Мир трехмерной гиперсферы. Геодезическая трассировка лучей в замкнутой вселенной со сферической геометрией

    Хотели посмотреть на мир глазами существа живущего в компактной замкнутой вселенной со сферической геометрией? Посмотреть на мир без ночи? Мир, где на небе виден другой полюс планеты? Мир, где нет разницы между солнечным и лунным затмением? Добро пожаловать под кат!



    Введение. Двухмерный замкнутый мир


    Для того чтобы лучше понять то, что будет происходить дальше вообразим, что вы двухмерное существо и живете в двухмерном мире представляющем собой сферу. Как вы будете воспринимать ваш мир? Начнем с определения положения тел. Вы можете объявить точку, в которой находитесь, «центром вселенной», выбрать два взаимно перпендикулярных единичных вектора и пользоваться полученной декартовой системой координат в окрестностях «центра вселенной».



    Однако, по мере удаления от «центра вселенной» начнут происходить странные вещи. То, что воспринималось вами как перпендикулярные прямые, при определенном удалении от «центра вселенной» превращается в то, что воспринимается вами как параллельные прямые…



    … А параллельные прямые пересекаются.



    Причина проста — то, что воспринимается вами как прямая, на самом деле является большой окружностьюгеодезической линией сферы. Поэтому декартова система координат непригодна для определения положения тел в вашем мире — при удалении от «центра вселенной» она теряет смысл.



    Вам придется выбрать другую, более подходящую для использования в вашем мире, систему координат — полярную. Эта система координат естественна и непротиворечива. Действительно — угол между полярной осью и направлением на тело остается постоянным вне зависимости от расстояния до тела.



    Умея определять положение тел, мы можем мысленно исследовать ваш мир и описать некоторые эффекты, проявляющиеся по мере удаления от «центра вселенной» и обусловленные тем, что ваш мир представляет собой сферу.

    Обратная перспектива. Обычно при удалении тела от «центра вселенной» его угловой размер уменьшается. Однако, на расстоянии больше чем четверть длины геодезической линии от «центра вселенной» при удалении тела его угловой размер будет увеличиваться. Этот эффект связан с тем что расстояние между геодезическими линиями сферы до экватора увеличивается, а после экватора уменьшается. Тело, удаленное на одно и то же расстояние от экватора будет иметь один и тот же угловой размер вне зависимости от того по какую сторону от экватора оно лежит. И этот угловой размер будет больше чем угловой размер тела на экваторе.



    Растягивание тела на все небо. Здесь термин все небо используется в значении — все поле зрения двухмерного существа (верхнее и нижнее или переднее и заднее). Если тело находится вблизи точки противоположной «центру вселенной», то куда бы вы ни посмотрели, вы встретитесь взглядом с этим телом. У тела не будет точки, которую невозможно было бы увидеть — каждой точке найдется место на небе. Это предельный случай эффекта обратной перспективы.



    Симметричное преобразование тел. Если тело находится на расстоянии больше чем половина длины геодезической линии от «центра вселенной», то вы будете видеть это тело симметрично преобразованным — левая и правая стороны тела поменяются местами. Обычно левый и правый лучи выпущенные из «центра вселенной» попадают в левую и правую сторону тела. Однако, на расстоянии половины длины геодезической линии от «центра вселенной» лучи пересекаются и после пересечения попадают в противоположные стороны тела.



    Вторая прямая и обратная перспективы. Этот эффект так же наблюдается если тело находится на расстоянии больше чем половина длины геодезической линии от «центра вселенной». На расстояниях от половины до трех четвертей длины геодезической линии от «центра вселенной» при удалении тела его угловой размер снова будет уменьшаться (прямая перспектива). На расстояниях от трех четвертей до целой длины геодезической линии от «центра вселенной» при удалении тела его угловой размер снова будет увеличиваться (обратная перспектива). Этот эффект, как и эффект обратной перспективы, связан с изменением расстояния между геодезическими линиями сферы — на обратном пути к «центру вселенной» расстояние между геодезическими линиями сферы до экватора увеличивается, а после экватора уменьшается.



    Двойники. У каждого тела в вашем мире будет двойник — если вы видите перед собой тело, то обернувшись вы сможете увидеть его обратную сторону (двойник). Луч, выпущенный по длинному пути, обходит ваш мир и попадает в обратную сторону тела. Следует отметить, что поверхностью двойника будет та часть поверхности, которую вы не видите перед собой, и она будет симметрично преобразованной. Здесь термин поверхность используется в значении — граница двухмерного тела воспринимаемая двухмерным существом — применительно к кругу фактически речь идет о дуге окружности воспринимаемой двухмерным существом как отрезок, однако, для наглядности, мы будем выделять цветом не только дугу, но и лежащую за ней часть круга.



    Прохождение тела через точку противоположную «центру вселенной». Поскольку эффект растягивания тела на все небо является весьма необычным мы рассмотрим его подробнее. На рисунках: окрестность точки противоположной «центру вселенной».



    Видно, что:

    • вначале расположенная перед вами поверхность тела увеличивается (окрашена синим цветом), а расположенная позади вас — уменьшается (окрашена голубым цветом); при этом обе поверхности имеют одинаковые угловые размеры — то есть расположенная перед вами поверхность тела стягивается (все большая часть поверхности лежит в пределах каждого градуса), а расположенная позади вас — растягивается (все меньшая часть поверхности лежит в пределах каждого градуса)
    • когда тело касается точки противоположной «центру вселенной» угловой размер обоих поверхностей равен 180 градусам — одну половину неба (перед вами) занимает вся поверхность тела, а вторую половину неба (позади вас) занимает точка, лежащая на обратной стороне тела
    • пока центр тела совмещается с точкой противоположной «центру вселенной» происходит процесс обратный стягиванию и растягиванию
    • когда тело расположено в точке противоположной «центру вселенной» его поверхность в неискаженном виде растянута на все небо
    • сползание тела с точки противоположной «центру вселенной» выглядит аналогично

    Двойной горизонт. Представим, что вы живете на двухмерной планете. Опустив взгляд вниз, вы видите поверхность вашей стороны планеты, а подняв взгляд вверх, вы видите… поверхность обратной стороны планеты. Причем она будет очень сильно стянута — видна и поверхность обратной стороны планеты и та часть поверхности вашей стороны планеты, которая находится за вашей спиной за горизонтом — вы можете увидеть все это у себя над головой. Небо будет представлено в виде узкой как ниточка полоски зажатой сверху и снизу горизонтами вашей и обратной сторон планеты. Это комбинация эффекта растягивания тела на все небо и эффекта двойника. Вообще, в вашем мире, если вашему взгляду ничего не мешает, то прямо перед собой можно увидеть свой затылок… здоровый такой затылок, во всех подробностях… растянутый на все небо)



    Мир без ночи. Представим, что двухмерная планета на которой вы живете вращается вокруг двухмерной звезды. Свет, испущенный звездой по короткому пути, падает на дневную сторону планеты. В то же время, свет, испущенный звездой по длинному пути, обходит ваш мир и падает на ночную сторону планеты. Ночи больше не существует. Все что осталось — это закаты и рассветы, которые будут происходить одновременно — когда перед вами обращенная к вам сторона звезды начнет заходить за горизонт, позади вас из-за горизонта начнет восходить обратная сторона звезды. Конечно, можно выделить истинные закат и рассвет по длине пути, который прошел свет, но отличить их от двойников будет практически невозможно.



