих пор не знаем что это такое.
====================
Поэтому ответ на вопрос «кому нужна» — процессу Познания.
На начало 21 века у Человечества НЕТ НИ ОДНОГО фундаментального Знания, только прикладные технологии.
Вот есть правая и левая часть туловища. Что между ними? Ничего.
И так во всём. =)
И так во всём. =)
Неверно, туловище у нас одно.
Но почему то я сплю то на правой половине то на левой. Значит половины у туловища две. А четвертины — четыре.
Если мы возьмем Состав из задачи о двух паровозах, а в нем группу свободных вагонов, то обнаружим, что она тоже имеет «правую» и «левую» стороны.
И каждая «сторона» взаимодействует со своей визави независимо от всей группы.
Таким образом, группа свободных вагонов тоже ТРИАДНА — правая, центр, левая.
Более того, свойства «растяжения», «сжатия» изменяются ВОЛНООБРАЗНО.
Полный аналог волновой функции квантовой физики.
Только РЕАЛЬНЫЕ свойства, а не вероятности.
И каждая «сторона» взаимодействует со своей визави независимо от всей группы.
Таким образом, группа свободных вагонов тоже ТРИАДНА — правая, центр, левая.
Более того, свойства «растяжения», «сжатия» изменяются ВОЛНООБРАЗНО.
Полный аналог волновой функции квантовой физики.
Только РЕАЛЬНЫЕ свойства, а не вероятности.
Вторая проблема Гильберта улыбается, глядя на ваш пост.
Мне кажется, что все подобные парадоксы связаны с предубеждением, что в логическом пространстве ответов существует только два значения — Истина и Ложь. Если же допустить, что логическое пространство — это обычное линейное пространство, то Истина и Ложь — это лишь одни из возможных элементов базиса логики. Наряду с ними существуют и другие.
Например, в таком пространстве можно определить элемент «Противоречие», как среднее между истиной и ложью: Противоречие = (Истина + Ложь) /2.
Результатом некоторых утверждений, которые называются парадоксальными, является как раз смешанный элемент «Противоречие», а не чистые истина или ложь. Такое бывает, да.
Например, в таком пространстве можно определить элемент «Противоречие», как среднее между истиной и ложью: Противоречие = (Истина + Ложь) /2.
Результатом некоторых утверждений, которые называются парадоксальными, является как раз смешанный элемент «Противоречие», а не чистые истина или ложь. Такое бывает, да.
Есть нечёткая логика, там всё как вы хотите.
Есть многозначные логики, но там своих проблем хватает.
Если я правильно понимаю, то многозначные логики это такие, в которых базис расширен до нескольких независимых элементов. Для приведенных же парадоксов на мой взгляд вполне хватает одномерного логического пространства. Что-то типа вероятностной логики.
..., при чём на столько серьёзно,......, причём настолько серьёзно,…
Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел
Жена читала Успенского, рассказывала что он критиковал термин «множество» как неудачный перевод английского слова set, которое лучше было бы перевести как «набор» т.к. набор может быть пустым, а множество это вроде как много.
— Хорошо. Всемогущество — это способность творить всё, что угодно. Так?и никаких парадоксов.
— Вот именно, — кивнул Мазукта. Ключевое слово — «угодно». Угодно тебе сотворить камень — творишь камень. Не угодно его поднимать — не поднимаешь. Это и есть настоящее всемогущество.
Так задача-то не в том, чтобы сотворить камень, который будет неугодно поднять. Задача в том, чтобы сотворить камень, который нельзя поднять, даже если это будет угодно.
С камнем проще, есть однозначное решение — всемогущий может и ограничить свое могущество, может перестать быть всемогущим, создав камень, который не сможет поднять.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Если в рамках их мировоззрения Бог — это создатель мироздания, то Декарт и Фома спорили о том, сможет ли Создатель мира нарушить законы, которые придумали некоторые из Его созданий на одном из этапов их развития. И их спор как-то относится к математике. Бывает. Здесь можно даже не задумываться о возможных значениях терминов «логика», «закон», «нарушение», «смысл».
Здесь для человека возникает проблема: как установить, что бог не всемогущий? Если последний может создать для человека иллюзию.
В некой деревне некий брадобрей заявил, что он бреет в своей деревне всех, кто не бреется сам. Вопрос — кто бреет брадобрея?А можно всё-таки попробовать?
Хотя если вы нашли неожиданное решение — не спешите
1) не сказано, что брадобрей бритый — возможно, он не бреется и отращивает бороду;
2) возможно, что брадобрей лысый и и волосы у него не растут — бриться нет необходимости;
3) брадобрей солгал;
4) солгал (или исказил, или недосказал) тот, кто пересказывал слова брадобрея.
Задачка очень простая — вы должны ответить «да» или «нет» на вопрос — является ли следующее высказывание ложным — «это высказывание ложное».Ответ тоже простой — и «да» и «нет» одновременно. Конечно я заметил, что по условию задачи должно быть «или». Но запрет на дачу на правильного ответа не делает правильный ответ неправильным. Как шулер, который предлагает определить, под каким стаканчиком находится шарик, в то время как правильный ответ — шарик находится у него в руке.
Да там нет никакого парадокса. Это неправильная постановка задачи. Примерно как «выберите два предмета, чтобы их было три». Нельзя? Парадокс!
Их было три, выбрали два. Ни какого парадокса.
В самой постановке «брадобрей бреет всех кто не сам» это примерно как «В деревне живет квадратный круг» и, мол, посмотрите — и круг и квадрат. Парадокс! Не бывает квадратного круга и не бывает брадобрея, который бреет всех, кто не сам
«Парадокс» исходит из обманчивого предположения, что такой обьект может существовать, а он не может на самом деле
«Парадокс» исходит из обманчивого предположения, что такой обьект может существовать, а он не может на самом деле
Если есть нечто, что-то кажется странным и может вызывать проблемы, надо это запретить и нет проблем. Вы предлагаете хоть и не самое изящное, но вполне себе решение в духе нашего времени.)
Любая статья на хабре о мат. парадоксах либо неполна, либо противоречива). Автор не упомянул, что описанной истории про брадобрея больше ста лет. Рассел набросил в 1901, чем вызвал тогда нехилое бурление среди коллег-математиков. Прошло много лет. За это время лучшие умы человечества придумали кучу разных способов выхода из положения, включая новые ограничения и теории. В том числе и сам Рассел сочинил одну из таких.
Любая статья на хабре о мат. парадоксах либо неполна, либо противоречива)
С этим полностью согласен. И можно не ограничивать содержимое парадоксами :)
Нет разговора про запрет. Парадокс в самой постановке задачи. Типа «мы достали лед из печки — смотрите, он одновременно и горячий и холодный. Парадокс!». Нельзя достать лед из печки, чтобы он был одновременно и горячий и холодый (сейчас какой-нить зануда расскажет существование горячих льдов под давлением, но я говорю про обычный)
Если условия задачи по-вашему противоречивы, с позиции математики это еще надо доказать. Причем формально — через аксиомы и теоремы. (есть и другие способы доказательства, например по аналогии с объектами реального мира, на основе здравого смысла, показаний очевидцев, мнения большинства. Просто тогда это уже не математика, а какая-то другая наука — физика, философия, криминалистика, или там социология).
Когда мы приходим к противоречию это есть стандартное доказательство в математике, соб-но, противоречия. Кто-то говорит «Мы берем число такое, чтобы было четным и нечетным — парадокс!». А ему в ответ — число не может быть четным и не четным, потому что это противоречит самому себе. То есть нельзя взять такое число, чтобы оно было и четным и нечетным.
Весь «парадокс» брадобрея исходит из интиутивного нашего предположения, что такой брадобрей возможен, но он просто невозможен по самому постановке задачи.
Весь «парадокс» брадобрея исходит из интиутивного нашего предположения, что такой брадобрей возможен, но он просто невозможен по самому постановке задачи.
Переформулирую задачу про брадобрея так, чтобы можно было дать верный ответ.
Есть множества «все, кто бреется сам» и «все, кто не бреется сам». Пустым ли множеством является пересечение этих множеств?
Есть множества «все, кто бреется сам» и «все, кто не бреется сам». Пустым ли множеством является пересечение этих множеств?
Я бы сказал, что в последнем и состоит практическая проблема парадокса: мы (люди-не-зануды) не видим причин считать постановку задачи некорректной и усомниться в существовании брадобрея в зависимости от «требований к клиентам», а она, соб-сно, есть.
Вот теория множеств ZF пошла по тому же пути: мы не гарантируем существования множества, состоящего только из объектов, удовлетворяющих некоторому (произвольному) предикату; вместо этого мы гарантируем существование множества только для предикатов определённого вида (который требует, чтобы объект, кроме прочего, принадлежал существующему множеству).
А можно настоять на наших бытовых представлениях и поставить задачу построить такую непротиворечивую теорию, в которой такой брадобрей будет существовать. Например, ценой отказа от булевой логики.
Вот теория множеств ZF пошла по тому же пути: мы не гарантируем существования множества, состоящего только из объектов, удовлетворяющих некоторому (произвольному) предикату; вместо этого мы гарантируем существование множества только для предикатов определённого вида (который требует, чтобы объект, кроме прочего, принадлежал существующему множеству).
А можно настоять на наших бытовых представлениях и поставить задачу построить такую непротиворечивую теорию, в которой такой брадобрей будет существовать. Например, ценой отказа от булевой логики.
Проблема в том, что если вы вводите такую систему правил, в которой может существовать хоть одно противоречие, то с помощью этой системы вы можете доказать любой утверждение. Если вы говорите, что такой брадобрей существует и берете это как аксиому, то из этого тут же следует, что 2+2 = 5 = 10, что 2 != 2 и что вы — Лев Толстой и Клара Цеткин одновременно
Важно понимать, что формулировка может быть иснинной, ложной и попросту бредом (бессмыслицей, противоречием). То есть у любых логических выражений есть неявное требование непротиворечивости.
В математике нельзя оставлять неявными такие требования, которые делают из математики клоунаду.
Можно ввести третье значение в набор возможных, можно ввести бесконечный набор значений между истиной и ложью. И можно просто пытаться всегда находить бред, но обычно такой фокус не проходит даже у самых умных.
В целом основы ещё ждут своего звёздного часа.
Можно ввести третье значение в набор возможных, можно ввести бесконечный набор значений между истиной и ложью. И можно просто пытаться всегда находить бред, но обычно такой фокус не проходит даже у самых умных.
В целом основы ещё ждут своего звёздного часа.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Отличная статья! Однако, значок вхождения в множество отчего-то развёрнут везде в неправильную сторону. То есть x ∋ y означает «множество x содержит y как элемент», а не наоборот. Вот хоть на википедии проверьте: ru.wikipedia.org/wiki/Множество#Элемент_множества
Мне кажется, тема не раскрыта.
На протяжении всей статьи ожидал встретить слово "рекурсия", но так и не увидел. А как по мне, так это и является самым интересным — системы, где мы тем или иным образом запретим или ограничим рекурсию, получаются довольно скучными и ограниченными. И в общем-то рекурсию хочется использовать, и её используют (да даже в языке отсылка в предложении на него же является совершенно нормальной, прям как в этом тексте), но тогда получаются сюрпризы типа ухода в бесконечность или недоказуемости некоторых утверждений.
Если рекурсия непротиворечива, то она вполне себе полезна. Хороший пример — доказательство по индукции. в то же время вы всегда можете ввести 2 условия из которых следуют противоположные выводы безо всяких рекурсий.
Рекурсия есть цикл с возможным правилом остановки. Хотя правило остановки может всегда выдавать ложь. Но это аналогично отсутствию правила остановки. Сам же цикл ни разу не парадоксален.
У нас на прошлой неделе такого же умника в бане сожгли. За то, что его закорючки на голову черта похожи.
На несколько месяцев в 1880-м году целые регионы США поддались пристрастию, аналогов которого ранее никто не видел. «По всей стране буквально разразилась эпидемия», — писал журнал The Weekly News-Democrat города Импория, штата Канзас, 12 марта 1880. «Целые города завлечены, люди теряют сон и сходят с ума». Эпидемия распространилась на Европу, и дошла даже до Австралии с Новой Зеландией.Это как раз про неё, про «пятнадцать».
«Ни один ребёнок не сможет устоять перед таким развлечением, ни один взрослый не окажется настолько сильным или высокомерным, чтобы избежать её очарования», — писала газета. А разочарование, возможно, проистекало из математически доказанного факта, что лишь половину конфигураций этой головоломки можно успешно решить (что, вероятно, было неизвестно попавшим под её влияние).
Противоречия разрешаются, если подняться на уровень выше.
Например, «истина» и «ложь» взаимоисключающие только на одном уровне, — на уровне бита. На уровне байта они образуют цепочку и не взаимоисключают друг друга. На уровне байта разрешено иметь и то и другое.
По аналогии некоторые парадоксы заставляют подняться на уровень выше, чем сама математика.
Например, «истина» и «ложь» взаимоисключающие только на одном уровне, — на уровне бита. На уровне байта они образуют цепочку и не взаимоисключают друг друга. На уровне байта разрешено иметь и то и другое.
По аналогии некоторые парадоксы заставляют подняться на уровень выше, чем сама математика.
И каково тогда ваше решение, например, для брадобрея?
Довольно интересный вопрос. Я сильно не исследовал.
Если двигаться вверх по абстракции, то мы приходим к абстрактным объектам и абстрактным действиям. Но это предпоследний этап. Последний этап — это тот, кто их осознает, то есть сознание. Сознание осознает объекты, но само по себе не является объектом. Что-то типа контейнера, в котором все происходит. Или по аналогии с компьютером — мега-монитор, в котором показываются все мультики, в том числе и математика. Он может показать логичную математики или нелогичную, страшные картинки или добрые. Не его уровне уже нет противорчий, все картинки являются одним из его состояний. Тут мы углубляемся в довольно интересную область
Если двигаться вверх по абстракции, то мы приходим к абстрактным объектам и абстрактным действиям. Но это предпоследний этап. Последний этап — это тот, кто их осознает, то есть сознание. Сознание осознает объекты, но само по себе не является объектом. Что-то типа контейнера, в котором все происходит. Или по аналогии с компьютером — мега-монитор, в котором показываются все мультики, в том числе и математика. Он может показать логичную математики или нелогичную, страшные картинки или добрые. Не его уровне уже нет противорчий, все картинки являются одним из его состояний. Тут мы углубляемся в довольно интересную область
А чем же является это сознание, если не объектом?
И может ли оно осознать само себя?
А если не может — значит есть более высокий уровень сознания, который его может осознать? И не противоречит ли это тому, что это и был самый высокий уровень абстракции? )
И может ли оно осознать само себя?
