Проектируем космическую ракету с нуля. Часть 1 — Задача двух тел

  • Tutorial

Содержание



Часть 2 — Полу-решение задачи двух тел

Привет всем! Сегодня я начну серию статей-лекций посвященных теме проектирования беспилотных летательных аппаратов космического назначения (ракет) =). Да-да, — вы не ослышались, самых настоящих ракет, будем их учиться проектировать по-настоящему, как это (наверное) делают в каком-нибудь КБ . Сам я заканчивал универ именно по этой специальности, потому некоторые знания имеются. Но сам еще ни дня в КБ (к сожалению) не проработал. По причине соответственного расположения звезд на небосводе. В общем звезды так сошлись, судьба такая у меня. Хотя мог бы уже пол года работать в КБ Южном, зимой почти устроился, осталось лишь медкомиссию пройти и сдать документы на проверку в СБУ для получения допуска секретности. Но пошло опять что-то не так. До этого уже шло очень много раз, потому наверное что-то накопленное выстрелило, и я решил: в пе*ду да ну его.

А, кстати, месяц назад послал резюме в SpaceX на mechanical engineer, но мне через два дня вежливо отказали, потому что закон ITAR. Ну попытка не пытка, а я действительно просто хотел поехать чем-нибудь помочь, и никакой я не спецагент. Ну да ладно, начну пожалуй по теме, а то развел тут историю своей жизни излагать (просто чем-то нужно было заполнить начало, думал-думал — написал как есть).

Введение


Хотя моя специальность больше направлена на проектирование ракет класса «воздух-воздух», «воздух-земля», «земля-воздух», которые летают не так уж далеко (несколько десятков километров) и не так долго (меньше минуты), и «полезный груз» у них не такой уж и полезный. Особенно когда сбивают гражданские самолеты по ошибке и люди гибнут ни в чем не виноватые. Ладно технику у друг друга уничтожайте, это такое — на взрывы и разрушения приятно смотреть. Но законы Бога «возлюби ближнего своего как самого себя» нарушать — неправильно.

Так вот, хотя специализация моя не для космических масштабов, но, думаю, мы справимся. Тем более полгода или целый год, на пятом курсе проходили мимо «проектирование аппаратов предназначенных для освоения космоса». И на самом деле новое для нас там было только орбитальная механика. А в плане конструкции ракеты там даже проще, ведь им не нужно испытывать такие бешеные перегрузки в 10-20 единиц в продольном и поперечном направлении одновременно. И аэродинамика там почти неважна. Управление то только отклонением двигателей. Ну двигатели там, правда, сложнее — ЖРД. Ничего страшного, мы попробуем спроектировать космическую ракету полностью на РДТТ. РДТТ проектировать просто, пусть у твёрдого топлива и энергоемкость в два раза ниже — не страшно. Может быть получится, может и нет, это считать надо, так сразу не скажешь. По ходу разберемся. Примерно так, поехали.

Орбитальная механика


Летим мы в космос. Как летим, куда летим, когда, зачем. На эти вопросы нам даст ответы орбитальная механика. Потому первым делом разберемся с этой штуковиной. Благо, она несложна (по крайней мере на первый взгляд). Всего-то — 1, 2, 3 законы Ньютона и закон всемирного тяготения Сэра Исаака. Звезды и планеты рассматривают как материальные точки, что оправдано гигантскими расстояниями между ними по сравнению с самими их размерами.

Для примера, вот картинка в масштабе: Солнца и ближайшей к нему планеты Меркурия:

image
Относительные размеры Солнца, Меркурия и расстояния между ними строго соблюдены. (Черный пиксель — это Меркурий, синяя линия — траектория его движения)

А вот в масштабе вся Солнечная система:

image
А здесь уже и Солнце выглядит точкой, планеты и подавно.