    Есть и предельный случай. Если планете не повезло и она находится в точке противоположной звезде, то звезда будет растянута на все небо, но любоваться этим будет проблематично, так как на планету обрушится весь свет испущенный звездой (при отсутствии поглощения и рассеяния света межпланетной средой).

    Солнечные и лунные затмения. Представим, что вокруг двухмерной планеты на которой вы живете вращается двухмерный естественный спутник. Когда спутник становится между планетой и звездой его тень падает на планету. С другой стороны в это же время планета становится между светом, испущенным звездой по длинному пути и спутником, то есть тень планеты падает на спутник. Происходит одновременное солнечное и лунное затмения. Конечно, можно выделить истинные солнечное и лунное затмения по длине пути, который прошел свет, но отличить их от двойников будет практически невозможно. Попасть в тень, падающую на планету и ее спутник во время затмений — единственный способ побыть в темноте в вашем мире)



    Трехмерный замкнутый мир


    Выше мы рассмотрели удивительный мир двухмерного существа. А как насчет нас, трехмерных существ? Какова геометрия Вселенной? К сожалению, наука пока не может дать ответ на этот вопрос. В основном мешают свойства и размер Вселенной. Попробуем помочь науке. Выберем в качестве кандидата наиболее интересную замкнутую вселенную со сферической геометрией и визуально исследуем ее. Будут ли наблюдаться эффекты открытые нами для двухмерного аналога? Может быть, мы узнаем что-то новое? Что-то, чего не ожидали узнать? Или даже увидим то, что видим каждый день, но не обращаем на это внимание? Как вообще будет выглядеть такая вселенная?

    Модель


    Мы будем исследовать мир, который представляет собой трехмерную гиперсферу (3-сферу) — то есть сферу, лежащую в четырёхмерном пространстве. Выберем один тип объектов для визуализации — сферу (2-сферу принадлежащую 3-сфере).

    Основные понятия и соотношения
    Декартовы координаты в четырехмерном пространстве — будем обозначать их как $(x_0, x_1, x_2, x_3)$ — это фактически $(x, y, z, w)$.

    Гиперсферические координаты в четырехмерном пространстве (используем только углы, так как радиус нашего мира будет константой) — будем обозначать их как $(a_0, a_1, a_2)$ — это фактически $(\phi, \theta, \psi)$.

    3-сфера с центром в начале координат — множество точек, радиус-вектор которых имеет длину равную радиусу 3-сферы $R$ — это наш мир

    $\quad \quad x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2$

    2-сфера принадлежащая 3-сфере — множество точек, радиус-вектор которых имеет длину равную радиусу 3-сферы $R$ и образует с радиус-вектором центра 2-сферы $c$ угол равный угловому радиусу 2-сферы $r_a$ — это наши объекты визуализации

    $\quad \quad x_0 c_0 + x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 = R^2 \cos r_a$

    где

    $\quad \quad r_a = r / R$
    $\quad \quad r$ — геодезический радиус 2-сферы

    Геодезический, угловой и условный радиус — для того что бы лучше понять что это такое рассмотрим двухмерный аналог 2-сферы принадлежащей 3-сфере — окружность принадлежащую сфере.



    Красная дуга на рисунке — это геодезический радиус окружности $r$. Красный угол в правой части рисунка — это угловой радиус окружности $r_a = r / R$. Высота треугольника в правой части рисунка — это условный радиус окружности $r_n = R \sin r_a$.

    Переход от гиперсферических координат $(a_0, a_1, a_2)$ к декартовым $(x_0, x_1, x_2, x_3)$

    $\quad \quad x_0 = R \sin a_2 \sin a_1 \cos a_0$
    $\quad \quad x_1 = R \sin a_2 \sin a_1 \sin a_0$
    $\quad \quad x_2 = R \sin a_2 \cos a_1$
    $\quad \quad x_3 = R \cos a_2$

    где

    $\quad \quad a_0$ меняется от $0$ до $2\pi$
    $\quad \quad a_1$ меняется от $0$ до $\pi$
    $\quad \quad a_2$ меняется от $0$ до $\pi$

    Пересечение геодезической линии 3-сферы с 2-сферой принадлежащей 3-сфере.
    Это соотношение будет использоваться при трассировке лучей. Пусть имеется геодезическая линия выходящая из полюса 3-сферы $(0, 0, 0, R)$ в направлении определяемом углами $a_0$ и $a_1$ — эти углы совпадают с углами определяющими направление в трехмерном пространстве в окрестностях полюса 3-сферы $(0, 0, 0, R)$

    $\quad \quad x_0 = R \sin a_2 \sin a_1 \cos a_0$
    $\quad \quad x_1 = R \sin a_2 \sin a_1 \sin a_0$
    $\quad \quad x_2 = R \sin a_2 \cos a_1$
    $\quad \quad x_3 = R \cos a_2$

    упростив имеем (1)

    $\quad \quad x_0 = r_0 \sin a_2$
    $\quad \quad x_1 = r_1 \sin a_2$
    $\quad \quad x_2 = r_2 \sin a_2$
    $\quad \quad x_3 = r_3 \cos a_2$

    где

    $\quad \quad r_0 = R \sin a_1 \cos a_0$
    $\quad \quad r_1 = R \sin a_1 \sin a_0$
    $\quad \quad r_2 = R \cos a_1$
    $\quad \quad r_3 = R$

    подставив (1) в уравнение 2-сферы и упростив имеем (2)

    $\quad \quad A \sin a_2 + B \cos a_2 = C$

    где

    $\quad \quad A = r_0 c_0 + r_1 c_1 + r_2 c_2$
    $\quad \quad B = r_3 c_3$
    $\quad \quad C = R^2 \cos r_a$

    подставив (1) в уравнение 3-сферы и упростив имеем (3)

    $\quad \quad D \sin^2 a_2 + E \cos^2 a_2 = F$

    где

    $\quad \quad D = r_0^2 + r_1^2 + r_2^2$
    $\quad \quad E = r_3^2$
    $\quad \quad F = R^2$

    выразив из (2) $\cos a_2$ имеем

    $\quad \quad \cos a_2 = (C - A \sin a_2) / B$

    подставив в (3) $\cos a_2$ имеем

    $\quad \quad D \sin^2 a_2 + E / B^2 (C - A \sin a_2)^2 = F$

    упростив имеем

    $\quad \quad a \sin^2 a_2 + b \sin a_2 + c = 0$

    где

    $\quad \quad m = E / B^2$
    $\quad \quad a = m A^2 + D$
    $\quad \quad b = -2 m A C$
    $\quad \quad c = m C^2 - F$

