Комментарии 134
ГЫ Сейчас попытаюсь кратко объяснить, о чём тут речь. Вместо равенства двух чего-нибудь
A=B
желательно говорить об их изоморфизме. Например, вместо равенства (точного совпадения) двух геометрических фигур A и B обычно важна их конгруэнтность. А изоморфизм — это наличие двух функций
f: A -> B
g: B -> A
взаимно обратных друг к другу
fg = id
gf = id
Таким образом, мы всё равно выписали два равенства, но теперь это равенства стрелок. Мы заменили равенство объектов A и B на два равенства между стрелками. Дальше, в некоторых разделах математики бывают ситуации, когда между объектами есть стрелки, между стрелками есть «стрелки второго порядка», между ними есть «стрелки третьего порядка» и так далее. Например, если кто знаком с теорией категорий, там между категориями есть функторы, а между функторами естественные преобразования (уже три этажа). В некоторых случаях можно городить этаж за этажом до бесконечности. И вот идея — вместо равенства стрелок
fg = id
gf = id
рассматривать их «изоморфизм второго порядка». И вообще от любого равенства избавиться на всех этажах. Вот этим и занимается Лурье. Но с некоторых пор группа людей, именующих себя «свидетели Воеводского», а свою науку «основаниями математики 21-го века», пытается убедить, что это всё зачем-то нужно программистам. Не верьте им, не отдавайте им свои денежки.
A=B
желательно говорить об их изоморфизме. Например, вместо равенства (точного совпадения) двух геометрических фигур A и B обычно важна их конгруэнтность. А изоморфизм — это наличие двух функций
f: A -> B
g: B -> A
взаимно обратных друг к другу
fg = id
gf = id
Таким образом, мы всё равно выписали два равенства, но теперь это равенства стрелок. Мы заменили равенство объектов A и B на два равенства между стрелками. Дальше, в некоторых разделах математики бывают ситуации, когда между объектами есть стрелки, между стрелками есть «стрелки второго порядка», между ними есть «стрелки третьего порядка» и так далее. Например, если кто знаком с теорией категорий, там между категориями есть функторы, а между функторами естественные преобразования (уже три этажа). В некоторых случаях можно городить этаж за этажом до бесконечности. И вот идея — вместо равенства стрелок
fg = id
gf = id
рассматривать их «изоморфизм второго порядка». И вообще от любого равенства избавиться на всех этажах. Вот этим и занимается Лурье. Но с некоторых пор группа людей, именующих себя «свидетели Воеводского», а свою науку «основаниями математики 21-го века», пытается убедить, что это всё зачем-то нужно программистам. Не верьте им, не отдавайте им свои денежки.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Всё жду практический пример применения теории категорий в разработке. Ну вот когда она действительно помогает архитектуру построить или код написать. И никак не дождусь.
Все говорят что нужно, а примеров нормальных нет.
Все говорят что нужно, а примеров нормальных нет.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Мне недостаточное знание теорката не позволило обобщить в должной мере один паттерн, например.
Можно подробнее?
Монады вроде и без теории категоий понять можно.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Идеи таких штук как Maybe и сравнимых с ними по сложности лежит на поверхности. Особенно студентам, которые в какой-то момент начинают паранаидально пытаться избавиться от лишних ветвлений и вложенностей.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Или там, не знаю, почему Validation — не монада, хотя вроде выглядит почти как Either.
Это как раз проще объяснить без теории категорий.
Идея Validation заключается в том, чтобы собрать все ошибки, а не только первую. А потому, при вызове Failure foo >> Failure bar мы обязаны вернуть Failure (foo <> bar), иначе это неполная валидация. Но мы этого сделать не можем, потому это выражение раскрывается в Failure foo >>= (\x -> Failure bar), а у нас нет значения для x и "вытащить" bar из лямбды мы не в состоянии.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Почему? Для тех случаев, когда есть зависимости по данным, меня бы вполне могло бы устроить частичное валидирование.
Но монада устроена так, что не позволяет разделить ситуации "есть зависимости по данным" и "нет зависимостей по данным".
Но в любом случае вы x справа не используете, так что передавайте bottom. Или докажите, что так нельзя ;)
Это костыль, а не нормальное решение.
>> Это как раз проще объяснить без теории категорий.