А если не может — значит есть более высокий уровень сознания, который его может осознать? И не противоречит ли это тому, что это и был самый высокий уровень абстракции? )
да, тут логика плохо работает, легко уходит в рекурсию.
сознание надо искать там, где оно есть, то есть можно поискать у себя :):):)
оно всегда при тебе, смотрит через твои глаза и думает твои мысли:):):)
сознание надо искать там, где оно есть, то есть можно поискать у себя :):):)
оно всегда при тебе, смотрит через твои глаза и думает твои мысли:):):)
Вообще говоря — я и есть сознание, и можно не искать.
Так, по секрету.
Но там где нет логики — нет и ответов )
Так, по секрету.
Но там где нет логики — нет и ответов )
Просто логика не весь опыт покрывает. Например вы не можете описать вкус молока логически. Сознание тоже нельзя описать через что-то другое. Некоторые вещи можно познать на практике и они могут лежать по ту сторону логики.
Вкус молока — лишь химическая реакция на пупырышках языка ) что вполне логично )
это ещё требует доказательства )
Сознание тоже нельзя описать через что-то другое.
это ещё требует доказательства )
Некоторые вещи можно познать на практике и они могут лежать по ту сторону логики.Такие вещи называются «нелогичные» и не имеют ответов. как я и написал.
Вкус молока — лишь химическая реакция на пупырышках языка ) что вполне логично )
Тут опять рекурсия — а что такое химические реакции? Начнешь разбирать дальше, тоже встретишь сознание. Кто-то когда-то что-то нахимичил, обобщил и теперь это в сознании крутится как формула.
это ещё требует доказательства )
Попрбуйте, тема довольно интересная. Уже много попыток было
могу старую цитату кинуть на затравку
Мельница Лейбница
«Если мы вообразим себе машину, устройство которой
производит мысль, чувство и восприятие, то можно будет
представить ее себе в увеличенном виде с
сохранением тех же отношений, так что можно будет входить в
нее, как в мельницу. Предположив это, мы при
осмотре ее не найдем ничего внутри ее, кроме частей,
толкающих одна другую, и никогда не найдем ничего
такого, чем можно было бы объяснить восприятие.»
Готфрид Вильгельм Лейбниц
«Монадология» (1714)
Такие вещи называются «нелогичные» и не имеют ответов. как я и написал.
Так ответы есть. Попробуй молока и все будет понятно без вопросов.
Ответы в смысле «способность испытать» есть.
Объяснений, ответов в смысле «это описывается через *» нет… по крайней мере их всегда недостаточно: рано или поздно придётся что-то постулировать. Трилемма Мюнхгаузена.
Объяснений, ответов в смысле «это описывается через *» нет… по крайней мере их всегда недостаточно: рано или поздно придётся что-то постулировать. Трилемма Мюнхгаузена.
Тут опять рекурсия — а что такое химические реакции? Начнешь разбирать дальше, тоже встретишь сознание. Кто-то когда-то что-то нахимичил, обобщил и теперь это в сознании крутится как формула.Химическая реакция — это химическая реакция. Не очень понятно как Вы сюда хотите впихнуть сознание )
Так ответы есть. Попробуй молока и все будет понятно без вопросов.Я каждое утро не могу с точностью сказать пропало молоко или нет. =)
И нет, это не ответ — попробовать.
Попрбуйте, тема довольно интересная. Уже много попыток было
могу старую цитату кинуть на затравку
Мельница Лейбница
«Если мы вообразим себе машину, устройство которой
производит мысль, чувство и восприятие, то можно будет
представить ее себе в увеличенном виде с
сохранением тех же отношений, так что можно будет входить в
нее, как в мельницу. Предположив это, мы при
осмотре ее не найдем ничего внутри ее, кроме частей,
толкающих одна другую, и никогда не найдем ничего
такого, чем можно было бы объяснить восприятие.»
Готфрид Вильгельм Лейбниц
«Монадология» (1714)
Ну так это вы утверждаете что сознание нельзя описать через что то другое, вы и доказывайте. Перекладывать необходимость доказательства своих слов на другого — нехороший паттерн )
Несколько удивлен, что сознанием не интересуются. Для меня некоторые мысли очевидны — например, то, что идеи и мысли крутятся в сознании. Можно долго объяснять и рисовать схемы, но тут проще немного понаблюдать за собой.
Остальные вопросы более сложные, требуют некоторого опыта.
Остальные вопросы более сложные, требуют некоторого опыта.
Ну так и базы данных обрабатывают какие то данные и запросы и в них проистекают какие то процессы. Но вы же не скажете, что они непозноваемы или не машинны )
Вы можете получить базу данных, как внешний объект и рассматривать его от третьего лица. С сознанием так не получается. Когда вы что-то исследуете, то ваше сознание включено и сконцентрировано на объекте. Вы видите объект, но не видите само сознание. Выйти за сознание не представляется возможным. Всегда будет объект, сознание и процесс осознавания. У сознания нет цвета, размера или веса.
Так сознание — это процесс. ОС, а не база данных. БД — это память. В компьютерной программе тоже при самоанализе можно получить рекурсию и другие баги — но при познании извне, другим сознанием (другой программой) эта проблема решается.
К тому же, для большинства исследовательских задач важны свойства класса, а не экземпляра.
К тому же, для большинства исследовательских задач важны свойства класса, а не экземпляра.
Довольно мало аналогий подходит под описание сознания, потому что сознание не имеет характеристик, которые есть у аналогий. Лучше отталкиваться от трёх терминов — сознание, процесс осознавания и объект. В аналогии должны эти три термина присутствовать, чтобы как-то приблизиться к теме.
Имелся в виду весь комплекс работы с данными — их обработка, хранение, выдача и трансформация.
Получим то, о чем говори Лейбниц (цитата чуть выше) — куча механизмов и шестеренок, которые друг друга толкают, но ни в одной из них не обнаруживается сознание.
Мы же не говорим, что что бы познать базы данных надо выйти за них ) и вообще — вышли мы за них или нет не имеет отношения к тому, познаваемы они или нет.
Более того, не познав сознание — как можно утверждать, что оно не может познать себя?
А по поводу отсутствия размера, веса или цвета… вполне есть. И всё это вполне умещается в вашу черепную коробку.
Более того, не познав сознание — как можно утверждать, что оно не может познать себя?
А по поводу отсутствия размера, веса или цвета… вполне есть. И всё это вполне умещается в вашу черепную коробку.
сознание может само себя познать, но это задача сопоставимая с тем, чтобы глаз, который видит все вокруг еще и увидел самого себя.
т.е. сознание это глаз?
Если нет, то ваш пример неудачен.
С другой стороны, раз Вы говорите, что оно познаваемо, значит его можно описать через что то другое? )
Если нет, то ваш пример неудачен.
С другой стороны, раз Вы говорите, что оно познаваемо, значит его можно описать через что то другое? )
Оно познаваемо, но его надо искать там, где оно есть. Если вы нарисуете схему или аналогию, то это будет всего лишь схема или аналогия.
значит надо просто использовать верные выражения, и всё ) то, что вы, возможно, их ещё не имеете (или не можете иметь принципиально) — не значит что их нет.
Я довольно верные использую, просто жду еще верной реакции
Ну, тогда познав сознание вы сможете верно его описать, что и будет описанием сознания через что то другое. =)
Прежде, чем ответить, нужно чтобы возник правильный вопрос. То есть нужна подводящая информация.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Я нашел кое-какие ходы через мета-системы. Там логика работает немного подругому. Нет отрицаний или утверждений. Есть повышение уровня абстракции. На новом уровне действует не исключащее «или/или», а логика «и то и другое возможно». Например на уровне бита мы можем иметь только 0 или 1, а на уровне байта и то и другое. Пример крайне утрирован, но принцип понятен.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Есть операция абстрагирования, точнее мета-перехода. Это из теории систем. Могу посоветовать почитать В.Ф. Турчин «Феномен науки
Кибернетический подход к эволюции».
Кибернетический подход к эволюции».
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
вы что под логикой имеете в виду? программу первого курса универа?
Боюсь, что это понятие довольно обширное
Википедия
Боюсь, что это понятие довольно обширное
Википедия
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
я ж пример с битом и байтом привел
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
вы просто не в теме
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Булева алгебра — это раздел логики. Логика — более широкое явление.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Ладно завтра примеров накидаю, чтобы понятнее было. Тема не самая известная
Для затравочки вспомним историю.
Когда не было математики, то не было чисел, которые означали количество. И тогда «пять деревьев» и «пять камней» ничего не объединяло в смысле количества. Потом появились числа и тогда понятие «5» перестало быть привязанным к конкретным предметам. Появилась абстракция, нечувствительная к конкретике. Появилась правила сложения, где фигурировали конкретные числа 1+2=3 и тп. Для каждого числа не имеет разницы — это может быть и 2 дома и 2 камня и 2 пальца.
Потом пошли еще дальше — перешли еще к более абстрактынм понятиям в алгебре. То есть оторвались от конретных чисел и появилась запись a+b=c. Теперь для каждого знака не имеет значение, какое число оно означает. Не важно чему равно a=1,2,3,4 или еще какому-то числу. Конечно есть определенные правила, но не привязаны к конкретике.
Потом сделали еще один скачек и стали записывать
А (операция) B = C
Тут возник еще один уровнь абстракции. А — это может быть как матрицей, как комплексным числом, так и совершенно абстрактным понятием из какой-нибудь абстрактной алгебры.
Такие переходы называются мета-переходами. На каждом новом уровне какие-то вещи нижнего уровня становятся взаимозаменяемыми и перестают друг друга исключать. Хочешь — подставляй одно значение, хочешь — подставляй другое значение. Хочешь — работай с комбинацией.
Когда не было математики, то не было чисел, которые означали количество. И тогда «пять деревьев» и «пять камней» ничего не объединяло в смысле количества. Потом появились числа и тогда понятие «5» перестало быть привязанным к конкретным предметам. Появилась абстракция, нечувствительная к конкретике. Появилась правила сложения, где фигурировали конкретные числа 1+2=3 и тп. Для каждого числа не имеет разницы — это может быть и 2 дома и 2 камня и 2 пальца.
Потом пошли еще дальше — перешли еще к более абстрактынм понятиям в алгебре. То есть оторвались от конретных чисел и появилась запись a+b=c. Теперь для каждого знака не имеет значение, какое число оно означает. Не важно чему равно a=1,2,3,4 или еще какому-то числу. Конечно есть определенные правила, но не привязаны к конкретике.
Потом сделали еще один скачек и стали записывать
А (операция) B = C
Тут возник еще один уровнь абстракции. А — это может быть как матрицей, как комплексным числом, так и совершенно абстрактным понятием из какой-нибудь абстрактной алгебры.
Такие переходы называются мета-переходами. На каждом новом уровне какие-то вещи нижнего уровня становятся взаимозаменяемыми и перестают друг друга исключать. Хочешь — подставляй одно значение, хочешь — подставляй другое значение. Хочешь — работай с комбинацией.
Интересный подход к решению парадоксов логики и теории множеств — теория типов.
Там в каждому логическому утверждению ставится в соответствие тип, у которого есть не более одного значения. Например заведомо ложному утверждению False соответствует выделенный пустой тип без значений. Что бы доказать, что из A следует B надо построить функцию из типа A в тип B. Например, существования функции из пустого типа в пустой тип доказывает что из лжи следует ложь. Из пустого типа вообще есть функции куда угодно, по этому становится очевидно, что из лжи следует все что угодно.
Полезное свойство такого подхода — доказательство может быть проверено компьютером, примерно так же, как компилятор проверяет типы в пользовательской программе. Ну и можно сделать такую систему типов в языке программирования, что ее компилируемость уже доказывает какие-то ее свойства.
Там в каждому логическому утверждению ставится в соответствие тип, у которого есть не более одного значения. Например заведомо ложному утверждению False соответствует выделенный пустой тип без значений. Что бы доказать, что из A следует B надо построить функцию из типа A в тип B. Например, существования функции из пустого типа в пустой тип доказывает что из лжи следует ложь. Из пустого типа вообще есть функции куда угодно, по этому становится очевидно, что из лжи следует все что угодно.
Полезное свойство такого подхода — доказательство может быть проверено компьютером, примерно так же, как компилятор проверяет типы в пользовательской программе. Ну и можно сделать такую систему типов в языке программирования, что ее компилируемость уже доказывает какие-то ее свойства.
Из пустого типа вообще есть функции куда угодно, по этому становится очевидно, что из лжи следует все что угодно.
А откуда следует, что из пустого типа есть функции куда угодно?
Она конструктивно строится. Так как ее аргумент не может иметь ни какого значения, то нет таких случаев, что бы она должна была что-то вернуть.
Полезное свойство такого подхода — доказательство может быть проверено компьютером
Это не свойство подхода, это свойства инструмента, с помощью которого формализован подход. То есть обычное логическое исчисление можно применить (и применяют) и для теории множеств и для теории типов. Проверяемыми компьютером такие теории становятся именно после формализации, а сами теории к проверяемости отношения не имеют.
Здесь еще необходимо вспомнить диалектическую логику, в которой противоречия являются ее сутью. Она сама строится вокруг противоречий.
Т.е. противоречия это вообще-то обыденность и мы с ними каждый день встречаемся.
А многие "парадоксы" возникают из-за различных искуственных ограничений и различных фантазий в природе не встерчающихся.
В вопросе "Кто бреет брадобрея?" можно ответить "Никто" т.к. в условии ничего не сказано о том, что он должен быть бритым. И не надо никаких сложных доказательств с применением софистики. Я лично вообще не вижу никакой проблемы в этой задаче.
Но бродобрей же бреет всех (по условию задачи). А значит — должен брить и себя. Если «Никто» — значит он себя не бреет и противоречит условию задачи. =)
в условии написано: "… всех, кто не бреется сам...". Брадобрей вполне может вообще не бриться(ни сам, ни с чужой помощью).
А фразу "кто не бреется сам" можно трактовать двояко:
- Не бреется сам т.к. его бреют другие
- Не бреется сам т.к. вообще никаким образом не бреется
В условиях задачи нет данных какой вариант выбрать, поэтому я выбираю второй.
Подобные задачи полны различных "лазеек".
Я же говорю вокруг одни противоречия :)
Хочется так же отметить, что решение автора (где рассматривается вариант с опросом граждан) как раз отлично напоминает законодательную деятельность, когда она сильно оторвана от реальности. Сначала напридумывают всякого не имеющего связи с действительностью, а когда надо выполнять закон (т.е. применять на практике) или в тексте становятся видны противоречия или огромные "дыры" через которые можно обходить запреты.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Брадобрею запрещено законом брить тех, кто бреется сам. За нарушение — штраф 1 шиллинг.
Брадобрею запрещено законом отказывать в бритье любому, кто не бреется сам. Штраф — 10 шиллингов.