    Точка на продолжении геодезической линии 3-сферы проходящей через две точки.
    Это соотношение будет использоваться при нахождении текстурных координат и внешней нормали в произвольной точке 2-сферы принадлежащей 3-сфере. Пусть

    $\quad \quad O$ — центр 3-сферы
    $\quad \quad A$ — центр 2-сферы
    $\quad \quad B$ — произвольная точка 2-сферы
    $\quad \quad C$ — искомая точка лежащая на продолжении геодезической линии $AB$ на малом угловом расстоянии $\delta$ от точки $B$
    $\quad \quad D$ — точка пересечения прямых $AB$ и $OC$
    $\quad \quad E$ — точка пересечения прямой проходящей через точку $D$ перпендикулярно прямой $AB$ и прямой проходящей через точку $O$ параллельно прямой $AB$
    $\quad \quad r_a$ — угловой радиус 2-сферы
    $\quad \quad a = (\pi - r_a) / 2$
    $\quad \quad b = a - \delta$
    Если $r_a > \pi$, то следует положить $r_a = 2\pi - r_a$, а $\delta = -\delta$
    Найдем $\vec{OD}$

    $\quad \quad \vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AB} / |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|$

    где

    $\quad \quad |\vec{AD}| = |\vec{AB}| / 2 + |\vec{OE}|$
    $\quad \quad |\vec{OE}| = |\vec{DE}| / \tan b$
    $\quad \quad |\vec{DE}| = R \sin a$

    найдем $\vec{OC}$

    $\quad \quad \vec{OC} = \vec{OD} / |\vec{OD}| \cdot R$

    Освещение
    Мы будем использовать две модели освещения.

    Простая модель освещения. В этой модели яркость точки поверхности зависит от косинуса угла между внешней нормалью к поверхности и направлением на наблюдателя. Мы будем использовать ее при построении изображений для пояснительного материала. Фактически — это модель с точечным источником света расположенным там, где находится наблюдатель, в которой яркость точки поверхности не зависит от расстояния до источника света.

    Реалистическая модель освещения. В этой модели будет выделенный точечный источник света. Мы будем использовать ее при построении реалистических изображений. Эта модель может учитывать влияние площади волнового фронта на яркость точки поверхности (фактически — влияние расстояния до источника света). В замкнутой вселенной со сферической геометрией площадь волнового фронта прямо пропорциональна квадрату условного радиуса сферы с геодезическим радиусом равным расстоянию от точки поверхности до источника света. При удалении от источника света площадь волнового фронта до экватора увеличивается (лучи света расходятся), а после экватора уменьшается (лучи света сходятся, фокусируются). После прохождения точки противоположной «центру вселенной» происходит обратный процесс: лучи света вначале расходятся, а потом снова сходятся. Кроме того эта модель может учитывать особенности восприятия (закон Вебера — Фехнера).

    Для построения изображения будем использовать обратную трассировку лучей. Что бы модель была интерактивной (мы будем осматривать наш мир и перемещаться в нем) изображение должно строиться в режиме реального времени. Поэтому вычисления будем выполнять во фрагментном шейдере (используем WebGL). Интерфейс реализуем на JavaScript.

    Текстуры
    Текстура earth.jpg отсюда



    Текстура moon.jpg отсюда



    Текстура sun.png отсюда



    Первое знакомство


    Создадим трехмерный замкнутый мир с длиной геодезической линии равной 100 — так нам будет проще ориентироваться — экватор нашего мира будет расположен от наблюдателя на расстоянии 25 (четверть длины геодезической линии), а противоположный полюс нашего мира — на расстоянии 50 (половина длины геодезической линии). Поместим в наш мир планету и окрасим части ее поверхности в цвета зависящие от того в какой октант они попадают:

    Октант Знак X Знак Y Знак Z Цвет
    I + + + Красный (Red)
    II - + + Зеленый (Green)
    III - - + Синий (Blue)
    IV + - + Оранжевый
    V + + - Голубой (Cyan)
    VI - + - Пурпурный (Magenta)
    VII - - - Желтый (Yellow)
    VIII + - - Белый

    В качестве основной текстуры будем использовать текстуру шахматная доска 3x6, то есть каждая параллель и меридиан будут проходить ровно через 12 ячеек. В качестве альтернативной текстуры будем использовать текстуру земной шар. Ниже показаны снимки ознакомительного облета нашей планеты.

    Снимок Северного полюса. Ось X направлена вправо, ось Y направлена вверх, ось Z направлена на нас. При наложении альтернативной текстуры можно увидеть:

    • справа — Тихий океан
    • сверху — Северную Америку
    • слева — Атлантический океан
    • снизу — Евразию



    Снимки перелета от Северного полюса к экватору и от экватора к Южному полюсу.



    Снимок Южного полюса. Ось X направлена вправо, ось Y направлена вниз, ось Z направлена от нас. При наложении альтернативной текстуры можно увидеть:

    • справа — Тихий океан, Новую Зеландию, Австралию
    • сверху — Индийский океан
    • слева — Атлантический океан, Африку
    • снизу — Южную Америку



    Визуальное исследование


    Проведем визуальное исследование нашего мира с целью обнаружить аналоги эффектов открытых нами в двухмерном замкнутом мире.

    Двойники. Как и в двухмерном аналоге у каждого тела в нашем мире будет двойник — если мы видим перед собой Северный полюс, то обернувшись мы сможем увидеть… Южный полюс. Стягивание поверхности двойника заметно из-за того что мы находимся достаточно близко к планете.



    Эксперимент, при котором наблюдатель удаляется от планеты (цифра в левом верхнем углу каждого снимка — это дистанция между наблюдателем и планетой).



    Видно, что:

    • вначале угловой размер планеты уменьшается — это обычная прямая перспектива
    • потом, когда планета прошла экватор нашего мира (дистанция более 25), ее угловой размер увеличивается — это знакомый нам эффект обратной перспективы
    • при наползании на противоположный полюс нашего мира мы видим стянутую поверхность (дистанция 46,875)
    • когда планета находится на противоположном полюсе нашего мира (дистанция 50) ее растягивает на все небо
    • при сползании с противоположного полюса нашего мира мы видим растянутую поверхность (дистанция 53,125)
    • после того как планета прошла противоположный полюс нашего мира она выглядит симметрично преобразованной — красный октант поменялся с синим и так далее
    • затем, угловой размер планеты уменьшается (дистанция от 50 до 75), а потом увеличивается (дистанция от 75 до 100) — это знакомый нам эффект второй прямой и обратной перспективы

    Артефакты. При использовании модели было замечено, что во время прохождения планеты через точки лежащие от наблюдателя на расстояниях 25, 50 и 75 возможно появление артефактов — на планете может «вырасти шерсть» или она может вообще «рассыпаться». Видимо моя математика чего-то не учитывает)



    Снимок планеты в окрестностях противоположного полюса нашего мира (использован широкоугольный «объектив»). Поверхность планеты перед нами сильно стянута — видно не только все Северное полушарие, но и часть Южного полушария за экватором. Поверхность планеты позади нас сильно растянута — крупно виден Южный полюс. Обе поверхности тянутся друг к другу пытаясь как бы заключить нас в сферическую оболочку и явить нам картину планеты растянутой на все небо.