В Haskell Report (типа спецификации на Haskel, если её вообще можно назвать спецификацией) авторы прямо говорят — не надо вам теорию категорий. Все названия, заимствованные оттуда, вам будет проще банально запомнить и не лазить в теоркат.
Реальной пользы от теорката пока никто и нигде не видел. Может когда-нибудь, лет через 100, что-то и проклюнется, но если вам важно решать текущие задачи — не надо углубляться в теоркат, это отнимет много времени и не принесёт заметной пользы. Но если у вас много свободного времени, тогда можно ради любопытства попробовать осилить смысл теорката. Только предупреждаю — это очень абстрактная математика, а смысл теории без практических применений понять гораздо сложнее, нежели всю ту математику, которую используют в инженерных дисциплинах. Разве что вы сможете понимать язык в публикациях на около-теоркатные темы, вот и весь профит.
В Haskell Report (типа спецификации на Haskel, если её вообще можно назвать спецификацией) авторы прямо говорят — не надо вам теорию категорий. Все названия, заимствованные оттуда, вам будет проще банально запомнить и не лазить в теоркат.
Реальной пользы от теорката пока никто и нигде не видел. Может когда-нибудь, лет через 100, что-то и проклюнется, но если вам важно решать текущие задачи — не надо углубляться в теоркат, это отнимет много времени и не принесёт заметной пользы. Но если у вас много свободного времени, тогда можно ради любопытства попробовать осилить смысл теорката. Только предупреждаю — это очень абстрактная математика, а смысл теории без практических применений понять гораздо сложнее, нежели всю ту математику, которую используют в инженерных дисциплинах. Разве что вы сможете понимать язык в публикациях на около-теоркатные темы, вот и весь профит.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
>> Блин, а в прошлый раз вы…
В прошлый раз был именно прошлый раз. Там тема была другая — что нужно знать для хорошего понимания функциональщины. Так вот для хорошего понимания нужно, очевидно, понимать, зачем все эти теоркатные названия присутствуют в хаскеле. Просто для устранения ситуации, когда в инструменте остаётся что-то непонятное. Но когда ситуация улучшается и в инструменте становится всё понятно, всё равно пользы от теорката не видно. Вот в чём «скромная проблема» абстрактной математики.
Называть же пользой теорката просто получение понимания, зачем авторы хаскеля использовали все эти теоркатные названия, я бы никогда не стал. Авторы могли бы использовать название «брейнфак» и другие «факи», и тогда тоже возник бы вопрос — а почему такие названия используются? Может в этом что-то есть? И да, после подробного изучения темы «факов» (удивительно!) обнаружилось бы то же самое — нет в этом пользы.
Вот ещё модно называть данные «алгебраическим», хотя всем ясно, что зачем-то так назвали самые обычные структуры данных, не являющиеся примитивными. Но внимание, вопрос — а почему операторы сложения и умножения не захотелось назвать алгебраическими? Это же такое адское упущение! Нужно срочно переписать руководства ко всем языкам программирования! Ведь плюс с минусом явно ближе к алгебре, чем структуры данных.
В прошлый раз был именно прошлый раз. Там тема была другая — что нужно знать для хорошего понимания функциональщины. Так вот для хорошего понимания нужно, очевидно, понимать, зачем все эти теоркатные названия присутствуют в хаскеле. Просто для устранения ситуации, когда в инструменте остаётся что-то непонятное. Но когда ситуация улучшается и в инструменте становится всё понятно, всё равно пользы от теорката не видно. Вот в чём «скромная проблема» абстрактной математики.
Называть же пользой теорката просто получение понимания, зачем авторы хаскеля использовали все эти теоркатные названия, я бы никогда не стал. Авторы могли бы использовать название «брейнфак» и другие «факи», и тогда тоже возник бы вопрос — а почему такие названия используются? Может в этом что-то есть? И да, после подробного изучения темы «факов» (удивительно!) обнаружилось бы то же самое — нет в этом пользы.