Брадобрей обладает свободой воли.
Целесообразно ли экономически брить брадобрею самого себя?
Брадобрею запрещено законом отказывать в бритье любому, кто не бреется сам. Штраф — 10 шиллингов.
Брадобрей обладает свободой воли.
Целесообразно ли экономически брить брадобрею самого себя?
Не очень люблю парадоксы и «задачки с подвохом», так как зачастую они притянуты за уши, лишь бы создать парадокс. В случае с брадобреем два взаимодействия (бреет и бреется) почему-то смешали в одно. Но взаимодействие «бреет» требует двоих участников: того, кто бреет и того, кого бреют, а взаимодействие «бреется», очевидно, требует одного. Если угодно в функциональном виде: бреет(А, Б), бреется(А). И если правильно определить взаимодействия, никакого парадокса не будет.
а взаимодействие «бреется», очевидно, требует одного
Не очевидно. Х бреется у У.
Нет это Y бреет X. X же не сам бреется, а его бреют. X не выполняет работу «брить».
Если Х это все, то, в принципе, он может выполнять работу «брить».
Х — не множество, а экземпляр.
Окей, экземпляр. И он может брить, потому что им может быть и сам брадобрей.
Да, может. Это будет взаимодействие бреется(X), и брадобрей не может выполнить бреет(X,Y) над самим собой, так как Y отсутствует.
бреет(Х, Х). Частный случай от бреет(Х, У) когда У=Х.
в чём проблема?
в чём проблема?
Проблема в том, что уравнение X=Y, где Y или X — брадобрей, противоречит условию задачи: «Есть один брадобрей». То есть, если X — брадобрей, и из множества всех существует Y который равен X (Y=X), значит Y тоже брадобрей, что является противоречием.
Нет, это лишь значит что бродобрей входит в множество всех. Но это не значит, что все являются брадобреями, очевидно.
Возьмём иной пример: X = люди, Y = китаец. Y включается в множество X и может выступать его экземпляром.
Так и с брадобреем — он такой же «все» как и «все». А значит в функции бреет(X,Y) в качестве Y может выступать и X и получается бреет(Х, Х) т.е. бреет сам себя.
В задаче не сказано что нельзя брить самого себя, а функция бреет(Х,Y) не накладывает никаких ограничений того, что X и Y должны быть разными элементами.
Возьмём иной пример: X = люди, Y = китаец. Y включается в множество X и может выступать его экземпляром.
Так и с брадобреем — он такой же «все» как и «все». А значит в функции бреет(X,Y) в качестве Y может выступать и X и получается бреет(Х, Х) т.е. бреет сам себя.
В задаче не сказано что нельзя брить самого себя, а функция бреет(Х,Y) не накладывает никаких ограничений того, что X и Y должны быть разными элементами.
Нет, это лишь значит что бродобрей входит в множество всех.
Есть множество A — это жители деревни (все). A = [лекарь, пекарь, брадобрей, кузнец ...]. Если формализовать задачу досконально, то не существует пары членов множества А, которые будут между собой равны A[n] != A[m]. Потому, что каждый член множества описывает конкретного человека, и все они будут отличаться по ряду признаков: рост, цвет волос, профессия, размер ноги, уровень гемоглобина… Вводить новые переменные тоже нельзя, так как мы, по условию задачи, работаем с жителями деревни, то есть, множеством A.
В задаче не сказано что нельзя брить самого себя, а функция бреет(Х,Y) не накладывает никаких ограничений того, что X и Y должны быть разными элементами.
В этом как раз и есть тот паганый корень всех парадоксов. Все сводится к тому, что вы либо допускаете бреет(Х, Х) и получаете, что брадобрей не бреется, либо накладываете ограничение, бреет(Х,Y) X!=Y и получаете решение. А требовать при возможности бреет(Х, Х) чтобы брадобрей брился — это все равно, что просить сложить два и два, так чтобы получилось 5. Но это не парадоск, это противоречие условий.
Забавно то, что вы сами отсекаете все возможные решения, и утверждаете, что все оставшиеся решения «невозможны». Хотя достаточно использовать бреется(брадобрей) и задача решена, а если функция бреет(Х, Х) приводит к «парадоксу», то такое использование просто следует объявить некорректным, и перестать фокусироваться на «невозможных» решениях. Парадокс существует, только пока его остаивают.
Я апелирую лишь к тому, что вы неверно указали на проблему задачи.
то, что в условиях есть противоречие — очевидно, но оно явно не в разнице «бреет» и «бреется» )
В случае с брадобреем два взаимодействия (бреет и бреется) почему-то смешали в одно. Но взаимодействие «бреет» требует двоих участников: того, кто бреет и того, кого бреют, а взаимодействие «бреется», очевидно, требует одного.Вот к этому. И тут говориться, что одна функция требует одного, а другая двух, в то время, как это не верно — первая функция применима и к одному, если он используется в качестве обоих параметров.
то, что в условиях есть противоречие — очевидно, но оно явно не в разнице «бреет» и «бреется» )
Мне в задачке про брадобрея всегда было очевидно, что с 9:00 до 18:00 он брадобрей, а с 18:00 до 9:00 — частное лицо. Таким образом он бреет сам себя утром и/или вечером как обычный человек и никогда не бреет в рабочее время как специалист.
Про брадобрея похоже на это: положи на стол яблоки так, чтобы их было меньше 5 и больше 10.
Брадобрей вообще никого в деревне не побреет! Начнет брить первого, сбреет 1/2 бороды, затем 1/4, затем затем 1/8,… и тд, последний волос долго еще придется делить)
Это да, но в то же время каждый шаг будет выполняться в два раза быстрее, чем предыдущий. Сбрить ½ бороды в два раза быстрее, чем всю бороду. А ¼ бороды сбривается в два раза быстрее, чем ½. То есть брадобрею потребуется осуществить бесконечное количество операций со скоростью, возрастающей в пределе до бесконечности. И если всё это посчитать, то получится вполне конкретное конечное время.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел, а затем представим число, соответствующее количеству чисел в нашем множестве. Представили? Если да, то что будет со множеством после добавления в него числа, равного количеству его элементов с прибавленной единицей?Нельзя так сделать. Мощность множества целых чисел — это бесконечность. А бесконечность это не число, и логика применимая к числам с ней не работает. Добавив к бесконечности единицу вы получите саму бесконечность. Т.е. ничего нового в множество добавлять не нужно.
А кто вам сказал, что количество всех положительных целых чисел — это мощность?
Мощность — это теоретико-множественная абстракция, а количество чисел люди считают без теории множеств, и так же считали до появления теории множеств. Как теория множеств изменила числа? Если никак, то почему вы считаете, что абстрактная конструкция из ТМ чем-то лучше предложенного подхода?
В ТМ есть постулат — если мощность принадлежит N, тогда она конечна, если нет — бесконечна. Просто вот так решили, а вы повторяете. Но при этом вы знаете, что такое бесконечность? Или принадлежит ли на самом деле мощность N к N? И мощность ли это вообще?
Не стоит подходить ко всему на свете так же, как к составляющим ТМ. Вне жёсткой и формальной логики ТМ есть одна простая истина — ни вы, ни кто другой, не знают, что такое бесконечность. Но часто пытаются о ней что-то доказать, и именно вне ТМ.
Мощность — это теоретико-множественная абстракция, а количество чисел люди считают без теории множеств, и так же считали до появления теории множеств. Как теория множеств изменила числа? Если никак, то почему вы считаете, что абстрактная конструкция из ТМ чем-то лучше предложенного подхода?
В ТМ есть постулат — если мощность принадлежит N, тогда она конечна, если нет — бесконечна. Просто вот так решили, а вы повторяете. Но при этом вы знаете, что такое бесконечность? Или принадлежит ли на самом деле мощность N к N? И мощность ли это вообще?
Не стоит подходить ко всему на свете так же, как к составляющим ТМ. Вне жёсткой и формальной логики ТМ есть одна простая истина — ни вы, ни кто другой, не знают, что такое бесконечность. Но часто пытаются о ней что-то доказать, и именно вне ТМ.
А кто вам сказал, что количество всех положительных целых чисел — это мощность?Определение термина «мощность множества». Причем если заменить его на «количество» то ничего не изменится, мы по прежнему возьмем бесконечность, добавим к ней единицу, и получим то что уже есть среди всех положительных чисел.
количество чисел люди считают без теории множеств, и так же считали до появления теории множествНу это ведь вы множества в условия задачи добавили, не я.
Вне жёсткой и формальной логики ТМ есть одна простая истина — ни вы, ни кто другой, не знают, что такое бесконечность.А зачем рассуждать о бесконечности в каких-то непонятных терминах, которые никто не знает?
мы по прежнему возьмем бесконечность, добавим к ней единицу, и получим то что уже есть среди всех положительных чисел
Раньше вы писали по другому:
Мощность множества целых чисел — это бесконечность. А бесконечность это не число
Это я к чему? Вы по прежнему не можете внятно сформулировать понятие бесконечности. Поэтому путаетесь в показаниях. Ну и по сути возражаете против отхода от «единственно верного» толкования из ТМ.
В данном вопросе важен сам факт вашего согласия с тем, что можно представить бесконечность (все числа). Как только вы с этим согласились, вы вынуждены оправдываться в ответ на заявления о количестве членов в бесконечном множестве. И ради оправдания утверждаете про бесконечность, которая, по вашему мнению, не изменится от прибавления единицы. Но какое-то разумное обоснования такой неизменности привести не можете. Просто верите в неизменность.
А с другой стороны, понятие количества элементов возможно вообще не применимо к таким сущностям, как бесконечность. Но вы уже приняли на веру некие постулаты, а потому теперь оправдываете и само наличие значения, отражающего количество для бесконечности. Но есть ли такое количество?
И все эти вопросы вам возвращаются только лишь потому, что вы проигнорировали ещё один вопрос — вы знаете, что такое бесконечность? Я вам отвечу — не знаете. Хотя бы потому, что не можете привести никаких логических обоснований за своё видение.
Приводите доводы, показывайте понимание, иначе вы всего лишь верующий, при чём верующий слепо.
Бесконечность — число.
Но ко множеству целых чисел она не принадлежит.
Можно представить бесконечность в смысле числа целых чисел как первый трансфинитный ординал, например.
Но ко множеству целых чисел она не принадлежит.
Можно представить бесконечность в смысле числа целых чисел как первый трансфинитный ординал, например.
Бесконечность это точно не число. Это понятие, символ, категория, но не число.
Будет ли равна бесконечность и бесконечность+1? Доказательство тут не выведешь.
Будет ли равна бесконечность и бесконечность+1? Доказательство тут не выведешь.
Из википедии про ординалы:
В математике вообще много вещей нельзя вывести, а можно только принять как аксиому или не принять.
В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так, 1 + ω совпадает с ω, но отличается от ω + 1, аналогично 2 ⋅ ω = ω, но не равно ω ⋅ 2.
В математике вообще много вещей нельзя вывести, а можно только принять как аксиому или не принять.
> Доказательство тут не выведешь.
Я попробую.
1) Бесконечность (по одному из самых популярных определений) это объект который больше любого конечного числа.
2) Выражение вида «число < (бесконечность+1)» это то же самое что "(число-1) < бесконечность".
3) Сумма/разница любого конечного числа и другого конечного числа это конечное число.
4) Таким образом результат «x < ∞» и «x < (∞+y)» эквивалентен для любого конечного x и y. Т.е. для всех значений на которых определен единственный оператор для нашей бесконечности.
5) Т.е. "∞" и "(∞+y)" эквивалентны.
Собственно, все.
В терминах программирования, мы можем определить бесконечность как объект который при сравнении с объектом типа «число» всегда возвращает true. Сумма «бесконечности» и «числа» при этом может быть реализована как декоратор добавляющий ленивое вычитание от «числа» с которым сравнивается «бесконечность». Как и в пунктах выше, внешнее поведение объекта «бесконечности» с декоратором и без него никак не отличается, а следовательно декоратор можно удалить из кода в ходе рефакторинга.
Я попробую.
1) Бесконечность (по одному из самых популярных определений) это объект который больше любого конечного числа.
2) Выражение вида «число < (бесконечность+1)» это то же самое что "(число-1) < бесконечность".
3) Сумма/разница любого конечного числа и другого конечного числа это конечное число.
4) Таким образом результат «x < ∞» и «x < (∞+y)» эквивалентен для любого конечного x и y. Т.е. для всех значений на которых определен единственный оператор для нашей бесконечности.
5) Т.е. "∞" и "(∞+y)" эквивалентны.
Собственно, все.
В терминах программирования, мы можем определить бесконечность как объект который при сравнении с объектом типа «число» всегда возвращает true. Сумма «бесконечности» и «числа» при этом может быть реализована как декоратор добавляющий ленивое вычитание от «числа» с которым сравнивается «бесконечность». Как и в пунктах выше, внешнее поведение объекта «бесконечности» с декоратором и без него никак не отличается, а следовательно декоратор можно удалить из кода в ходе рефакторинга.
1) Бесконечность (по одному из самых популярных определений) это объект который больше любого конечного числа.
Бесконечность вселенной или бесконечность познания это объект, который больше любого конечного числа?
выражение вида «число < (бесконечность+1)» это то же самое что "(число-1) < бесконечность".
> число < (бесконечность+1)
число < бесконечность. +1 тут вообще ненужен
> (число-1) < бесконечность
число сразу меньше чем бесконечность, отнимать от него один нет смысла.
Следовательно выражение не имеет практического смысла.
Сумма/разница любого конечного числа и другого конечного числа это конечное число.
А сумма/разница любого числа с бесконечностью не становится числом, поскольку это невычисляемо. А значит бесконечность — не может быть числом.
Я не припоминаю в математике термин «конечное число»
как объект который при сравнении с объектом типа «число» всегда возвращает true
объект это не число. Объект может быть и строка и булевое значнеие и структура и ссылка и вообще что угодно.
Бесконечность вселенной или бесконечность познания это объект, который больше любого конечного числа?При чем тут вся эта муть к конкретному данному определению?
Следовательно выражение не имеет практического смыслаОно имеет смысл для доказательства.
А сумма/разница любого числа с бесконечностью не становится числомЯ не определял операторы суммы и разницы над бесконечностью.
А значит бесконечность — не может быть числомСпасибо, кеп. К чему это вообще было сказано?
объект это не числоВ данном случае рассматриваются объекты конкретно типа «число» и «бесконечность».
Выражение вида «число < (бесконечность+1)» это то же самое что "(число-1) < бесконечность"
Здесь не «число» + «бесконечность», а «количество всех чисел» + 1.
Что такое «количество всех чисел»? Или что такое последний элемент в списке всех чисел? Чем последний элемент отличается от количества всех чисел? Может как раз единицей?