    Эксперимент, при котором наблюдатель поднимает взгляд (цифра в левом верхнем углу каждого снимка — это угол между направлением вниз и направлением взгляда).



    На снимках:

    • вначале появляется горизонт нашей стороны планеты
    • потом, мы видим над ним второй горизонт, где находим то, что расположено на нашей стороне планеты за нашей спиной за горизонтом
    • поднимая взгляд выше, мы видим обратную сторону планеты

    Снимок двойного горизонта (использован широкоугольный «объектив»). Полоска неба достаточно велика потому что мы находимся на высоте порядка 50 км.



    Снимок неба над головой (использован широкоугольный «объектив»).



    Мир без ночи.
    Далее для простоты мы будем называть нашу планету Землей, ее естественный спутник — Луной, а звезду вокруг которой они обращаются — Солнцем. Пропорции размеров Солнца, Земли, Луны и их орбит для наглядности не будут соблюдены.
    На снимке: граница между дневной и ночной сторонами планеты проходящая через Атлантический океан. Одновременно видны убывающая и растущая Земля. Примерно такую картину видят ребята сидящие на лунных базах в нашем мире)



    На анимации: движение границы между дневной и ночной сторонами Земли. Видно перекрытие Солнца диском Земли освещенным лучами Солнца выпущенными по длинному пути.



    Солнечные и лунные затмения.
    На снимке: Луна выходит из тени Земли. Видны границы между дневной и ночной сторонами Земли и Луны.



    На анимации: солнечное и лунное затмения.



    Видно, что:

    • вначале Земля отбрасывает тень на Луну, а Луна отбрасывает тень на Землю
    • потом Луна выходит из тени Земли, а тень Луны уходит с поверхности Земли
    • затем тень Луны возвращается на поверхность Земли и Луна снова заходит в тень Земли
    • граница между дневной и ночной сторонами Луны не видна при перекрытии Луны диском Земли потому что обращенная к нам сторона Луны все еще находится в тени Земли

    На анимации: движение границ между дневной и ночной сторонами Земли и Луны совмещенное с солнечными и лунными затмениями. Примерно такую картину видят ребята обслуживающие обсерватории в точке Лагранжа L2 в нашем мире) Конечно, если пренебречь вращением Земли)



    На снимке: рассвет на МКС в нашем мире)



    Заключение


    Для чего все это)? Просто очень хотелось посмотреть на мир глазами существа живущего в компактной замкнутой вселенной со сферической геометрией. Познать этот удивительный мир без символов Кристоффеля и тому подобных вещей оставаясь в рамках общего курса высшей математики. Результат перед вами. Кажется все получилось. Надеюсь, вам было интересно и хорошего дня!

    Исходный код.

    Рабочая модель (открывать на ПК, не для мобильных устройств).

    Для тех, кого заинтересовала тематика, есть великолепная статья, в которой рассказывается об удивительных явлениях, которые можно наблюдать в реальной Вселенной: Как нарисовать чёрную дыру. Геодезическая трассировка лучей в искривлённом пространстве-времени.

    Средняя зарплата в IT

    120 000 ₽/мес.
    Средняя зарплата по всем IT-специализациям на основании 6 371 анкеты, за 1-ое пол. 2021 года Узнать свою зарплату
    Реклама
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее

    Комментарии 74

      –13
      Все было бы не плохо, но автор почему то упустил из виду, что эта гиперсфера (кстати замкнутая вселенная не обязана быть именно гиперсферой) расширяется, да еще с одной и той же скоростью (света), образуя радиус 4-шара R4=ct, t — возраст вселенной, следовательно x=y=z=ct*2*пи. Так как скорость расширения постоянна, а размер переменный, то можно «придумать» специальный коэффициент «H» равный соотношению скорости расширения сферы к ее текущему размеру H=c*2*пи/ct*2*пи=1/t. Если существо живущее на этой сфере сможет ПРАВИЛЬНО определить этот коэффициент руководствуясь правильными теориями, то оно сможет определить и время расширения и размер своей вселенной.

        +13
        Статья немного не об этом
          –5
          Стать немного ни о чем, но картинки хорошие.
        0
        Про скорость расширение постоянна — сомнение
        Не будет то что дольные галакти будут удалятся от нас (с нашей точки зрения) больше чем скорость света?
          +2
          Галактики, за пределами объёма Хаббла, и так удаляются от нас быстрее скорости света. В теории.
            0
            Если вы про то, что все что удаляется от нас со скоростью света мы не видим — то это не так. Скорость движения не влияет на скорость распространения световых волн и звуковых за одно. Если взять в пример звук от движущегося объекта, то он ускоряется или замедляется не от скорости распространения звука, а от изменения дистанции до наблюдателя на которую он распространяется.
          +2

          Красиво. Если есть возможность, напишите про мир с отрицательной кривизной.

            +1
            В двумерном гиперболическом мире происходит действие игры HyperRogue (между прочим, проект жив и активно развивается, есть на ПК и Android). Но вот в трёхмерном пространстве ничего похожего нет, а жаль :)
            0
            Самые дальние источники света во вселенной — квазары. Расстояние до них определяется по «красному смещению», то есть по изменению длины волны света от них. Будет ли в мире гиперсферы наблюдаться эффект красного смещения при взгляде в противоположную сторону? При этом объекты будут двигаться не от нас, а к нам, поэтому смещение должно быть синим, а не красным. Но такого смещения во вселенной не наблюдается. То есть либо мы не видим достаточно далеко, либо мир «разомкнут».

            А вообще — картинки и анимации супер!
              +1
              Будет ли в мире гиперсферы наблюдаться эффект красного смещения при взгляде в противоположную сторону?

              Конечно, потому что космологическое красное смещение это вовсе не эффект Доплера, как любит заблуждать научпоп, это смещение происходит из за самого расширения пространства, которое происходит везде одинаково, по этому отношение длины волны принятой к длине волны излученной будет в точности равно отношению размеров сферы в момент приема к размеру в моменту излучения, а так как вселенная во времени расширяется с одной и той же скоростью «сt», то это не только отношение размеров но и отношение ее возраста.
                0
                Тогда в точке нахождения наблюдателя точно так же расширяется эталон метра, что приводит к сохранению соотношения метра и длины волны, что исключает красное смещение.
                  0
                  Какого еще эталона метра? Увеличивается само количество метров, как и секунд отделяющих от «большого взрыва».
                0
                То есть либо мы не видим достаточно далеко, либо мир «разомкнут».

