Комментарии 25
Я уже, вроде, писал про сплошные инлайны в формулах.
https://habrastorage.org/webt/ve/n8/dr/ven8drivvm3btotlxuposdwwtsc.png
И еще. Как вы объясняете (или интерпретируете) наличие строки из единиц в матрицах аффинных преобразований?
2) Я думаю, можно стать на проективную точку зрения — считать что векторы заданы в плоскости w=1 в пространстве размерности на 1 больше и считать что мы находим линейное преобразование там. Вообще, формула имеет проективный привкус. Например, можно избавиться от знаменателя (и минуса перед детерминантом), если ввести однородные координаты (с 1 в качестве последней) для выходных векторов.
А почему получается, что для выполнения алгоритма нужны три точки, Ведь для восстановления преобразования достаточно двух? Что будет, если выходной треугольник, который я задам будет неравен/неподобен входному?
2) Выходной треугольник может быть совсем непохож на входной. Он может даже «жить» в другом пространстве (например, цветовом). Аффинное преобразование так исказит входное пространство, что два треугольника совпадут. Картинка с Леной показывает, что выходный треугольник (крайний слева) вовсе не подобен входному (крайний справа).
Определитель — это число. То есть в вашей формуле имеет место деление двух чисел, с получением на выходе, очевидно, тоже числа. При этом в самом начале речь идёт о векторах. Отсюда вывод — надо пояснять детали.
Математики вообще не склонны к обсуждению деталей, мол умный студент всё сам за них додумает, но это неправильно, это убивает интерес у тех, кто видит несколько вариантов объяснения деталей, ну а городить свою теорию вокруг каждого варианта — нет времени. При этом все мы знаем, что правильный вариант — один, поэтому огород вокруг всех остальных вариантов — часто просто банальное (и безжалостное) убийство времени изучающего по вине преподавателя. И да, обучающихся много, в сумме они убивают гигантское время, а всё потому, что преподавателю лень расписывать детали (на что требуется минимальное время).
Так что будьте внимательны к деталям, не ленитесь повторять всё то, что вам самому кажется очевидным, и даже то, о чём вы уже написали, потому что к моменту чтения следующей темы читатель часто забывает почти всё о предыдущей.
Аналогия с компьютером — он не будет работать, если вы ему не объясните всё до мелочей. А вот студент умнее, да, он иногда будет работать без объяснения мелочей, только все остальные сразу убегут от вашего предмета, да и умные убьют гораздо больше времени на обучение.
Хотя само желание что-то пояснить популярно — приветствуется.
2) Матрица в числителе в своей первой строке содержит векторы, что приводит к тому, что её детерминант тоже вектор. Тогда как в знаменателе действительно будет число. Это необычная конструкция и я писал, что это напоминает выражение для векторного произведения — там в результате взятия детерминанта тоже будет вектор. Я также упомянул, что такие детерминанты можно брать с помощью обычных правил и показал это на примерах. Вполне естественно, что наша формула выдает именно вектор, ведь аффинное преобразование действуя на вектор возвращает вектор (так что всё сходится). Да что там, в детерминанты можно не только вектора, но и дифференциальные операторы запихивать (оператор Гамильтона).
3) На мой взгляд, математики крайне внимательны к деталям. Однако, в научно-популярных статьях некритические детали допустимо скрывать, чтобы не перегрузить читателя. Однако, я дал ссылку на статью, где все изложено более строго.
Чем отличается вектор-аргумент от вектора-параметра? Если не до конца понятно, то добавлю — аргумент и параметр — синонимы, что делает масло масляным (а названия — бессмысленными).
Знаете ли вы термины, которые бы разделили их лучше?
Вот у нас есть преобразование f, работающее как функция из одного векторного пространства в другое. Вот у этой функции есть аргумент x: f(x). А есть параметры, от которых зависит сама функция f. Иногда эту зависимость просто подразумевают, но когда хотят подчеркнуть — пишут их индексом: fc(x). Знаете ли вы слова, которые позволят отличать c и x в этой формуле друг от друга?
Спасибо. Вопрос: если требуется аффинное преобразование на плоскости не для трёх точек (треугольника), а больше - как в этих случаях поступают? Мне в голову не приходит ничего, кроме как провести триангуляцию фигуры. Но при этом могут возникнуть артефакты. Есть другие способы?
Использовать некоторое взвешенное среднее.
Для начала, в таких случаях надо понять что требуется на выходе. Преобразования, которое бы преобразовало указанным образом произвольное количество точек, может и не существовать — и нужен критерий (целевая функция) сравнения какое из неточных преобразований более подходит.
Обычно в качестве целевой функции используют сумму квадратов норм разности образа и заданной точки, главным образом потому что у этой задачи есть простое аналитическое решение. Это называется МНК — метод наименьших квадратов.
Я в таких случаях выбирал три точки, которые необходимо преобразовать точно, и мирился с перемещением остальных.
Зависит от задачи. Если точно известно, что преобразование афинное, просто точек много, они шумные и есть выбросы, то применяют, например, методы вроде RANSAC.
Обратные задачи аффинных преобразований или об одной красивой формуле