Бесконечность ?? Бесконечность + 1
Как они будут соотноситься?
Как они будут соотноситься?
«Бесконечность» — термин слишком размытый. Однако если заменить термин «бесконечность» на первый трасфинитный ординал (число всех натуральных чисел, обозначается ω), то будет так:
ω + 1 > ω; 1 + ω = ω
Сложение трасфинитных ординалов некоммутативно, да.
Подробнее можно почитать в википедии по слову «ординал».
ω + 1 > ω; 1 + ω = ω
Сложение трасфинитных ординалов некоммутативно, да.
Подробнее можно почитать в википедии по слову «ординал».
Но в таком случае и смысл вопроса поменяется. Либо надо указать на связь между вопросом и ординалами. Вопрос был про все натуральные числа, количество которых бесконечно. Именно бесконечно, а не «ординально» или как-то так.
В теории множеств есть много определений, вводимых по ходу развития рассуждений. Ординалы как раз из таких понятий. И из определения (по фон Нейману из википедии — любой ординал есть вполне упорядоченное множество, состоящее из всех ординалов, меньших его) ординал не обязан быть бесконечным. А вы заменяете им бесконечность. Можно представить вполне упорядоченное множество из 2,3 и т.д. элементов. И где здесь бесконечность?
В теории множеств есть много определений, вводимых по ходу развития рассуждений. Ординалы как раз из таких понятий. И из определения (по фон Нейману из википедии — любой ординал есть вполне упорядоченное множество, состоящее из всех ординалов, меньших его) ординал не обязан быть бесконечным. А вы заменяете им бесконечность. Можно представить вполне упорядоченное множество из 2,3 и т.д. элементов. И где здесь бесконечность?
Ординал не обязан быть бесконечным. Но для того, чтобы описывать в терминах упорядоченности множества, которые обладают большей мощностью чем натуральные числа, требуется расширить понятие ординала так, чтобы существовали ординалы большие, чем натуральные числа.
Первый из таких ординалов (а я, обратите внимание, говорил про первый трансфинитный ординал, не просто ординал) обозначается ω и собственно описывается как то множество, меньше которого все натуральные числа.
Первый из таких ординалов (а я, обратите внимание, говорил про первый трансфинитный ординал, не просто ординал) обозначается ω и собственно описывается как то множество, меньше которого все натуральные числа.
а я, обратите внимание, говорил про первый трансфинитный ординал, не просто ординал
Хорошо, но это лишь часть ответа (про конечность). А про соответствие бесконечности понятия ординала? На сколько свойства ординала реально соответствуют свойствам бесконечности? Без такого уточнения нельзя переходить от бесконечности к ординалам.
То, что вы можете что-то представить как ординал или что угодно ещё, я не сомневаюсь. Но проблема в том, что ваше представление непонятно всем остальным. Что это за число, которое не принадлежит ко множеству чисел? Брадобрей бреет и не бреет — по сути то же самое.
В смысле понятно или непонятно?
Ни математика, ни даже физика не оперирует такими терминами. Математика и физика ставят себе задачу увязки абстрактных понятий (ординал, кварк, число, точка) между собой и создание прогноза относительно наблюдаемых явлений.
Не важно можем мы представить себе число пи или нет — важно, что у нас правильно площадь круга считается.
Ни математика, ни даже физика не оперирует такими терминами. Математика и физика ставят себе задачу увязки абстрактных понятий (ординал, кварк, число, точка) между собой и создание прогноза относительно наблюдаемых явлений.
Не важно можем мы представить себе число пи или нет — важно, что у нас правильно площадь круга считается.
Речь ведь не о числе пи, а о количестве элементов в бесконечном множестве.
Слово «бесконечность» подсказывает нам — конца там нет. А если нет конца, то как вы сумели вычислить длину бесконечного ряда?
Слово «бесконечность» подсказывает нам — конца там нет. А если нет конца, то как вы сумели вычислить длину бесконечного ряда?
Ну вот смотрите: число цифр в числе пи бесконечно. Значит его нельзя записать! Но площадь круга тем не менее можно посчитать хотя бы с какой-то точностью… более того, можно выписать абсолютно точную формулу для площади круга, несмотря на то, что её нельзя будет абсолютно точно вычислить в десятичных цифрах.
То же самое с бесконечностью: мы просто берём некий символ и присваиваем ему определённые свойства. Например говорим что это длина бесконечного ряда целых чисел. Придумываем способы работать с ним, формулируем некие утверждения, доказываем их и т.д. Это и есть математика.
Более того можно взять абстракцию (например число i), соорудить с ним утверждения, а потом получить следствия из этого утверждения, распространяющиеся и на действительные числа… причём следствия крайне контринтуитивные. Например сумма бесконечного ряда натуральных чисел при помощи регуляции дзета-функцией Римана даёт -1/12. Безумие и глупость? Ну, вакуум Казимира вполне наблюдаемое явление в котором 1+3+9+27+...+3^(inf) оказывается равно 1/120. По той же самой дзета-функции.
Мир — странна штука, далеко не всегда его можно понять методом механического подсчёта.
То же самое с бесконечностью: мы просто берём некий символ и присваиваем ему определённые свойства. Например говорим что это длина бесконечного ряда целых чисел. Придумываем способы работать с ним, формулируем некие утверждения, доказываем их и т.д. Это и есть математика.
Более того можно взять абстракцию (например число i), соорудить с ним утверждения, а потом получить следствия из этого утверждения, распространяющиеся и на действительные числа… причём следствия крайне контринтуитивные. Например сумма бесконечного ряда натуральных чисел при помощи регуляции дзета-функцией Римана даёт -1/12. Безумие и глупость? Ну, вакуум Казимира вполне наблюдаемое явление в котором 1+3+9+27+...+3^(inf) оказывается равно 1/120. По той же самой дзета-функции.
Мир — странна штука, далеко не всегда его можно понять методом механического подсчёта.
мы просто берём некий символ и присваиваем ему определённые свойства
Вы-то можете взять и присвоить. Но проблема же не в вас, а в других, для которых ваше произвольное присвоение ни в коем случае не является доказательством.
И да, пи здесь тоже ни при чём. Пи есть коэффициент, который используется в алгебраическом выражении. И вторая сущность пи — значение коэффициента. Значение бесконечно при выражении его в десятичной форме, но конечно при выражении его другими способами. А коэффициент в выражении всегда конечен и никак от других коэффициентов не отличается. То есть вы смешали тёплое с мягким. Бесконечность в отношении пи применима только для определённой формы выражения этого числа. Во всём остальном — никакой связи нет. При этом значок, используемый в алгебраическом выражении, заменяет абсолютно всё, так же как и значок бесконечности, или значок, обозначающий, например, цифру 1.
Вообще, критерием строгости может являться реальный мир. Если вы не приемлете такой критерий тогда, в вашей математике будет всё, что вам угодно. Но если вы столкнётесь с человеком, который всё же ожидает от вас поверку реальностью, то ему вам просто нечего будет сказать.
Обратите внимание: я специально привёл пример, когда бесконечности и комплексные числа в итоге оказалось соединены с реальны миром.
Измеренный эффект Казимира однозначно соответствует той математики в которой научились считать 1+2+3+4...+бесконечность = -1/12.
То есть вопрос в том, что считать «реальным». Реально ли число -1? Реально ли число i? В не сможете нарисовать их, отложить отрезком на бумаге, например… но это не делает их неприемлемыми для математических рассуждений. То же самое с трансфинитными ординалами.
На самом деле достаточно глупо пытаться «опровергнуть» использование трансфинитных ординалов, потому что они достаточно давно используются в математике. Просто они чуть меньше на слуху, чем те же комплексные числа. Это как в 21 веке всерьёз опровергать СТО.
Но сомневаться — это всегда полезно… может вы увидите какой-то другой способ решения, который пока неочевиден, как геометрия Лобачевского.
Измеренный эффект Казимира однозначно соответствует той математики в которой научились считать 1+2+3+4...+бесконечность = -1/12.
То есть вопрос в том, что считать «реальным». Реально ли число -1? Реально ли число i? В не сможете нарисовать их, отложить отрезком на бумаге, например… но это не делает их неприемлемыми для математических рассуждений. То же самое с трансфинитными ординалами.
На самом деле достаточно глупо пытаться «опровергнуть» использование трансфинитных ординалов, потому что они достаточно давно используются в математике. Просто они чуть меньше на слуху, чем те же комплексные числа. Это как в 21 веке всерьёз опровергать СТО.
Но сомневаться — это всегда полезно… может вы увидите какой-то другой способ решения, который пока неочевиден, как геометрия Лобачевского.
Я, к сожалению, не знаю, как считается сила в эффекте Казимира. Так же не вдавался в подробности получения минус одной двенадцатой из бесконечности. Поэтому данные моменты ни опровергнуть, ни как-то оспорить пока не смогу. Хотя дзета-функцию посмотрел, и обнаружил там сумму обратных значений к приведённым вами числам, а потому предполагаю и в остальном вы наверняка просто ошибаетесь, принимаете желаемое за действительное.
Помимо того, ваш переход от некоторых рассуждений про наличие связи чего-то, доказанного математиками, с реальностью, к вопросу о вашем определении бесконечности, несколько натянут.
Вы приводите весьма непонятный пример, а потом по сути заявляете — значит и во всём остальном я прав. Разве нет?
В частности вы утверждали:
То есть явно указали на произвольный характер ваших действий. А затем привели рассуждения о связи других выводов, который сделаны другими людьми и по другому поводу, с вашей правотой. Вот с таким «доказательством» я точно не согласен. Потому что это просто подмена понятий.
Помимо того, ваш переход от некоторых рассуждений про наличие связи чего-то, доказанного математиками, с реальностью, к вопросу о вашем определении бесконечности, несколько натянут.
Вы приводите весьма непонятный пример, а потом по сути заявляете — значит и во всём остальном я прав. Разве нет?
В частности вы утверждали:
мы просто берём некий символ и присваиваем ему определённые свойства
То есть явно указали на произвольный характер ваших действий. А затем привели рассуждения о связи других выводов, который сделаны другими людьми и по другому поводу, с вашей правотой. Вот с таким «доказательством» я точно не согласен. Потому что это просто подмена понятий.
> не знаю, как считается сила в эффекте Казимира
Ну в подробности я тоже не вникал, но в общем и целом, там в качестве одного из множителей используется дзета-функция от размерности пространства умноженной на -1
>обнаружил там сумму обратных значений к приведённым вами числам
Что и означает возведение в степень -1 (домножение степени на -1). Право, я ожидал большего внимания к математике масштаба школьной программы…
>сделаны другими людьми и по другому поводу
Давайте попробуем уточнить что именно я пытаюсь… даже не доказать собственно, а проиллюстрировать.
Что некоторые факты выводятся из присвоения символам свойств, которые мы не можем себе вообразить непосредственно: символу i ставится в соответствие квадратный корень из -1, а символу "-1" — число, меньшее нуля(которое мы не можем нигде взять в «наблюдаемом мире» непосредственно, но лишь в качестве результата формулы). И также символу ω может ставится в соответствие значение «число всех натуральных чисел».
И хотя понятия, воплощаемые этими символами не присутствуют в реальном мире непосредственно, соблюдая строгие правила при обращении с ними мы можем вывести следствия, вполне применимые к реальному миру.
Ну в подробности я тоже не вникал, но в общем и целом, там в качестве одного из множителей используется дзета-функция от размерности пространства умноженной на -1
>обнаружил там сумму обратных значений к приведённым вами числам
Что и означает возведение в степень -1 (домножение степени на -1). Право, я ожидал большего внимания к математике масштаба школьной программы…
>сделаны другими людьми и по другому поводу
Давайте попробуем уточнить что именно я пытаюсь… даже не доказать собственно, а проиллюстрировать.
Что некоторые факты выводятся из присвоения символам свойств, которые мы не можем себе вообразить непосредственно: символу i ставится в соответствие квадратный корень из -1, а символу "-1" — число, меньшее нуля(которое мы не можем нигде взять в «наблюдаемом мире» непосредственно, но лишь в качестве результата формулы). И также символу ω может ставится в соответствие значение «число всех натуральных чисел».
И хотя понятия, воплощаемые этими символами не присутствуют в реальном мире непосредственно, соблюдая строгие правила при обращении с ними мы можем вывести следствия, вполне применимые к реальному миру.
Что и означает возведение в степень -1 (домножение степени на -1)
В определении дзета-функции указано, что реальная часть степени должна быть больше единицы. Положительной единицы.
некоторые факты выводятся из присвоения символам свойств, которые мы не можем себе вообразить непосредственно: символу i ставится в соответствие квадратный корень из -1, а символу "-1" — число, меньшее нуля(которое мы не можем нигде взять в «наблюдаемом мире» непосредственно, но лишь в качестве результата формулы). И также символу ω может ставится в соответствие значение «число всех натуральных чисел».
Свойство «быть отрицательным» мы воображаем легко — движение в обратную сторону, смещение ниже заданного уровня и т.д. Свойство «комплексности» числа мы опять легко воображаем, проецируя число на двумерное пространство и получая просто координаты на комплексной плоскости. Ну а символ омега обозначает не «число всех натуральных чисел», а множество всех натуральных чисел, поэтому здесь опять вижу неточность, которая существенна для нашего обсуждения.
И хотя понятия, воплощаемые этими символами не присутствуют в реальном мире непосредственно, соблюдая строгие правила при обращении с ними мы можем вывести следствия, вполне применимые к реальному миру.
Не так. И для минусов и для комплексных чисел мы вполне можем подобрать аналогии в реальном мире, точно так же, как подбираем аналогии для чисел 1 или 2 или 3.
А для множества всех чисел действительно непонятно, как подобрать аналогию. Хотя обозначить это понятие одним значком мы, конечно же, можем. Но обозначив понятие, мы не получаем тем самым аналогию в реальном мире. Мы так и остаёмся с вопросом — а что же такое бесконечность? То есть обозначить можно что угодно, включая, например, абсолютный абсурд. Но как из обозначения абсурда неким символом выявить свойства абсурда? В случае с отрицательными или комплексными числами мы можем опереться на наш опыт восприятия аналогов из реального мира, но в случае бесконечности или абсурда — где взять опыт, на который можно опереться? Поэтому при отсутствии какого-либо критерия истины (каковым, например, является реальный мир), непонятно, как вы можете быть уверены в тех или иных свойствах бесконечности. Ведь все свойства выведены на основе неких предположений, которые могут оказаться ложными, либо вообще абсурдными.
Поэтому метод «по аналогии» мне кажется совершенно не применим к понятиям, для которых нет вообще никаких аналогий. В случае чисел мы можем опереться на реальность, а на что опираться в случае бесконечности? Но вы ведь предлагаете с бесконечностью поступать аналогично числам, что подразумевает наличие той самой опорной аналогии в реальном мире. Где же она?