                Существует мнение, что наблюдаемая нами часть Вселенной существенно меньше ее размера — если Вселенная конечно замкнута, что не доказано — то есть свет не обошел нашу Вселенную и, если я правильно понимаю текущее положение дел в этом вопросе, никогда не обойдет. Подробнее можно почитать тут, а еще лучше посмотреть тут.
                  0
                  Мы видим на «расстоянии» z=1089, но так как координаты этого красного смещения заведомо определены не верно, то вопрос о том на столько далеко мы видим остается открытым.
                0
                У вас странное допущение, что двумерные существа могут видеть вне своей плоскости.
                Они не смогут увидеть «проекцию» своей вселенной на саму себя.
                И кстати, мы живём, судя по всему, во Вселенной с отрицательной (а не положительной, как у гипер-сферы) кривизной — пространстве анти-де Ситтера: что-то вроде гипер-гиперболоида. И было бы неплохо почитать статью и о ней.
                  +1
                  Речь про обычных трёхмерных существ, как мы с вами. И про вселенную в виде небольшой гиперсферы (а не сферы). Является ли наша вселенная гиперсферой — вопрос отрытый. Но если и является — то очень большой — кривизну пространства до сих пор не нашли — пространство плоское (в смысле того, что евклидово) в обозримой части вселенной в пределах погрешности проводимых измерений.
                    0
                    Если мы говорим о двумерных существах на сфере — то ничего подобного!
                    Трёхмерные существа видят просто сферу, а двумерные существа могут видеть только вдоль поверхности.
                    Мало этого, любые 3х мерные движения они (2д-люди) будут видеть масштабирование (уменьшение)-исчезновение-появление в другом месте — новое масшатбирования (увеличение). Поэтому свет, проходящий сквозь сферу будет выглядеть мистическими лучами, а вовсе не светом идущим вдоль поверхности. А значит и свет не знает о трёхмерности мира.
                    А значит, никакой проекции изнанку сферы никто не увидит из 2д-людей и 2д-света
                      0
                      В статье не рассматриваются вопросы восприятия двухмерными существами трехмерных тел проходящих через их мир. Так же в статье не показаны виды от лица двухмерных существ так как они лишены наглядности и выглядят как отрезки. Предполагается, что в рассмотренном для примера двухмерном мире действуют естественные для него законы по которым свет и «лучи» зрения идут по геодезической линии, а не в третьем измерении.
                  0
                  Помню, читал в детстве в какой-то книжке, что если бы атмосфера Земли состояла из диоксида серы, то, с учетом его плотности и коэффициента преломления, Земля бы казалась оптически плоским замкнутым миром (т.е. посмотрев в телескоп прямо вперед, можно было бы увидеть свой затылок, при условии, что гор на пути не случилось). Книжка называлась «что-то там Дедала». Никто не помнит, что за книжка это была?
                    0

                    У Стругацких было нечто подобное в Обитаемом Острове. Там людям казалось что они живут на внутренней поверхности сферы из-за преломления.

                      0
                      Книжку нашел, называется «Изобретения Дедала». Там кстати в той же главе был расчет, что с текущей массой и атмосферой Земли для того же эффекта было бы достаточно ужать её в радиусе на 13 километров, ну или выкопать горизонтальный туннель вокруг Земли на глубине в 13 километров и там наблюдать этот эффект.
                    +1

                    Не раскрыта тема конечной скорости света. Двойной горизонт выглядел бы ещё необычнее, если бы за время движения света через вселенную Земля успела повернуться/улететь куда-нибудь.

                      0

                      Отличная мысль, конечная скорость света добавила бы эффектов

                        0
                        в теории можно было бы обернуться и увидеть самого себя до оборота, верно?
                          0
                          Думаю да
                          0
                          И на эту тему тоже есть игра! A Slower Speed of Light
                            0
                            В ней можно двигаться быстрее излучения?
                        0
                        Интересно было бы поиграть в игру с трехмерной сферической геометрией
                        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                            0
                            Коксетер одобряе!
                              0
                              Это потрясающе!
                              В детстве, когда прочитал о кривизне Вселенной, представлял как бы она могла выглядеть при положительной кривизне, но из-за недостаточной образованности не предвидел очень многих артефактов. А тут прям всё очень интересно получилось.
                                0
                                Как на двухмерной планете я могу опустить взгляд вниз?
                                  0

                                  Предложите свой термин для двухмерного случая)

                                    0
                                    Думаю, правильно будет считать, что в пространстве любой размерности и любой кривизны живое существо сможет смотреть лишь в направлении геодезических линий данного пространства, проходящих через него (точнее через его глаз), потому что процесс «смотрения» неразрывно связан со способом распространения световых лучей, которые в любых пространствах распространяются именно по геодезическим линям (т.е. по кратчайшему расстоянию в рамках данного пространства).

                                    Так, живое существо не сможет смотреть в направлении линии, которая не принадлежит пространству, в котором оно живет, а лишь пересекает пространство в точке, где находится это существо. А ваша фраза (приведенная ниже), если я ее правильно понял, как раз противоречит этому:
                                    Представим, что вы живете на двухмерной планете. Опустив взгляд вниз, вы видите поверхность вашей стороны планеты, а подняв взгляд вверх, вы видите… поверхность обратной стороны планеты.

                                    П.С. А вообще статья интересная. Автору спасибо))
                                      0
                                      Вы все правильно написали в плане того, что свет и «лучи» зрения идут по геодезической линии, а не в третьем измерении — именно так и описано в статье. Никакого противоречия с приведенной фразой содержащей слова «верх» и «низ» нет — эти термины используются применительно к двухмерному существу — точно так же вы, смотря на лист бумаги, можете сказать «вверху листа» или «внизу листа» не подразумевая при этом «над» и «под» — все действия в рассмотренном для примера двухмерном мире происходят на поверхности.
                                        0
                                        Думаю, для корректности использования в 2D-мире слов «вверх», «вниз» или там «влево», «вправо» стоило бы на одном из рисунков изобразить живое 2D-существо, на котором стрелочками показать эти направления, чтобы не возникало недопонимание))

                                        А в вопросе, что именно сможет видеть такое существо, для начала нужно определиться, где на его теле будет находиться глаз (и изобразить его). От этого многое зависит. Например, если это существо является непрозрачным и его глаз находится внутри него, а не на его границе, то существо будет видеть лишь часть себя (внутри себя), к которой примыкает глаз :))

                                        Представим, что вы живете на двухмерной планете. Опустив взгляд вниз, вы видите поверхность вашей стороны планеты
                                        Без рисунка этого существа на сфере действительно очень сложно сориентироваться о чем идет речь. Если есть желание улучшить статью и время для этого — будьте добры, добавьте рисунок))

                                        Представим, что вы живете на двухмерной планете. Опустив взгляд вниз, вы видите поверхность вашей стороны планеты
                                        Думаю, 2D-существо никак не сможет видеть поверхность живя на ней (или может будет точнее говорить «живя в ней», или строго математически — «принадлежа ей»). «Полноценно» увидеть поверхность можно только со стороны третьего измерения, но никак не находясь в этих двух.