Вот ещё модно называть данные «алгебраическим», хотя всем ясно, что зачем-то так назвали самые обычные структуры данных, не являющиеся примитивными. Но внимание, вопрос — а почему операторы сложения и умножения не захотелось назвать алгебраическими? Это же такое адское упущение! Нужно срочно переписать руководства ко всем языкам программирования! Ведь плюс с минусом явно ближе к алгебре, чем структуры данных.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
>> говорите о понимании уже придуманного (где теоркат действительно не нужен), тогда как речь о придумывании этого всего
Так началось всё именно с вопроса — зачем придумано.
Я не исключаю, что где-то в дебрях математики есть области, понимание которых слегка упростится в следствии принятия подхода на основе категорий, но я в таких местах пока что не бывал, а в более прозрачных местах пользы от теорката не встречал. Собственно и обсуждаемая статья (со слов математиков) повторяет эти выводы — вроде как что-то где-то можно как-то переосмыслить, но пока никто толком ничего не переосмыслил.
>> Ничего, исправлено.
Сложные иерархии в программировании не приживаются — узкая специализация получается, плюс много времени на решение простейших задач тратится.
Хотя, опять же, может где-то в математике и будет применим подобный пересмотр концепций.
Но с другой стороны, математические законы давно пытаются изложить на языке систем автоматического вывода, и там одной только сложной иерархии типов совершенно недостаточно. Поэтому опять получается, что красивая с точки зрения математики иерархия может так и остаться совершенно бесполезной.
В общем — развивать хаскель в сторону от универсальности — плохая идея. Он и так довольно специфичен, а тут ещё и максимум усилий прилагают, что бы никто кроме математиков не понимал, зачем всё это надо.
Так началось всё именно с вопроса — зачем придумано.
Я не исключаю, что где-то в дебрях математики есть области, понимание которых слегка упростится в следствии принятия подхода на основе категорий, но я в таких местах пока что не бывал, а в более прозрачных местах пользы от теорката не встречал. Собственно и обсуждаемая статья (со слов математиков) повторяет эти выводы — вроде как что-то где-то можно как-то переосмыслить, но пока никто толком ничего не переосмыслил.
>> Ничего, исправлено.
Сложные иерархии в программировании не приживаются — узкая специализация получается, плюс много времени на решение простейших задач тратится.
Хотя, опять же, может где-то в математике и будет применим подобный пересмотр концепций.
Но с другой стороны, математические законы давно пытаются изложить на языке систем автоматического вывода, и там одной только сложной иерархии типов совершенно недостаточно. Поэтому опять получается, что красивая с точки зрения математики иерархия может так и остаться совершенно бесполезной.
В общем — развивать хаскель в сторону от универсальности — плохая идея. Он и так довольно специфичен, а тут ещё и максимум усилий прилагают, что бы никто кроме математиков не понимал, зачем всё это надо.
А линзы?
Загуглил, до этого не знал что отдельный термин для такой штуки есть.
Если я правильно понял, то, например, по схожим принципам работает память при форке в линуксе. Называется копирование при записи.
Идея что часть данных можно вынести в фасад/декоратор, оставив остальные данные в главном объекте не нова.
Система прототипов в JavaScript аналогично работает, только там они изменяемые.
И нигде не упоминается функциональщина :-)
Если я правильно понял, то, например, по схожим принципам работает память при форке в линуксе. Называется копирование при записи.
Идея что часть данных можно вынести в фасад/декоратор, оставив остальные данные в главном объекте не нова.
Система прототипов в JavaScript аналогично работает, только там они изменяемые.
И нигде не упоминается функциональщина :-)
https://habr.com/ru/post/469441/
Правда, там далеко не очевидно причём там вообще теория категорий...
Примеры существуют! В данный момент — это достаточно новая область, и естественно, кто-то на энтузиазме публикует свои умозаключения и исследования в области практического, а еще интереснее бизнес применения теориикатегорий, а кто-то, кто достиг в этом прогресса, пока утаивает все, и продолжает прорабатывать, тестировать, разрабатывать и нарабатывать, чтобы окончательно убедиться в применимости. Лично знаю ребят, которые пишут теоркатегорный бизнес-софт уже второй год. Думаю, я смогу их уговорить что-то показать в ближайшее время, если к этому будет интерес. А еще лучше, я уговорю их написать здесь на хабре пост, как это просиходило и как это нечто работает! Если интересно, жду ответ на этот комменты и все сделаем.