В определении дзета-функции указано, что реальная часть степени должна быть больше единицы. Положительной единицы.
Нет. Это дано в описании тривиального задания дзета-функции.
Тем не менее дзета-функция также продлевается и на отрицательную полуплоскость. И, собственно, самое интересное именно в этой отрицательной полуплоскости и происходит. Например, гипотеза Римана.
Свойство «комплексности» числа мы опять легко воображаем, проецируя число на двумерное пространство и получая просто координаты на комплексной плоскости.
Нет. Это вы не воображаете, а изображаете. Точно также как авторы статьи в википедии изображают ω^2 как «ёлочку»
Увы, такие изображения, хотя упрощают понимание, часто приводят к потере ряда критически важных аспектов. Например, число в виде точки на комплексной плоскости полностью утрачивает информацию о том, что квадрат его мнимой части отрицателен(в общем случае неположителен).
И, собственно, самое интересное именно в этой отрицательной полуплоскости и происходит. Например, гипотеза Римана.
Но уже не эффект Казимира? Речь ведь шла о связи с реальностью. А гипотеза Римана есть плод развития рассуждений на основе допущений, не очень понятно как связанных с реальностью.
Увы, такие изображения, хотя упрощают понимание, часто приводят к потере ряда критически важных аспектов
Согласен. Часть специфических свойств выпадает из рассмотрения при установлении того или иного вида связи с реальностью. Но на то она и модель, что бы не быть идеально похожей на реальность (иначе пользы от неё не будет). Тем не менее мы можем проверить хотя бы часть свойств модели на отображениях в реальный мир. На каких-то других отображениях, возможно, удастся проверить и другие свойства. Но речь ведь идёт о том, что вообще не отображается на реальность. Как проверить свойства таких объектов?
Вы скажете, что бесконечность плюс один равно бесконечности. А как это проверить? Остаётся лишь верить вам, разве нет?
В теории множеств свойства больших объектов выводятся сначала аксиоматическим введением самой бесконечности, без определения каких-либо свойств. И потом по ходу рассуждений добавляются не вполне логичные (на мой взгляд) определения вроде определения равномощности. В сумме получаем надстройку над объектом без свойств с добавлением не вполне логичных украшений. Если отказаться от реалистичности (проверяемости) таких построений, тогда всё можно, но если возникнет желание проверить? У меня оно возникло, а потому я так и не смог понять свойства ординалов с кардиналами и алефами, просто потому, что мне непонятно зачем городить огород на основе изначально непонятных сущностей? В итоге получаем два шара из одного, что и вытекает со всей очевидностью из построений на шаткой основе.
Эффект Казимира тоже расчитывается в отрицательной полуплоскости: множителем выступает дзета-функция от размерности пространства, умноженной на -1. В нашем трёхмерном мире: ζ(-3)
Произвести какие-то суждения, которые касаются «нереальных» объектов, но при этом являются непротиворечивыми… из таких суждений могут
а) получиться следствия, применимые к «реальным» объектам
б) обнаружить «нереальные» объекты в реальном мире
Та же геометрия Лобачевского в итоге прошла по обоим путям, кстати…
Ну, альтернативой удвоению шара (которое следует из континуальных чисел) является нелетающая стрела Зенона.
Но речь ведь идёт о том, что вообще не отображается на реальность. Как проверить свойства таких объектов?
Произвести какие-то суждения, которые касаются «нереальных» объектов, но при этом являются непротиворечивыми… из таких суждений могут
а) получиться следствия, применимые к «реальным» объектам
б) обнаружить «нереальные» объекты в реальном мире
Та же геометрия Лобачевского в итоге прошла по обоим путям, кстати…
В итоге получаем два шара из одного, что и вытекает со всей очевидностью из построений на шаткой основе.
Ну, альтернативой удвоению шара (которое следует из континуальных чисел) является нелетающая стрела Зенона.
В нашем трёхмерном мире: ζ(-3)
Тогда ряд обязан расходиться. Либо вы что-то не так поняли. Сумма кубов всех положительных чисел, очевидно, будет несколько больше -1/12.
Произвести какие-то суждения, которые касаются «нереальных» объектов, но при этом являются непротиворечивыми… из таких суждений могут
а) получиться следствия, применимые к «реальным» объектам
б) обнаружить «нереальные» объекты в реальном мире
Та же геометрия Лобачевского в итоге прошла по обоим путям, кстати…
В принципе да, но для начала нужно доказать непротиворечивость входных посылок. Не противоречиво ли утверждение о равенстве количества чисел в бесконечности и суммы этого количества с единицей?
Возможен вариант, когда мы можем проверить некие рассуждения без доказательства их непротиворечивости. Но тогда где проверка?
И наконец, есть вариант, когда какая-то часть следствий начальных предположений будет истинной, а другая часть — ложной для реального мира. Как раз примерно такая ситуация с альтернативными евклидовой геометриями. В чём-то они применимы, а в чём-то нет. А для полезного использования подобных рассуждений необходимо указать границу их применимости. Так для гравитации Эйнштейна граница близка к скорости света, для Ньютоновской — граница уже в квантовом размере.
В вашем же случае нет ни доказательства непротиворечивости, ни примеров из реальности, подтверждающих вашу точку зрения, ни даже указания границ применимости.
Простой здравый смысл подсказывает — если нет конца, то и нельзя назвать количество в таком множестве. А здравый смысл основан как раз на длительном обучении в виде зачастую жёсткого столкновения с реальностью. Ваш же вариант, возражая здравому смыслу, по сути возражает реальности. Это, конечно, не доказательство вашей неправоты, но не учитывать такой кричащий признак — путь к проблемам.
И про стрелу Зенона. Не понял, как вы перешли от одного парадокса к другому? В смысле почему альтернатива? Они оба суть нарушение здравого смысла. Они одно и тоже, а не альтернатива друг другу.
Сумма ряда кубов натуральных чисел, которая используется в расчёте эффекта Казимира равна 1/120.
-1/12 — это сумма ряда натуральных чисел. Она бы соответствовала эффекту Казимира в одномерном пространстве, но за неимением одномерного пространства для проверки экспериментальной проверке не подлежит.
Не противоречиво с точностью до доопределения понятия суммы для трансфинитных ординалов.
Кроме того, поскольку сумма для трансфинитных ординалов не коммутативна, как я уже писал в другом комментарии, вопрос встаёт о том в каком порядке складываем.
Во-первых я и не говорил что количество можно назвать. Я говорил, что его можно обозначить. А то, что вы, путая эти понятия, в итоге описываете своё понимание мира, потом присваиваете ему титул «здравого смысла» и «реальности» и доказываете что все кто несогласен с вами спорят с реальностью… ну это не очень продуктивно, скажем так.
Для того чтобы стрела Зенона могла лететь надо чтобы между двумя любыми (сколь угодно близкими) точками пространства было бы ещё место — чтобы пространство было «гладким».
Но именно на такой «гладкости» базируется парадокс удвоения шара.
-1/12 — это сумма ряда натуральных чисел. Она бы соответствовала эффекту Казимира в одномерном пространстве, но за неимением одномерного пространства для проверки экспериментальной проверке не подлежит.
Не противоречиво ли утверждение о равенстве количества чисел в бесконечности и суммы этого количества с единицей?
Не противоречиво с точностью до доопределения понятия суммы для трансфинитных ординалов.
Кроме того, поскольку сумма для трансфинитных ординалов не коммутативна, как я уже писал в другом комментарии, вопрос встаёт о том в каком порядке складываем.
Простой здравый смысл подсказывает — если нет конца, то и нельзя назвать количество в таком множестве. Ваш же вариант, возражая здравому смыслу, по сути возражает реальности.
Во-первых я и не говорил что количество можно назвать. Я говорил, что его можно обозначить. А то, что вы, путая эти понятия, в итоге описываете своё понимание мира, потом присваиваете ему титул «здравого смысла» и «реальности» и доказываете что все кто несогласен с вами спорят с реальностью… ну это не очень продуктивно, скажем так.
И про стрелу Зенона. Не понял, как вы перешли от одного парадокса к другому? В смысле почему альтернатива?
Для того чтобы стрела Зенона могла лететь надо чтобы между двумя любыми (сколь угодно близкими) точками пространства было бы ещё место — чтобы пространство было «гладким».
Но именно на такой «гладкости» базируется парадокс удвоения шара.
Сумма ряда кубов натуральных чисел, которая используется в расчёте эффекта Казимира равна 1/120.
Скажу только, что не знаю как такое число получилось. Хотя знаю, что если к единице прибавить любое положительное число, то сумма будет больше 1/120.
Не противоречиво с точностью до доопределения понятия суммы для трансфинитных ординалов.
Трансфинитные ординалы есть продукт развития ТМ. Противоречива ли ТМ? Я не встречал данных о доказательстве непротиворечивости.
Во-первых я и не говорил что количество можно назвать. Я говорил, что его можно обозначить.
Обозначив, вы далее используете свойства обозначенного. В частности — свойство эквивалентности трансфинитному ординалу. Ну и операции с ним вы приводите в качестве аргумента против трактовки операции сложения в привычном для арифметики виде.
При этом, если считать допустимой такую эквивалентность, ещё и сама возможность операции сложения в данном случае вызывает сомнения.
А то, что вы, путая эти понятия, в итоге описываете своё понимание мира, потом присваиваете ему титул «здравого смысла» и «реальности» и доказываете что все кто несогласен с вами спорят с реальностью… ну это не очень продуктивно, скажем так.
Я говорил о природе здравого смысла. Пусть это будет ваш здравый смысл. И у него природа та же самая — вы усвоили свойства реальности и именно к ним в первую очередь апеллируете в случае необходимости в чём-то разобраться. А навык игнорировать здравый смысл и доводить рассуждения о не вполне укладывающемся в реальность объекте до некоторой теории, не всегда может привести к полезным результатам. Комплексные числа, кстати, не попадают в разряд аналогов ординалов, поскольку выражают проверяемые реальностью парные значения и операции с ними, но что из близкого к реальности выражают трансфинитные ординалы?
И за одно, а не на разнице ли плотностей базируется парадокс двух шаров? В математике плотность можно игнорировать (ибо бесконечность позволяет), а вот в реальном мире всё быстро встало бы на свои места.
Для того чтобы стрела Зенона могла лететь надо чтобы между двумя любыми (сколь угодно близкими) точками пространства было бы ещё место
А здесь вы вступаете в спор о формулировках. Поэтому сразу можно говорить, что наверняка ошибётесь. В парадоксах формулировка скрывает суть, но если немного покопать, то стрела сразу начинает двигаться.
Скажу только, что не знаю как такое число получилось. Хотя знаю, что если к единице прибавить любое положительное число, то сумма будет больше 1/120.
Вот в этом и тонкость, что когда прибавляешь любое — получается больше 1, а когда все — получается -1/12.
В этом и заключается разница моего здравого смысла и вашего: если я вижу что многолетний опыт математики получает определённый вывод, к тому же подтверждённый физическим опытом — я убеждаюсь в неполноценности счёта на пальцах, а вы ставите под сомнение опыт математики.
Участник vintage ниже привёл ссылку на источник ваших рассуждений. Там присутствует банальная ошибка в выводе, ну а вы, не проверив, переносите ошибку на наше обсуждение, чем превращаете обсуждение в разговор о вашей неспособности проверить заимствованные из сети данные.
Укажу вам на ошибку — в преобразованиях умножьте первый член ряда на предложенный коэффициент 1-2^(1-s). Тогда получите 1^(-s)-2/(2^2s) вместо указанного автором 1^(-s)-2^(-s).
То есть никаких проблем с расходимостью суммы натуральных чисел нет, ну и использовать такое «доказательство» в отношении подмены бесконечности ординалами так же недопустимо, даже если бы оно было правильным. Потому что доказательство «по аналогии» реально доказательством не является.
Укажу вам на ошибку — в преобразованиях умножьте первый член ряда на предложенный коэффициент 1-2^(1-s). Тогда получите 1^(-s)-2/(2^2s) вместо указанного автором 1^(-s)-2^(-s).
То есть никаких проблем с расходимостью суммы натуральных чисел нет, ну и использовать такое «доказательство» в отношении подмены бесконечности ординалами так же недопустимо, даже если бы оно было правильным. Потому что доказательство «по аналогии» реально доказательством не является.
Scondo говорит про вот эту софистику: habr.com/ru/post/53883
можно выписать абсолютно точную формулу для площади круга, несмотря на то, что её нельзя будет абсолютно точно вычислить в десятичных цифрах.
Кстати, в частных случаях можно, просто возьмите круг с радиусом n/sqrt(pi), где n — рациональное число.
Собственно важный момент: число не принадлежит ко множеству целых чисел я написал. Но принадлежит ко множеству ординалов — это тоже такой тип чисел.
Трансцендентные действительные числа (типа числа пи) как раз в этом смысле очень показательны, потому что не могут быть представлены никаким образом как комбинация целых чисел. То есть трансцендентные числа не просто не принадлежат множеству целых чисел, но даже не всегда с ними связаны… тем не менее это числа. Такого же рода отношения связывают и трасфинитные ординалы с натуральными числами.
А вот к требованию «сводимости» чисел к натуральным можно отнести нашу последующую дискуссию…
Трансцендентные действительные числа (типа числа пи) как раз в этом смысле очень показательны, потому что не могут быть представлены никаким образом как комбинация целых чисел. То есть трансцендентные числа не просто не принадлежат множеству целых чисел, но даже не всегда с ними связаны… тем не менее это числа. Такого же рода отношения связывают и трасфинитные ординалы с натуральными числами.
А вот к требованию «сводимости» чисел к натуральным можно отнести нашу последующую дискуссию…
Здесь опять вижу сравнение существенно разных понятий. Отсутствие связи трансцендентных чисел с натуральными на самом деле лишь видимость. То есть последовательность натуральных числе, меньших 10, даёт нам трансцендентное число. У нас есть алгоритмы, позволяющие получить трансцендентное число из натуральных, а так же натуральные из трансцендентного. Но где же есть алгоритм, позволяющий получить ординал из любого другого вида чисел? То есть нет прямой аналогии, показывающей связь ординалов с числами, а вот у трансцендентных и натуральных такую аналогию показать легко.
Хотя здесь вы скорее апеллируете к возможности совершения операций с ординалами по аналогии с операциями с числами. Но операции ведь применимы не только к числам. Например — алгебраическое выражение допускает применение к нему операций, который применимы и к числам. Или вы скажете, что и алгебраические выражения это тоже числа?
Поэтому я бы предложил рассматривать ординалы как математический объект, независимый от чисел, а потому и не позволяющий делать выводы о свойствах ординалов лишь на основании похожести операций с ними на операции с числами. Помимо похожести нужно что-то более весомое, как например опора на некий реально существующий аналог, на котором можно проверить, а не абсурдны ли предложенные свойства.
