Моя численная проверка гипотезы «Абсолютных курсов»

У вас тут метод наименьших квадратов

Всем хорошо нормальное распределение, формулы короткие, считать и доказывать теоремки просто, за что его любят преподы математики и авторы учебников.

Задача в вашей постановке существенно некорректно поставлена, в том смысле, что любое малое возмущение во входных данных может привести к сколько угодно большой ошибке на выходе.

Гауссово распределение в некотором смысле максимально компактное, у него самые тощие хвосты из всех возможных. Из-за этого любая ошибка во входных или промежуточных данных, которая не укладывается в рамки гауссова распределения (а большинство — не укладываются), вызывает «панику-панику» и сносит ваш алгоритм в неведомые дали. Что вы, собственно, и наблюдаете. Решение: разбираться с распределениями (строить гистограммы шумов, аппроксимировать их разными стат. моделями и считать критерий Колмогорова-Смирнова). А затем подбирать вид штрафной функции исходя из наиболее подходящего распределения.</blockquot

У мня невязки уходят в ноль, задача решается на 100%, я не то делаю, что думаете вы. Тут нет выбросов, смещающих решение. Просто бесконечно много решений. В МНК это может быть возможно, если число независимых переменных намного больше числа наблюдений, не понимаю как у меня это получается.

1. Вы совершенно бескомпромиссно пишете чушь. Из того, что автор в качестве метрики выбрал квадрат евклидова расстояния, совершенно не следует никакого предположения о нормальности чего-либо. По факту, у него вообще статистики и распределений нет. Статистика и распределения появились бы, если бы автор начал оценивать погрешность своих результатов. Но этого нет, есть просто поиск оптимума некоторой непрерывной и дифференцируемой функции.
2. Неустойчивость решения надо доказывать. Никаких предпосылок для "малое возмущение во входных данных может привести к сколько угодно большой ошибке на выходе" тут нет.

Как ниже верно замечено, достаточно очевидно, что решение здесь определено с точностью до множителя, поэтому оно не единственное. Надо накладывать еще какие-нибудь ограничения.

Получается, мы хотим, чтобы доллар был единицей всегда, а остальные курсы выражались через эту единицу (что будет выполняться, даже если в паре доллара нет)?

Да, наложено условие, чтобы обменный курс к доллару был максимально близок к единице. Насчёт разумности — имхо, ничем не хуже любого другого ограничения, но результат более понятный.
Дополнительное условие здесь нужно, чтобы можно было выбрать единственное решение из множества. На самом деле для результата даже не очень важно, какое именно это условие. Можно вместо этого положить, чтобы сумма всех курсов была равна 100. Тогда будет так:

obs_rate = c(
  eurusd = 1.12012,
  gbpusd = 1.30890,
  eurchf = 1.14135,
  eurgbp = 0.85570,
  gbpchf = 1.33373,
  usdchf = 1.01896
)

loss = function(vec, rate){
  # eur + usd + gbp + chf = 100
  # chf = 100 - eur - usd - gbp
  chf = 100 - vec["eur"] - vec["usd"] - vec["gbp"]
  sum((rate - c(
    vec["eur"]/ vec["usd"],
    vec["gbp"]/ vec["usd"],
    vec["eur"]/ chf,
    vec["eur"]/ vec["gbp"],
    vec["gbp"]/ chf,
    vec["usd"]/ chf
    )
  )^2)
}

initial = c(eur = 1, usd = 1, gbp = 1)
set.seed(123)
res = optim(initial, loss, rate = obs_rate)
res$par
  # eur      usd      gbp 
# 25.39684 22.67382 29.67731

# соотношение с прошлыми результатами для всех пар практически одинаковое
# > 25.39684/1.1200905
# [1] 22.67392
# > 22.67382/0.9999775 
# [1] 22.67433
# > 29.67731/1.3089043 
# [1] 22.6734
# > (100 - 25.39684 - 22.67382 - 29.67731)/0.9814043 
# [1] 22.67366

Видно, что от прошлых курсов отличие в постоянном множителе.

Как я понимаю, необходимо было найти некий абсолютный курс, через который можно бы было выразить все остальные курсы.