И для полного счастья красивая картинка и Вики с относительными размерами небесных светил:

image
Планеты Солнечной системы

Вспомним законы Ньютона. Второй гласит, что сила $F$, приложенная к телу массой $m$ вызывает ускорение $a$ этого самого тела в направлении силы, и притом равна произведению массы на ускорение:

$ F = ma, $


Первый закон гласит, что если на тело не действуют силы $F=0$, то тело движется с постоянной скоростью. Или вообще не движется = движется с постоянной скоростью равной нулю:

$ ma = 0, $


$ m \neq 0, a = 0 \Rightarrow \dot{v}=0 \Rightarrow v=const. $


И Третий закон объясняет как взаимодействуют два тела: первое тело действует на второе с такой же силой как и второе на первое:

$ F_{12} = -F_{21}, $


силы равны по модулю, но направлены противоположно.

Закон всемирного тяготения выглядит так:

$ F_{12} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{R^{2}}, $


здесь $G = 6,67408(31)\cdot10^{-11} \text{м}^{3}/(\text{кг}\cdot \text{с}^{2}) $ — гравитационная постоянная,
$m_{1}, m_{2}$ — массы первого и второго тела, $R$ — расстояние между телами.

А направлена сила от тела, на которое действует, к телу девочки с каре, с которым происходит взаимодействие.

image
Гравитация

Теперь для двух взаимодействующих материальных точек можно записать, на основании выше записанных законов. Для первого тела:

$ m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1} = \vec{F}_{12} = F_{12}\vec{\tau} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{R^{2}}\vec{\tau}, {(1)}$


здесь $\vec{\tau} = \dfrac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}$ — единичный вектор, направленный от первого тела в сторону второго. А $\vec{r}_{12} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$ — из картинки видно. И $r_{12} = |\vec{r}_{12}| = R $ — расстояние между телами.
Перепишем 1:

$ m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{2}}\dfrac{\vec{r}_{12}}{r_{12}} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}\vec{r}_{12}. $



Для второго тела всё будет аналогично, но плюс еще по третьему закону Ньютона ($\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$):

$ m_{2}\ddot{\vec{r}}_{2} = \vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12},$


$ m_{2}\ddot{\vec{r}}_{2} = -G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}\vec{r}_{12}. $



Итого для системы из двух материальных точке имеем систему дифференциальных уравнений, записанную в векторном виде:
\begin{equation*}
\begin{cases}
m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1} = \vec{F}_{12},
\\
m_{2}\ddot{\vec{r}}_{2} = -\vec{F}_{12}
\end{cases}
\end{equation*}
Ну что сказать, для системы из двух тел красиво получается, даже уже хочется сразу сложить эти равенства или вычесть.

Для системы же из многих N материальных точек всё будет тоже самое, но учитывать взаимодействие придется попарно. Вместо двух векторных равенств будет N штук. И у каждого справа будет сумма сил. Если пойти дальше и рассмотреть «континуум» точек, то есть сплошное тело — суммарная сила получится интегрированием по области, занимаемым телом. Всё как обычно: рассматривается бесконечна малая часть тела dV и суммируется-интегрируется. Упрощается эта процедура использованием так называемого «потенциала» силы, потому что наша сила — потенциальна, имеет потенциал, но об этом в дальнейшем поговорим, и, возможно, получим поле вокруг сферического тела. Потому что сферические тела — распространенная вещь в космосе. То что они почти сферические, и как это учитывается — тоже в дальнейшем поговорим.

А сейчас вернемся к системе из двух тел. Во первых она примечательна тем, что эта первая по сложности задача после системы из одного тела. И математически исследовать эту задачу стоит в первую очередь уже из-за этого факта. А с другой стороны, как окажется,
этой моделью можно описать $90 \%$ космического движа =) (но это неточно).