Хотя здесь вы скорее апеллируете к возможности совершения операций с ординалами по аналогии с операциями с числами. Но операции ведь применимы не только к числам. Например — алгебраическое выражение допускает применение к нему операций, который применимы и к числам. Или вы скажете, что и алгебраические выражения это тоже числа?
Поэтому я бы предложил рассматривать ординалы как математический объект, независимый от чисел, а потому и не позволяющий делать выводы о свойствах ординалов лишь на основании похожести операций с ними на операции с числами. Помимо похожести нужно что-то более весомое, как например опора на некий реально существующий аналог, на котором можно проверить, а не абсурдны ли предложенные свойства.
Как последовательность натуральных чисел меньше 10 даёт траснцендентное число?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — как это связано с трансцендентными числами, кроме того факта, что фрагменты трансцендентных чисел могут записываться этими символами?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — как это связано с трансцендентными числами, кроме того факта, что фрагменты трансцендентных чисел могут записываться этими символами?
Любая связь в моделях — это алгоритм. Математика есть точно такое же моделирование. В математике есть алгоритм получения числа пи последовательным вычислением каждого знака. Вот через этот алгоритм мы и получаем трансцендентное число. Аналогично — рациональное число получаем, применив алгоритм деления, либо составления дроби, если нет нужды в полном десятичном значении.
Ну алгоритм вычисления первого трансфинитного ординала тривиален: возьмите любое натуральное число и прибавляйте к нему единицу… занимайтесь этим пока звёзды не потухнут и вы всё ещё не получите трансфинитного ординала.
То же самое верно и для числа пи: сколько не вычисляйте число пи — вы никогда не сможете его вычислить.
Разница тут только в том, что на определённом шаге вы можете сказать «ну ладно, это достаточно точное значение числа пи для моих вычислений» и использовать получившееся приближение необходимым образом.
Трансфинитные же ординалы, поскольку по ряду свойств отличаются от счётных, не могут быть получены в виде такого рода приближений… но неужели наличие алгебраических приближений столь критично?
То же самое верно и для числа пи: сколько не вычисляйте число пи — вы никогда не сможете его вычислить.
Разница тут только в том, что на определённом шаге вы можете сказать «ну ладно, это достаточно точное значение числа пи для моих вычислений» и использовать получившееся приближение необходимым образом.
Трансфинитные же ординалы, поскольку по ряду свойств отличаются от счётных, не могут быть получены в виде такого рода приближений… но неужели наличие алгебраических приближений столь критично?
Помимо вычисления, для числа пи есть куча проверок реальностью. Мы можем вычислить площадь круга без использования пи и потом сравнить с вычислением через пи. Для приближённого значения числа пи мы можем указать погрешность (не более чем). А для трансфинитного ординала вы можете предложить проверку реальностью? Или указать погрешность его определения? Или?
Повторюсь — пи и прочие не идеально соответствующие реальности модели, этой самой реальности всё же соответствуют. При чём соответствуют до вполне известного уровня — до квантового размера. Собственно на то она и модель, что бы соответствовать почти во всём, но не во всём.
А где соответствие «почти во всём» для трансфинитных ординалов?
Повторюсь — пи и прочие не идеально соответствующие реальности модели, этой самой реальности всё же соответствуют. При чём соответствуют до вполне известного уровня — до квантового размера. Собственно на то она и модель, что бы соответствовать почти во всём, но не во всём.
А где соответствие «почти во всём» для трансфинитных ординалов?
Мне интересно как именно вы предлагаете вычислить площадь круга без использования пи? Потому что в исторической ретроспективе как раз задача о вычислении площади круга принималась эквивалентной вычислению числа пи (а задача о квадратуре круга — эквивалентна алгебраичности числа пи)
Приближёнными методами. Да, неточно, но точность можно обеспечить практически любую. Далее сравниваем с неточным-же известным значением пи. Получаем разницу и проверяем, укладывается ли она в расчётную погрешность определения числа пи.
Тогда ваш «приближённый метод» расчёта площади круга и будет методом расчёта числа пи.
Ну сравнили вы два метода расчёта числа пи… возможно даже нашли более эффективный. Но к получению самого числа пи это вас не приблизило.
Круг нарисованный циркулем значительно больше приближает вас к числу пи, чем эти алгебраические расчёты.
Ну сравнили вы два метода расчёта числа пи… возможно даже нашли более эффективный. Но к получению самого числа пи это вас не приблизило.
Круг нарисованный циркулем значительно больше приближает вас к числу пи, чем эти алгебраические расчёты.
Я что-то не пойму, зачем вы рассуждаете о числе пи, если вопрос был о неправильном использовании вами понятия «бесконечность»? Частное возражение о длине ряда цифр в значении числа пи я уже опроверг, вы с опровержением согласились, но тогда зачем вы всё ещё уводите разговор в сторону пи?
Суть в том, что простого и однозначного определения бесконечности в общем случае нет. Однако в данном конкретном смысле, в котором она была упомянута — её можно описать и обозначить символом «омега». Также как описали и обозначили символом «пи» отношение площади круга к квадрату его радиуса.
Поскольку мы с вами согласились, что пи — число трансцендентное, единственная разница формул с символом «омега» и с символом «пи» в том, что последняя может быть вычислена приближённо. Это, между тем, исключительно инженерная особенность. Математике всё равно: для неё пи остаётся пи и никаких математических доказательств через такие приближённые вычисления сделать нельзя.
То есть тезис о возможности приближённого вычисления корректен только для физических задач.
На следующем шаге можно отметить, что есть формулы в которых символы могут сокращаться либо у коэффициентов перед ними обнаруживаться интерпретация.
Заявлять что интерпретировать можно только коэффициенты, которые стоят перед «пи», но не перед «омегой» мне кажется настолько предубеждённым, насколько возможно.
То же самое, кстати, касается символа «i». От него тоже далеко не всегда можно избавится в результате. Это же не мотивирует вас на разговоры о «бессмысленности» ТФКП?
Поскольку мы с вами согласились, что пи — число трансцендентное, единственная разница формул с символом «омега» и с символом «пи» в том, что последняя может быть вычислена приближённо. Это, между тем, исключительно инженерная особенность. Математике всё равно: для неё пи остаётся пи и никаких математических доказательств через такие приближённые вычисления сделать нельзя.
То есть тезис о возможности приближённого вычисления корректен только для физических задач.
На следующем шаге можно отметить, что есть формулы в которых символы могут сокращаться либо у коэффициентов перед ними обнаруживаться интерпретация.
Заявлять что интерпретировать можно только коэффициенты, которые стоят перед «пи», но не перед «омегой» мне кажется настолько предубеждённым, насколько возможно.
То же самое, кстати, касается символа «i». От него тоже далеко не всегда можно избавится в результате. Это же не мотивирует вас на разговоры о «бессмысленности» ТФКП?
Суть в том, что простого и однозначного определения бесконечности в общем случае нет
А почему не принять просто смысл слова? Нет конца. И далее можно выводить свойства.
Например — если конца нет, то как можно говорить о «всех элементах»? Все они будут, если мы представим себе некоторую черту, после которой элементов нет. Но если нет самой черты, то как можно говорить о всех элементах, которые получаются именно при наличии конца?
При этом ситуация с пи другая — мы не можем повысить точность до абсолюта, но во всём остальном мы можем понять свойства пи полностью аналогично любому числу, поскольку пи и есть число. То есть пи относится к классу явлений, о котором очень многое известно, а бесконечность относится к другому классу явлений, о котором мало что известно. В классе «числа» есть много свойств, характерных для всех чисел, включая пи. В классе «бесконечность» есть свойства пока не до конца понятных объектов и нет свойств, аналогичных свойствам чисел, что не даёт возможность распространить такие свойства на произвольно выбранную бесконечность.
Заявлять что интерпретировать можно только коэффициенты, которые стоят перед «пи», но не перед «омегой» мне кажется настолько предубеждённым, насколько возможно.
Давайте представим себе числовой ряд положительных целых без нуля. Теперь добавим туда единицу. Что произойдёт? Если единицу вставить в середину, то все остальные числа сдвинутся, к чему это приведёт? Если мы не знаем, что там, в той стороне, где нет конца, то и говорить уверенно о результатах вставки мы не можем. Но с другой стороны у нас есть пустота — ряд начинается с 1 и до неё ничего нет. Тогда мы можем добавить единицу перед числом 1. Что мы получим? Мы получим все положительные целые числа с нулём. То есть мы получим новое множество, отличающееся от старого. Точно так же можно к положительным целым без нуля добавить Х+1 (условную длину числового ряда), но добавить «с другой стороны». Х+1 в нашем случае будет числовой ряд положительных целых с нулём. Ну а его добавление приведёт нас к ряду всех целых чисел, положительных, отрицательных и с нулём. Опять получим новое множество. С новыми свойствами. А новые свойства нам говорят о изменениях на системном уровне. То есть мы изменили систему, включив в неё системообразующий элемент «количество всех чисел», как было показано в примере с брадобреем. А вы же говорите, что если что-то добавить к бесконечности, то ничего не изменится. Но на самом деле, как мы видели, изменится сама система.
То же самое, кстати, касается символа «i». От него тоже далеко не всегда можно избавится в результате. Это же не мотивирует вас на разговоры о «бессмысленности» ТФКП?
Символ i есть просто обозначение. В практической работе я его просто игнорирую. И вам ничто не мешает делать так же. Он нужен лишь для того, что бы не перепутать два числа из пары. После завершения расчётов этот символ можно выкинуть. Например в электротехнике использование комплексных чисел удобно при расчёте схем на переменном токе, когда для сложения двух токов нужно для каждого из них знать два параметра — амплитуду и фазу. Вот как раз эти два параметра удачно ложатся на давно проработанную алгебру комплексных чисел. Но не потому, что кому-то в электротехнике нужна буква i. Просто в электротехнике нужны два числа, и всё. А когда расчёт произведён — имеем снова амплитуду и фазу, то есть два физических параметра, а i становится ненужным. Но алгебра операций с комплексными числами останется точно такой же, если реальную часть назвать амплитудой, а комплексную фазой, или как-то по другому (на самом деле фаза это угол наклона единичного вектора, в дальнейшем умножаемого на амплитуду).
Комплексные числа есть опять же элемент класса составных чисел, включающего кватернионы, матрицы и другие математические объекты. Но суть у них одна — много чисел объединены неким общим смыслом их использования. Поэтому я не против комплексных чисел. А вот с бесконечностью — не вижу для неё готового класса с понятными свойствами.
А вы же говорите, что если что-то добавить к бесконечности, то ничего не изменится.
Простите, но я такого не говорил. И не писал. Наоборот, в одном из комментариев я отмечал, что ω + 1 > ω; 1 + ω = ω. То есть мы добавляя к множеству натуральных чисел количество их получаем новую систему с новыми свойствами (и капельку другим сложением).
И основное что я хочу понять — почему мы должны отказаться от построения такой системы? Если кто-то ещё (кроме вас) может получить из неё внятные и применимые утверждения…
А парадоксы, да, работают как семафоры о границах применимости систем.
Символ i есть просто обозначение. В практической работе я его просто игнорирую. И вам ничто не мешает делать так же.
Вообще-то мешает то, что возведение его в квадрат даёт -1. В электротехнике вы используете форму z = r ( cos(φ) + i sin(φ) ) потому что там описывается колебательный процесс.
Произвольную пару параметров (например координату и импульс) в виде действительной и мнимой составляющей записывать нельзя.
ω + 1 > ω; 1 + ω = ω
Здесь мы видим систему зависимостей, которыми охвачены два объекта — ω + 1 и ω. Но если эти два объекта одновременно равны и в то же время отличаются, то опять возникает вопрос о смысле такой системы. Если бы вы предложили хотя бы неравенство со знаком больше или равно, тогда оставалось бы место для выбора одного варианта. Но вы же предложили явно разделённую на два противоречащих друг друг варианта систему. То есть в вашей логической системе можно вывести противоречивый результат. А что нам говорит логика о системах, в которых возможен противоречивый результат?
получаем новую систему с новыми свойствами (и капельку другим сложением)
Здесь не «капельку», а просто по другому в двух одинаковых случаях. Один раз сумма оказалась больше, а другой раз та же сумма оказалась равна.
почему мы должны отказаться от построения такой системы? Если кто-то ещё (кроме вас) может получить из неё внятные и применимые утверждения
Я не против применимых результатов. Но как минимум часть результатов получается неприменимой (вспомним случай с раздвоением шара). И если есть неприменимая часть, то возникает потребность отделить применимое от неприменимого. Каков алгоритм разделения?
Произвольную пару параметров (например координату и импульс) в виде действительной и мнимой составляющей записывать нельзя.
Да, для произвольной пары нужно выполнить проверку — которая из известных алгебр подходит. Но ведь по сути это означает, что и вы тоже согласны с необходимостью определять условия применимости той или иной математической конструкции. Так вот и давайте определим алгоритм применимости вашего варианта сложения бесконечности с единицей, который и больше и равен сам себе. Не может оказаться так, что ваш подход применим только для построения двух шаров из одного?
Но если эти два объекта одновременно равны и в то же время отличаются, то опять возникает вопрос о смысле такой системы.
Ну так на самом-то деле объекта не два, а три: ω + 1; 1 + ω; ω. Первый из них больше двух других, которые равны между собой.
Просто вы так привыкли к коммутативности сложения, что рефлекторно распространили его и на сложение трасфинитных ординалов. В то же время сложение в обобщённом смысле «естественным образом» коммутативностью не обладает(тривиально: сложением же часто описывается операция конкатенации строк). И случай ω + 1 не совпадает «автоматически» с 1 + ω.
Другие разные «противоречия» о которых вы говорите связаны в основном с тем же распространением «естественных» свойств на операции, которые уже применяются в расширенном смысле. Поэтому я так часто возвращаюсь к комплексным числам: в «естественных» действительных у вас никак не может получиться квадрат числа меньше нуля, а с комплексными — пожалуйста.
Не может оказаться так, что ваш подход применим только для построения двух шаров из одного?
И построение двух шаров из одного — вещь тоже разумная. Хотя бы потому, что применима исключительна для пространств и базируется на доказанном тезисе, что существуют разбиения шара такие, что объём некоторых «фрагментов» нельзя измерить.(не равен 0!, но неизмерим!)
«Парадокс» же в данном случае указывает на то, что не следует применять операции с пространством к материальным объектам. (в отличии, кстати, от парадокса Рассела парадокс Банаха-Тарского вступает в противоречие только с «естественным» суждением, что два шара больше одного)
тривиально: сложением же часто описывается операция конкатенации строк
Это плохой дизайн языка, не более. В нормальных языках сложение и конкатенация — две разные операции.