                                        Отдельно возникает вопрос, сможет ли вообще это существо что-либо видеть, учитывая, что все эти изображения будут исключительно одномерными.
                                        Аналогично тому, как мы (3D-существа) видим только 2D-картинку, особенно, если смотреть одним глазом. Стоит отметить, что бинокулярное зрение не делает видимое 3D-существом изображение трехмерным — это всего лишь вид объекта одновременно под разными углами (комбинация двух 2D-изображений), создающее лишь иллюзию трехмерности.

                                        Вот как можно увидеть, например, абсолютно тонкий (имеющий нулевую толщину) отрезок?
                                          0
                                          Все ваши замечания справедливы в плане терминологической точности более уместной для юридического или нормативного документа. В первоначальной редакции слова «вверх», «вниз» и «поверхность» были указаны в кавычках, однако, я убрал кавычки так как они унижают смышленость читателя — из контекста и так понятно что «вверх», «вниз» и «поверхность» употребляются применительно к восприятию двухмерного существа. Постараюсь если это будет выглядеть органично внести поясняющие комментарии в текст.
                                            0
                                            Жаль, что вы отвечаете обобщенно, а не по тезисам, которые я обозначил… Из-за этого ряд моментов, которые меня интересовали, просто теряются. Так, вы ничего не сказали о:
                                            1) том, где находится глаз живого 2D-существа;
                                            2) и сможет ли оно вообще видеть, учитывая, что все визуальные картинки для него будут одномерными.

                                            Все ваши замечания справедливы в плане терминологической точности более уместной для юридического или нормативного документа.
                                            Полагаю вы говорите именно об этом уточнении (см. жирный текст): "Думаю, 2D-существо никак не сможет видеть поверхность живя на ней (или может будет точнее говорить «живя в ней», или строго математически — «принадлежа ей»)".
                                            Но это было так, к слову.

                                            Все же остальные мои слова относились исключительно к физике/геометрии «вашего мира».

                                            В первоначальной редакции слова «вверх», «вниз» и «поверхность» были указаны в кавычках, однако, я убрал кавычки так как они унижают смышленость читателя
                                            Я ничего не имею против использования этих слов без кавычек. Просто нужно им дать определение относительно 2D-мира и изобразить на рисунке.

                                            из контекста и так понятно что «вверх», «вниз» и «поверхность» употребляются применительно к восприятию двухмерного существа
                                            Да, это понятно. Только где на этой сфере верх и низ — мне так и не стало понятно. Вот представил, что на 2D-сфере находится 2D-существо в виде сферического треугольника, допустим. Вот где по отношению к нему будет верх и низ?

                                            Вы привели в статье огромное количество рисунков со сферами. Думаю, несложно будет добавить еще один рисунок с изображением на нем живого 2D-существа, нарисовав ему глаз и указав, где по отношению к нему находится верх, низ, право, лево.
                                            Это будет очень ценное дополнение/уточнение к материалу статьи учитывая, что не только у меня одного возникли вопросы по этому поводу.
                                              0
                                              В статью добавлен абзац о терминах который как мне кажется снимает все возможные неоднозначности восприятия трехмерными существами повествования о двухмерных существах) Изображение двухмерного существа возможно имело бы некоторую ценность (если конечно не породило бы 100 тредов о том прав ли автор изображая зрачок внутри глаза, а не на его границе vs 200 тредов о том почему зрачок показан как точка на границе глаза и его плохо видно читателю vs 300 тредов о том почему не показано строение глаза двухмерного существа и не раскрыта тема почему его глаз расположен не внутри желудка, а на границе тела), но, кажется акцент на этом не стоит усилий.
                                                0
                                                200 тредов о том почему зрачок показан как точка на границе глаза и его плохо видно читателю
                                                Если вам показалось, что я цепляюсь, то это не так))

                                                если конечно не породило бы <...> 300 тредов о том почему не показано строение глаза двухмерного существа
                                                Тут вы правы. В чем-то глубокая физико-геометрическая детализация может быть и не уместна (тут ведь не реальный 2D-мир с флорой и фауной автор пытается построить), но некоторые детали, не описанные в статье, но которые вызывают много вопросов (как то расположение глаза), играют ключевую роль, ибо от этого зависит правильность утверждений о том, что именно 2D-существо сможет видеть.

                                                0
                                                сможет ли оно вообще видеть, учитывая, что все визуальные картинки для него будут одномерными

                                                Сможет. Воспринимая мир в виде отрезков.
                                                  –2
                                                  А как можно увидеть отрезок, учитывая, что его толщина равна нулю?

                                                  Если в качестве аргумента, что одномерные фигуры можно видеть, вы проведете на листе бумаги отрезок и скажите, что видите его, то этот аргумент не будет состоятельным, поскольку вы изобразили не true-отрезок, а лишь его «модель», которая скорее представлена в виде прямоугольника с очень большим соотношением длина/ширина (т.е. вы изобразили не одномерную фигуру, а двумерную — и только поэтому вы ее видите). Невозможно изобразить на листе бумаги true-отрезок, поскольку он не имеет ширины.

                                                  Поэтому у меня и возникают сомнение на счет того, что 2D-ущество сможет видеть одномерные объекты.
                                                    0
                                                    Вопрос лишь в силе веры и воображения)
                                                      0
                                                      Эм… начинаете шутки шутить?...) Или тут закончились все аргументы?)
                                                        +2
                                                        Аргументы в пользу чего? Мы в трехмерном мире можем при помощи расположенных на плоскости чувствительных элементов воспринимать проекцию трехмерных объектов на эту плоскость. Не вижу причин по которым в двухмерном мире нельзя было бы при помощи расположенных на прямой чувствительных элементов воспринимать проекцию двухмерных объектов на эту прямую. То что проекция одномерная ничего не меняет.
                                                          0
                                                          Не думаю, что эта аналогия будет работать при переходе от нашего 3D-мира к 2D-миру. Но да ладно…
                                                  0
                                                  Ну для упрощения существо может вообще из одного глаза и состоять.

                                                  Низ — это обычно к центру планеты (по направлению гравитации), верх — обратная величина низа
                                                    0

                                                    То что написано равносильно этому во всяком случае для наблюдателя находящегося вне недр планеты

                                                      0
                                                      Видоизменил абзац для еще большей ясности
                                                        0
                                                        «внизу» — этот термин будет иметь значение «в направлении от наблюдателя к центру планеты по кратчайшему пути»
                                                        Под наблюдателе вы подразумеваете 2D-существо, живущее на 2D-сфере?
                                                        Или же стороннего наблюдателя из третьего измерения?

                                                        «внизу» — этот термин будет иметь значение «в направлении от наблюдателя к центру планеты по кратчайшему пути»
                                                        Как же так? Это направление будет указывать в третье измерение — не будет принадлежать 2D-сфере. Вы же сами говорили, что все направления, о которых идет речь, будут расположены на сфере.