Ну, например, планеты двигаются вокруг Солнца очень даже почти независимо друг от друга. Сейчас оценим это для системы Земля-Марс-Солнце. Хорошо что живем в такое время, когда достаточно в интернет отправить запрос правильный, и тебе выдает всю необходимую информацию:

масса Земли $M_{\oplus} = 5,9736⋅10^{24}$ кг

масса Солнца относительно Земли $M_{\odot} = 332940M_{\oplus}$

масса Марса относительно Земли $M_{\mars} = 0,107M_{\oplus} = \dfrac{M_{\oplus}}{10}$

расстояние Земли от Солнца $R_{\text{С}-\text{З}} = 149 600 000 \text{ км} = 1496 \cdot10^{8}\text{ м} $

расстояние Марса от Солнца $ R_{\text{С}-\text{М}} = 227 900 000 \text{ км} = 2279 \cdot10^{8}\text{ м} $

Теперь то вычислить силы действующие на Землю со стороны центрального светила и куска сферического материала, названного в честь древнеримского бога войны (сорри за поэзию, что-то нашло на меня), проще простого:

$ F_{\text{С}-\text{З}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\odot}}{R_{\text{С}-\text{З}}^{2}} = G\dfrac{M_{\oplus}^{2}332940}{R_{\text{С}-\text{З}}^{2}} $



$ F_{\text{M}-\text{З}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\mars}}{R_{\text{M}-\text{З}}^{2}} = G\dfrac{M_{\oplus}^{2}}{10R_{\text{M}-\text{З}}^{2}} $



image
Солнце, Земля и Марс

а точнее нам не нужны даже значения этих сил, только их отношение:

$ \dfrac{F_{\text{С}-\text{З}}}{F_{\text{M}-\text{З}}} = G\dfrac{M_{\oplus}^{2}332940}{R_{\text{С}-\text{З}}^{2}} \cdot \dfrac{10R_{\text{M}-\text{З}}^{2}}{G M_{\oplus}^{2}} = 3329400 \left( \dfrac{R_{\text{M}-\text{З}}}{R_{\text{С}-\text{З}}} \right)^{2} = 3329400 \left( \dfrac{R_{\text{C}-\text{М}} - R_{\text{С}-\text{З}} }{R_{\text{С}-\text{З}}} \right)^{2}, $



$\dfrac{F_{\text{С}-\text{З}}}{F_{\text{M}-\text{З}}} = 3329400 \left( \dfrac{R_{\text{C}-\text{М}} }{R_{\text{С}-\text{З}}} - 1 \right)^{2} = 3329400 \left( \dfrac{2279}{1496} - 1 \right)^{2} = $

$=3329400 \cdot 0.5234^{2} = 912 066.1$



Ого. Практически в миллион раз сильнее Солнце притягивает Землю, чем Марс в лучшие свои годы. В смысле когда Марс-Земля-Солнце расположены на одной прямой. При другом расположении Марс будет притягивать еще хуже. Ну даже не знаю какую аналогию привести, может быть это как отношение сил веса одной монетки против тираннозавра.

Так же дела обстоят и со всем остальным небесным воинством Солнечной системы: Солнце влияет на каждую особь, в то время как они друг на дружку почти не влияют. Я попарно не проверял, но думаю это так. Наверное, это есть следствие в том числе и того, что масса солнечной системы равна:

$1,0014M_{\odot} = M_{\odot} + 0,0014M_{\odot},$


то есть вся масса сосредоточена в Солнце, а $0.14\%$ солнечной массы — планеты, кометы, газ и всякий мусор.