Естественные языки ещё хуже. Но ничего, целую математику при их помощи построили. И физику, и химию, и компьютеры, и программы, и языки программирования. А в языках — «плохой дизайн». И всё на основе «плохого» базового языка.
Во-первых сложение используется для обозначения конкатенации в большинстве языков, наверное.
Во-вторых другой интерпретации сложения в применении к строкам я придумать не могу… тем более такой, которая была бы однозначно коммутативна.
Моей же задачей было показать, что ввод операции сложения для нового класса объектов (как для строк, так и для трансфинитных ординалов) не наделяет её автоматически всеми свойствами сложения чисел. Единственное, что если числа являются подмножеством нового класса — сложение двух чисел должно не менять своих свойств.
Во-вторых другой интерпретации сложения в применении к строкам я придумать не могу… тем более такой, которая была бы однозначно коммутативна.
Моей же задачей было показать, что ввод операции сложения для нового класса объектов (как для строк, так и для трансфинитных ординалов) не наделяет её автоматически всеми свойствами сложения чисел. Единственное, что если числа являются подмножеством нового класса — сложение двух чисел должно не менять своих свойств.
Ну так на самом-то деле объекта не два, а три: ω + 1; 1 + ω; ω. Первый из них больше двух других, которые равны между собой.
Да, так тоже можно взглянуть на объекты. Правда знаком «плюс» обозначать некоммутативные операции не совсем логично, и в той же математике придумали знаки типа «плюс в кружке». Либо можно предворять разговор упоминанием некоммутативности и т.д. Но тем не менее можно сказать, что вы ввели новую операцию, а для неё каким-то образом задали некие свойства. Только вот речь-то с самого начала шла о известной арифметической операции. В тексте же предлагалось представить ситуацию, когда «мы берём количество и прибавляем единицу». А вы предложили заменить количество ординалом, после чего, оказывается, ещё и поменяли арифметическую операцию сложения на нечто новое. В итоге вместо одной формулировки задачи вы, по сути, предложили новую формулировку, чем увели обсуждение предложенной задачи в сторону обсуждения другой задачи. Разве это правильно?
И даже если обсуждать новую задачу (прибавление единицы к ординалу «специфическим» способом), то опять возникает вопрос применимости результата к чему-то практическому. То есть если мы согласились, что критерием истины является реальность, то было бы неплохо получить какое-то подтверждение из реальности о правильности вашего подхода с новой операцией и трансфинитными ординалами. Я вот пока вижу опровержение — два шара из одного. А где подтверждение?
Другие разные «противоречия» о которых вы говорите связаны в основном с тем же распространением «естественных» свойств на операции, которые уже применяются в расширенном смысле.
Не совсем так. Я говорю о критерии истины. Если им признаётся реальность, тогда и доказательства истинности каким-то образом должны быть связаны с реальностью. Если предложена новая операция «сложения», то помимо вывода чисто математических свойств её коммутативности и прочего, надо бы подумать и о проверяемости результата. Как проверить «сложение» с трансфинитными ординалами?
Вообще, я готов признать результаты математиков не только в той части, для которой доказана непротиворечивость, но и в той части, где противоречия возможны, но их доказательно обошли. Так в русском языке (в естественном языке, в общем случае) можно выразить как истинные факты, так и абсурд, либо ложь, но я совсем не против русского (естественного) языка. Потому что у меня есть критерий истины — реальность. И я могу применить его к выраженной языком мысли. А вот к специфическому суммированию трансфинитных ординалов — не могу. И как мне быть?
И построение двух шаров из одного — вещь тоже разумная. Хотя бы потому, что применима исключительна для пространств и базируется на доказанном тезисе, что существуют разбиения шара такие, что объём некоторых «фрагментов» нельзя измерить
«Нельзя измерить» равно «нельзя сосчитать». То есть нельзя сосчитать количество точек, потому что мы аксиоматически ввели свойство бесконечного появления новых точек при любом углублении в рассматриваемый объект. И опять здесь фигурирует невозможность получить количество, точно так же как и в случае с бесконечным рядом натуральных чисел. Но почему-то вы допускаете замену количества ординалами для натурального ряда, но не допускаете для набора точек. Как так? Объекты ведь полностью эквивалентны с точки зрения свойств двух множеств. Мы можем указать взаимно однозначное соответствие между ними для случая углубления в некий одномерный континуум, например. Ведь для одномерного случая так же возможны два отрезка из одного? И в общем случае — бесконечномерный и бесконечный мир из одномерного бесконечно малого объекта. Просто потому, что бесконечность позволяет получить все точки любого объекта из любого другого, независимо от пространственных ограничений. Банально бесконечная плотность переводится во что угодно именно благодаря аксиоматически заданному свойству отсутствия конца. Не практически проверенного реальностью, а выдуманного свойства.
Ну и вы сами согласны — «не следует применять операции с пространством к материальным объектам». Но тем не менее неосторожно применяете ординалы к вопросу о сумме количества членов бесконечного ряда с единицей. Хотя само понятие количества — из реального мира. А бесконечность — из придуманного. Но вы продолжаете считать, что реальность и выдумку можно совместить. Хотя чуть выше сами признали, что нельзя. Так которая из ваших реинкарнаций права?
В итоге вместо одной формулировки задачи вы, по сути, предложили новую формулировку, чем увели обсуждение предложенной задачи в сторону обсуждения другой задачи. Разве это правильно?
Вопрос в том какая была задача. Я как бы видел задачу «ввести число всех натуральных чисел как объект с которым можно манипулировать». Ввёл, описал как манипулировать. Естественно, что манипуляции с таким объектом будут несколько отличаться от манипуляций с самими натуральными числами. Ввести число натуральных чисел таким образом, чтобы с ним можно было бы манипулировать в точности как с натуральными числами нельзя. Но это как раз и кажется мне «теневым» условием задачи, на которое я и не согласен.
Как проверить «сложение» с трансфинитными ординалами?
Никак. Также как и возведение в квадрат мнимой единицы. Это аксиоматическая часть.
Собственно и то, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной никак проверить нельзя. Разве что статистику набрать…
Ну и вы сами согласны — «не следует применять операции с пространством к материальным объектам». Но тем не менее неосторожно применяете ординалы к вопросу о сумме количества членов бесконечного ряда с единицей. Хотя само понятие количества — из реального мира. А бесконечность — из придуманного.
Вы путаетесь, опять излишне объединяя понятия. «Материальный» и «реальный» — не синонимы.
Бесконечность — вещь в целом реальная. Времени у вселенной впереди бесконечное количество. И расстояние бесконечно куда ни лети. И расстояние между двумя точками можно нарезать на бесконечное число частей, равно как и время между двумя мгновениями. (хотя это и не совсем та бесконечность, о которой мы говорили ранее)
Другое дело, что понятие бесконечности неприменимо к материальным объектам: они (по пониманию современной науки) состоят из конечного числа элементов.
Поэтому апельсин нельзя удвоить. А пространство, занимаемое апельсином — можно.
Я как бы видел задачу «ввести число всех натуральных чисел как объект с которым можно манипулировать»
Но ввели-то вы ординалы, а не число всех натуральных чисел. Так в ТМ порядковый тип есть пара из множества и отношения, и соответственно в ТМ именно для такого определения введено понятие сложения, которое вы здесь и представили. Но, подсмотрев определение сложения в ТМ, я увидел, что ω + 1 есть так называемое «множество с последним элементом». И мне стало интересно, а как же вы будете защищать подход ТМ в отношении бесконечности? У неё ведь нет конца, правильно? Но вы, использовав ω + 1 (подход ТМ), по сути ввели последний элемент. Он вообще где? Сбоку? Сверху?
Это всё к чему — число всех натуральных чисел, это прежде всего число. Оно одно. И никакие прибавки сбоку или сверху или «с конца» (которого нет), не могут служить логичным дополнением к обычному числу. Хотя если мы отвергаем реальность и задаёмся целью исследовать «фиолетовость сложения в отношении бесконечно малых беспределов», тогда да — ваш подход принимается (а почему бы и нет?). Но вы-то отдаёте себе отчёт в том, что логики в нём нет? Точнее, нет здравого смысла, потому что нет связи с реальностью.
Ввести число натуральных чисел таким образом, чтобы с ним можно было бы манипулировать в точности как с натуральными числами нельзя. Но это как раз и кажется мне «теневым» условием задачи, на которое я и не согласен.
А вот это уже более предметный разговор. То есть вы указали (не совсем явно, правда) на неприменимость понятия «количество» к бесконечности. Я согласен — если конца нет, то и количества нет. О чём я, в общем-то, и говорил.
Как проверить «сложение» с трансфинитными ординалами?
Никак. Также как и возведение в квадрат мнимой единицы. Это аксиоматическая часть.
А здесь я не согласен. Ординалы полностью отрицают реальность. А мнимые числа предполагают некие частные случаи реальности. Так про бесконечное множество с добавкой «конца» я уже писал выше, ну а про минус единицу — здесь дело в выборе моделируемого явления. Представим себе квадрат, например из фанеры, со сторонами, равными единице. Представим себе, что нас интересует его площадь под поверхностью воды (ниже уровня моря, ниже нуля). Если мы расположим квадрат строго одной стороной на уровне моря, а всё остальное — ниже уровня, то получим одну единицу больше нуля и вторую единицу — меньше нуля (погружённую). Чему будет равна площадь квадрата со сторонами 1 и -1?
Бесконечность — вещь в целом реальная.
Здесь я вам возражу вашими же словами:
Собственно и то, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной никак проверить нельзя. Разве что статистику набрать…
Если нельзя проверить для прямой, то почему можно для трёхмерного случая (размер вселенной)?
Другое дело, что понятие бесконечности неприменимо к материальным объектам: они (по пониманию современной науки) состоят из конечного числа элементов.
А не важно, сколько там элементов. Мы либо находим для аксиоматизации аналоги в реальности, либо не находим. Если прямую до бесконечности проследить нельзя (если мы так решили), то значит аналога бесконечности указать тоже нельзя. Ну а если вы считаете, что указать аналог можно, то было бы замечательно, если вы ещё и показали, как его проверить. Как проверить бесконечную делимость отрезка? Только мысленным экспериментом. Но в мыслях ведь и бесконечно малые беспределы бывают, на ряду с бесконечно большими инфинитизималями. Там просто возможно всё. А в реальности — нет.
Поэтому апельсин нельзя удвоить. А пространство, занимаемое апельсином — можно.
Пространство — часть реальности. Его удвоить нельзя. Но можно мысленно представить, что бегемот стал математиком и придумал, как размножить пространство и время. Только вот в реальность этого бегемотика позвать не получается. Точнее позвать можно, но он всё равно не придёт…
Ох… вы очень-очень произвольно манипулируете с допущениями и даже числами.
Нет у вас там стороны -1. У вас там простой квадрат со сторонами по 1, его площадь 1.
Потому что длина стороны — это корень из квадратов расстояний. sqrt(0^2 + (-1)^2) = 1 Площадь реального квадрата не может быть меньше 1, разумеется. А вот площадь мнимого… да, он не «реален» в вашем понимании, но математика для его обсчёта существует.
Проверить нельзя. Но и опровергнуть нельзя. Допущение неопровержимых истин, вменяемое отрицание которых не имеет интерпретации есть основа физики.
Для того, чтобы утверждать, что пространство конечно или что его нельзя бесконечно делить требуются либо свидетельства этого, либо хотя бы интерпретации того, что это значит. Пока ни того ни другого не имеется.
Делимость времени кстати опровергается. Потому что в каждый момент времени занимает положение равной самой себе, то есть покоится. И сегодня, насколько мне известно, все физические теории оперируют непрерывным (бесконечно делимым) временем, а не квантованным.
В итоге на самом деле вы описываете под «реальным» то, что можете пощупать руками. Вот и получается у вас, что пространство — нереально, время — тоже. А реален один апельсин. Даже интересно как вы внутри себя рассуждаете о чёрных дырах, модель которых как раз вот на всех этих бесконечных делимостях и строится. Или чёрные дыры вы тоже полагаете не реальными?
Чему будет равна площадь квадрата со сторонами 1 и -1?
Нет у вас там стороны -1. У вас там простой квадрат со сторонами по 1, его площадь 1.
Потому что длина стороны — это корень из квадратов расстояний. sqrt(0^2 + (-1)^2) = 1 Площадь реального квадрата не может быть меньше 1, разумеется. А вот площадь мнимого… да, он не «реален» в вашем понимании, но математика для его обсчёта существует.
Если нельзя проверить для прямой, то почему можно для трёхмерного случая (размер вселенной)?
Проверить нельзя. Но и опровергнуть нельзя. Допущение неопровержимых истин, вменяемое отрицание которых не имеет интерпретации есть основа физики.
Для того, чтобы утверждать, что пространство конечно или что его нельзя бесконечно делить требуются либо свидетельства этого, либо хотя бы интерпретации того, что это значит. Пока ни того ни другого не имеется.
Делимость времени кстати опровергается. Потому что в каждый момент времени занимает положение равной самой себе, то есть покоится. И сегодня, насколько мне известно, все физические теории оперируют непрерывным (бесконечно делимым) временем, а не квантованным.
В итоге на самом деле вы описываете под «реальным» то, что можете пощупать руками. Вот и получается у вас, что пространство — нереально, время — тоже. А реален один апельсин. Даже интересно как вы внутри себя рассуждаете о чёрных дырах, модель которых как раз вот на всех этих бесконечных делимостях и строится. Или чёрные дыры вы тоже полагаете не реальными?
В итоге на самом деле вы описываете под «реальным» то, что можете пощупать руками. Вот и получается у вас, что пространство — нереально, время — тоже. А реален один апельсин. Даже интересно как вы внутри себя рассуждаете о чёрных дырах, модель которых как раз вот на всех этих бесконечных делимостях и строится. Или чёрные дыры вы тоже полагаете не реальными?
Хм, не обязательно щупать то, что можно померять. Мы же можем померять кусочек пространства — значит оно существует.
Мы можем измерить то, что происходит вокруг черной дыры — значит оно существует.
У нас нет физической возможности измерить что-либо внутри дыры, и согласно современным представляениям физики о процессах, которые происходят внутри, измерить их изнутри скорее всего не выйдет никогда.
А строить матемтические модели, которые отражают не действительное положение дел можно лишь с определенными оговорками и допусками.
Мы же можем померять кусочек пространства — значит оно существует.
Нуу… строго говоря — нет, не можем. Все последние опыты показали, что если пространство и делится на какие-то кусочки, то эти кусочки меньше точности любых имеющихся у нас приборов.
И также нельзя построить модель чёрной дыры, которая описывала бы даже наблюдаемую внешнюю окрестность чёрной дыры, если исходить из того, что пространство состоит из кусочков.