                                                        «поверхность» — этот термин будет иметь значение «граница двухмерного тела воспринимаемая двухмерным существом» — применительно к кругу фактически речь идет о дуге окружности воспринимаемой двухмерным существом как отрезок
                                                        «Поверхность» — это четко определенный геометрический термин, обозначающий исключительно двумерные фигуры. А вы им хотите обозначить одномерные. Может лучше использовать слово «граница»?
                                                          0
                                                          Как было сказано в самом начале этой простыни
                                                          Предложите свой термин для двухмерного случая

                                                            0
                                                            Так при чем тут термин?) Я же говорю о его определении, где вы сами противоречите своим же словам в комментариях. То у вас все направления принадлежат исключительно сфере, то некоторые из них уже могу указывать в третье измерение (к центру сферы и в противоположном направлении). Как тут вас понять?))

                                                            Ок, мои предложения: habr.com/ru/post/456296/#comment_20491419
                                                              0
                                                              У вас очень щедрый интерпретатор текста находящий противоречия там где их нет. Нигде в статье говоря о модели двухмерного мира двухмерное существо не обращает свой взгляд в третье измерение. Если вам так показалось, то возможно вы во время чтения перестали себя ассоциировать с персонажем, а восприняли текст на свой счет — посмотрите вниз и вы посмотрели именно вниз, прям она клавиатуру — конечно в таком случае может обнаружится противоречие с повествованием.
                                                                0
                                                                К сожалению, раздел «О терминах» вы удалили. Если вы процитируете (или перескажите) его в комментариях, то я укажу на противоречие, которое я нашел.
                                                            +1
                                                            Немного поразмыслив убрал противоестественные пояснения касающиеся терминов «вперед» / «вверх» — нахожу попытки объяснить эти термины смешными — оставил только толкование вольно используемого в контексте термина «поверхность»
                                                              –1
                                                              И мы вернулись к исходной точке :)
                                                              Имеем прикольную статью, в которой, к сожалению, ряд терминов, используемых в нестандартном «мире» с несколько нестандартными значениями, не имеют каких-либо определений… Из-за чего статья становится на порядок менее понятной.

                                                              Поэтому я все же призываю автора добавить еще один рисунок со сферой, на которой:

                                                              1) изобразить 2D-существо, например, в виде немного вытянутого равнобедренного сферического треугольника, с глазом в виде «жирной» точки, находящейся в вершине противоположной основанию треугольника;

                                                              2) указать все направления (относительно него), которые используются в статье. Предлагаю следующие направления (ремарка: все направления будут указаны от существа, а не на него):
                                                              — вперед (стрелочка указывает от глаза вдоль оси треугольника),
                                                              — назад (стрелочка указывает от основания треугольника вдоль его оси),
                                                              — если нужно, можно добавить направления влево / вправо (стрелочки, думаю, понятно как нарисовать по отношению к треугольнику).

                                                              Также вместо слова «поверхность», где подразумевается одномерная граница двумерной фигуры, использовать слово «граница», если это уместно в контексте. Если нет, то «линия», «кривая» — как угодно, но не «поверхность».
                                                                0
                                                                Если ставить себе целью найти логическое противоречие в чем либо — вы его найдете. Если вы читаете текст и хотите его понять, то у вас не возникнет никаких логических противоречий. Все аналогии использованные в тексте естественны для обычного человека и легко воспринимаются: 1) читателя знакомят с мыслью что существо живет на поверхности сферы — все, начиная с этого момента он принимает правило и не пытается выпрыгнуть за пределы сферы 2) читателя знакомят с мыслью что существо живет на планете и он видит в мире существа (на сфере) синий круг который явно не может быть ни чем другим как планетой — к этому моменту читатель уже видел иллюстрации в которых наблюдатель (существо) было представлено точкой и видит что на синем круге действительно живет (сидит) существо 3) читатель естественным образом знаком с понятиями вперед и назад (страшно подумать если читатель не в состоянии понять/догадаться что туда куда смотрит существо, туда куда указывает луч — это не перед) 4) читатель видя существо на планете естественным образом понимает где у этого существа был бы верх, а где был бы низ 5) что бы не ломать мозг читателя об охринуительные термины вроде «граница круга воспринимаемая бла бла бла» используется понятный читателю и легко применяемый к вымышленной вселенной термин поверхность который в тексте детально комментируется с оговорками. Это не нормативный документ и ни диссертация по математике где нет ни одного понятного обычному человеку слова. Это научно популярная статья.
                                                                  0
                                                                  Если ставить себе целью найти логическое противоречие в чем либо — вы его найдете.
                                                                  Если модель корректная, то не найду))

                                                                  Если вы читаете текст и хотите его понять, то у вас не возникнет никаких логических противоречий.
                                                                  К сожалению, тут вы неправы. Если что, статья мне понравилась, и я считаю, что вами была проделана большая работа. В первом моем комментарии я поблагодарил вас за статью. А все мои вопросы, предложения по улучшению статьи и споры (в которых, я надеялся, что родится истина) были не для того, чтобы к чему-то прицепиться, если вам вдруг такое показалось.

                                                                  читатель естественным образом знаком с понятиями вперед и назад (страшно подумать если читатель не в состоянии понять/догадаться что туда куда смотрит существо, туда куда указывает луч — это не перед)
                                                                  С понятиями «вперед» и «назад» проблем не было. Путаница возникла, когда вы решили параллельно с ними с такими же значениями использовать термины «вверх» и «вниз», соответственно.

                                                                  читатель видя существо на планете естественным образом понимает где у этого существа был бы верх, а где был бы низ
                                                                  Мне кажется, это было понятно только автору. И, думаю, в этом тоже есть некорректность. Зачем вводить «вверх» и «вниз», когда есть «вперед» и «назад» с такими же значениями?

                                                                  используется понятный читателю и легко применяемый к вымышленной вселенной термин поверхность который в тексте детально комментируется с оговорками
                                                                  Который противоречит общепринятому значению — «Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие». Почему не использовать термин «кривая», который идеально подошел бы?

                                                                  Это не нормативный документ и ни диссертация по математике где нет ни одного понятного обычному человеку слова. Это научно популярная статья.
                                                                  Научно-популярная статья, также как и научная, не должна содержать противоречий. Разница только в строгости изложения и понятности для обычного читателя.
                                                                    0
                                                                    Зачем вводить «вверх» и «вниз», когда есть «вперед» и «назад» с такими же значениями?

                                                                    Потому что предложение «Посмотрев вперед, вы видите вашу сторону планеты, а посмотрев назад, вы видите обратную сторону планеты» озадачит любого мудреца — обычно люди не ожидают посмотрев вперед увидеть землю если конечно они не навеселе
                                                                    Почему не использовать термин «кривая», который идеально подошел бы?