Вторым примером, где нам поможет модель из двух тел — движение искусственного спутника вблизи Земли. Здесь аналогично, Земля имеет колоссальную массу по сравнению со спутником. И даже можно привести еще один наглядный пример вычислений системы Земля-спутник-Луна. На спутник действуют силы:

$ F_{\text{Сп}-\text{З}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\text{Сп}}}{R^{2}},$



$ F_{\text{Сп}-\text{Л}} = G\dfrac{M_{\leftmoon}M_{\text{Сп}}}{R^{2}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\text{Сп}}}{81R^{2}}, $


просто масса Земли в 81 раз больше массы Луны. А расстояние здесь мы взяли пополам, то бишь середина между Землей и Луной. И наконец отношение этих сил:

$ \dfrac{F_{\text{Сп}-\text{З}}}{F_{\text{Сп}-\text{Л}}} = 81 $


Вывод: даже когда спутник будет летать ровно между Землей и Луной, а это орбита 192 200 км, Земля всё равно будет притягивать наш искусственный спутник в 81 раз сильнее Луны. Для сравнения изобразим это двумя векторами сил рядом расположенными, длинны которых будут отличатся в 100 раз. Здесь мы просто округлили по-инженерному, потому что для инженера — 80 это то же самое что и 100. Это типа известного инженерного равенства, кто не в курсе: $\pi = e = 2. $
image
Сравнение сил действия на спутник со стороны Земли и Луны

В следующей статье решим аналитически задачу двух тел.
Продолжение
Поделиться публикацией

Комментарии 29

    0
    >
    А в плане конструкции ракеты там даже проще, ведь им не нужно испытывать такие бешеные перегрузки в 10-20 единиц в продольном и поперечном направлении одновременно. И аэродинамика там почти неважна. Управление то только отклонением двигателей.


    Ну да, ну да :) Только не забывайте, что масса на два-три порядка больше, в баках жидкое (зачастую криогенное или ядовитое) топливо булькает, рядом ЖРД с температурами порядка тысяч градусов, попасть нужно в цель на расстоянии в десятки тысяч километров, при этом отклонение порядка сотен метров, а система управления чисто инерциальная. Уж поверьте, у БР и носителей есть куча своих тонкостей в проектировании, конструкции, прочности, технологии изготовления, и всех прочих аспектах.
      +4
      Это типа известного инженерного равенства, кто не в курсе

      Сразу вспомнилась шутка астрофизика Сергея Попова:
      — Температура межзвездного газа достигает 10^6 градусов.
      — А скажите, каких градусов, Цельсия или Кельвина?
      — Для вас — в любых!

        0
        А может это математик задавал вопрос? :)
          +1
          вот одной фразой обидели всех математиков… уж они то знают, что такое О большое
            +1
            А может это математик задавал вопрос? :)

            ЕМНИП, Сергей Попов приписывал вопрос «обычному» физику.


            Еще меня очень забавляет, как астрофизики поступают с коэффициентами (цитата из того же цикла лекций): «Значением этого коэффициента в исходной формуле мы пренебрегаем, астрофизики могут себе позволить пренебречь вообще любым коэффициентом».

            0
            Подождите, но ведь известное инженерное равенство π=е=3, а не 2
          +4
          0.14% солнечной массы — планеты, кометы, газ и всякий мусор.
          мне показалось или вы так про сложноорганизованную органику?:)
            +1

            Про отдельные организации у этой сложноорганизованной органики. В)

            0
            А, кстати, месяц назад послал резюме в SpaceX на mechanical engineer, но мне через два дня вежливо отказали, потому что закон ITAR