вы очень-очень произвольно манипулируете с допущениями и даже числами
Почему? Дайте определение «произвола», тогда можно будет о чём-то говорить. А пока я вижу, например, теорию множеств, где придуман набор аксиом, а потом точно так же придуман набор определений, которые по сути так же имеют статус аксиом (то есть не оспариваются). И я точно так же — там, где мне удобно что-то моделировать с помощью отрицательных чисел, я использую отрицательные числа, там, где мне нужен корень из единицы, я использую комплексные числа, и т.д. Что в таком подходе не так? При чём заметьте — в нём всё проверяемо, в отличии от построений ТМ.
Проверить нельзя. Но и опровергнуть нельзя.
Понимаете, вы этим всё сводите к розовым пони. Их тоже нельзя найти в природе, но и опровергнуть их существование тоже нельзя. Поэтому я и предлагаю вам реальность в качестве мерила правильности. А вы снова в сторону розовых пони.
Для того, чтобы утверждать, что пространство конечно или что его нельзя бесконечно делить требуются либо свидетельства этого, либо хотя бы интерпретации того
В отношении пространства (и любой другой сущности) возможны гипотезы. Так существует гипотеза бога — хотите верьте, хотите не верьте. Точно так же существует гипотеза бесконечной делимости — хотите верьте, хотите не верьте. Но помимо гипотез существует возможность хотя бы часть из них проверить. И проверка заключается в нахождении подтверждения в реальности. Вот и мои слова про отрицательную площадь отлично проверяются при помощи окунания квадрата в воду, то есть моя гипотеза подтверждается, а вам просто не нравятся мои определения. Но почему вам нравятся определения ТМ (гораздо более произвольные, чем мои) и не нравятся определения отрицательной площади, как пространства ниже заданной границы?
Даже интересно как вы внутри себя рассуждаете о чёрных дырах
Вообще-то вы так и не ответили, как вы рассуждаете о прибавке единицы «с конца» бесконечного множества. Определение из ТМ нам говорит, что операция сложения в рассматриваемом случае есть операция объединения множеств с сохранением порядка, так как объединить бесконечность с единицей? Конца-то нет, куда деть единицу, сохраняя порядок? Ваша же идея использовать такой подход.
Раньше вы писали по другомуЯ просто привел вам пример в терминах ваших же условий, а не математическое доказательство дал, так что вы сейчас демагогией занимаетесь.
Это я к чему? Вы по прежнему не можете внятно сформулировать понятие бесконечности.Это вы как-то телепатией установили? Потому что нигде выше я даже не пытался формулировать понятие бесконечности. А если мне вдруг понадобится, я схожу за ним в книгу и возьму готовое, потому что мой самопал с вероятность 99% не будет совпадать с общеиспользуемыми, и потому вряд ли будет полезен на практике.
Ну и по сути возражаете против отхода от «единственно верного» толкования из ТМ.Не приписывайте мне всякую дичь, пожалуйста.
Но какое-то разумное обоснования такой неизменности привести не можете.Может перестанете уже утверждать чего я могу, а чего — нет?
Просто верите в неизменность.… Я вам отвечу — не знаете. Хотя бы потому, что не можете привести никаких логических обоснований за своё видение.… иначе вы всего лишь верующий, при чём верующий слепоКакое еще видение? Какие еще верования? Вы же в курсе что математика это формальная наука? В рамках своей математической модели я могу сказать что бесконечность это сумма яблочка и котенка, и оно будет так, по определению. Полученные ее свойства могут быть полезными или бесполезными (в рамках какой-то задачи), или даже противоречивыми, но вы не сможете их опровергнуть, они просто есть. Дальше эту модель можно будет выкинуть и забыть, изменить, исправить противоречия, или использовать, например для рисования прикольных абстрактных картинок, но ее нельзя будет назвать правильной или неправильной, ведь это просто совокупность правил, которая может быть достаточно или недостаточно применима для какой-то задачи.
В рамках своей математической модели я могу сказать что бесконечность это сумма яблочка и котенка
Ну вот, тогда мы ведём разговор о ваших яблочках и котятах, но не об общепринятом понятии. Правильно?
А раз так, то и не стоит ожидать от остальных принятия ваших котят с яблочками. Потому что общепринятым что-то становится лишь тогда, когда большинство каким-то образом поймут, что именно так всё на самом деле и обстоит. Но вот яблочек и котят в бесконечности (обычно) никто не видит, так что не обессудьте — ваш ответ не принимается.
Ну вот, тогда мы ведём разговор о ваших яблочках и котятах, но не об общепринятом понятии. Правильно?Нет. Я не знаю какую точно бесконечность вы имели ввиду в статье, но при ее прочтении я предположил что ту, которая описана в википедии. Я увидел что постановка задачи противоречит свойствам этой бесконечности и написал об этом в первом комментарии. Если вы имели в виду какую-то другую бесконечность, ну уж извините, не телепат. И за плевок мне в карму спасибо, кстати.
Я не знаю какую точно бесконечность вы имели ввиду в статье
Я имел в виду выражение «количество всех чисел». Мы же можем записать такое выражение? А далее возникает парадокс, и всё из-за той неявности противоречий, которая не даёт нам, для начала, разобраться с сутью бесконечности.
А про какой плевок в карму вы говорите — я не понял. Если что, я в вас никогда не плевал.
Логика плохо работает на предельных обобщениях, где под словом «ВСЕ» подразумевается вся вселенная и даже больше. Я думаю, что это происходит изза того, что множество «ВСЕ» не является актуальным, а только потенциальным. То есть его нельзя получить «как есть», а можно получить только последовательно приближаясь. Но когда будем приближаться, то обнаружим другие ограничения, которые прояснят и возможно разрешат наш парадокс.
«В некой деревне некий брадобрей заявил, что он бреет в своей деревне всех, кто не бреется сам. Вопрос — кто бреет брадобрея?»
Другой брадобрей. И вообще в деревне живет два брадобрея, которые бреют друг друга
И нет никаких парадоксов. Есть просто нечетко сформулированная задача, которая не решается без дополнительных данных.
«Если вы ответили, что брадобрея бреет сам брадобрей, то сторонники парадоксов вам быстро объяснят, что брадобрей по условиям задачи бреет тех, кто не бреется сам, а значит он не может брить себя, иначе получилось бы, что он бреется сам и тем самым бреет того, кто бреется сам.»
«Если же вы ответили, что брадобрея бреет кто-то другой, то сторонники парадоксов опять напомнят условия задачи — в них указано, что если человек не бреется сам, то его обязан брить именно брадобрей»
Нет, не указано. Условия вообще сформулированы некорректно, без уточнений множества факторов. Например может быть есть люди которые в принципе не хотят бриться и не хотят быть бритыми. В условиях не указано, что брадобрей обязан бриться.
Парадокс — вообще не обязан иметь логического объяснения, поскольку он не является задачей, загадкой или логическим утверждением, которое следует решать или проверять.
Другой брадобрей. И вообще в деревне живет два брадобрея, которые бреют друг друга
И нет никаких парадоксов. Есть просто нечетко сформулированная задача, которая не решается без дополнительных данных.
«Если вы ответили, что брадобрея бреет сам брадобрей, то сторонники парадоксов вам быстро объяснят, что брадобрей по условиям задачи бреет тех, кто не бреется сам, а значит он не может брить себя, иначе получилось бы, что он бреется сам и тем самым бреет того, кто бреется сам.»
«Если же вы ответили, что брадобрея бреет кто-то другой, то сторонники парадоксов опять напомнят условия задачи — в них указано, что если человек не бреется сам, то его обязан брить именно брадобрей»
Нет, не указано. Условия вообще сформулированы некорректно, без уточнений множества факторов. Например может быть есть люди которые в принципе не хотят бриться и не хотят быть бритыми. В условиях не указано, что брадобрей обязан бриться.
Парадокс — вообще не обязан иметь логического объяснения, поскольку он не является задачей, загадкой или логическим утверждением, которое следует решать или проверять.
Все эти «парадоксы» не стоят выеденного яйца.
В предыдущих комментариях справедливо указано, что вся гадость идёт от двоичной логики.
Очень прошу не путать понятия троичной арифметики и троичной логики.
Это абсолютно разные вещи.
Двоичная логика — величайшее заблуждение.
Прискорбно, что даже сам Христос тут малость накуралесил.
Я имею ввиду Евангелие от Матфея 5 стих 37
bible.by/verse/40/5/37
Товарищ не учёл, что кроме «да» и «нет» также справедливы утверждения «неизвестно», «не знаю», не определено" и т.д.
Причём такие утверждения отражают так называемую «объективную реальность» ничуть не хуже, чем «да» или «нет».
Неопределённые, неизвестные состояния существуют реально, объективно.
Непониманием этого обусловлен мрак в рассуждениях о квантовых компьютерах.
Утверждение, что кубит находится одновременно, условно говоря, в состоянии «ноль» и «единица» — это бред.
На самом деле кубит находится в состоянии «неопределено». Это реальное состояние. Третье состояние.
И кубит может при определённых условиях переходить из одного из этих трёх состояний в другое из этих трёх.
Именно попытка натянуть двоичную логику на объективную реальность ведёт к сумашествию в квантовой механике.
Ещё и товарищ Гейзенберг туману подпустил.
Все три состояния кубита равноправны. Ещё раз: есть три равноправных состояния. Не два.
Причём возможен переход из любого состояния в любое другое прямо, а не через одно из них.
Поясняю. Нарисуйте на листе бумаги треугольник.
Из любой вершины треугольника можно прямо перейти в любую из двух других.
Если же вы нарисуете, к примеру, числовую прямую (числовую ось) и будете переходить на ней от «минус единицы»
к «плюс единице», то вам не удастся миновать «ноль». Это иллюстрация бесплодности моделирования трёхзначной арифметики на
«двухзначной» элементной базе.
То есть квантовые компьютеры (их кубиты) это первое столкновение людей с правильной арифметикой.
Появилась правильная элементная база. Вполне возможно, что существуют и другие возможные реализации для троичных вычислений.
Может быть даже это реализовано в мозге. И не только в мозгу. Может быть отсюда и мышление.
Во всяком случае реализация искусственного интеллекта на базе двоичной логики и двоичной арифметики выглядит сомнительной.
Ещё раз прошу не смешивать в одну кучу трёхзначную арифметику и трёхзначную логику.
Троичная арифметика — вещь хорошо известная и хорошо разработанная.
А вот троичная логика — это «прарыффф». Хотя к этому делу неоднократно подступались со времён Аристотеля.
Только вот средневековые схоласты крепко подгадили.
Короче, начните вот отсюда:
www.trinitas.ru/rus/doc/avtr/00/0150-00.htm
Обязательно вдумчиво прочтите:
www.trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02260050.htm
Послушайте автора:
www.youtube.com/watch?v=23xWMOZUYSM
Особенно с 52й минуты:
www.youtube.com/watch?v=IO4-YwhyvrM
Вот он, корень зла:
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%B3%D0%BE
Невредно бегло просмотреть:
www.google.ru/search?newwindow=1&q=%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&cad=h
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8
www.google.ru/search?newwindow=1&q=%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8F&cad=h
P.S.
А что если Христос был прав, и нет ничего кроме «да» или «нет»?
Что если третье — от лукавого?
Что делать-то будем?
В предыдущих комментариях справедливо указано, что вся гадость идёт от двоичной логики.
Очень прошу не путать понятия троичной арифметики и троичной логики.
Это абсолютно разные вещи.
Двоичная логика — величайшее заблуждение.
Прискорбно, что даже сам Христос тут малость накуралесил.
Я имею ввиду Евангелие от Матфея 5 стих 37
bible.by/verse/40/5/37
Товарищ не учёл, что кроме «да» и «нет» также справедливы утверждения «неизвестно», «не знаю», не определено" и т.д.
Причём такие утверждения отражают так называемую «объективную реальность» ничуть не хуже, чем «да» или «нет».
Неопределённые, неизвестные состояния существуют реально, объективно.
Непониманием этого обусловлен мрак в рассуждениях о квантовых компьютерах.
Утверждение, что кубит находится одновременно, условно говоря, в состоянии «ноль» и «единица» — это бред.
На самом деле кубит находится в состоянии «неопределено». Это реальное состояние. Третье состояние.
И кубит может при определённых условиях переходить из одного из этих трёх состояний в другое из этих трёх.
Именно попытка натянуть двоичную логику на объективную реальность ведёт к сумашествию в квантовой механике.
Ещё и товарищ Гейзенберг туману подпустил.
Все три состояния кубита равноправны. Ещё раз: есть три равноправных состояния. Не два.
Причём возможен переход из любого состояния в любое другое прямо, а не через одно из них.
Поясняю. Нарисуйте на листе бумаги треугольник.
Из любой вершины треугольника можно прямо перейти в любую из двух других.
Если же вы нарисуете, к примеру, числовую прямую (числовую ось) и будете переходить на ней от «минус единицы»
к «плюс единице», то вам не удастся миновать «ноль». Это иллюстрация бесплодности моделирования трёхзначной арифметики на
«двухзначной» элементной базе.
То есть квантовые компьютеры (их кубиты) это первое столкновение людей с правильной арифметикой.
Появилась правильная элементная база. Вполне возможно, что существуют и другие возможные реализации для троичных вычислений.
Может быть даже это реализовано в мозге. И не только в мозгу. Может быть отсюда и мышление.
Во всяком случае реализация искусственного интеллекта на базе двоичной логики и двоичной арифметики выглядит сомнительной.
Ещё раз прошу не смешивать в одну кучу трёхзначную арифметику и трёхзначную логику.
Троичная арифметика — вещь хорошо известная и хорошо разработанная.
А вот троичная логика — это «прарыффф». Хотя к этому делу неоднократно подступались со времён Аристотеля.
Только вот средневековые схоласты крепко подгадили.
Короче, начните вот отсюда:
www.trinitas.ru/rus/doc/avtr/00/0150-00.htm
Обязательно вдумчиво прочтите:
www.trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02260050.htm
Послушайте автора:
www.youtube.com/watch?v=23xWMOZUYSM
Особенно с 52й минуты:
www.youtube.com/watch?v=IO4-YwhyvrM
Вот он, корень зла:
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%B3%D0%BE
Невредно бегло просмотреть:
www.google.ru/search?newwindow=1&q=%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&cad=h
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8
www.google.ru/search?newwindow=1&q=%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8F&cad=h
P.S.
А что если Христос был прав, и нет ничего кроме «да» или «нет»?
Что если третье — от лукавого?
Что делать-то будем?
Думаю вас заинтересует и эта ссылка: https://page.hyoo.ru/#!=ixy44o_3oga48
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Логична ли математика или почему парадоксальны аксиоматические теории