                                                                    Потому что звучит как УГ. «Следует отметить, что видимой двухмерным существом одномерной проекцией кривой ограничивающей тело...», «вначале расположенная перед вами одномерная проекция кривой ограничивающей тело увеличивается (окрашена синим цветом), а расположенная позади вас — уменьшается (окрашена голубым цветом); при этом обе проекции имеют одинаковые угловые размеры...» тьфу — это ж долбануться можно если прочитать)
                                                          0
                                                          Низ — это обычно к центру планеты (по направлению гравитации), верх — обратная величина низа
                                                          Учитывая, что центр 2D-сферы не принадлежит ей, то векторы, указывающие направления «вниз» и «вверх», также не будут принадлежать сфере — они будут указывать в третье измерение.

                                                          А ведь автор уточнял в комментариях, что направления «вниз» и «вверх» расположены на сфере и никак не указывают в третье измерение.
                                                            0
                                                            Я не понял к чему относится этот комментарий.
                                                              0
                                                              Это (как видно по цитате и иерархии комментариев) ответ на комментарий товарища Vitter.
                                              0
                                              никак
                                                +1
                                                Древнеегипетские рисунки видели? Вверх-вниз, вперёд-назад — смотреть можно, а вправо-влево (считать относительно головы, не туловища) — нет.
                                                0
                                                Представим, что вы живете на двухмерной планете. Опустив взгляд вниз, вы видите поверхность вашей стороны планеты, а подняв взгляд вверх, вы видите… поверхность обратной стороны планеты.
                                                Что тут понимается под «нашей стороной планеты» и «обратной стороной планеты»? Наша — это полусфера, в центре которой мы находимся, а обратная — это оставшаяся полусфера?

                                                Если да, то объясните, почему взгляду в одну сторону (то, что вы назвали «вверх») будет представлена целиком обратная полусфера и больше ничего, тогда как, на сколько я понимаю, нашему взору сперва встретится часть нашей полусферы, которая находится перед взором (в направлении взгляда), за которой будет видна обратная полусфера, и за которой мы уже увидим часть нашей полусферы, которая находится позади нас (в направлении, противоположном взгляду), и в конце увидим свой «затылок». Или я что-то не так понял?

                                                И то же самое произойдет, если мы развернемся на 180° (т.е. посмотрим «вниз»), с той лишь разницей, что части нашей сферы мы будем видеть уже в другом порядке.
                                                  0
                                                  Сфера которую вы видите на рисунке — это мир. Планета — это круг на этой сфере. Точка — это наблюдатель. Видимо моего искусства представления материала для вас оказалось недостаточным если возникают такие вопросы
                                                    –2
                                                    Сфера которую вы видите на рисунке — это мир. Планета — это круг на этой сфере.
                                                    О-о-ох… Я все это время думал, что сфера = планета…
                                                    Вы ведь при первом упоминании о двумерной планете никак не указали, что она является кружком на сфере, а не самой сферой.

                                                    Вы пишете: «Представим, что вы живете на двухмерной планете.» И даете вот эту картинку со сферой (на которой также есть круг и полукруг). Мне интересно, хоть кто-нибудь при этом понял, что планета — это круг, а не вся сфера?... Особенно учитывая, что точка (=наблюдатель) расположена не где-то внутри круга (=планеты), а на его границе.

                                                    Было бы неплохо подписать на рисунке, где «мир», где «планета» и, на всякий пожарный, где «наблюдатель».

                                                    Кстати, а что это за полукруг?
                                                      +1

                                                      Полукруг — образ синего круга сзади наблюдателя, как он его видит (это весь круг целиком, с искажениями из-за особенностей мира. Полупрозрачный он потому, чтобы показать, что это образ объекта, а не сам объект). Стрелки от него до круга по поверхности сферы-мира показывают ход лучей, сопоставляя точки образа-полукруга с объектом-кругом.


                                                      Что сфера значит весь мир — понятно, если читать статью с самого начала, где перед этим было еще 11 (!) картинок с этой сферой, а не урывками из середины, а также если не пропускать мимо ушей незнакомые слова (геодезический).

                                                        0
                                                        Если бы я мог я протянул бы вам через монитор букет цветов без всякого сарказма, спасибо
                                                          0
                                                          Что сфера значит весь мир — понятно, если читать статью с самого начала, где перед этим было еще 11 (!) картинок с этой сферой, а не урывками из середины
                                                          Да, это было понятно, ничего против я и не говорил.

                                                          А то, что планета не является всем миром (=сферой), из раздела «Двойной горизонт» (с учетом всех предыдущих разделов) не является очевидным. К этому можно прийти в следующем разделе, где в мире кроме планеты добавляется еще и звезда. Но плохо, когда для понимания раздела n нужно прочесть раздел m, где n < m.

                                                          а не урывками из середины
                                                          В этом вы правы.

                                                          а также если не пропускать мимо ушей незнакомые слова (геодезический)
                                                          А тут вы ошиблись)) Про геодезические линии я говорил в первом посте. Какие еще термины по вашему мнению мне незнакомы?)
                                                          +1
                                                          Мне интересно, хоть кто-нибудь при этом понял, что планета — это круг, а не вся сфера?

                                                          Если судить по комментариям, то поняли все кроме вас. Хотя нет, еще двое не поняли. Думаю пропорция 3 к 15 000 не такая уж плохая. Я смогу с этим жить. Видимо из-за этого у вас и возникли все эти вопросы.
                                                            0
                                                            Если судить по комментариям, то поняли все кроме вас. Хотя нет, еще двое не поняли. Думаю пропорция 3 к 15 000 не такая уж плохая. Я смогу с этим жить.
                                                            Во-первых, если вы посмотрите внимательно на все эти комментарии (кроме комментариев тех трех «несогласных»), то они вообще не касаются вопросов из раздела «Двойной горизонт», который мы так долго обсуждаем.

                                                            Во-вторых, давайте будем честными, многие комментаторы, которые либо вас хвалили, либо критиковали, вряд ли вчитывались максимально глубоко в каждом разделе, в каждом предложении и умозаключении. А для многих читателей это могло быть и несколько непосильно, и они отписывались по другому поводу либо не отписывались вообще.

                                                            В итоге имеем следующую статистику: у 3/3 человек (100%), которые внимательно читали раздел «Двойной горизонт» и которые по этому поводу отписались, возникли одни и те же вопросы/замечания к автору. Таким образом, статистика (3/3, а не 3/15000) не очень утешительна ))

                                                            А по поводу «15 000» — это вы конечно скромно :)
                                                              0

                                                              Даже приняв что читал находясь «в себе» каждый 150-й, то 1:100 — хорошая статистика)

                                                            0
                                                            «внутри круга» — это «внутри планеты» — то есть в мантии или ядре.
                                                            3D Существа живут на поверхности шара — сфере.
                                                            Если с поверхности убрать 1 измерение — будет окружность, и да, 2D существа живут на окружности.

                                                      Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                      Самое читаемое