            Интересно, как другие украинцы устроились в SpaceX?
              +2
              Уже работали в США несколько лет, имели правильные документы и прошли ITAR
              0
              Как тоже конструктор-изготовитель БПЛА, разрешите полюбопытствовать тут, ожидать ли статью о конкретном примере DIY постройки действующего устройства, с фото-видео фиксацией вывода такой «самопалки», хотя бы до границы нижнего космоса (80-120км), как это делают любители в USA? Другими словами: автор имеет практический опыт в обозначенном предмете? Или цикл статей закончится только теоретическими набросками?
                +1
                Товарищь майор, он же написал, что не шпион, и с СБУ уже общался.
                А вообще, жду с нетерпением статьи про изготовление прототипа, заправку топливом (ога, она самая) и, хотя бы, прожиг. А там уже могут и в двери постучать…
                  0
                  Гы, а при чём тут «майор»? Обычный конструктор-любитель разве не может таковым поинтересоваться? Авиа и ракетомоделистов тоже не мало, причём реально практикующих пуски-плодскоки, то есть туда и на парашюте обратно, без вывода на низкие орбиты. И ЖРД тут вовсе не обязательно, на твёрдотоплевниках тоже всё реально. Амеры вон, в основном на ТТ и гоняют, полный Ю.Туб их подпрыгов.
                  +1
                  Я не знаю что меня ждет через месяц. Но есть огромное желание отправить 1 кг чернозема с мамкиного огорода на Луну. :)
                  +1
                  А разве расстояние между землей и солнцем статика?
                    +1
                    Там много упрощений — например, не учитывается, что у Земли и Марса разные наклонения к эклиптике.
                    В принципе, для общего понимания такие упрощения допустимы, хотя на практике скажу, если заходить так сильно «сбоку», цикл статей растянется на 2-3 тома (к примеру, в ЦКОМ у детей курсы на 2 года рассчитаны, хотя там конечно несколько другой механизм, изначально делится на разработчика носителей, космических аппаратов и отдельно бортовых систем)
                      0

                      Эксцентриситет земной орбиты составляет 0,0167. Для расчетов в статье можно сказать, что статика.

                      +2
                      π = e = 2.

                      Фу, как грубо…
                        0
                        Там вообще лучше Луну было не трогать — сфера действия Земли 929 тыс км, Луны 66, так что на 0,1717 расстояния вообще получаем ограниченную задачу трех тел, что идеологически обесценивает большой кусок статьи. Да и Марс тоже, учитывая, что в такой паре кроме начального и конечного этапа траектория определяется только влиянием Солнца.

                        Хотя, вдруг может в итоге цикла получиться как у Крылова на докладе «представим в первом приближении корабль в виде балки», мало ли )
                        +1
                        Я попарно не проверял, но думаю это так.

                        Нептун-то как открыли? Причем возмущения, вносимые в орбиту Урана Сатурном и Юпитером, по-моему, даже больше.

                          +1

                          Вот расчет вашим методом на основе сведений из Викиданных: https://w.wiki/6w9 (нажмите там «Run»). Орбиты принял круговыми, лежащими в одной плоскости.


                          P.S. А интересно, как специалисты по небесной механике оценили бы правдоподобность триеровской «Меланхолии». По-моему, катаклизмы должны были начаться задолго до финальной сцены.

                            0
                            Я, когда смотрел, тоже думал о том, что атмосферу сорвало бы куда раньше самого столкновения. Ну и всякие приливные эффекты, конечно.
                          +1
                          Статья очень интересная, аффтору респект. С тела девочки с каре орирую!
                            0
                            Начало оооочень издалека. Что считать космосом? высоту более 100км?
                            Для любителей/хотителей заняться ракетостроением эта информация практически ни к чему — любительские ракеты хорошо если на 3-5 км поднимаются (да и в общем любители скорее всего в курсе написанного).
                            Вот если бы в статьях били всякие конструкторские хаки для облегчения и увеличения прочности конструкции, стабилизации полета, увеличении тяги, рекомендации по топливу etc. — это было бы интересно изучить в одном месте, если еще подход был бы от простого к сложному.
                            Здесь сразу амбициозная задача по расчету, который никто не сможет проверить/воплотить.
                            Цель должна быть достижимой.
                              0
                              Про высоту 100 км обязательно будет, но позже. Конструкторские хаки еще впереди. Главное начать, а там всё по Воле Божьей…
                              +1
                              А в Firefly Aerospace резюме не отправляли? У них вроде даже офис в Днепре есть
                                +1
                                Как вариант, спасибо!
                                +2
                                Автор, вы можете попробовать устроиться в FierFly — она теперь на половину украинская.

                                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                Самое читаемое