Вместо равенства двух чего-нибудь A=B желательно говорить об их изоморфизме.См. Изоморфизм
Там:
Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое определяется по-разному в различных разделах математики.Так что лучше так не говорить.
Тут упоминается не просто «изоморфизм» и изоморфизм из Топологии. Изоморфизм имеет направление. Т.е. из А можно сделать B, а из В сделать А — нет. Если изоморфизм «в обе стороны» то это гомоморфизм. Собственно, аналог равенства.
Нет, у изоморфизма нет направления.
Я некорректно выразился, но Вы ошиблись.
У изоморфизма есть направление, поскольку изоморфизм — это отображение одного топологического множества в другое, удовлетворяющее некоторым условиям. Так что направление присутствует.
Моя некорректность заключается в том, что надо говорить, что А изоморфно В, что подразумевает, что существует изоморфизм А в В.
У изоморфизма есть направление, поскольку изоморфизм — это отображение одного топологического множества в другое, удовлетворяющее некоторым условиям. Так что направление присутствует.
Моя некорректность заключается в том, что надо говорить, что А изоморфно В, что подразумевает, что существует изоморфизм А в В.
Есть общее теоретико-категорное определение (наличие двух «правильных» отображений, взаимно обратных). Что такое «правильное» отображение, определяется по-разному в разных разделах математики, но есть простые общие свойства (вроде ассоциативности композиции), которые теория категорий берёт за аксиомы.
Треугольники на сфере можно изобразить большим углом от 90 градусов до 180 и меньшим от 0 до 90? Это значит будет только четверть «северного» или «южного» полушария?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Альберт Эйнштейн однажды сказал: «Положения математики в той мере, в какой они описывают реальность, небесспорны; в той мере, в какой они бесспорны, они не описывают реальность». Тед Чан, «Деление на ноль» — короткий рассказ, кмк весьма в тему.
А еще он сказал что «Бог не играет в кости» и оказался не прав. Не буду говорить что ваша цитата непреминима/неправдива, но прибегать к авторитету тоже не стоит :)
Цитата приведена в упомянутой книге Теда Чана «Деление на ноль», которую, собственно, я и рекламировал. Она вот прямо в тему.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
А про что она?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Правильней — не только про описание [физической] реальности.
Про игры с придуманными закорючками по придуманным правилам.Сейчас когнитивные нейрофизиологи с помощью новых методов нейровизуализации плодотворно исследуют происхождение математических способностей, и собственно самой математики. Достаточно надежно установлено, что основой, и того, и другого, является чувство численности, кот. присуще уже животным, и новорожденным детям. В последних исследованиях это подтвердилось с помощью нейросетевого моделирования чувства численности сверточными сетями глубокого обучения, со структурой сети подобной структуре нейронных сетей (проективной коры) зрительной системы, см. это исследование, и др. независимое исследование здесь. Вполне тянет на нейронный коррелят представления множеств в мозге, и может служить своеобразным нейрокогнитивным аргументом в пользу множественного обоснования математики, и априорной природы происхождения математических понятий. Нейронные корреляты абстрактных математических понятий находятся в вышележащих (ассоциативных) отделах мозга, являясь неоднократными обобщениями эти базовых, сенсорных представлений, в том числе, это относится и к отношению эквивалентности, как обобщению отношения равенства. То есть нельзя утверждать, что математика сплошной креатив свободомыслия математиков) смысл и пользу математическое знание приобретает также, как и любое другое знание, когда в некотором приближении моделирует реальность, и проверяется практикой применения. А за пределами этого, да, только требованиями непротиворечивости оперирования этими закорючками.
Просто иногда оказывается, что у части закорючек есть хорошая физическая интерпретация.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Ну так за пределами арифметики тоже есть пара разделовС геометрией еще проще, ее нейрофизиологические основы были установили уже давно. В зрительной системе имеются нейроны-детекторы линий, плоскостей (поверхностей), движения, наклонов (поворотов) и тд., как прототипов геометрических примитивов и операций. Это еще более низкий уровень, чем чувство численности — основы счета. Нейросетевое моделирование подтверждает выделение подобных примитивов. Сложнее с формальной логикой, поскольку она связана с высшими психическими функциями — мышлением и языком. А мышление, как известно, имеется не только абстрактное, но и образное, кот. присуще уже животным и детям, и широкое изучение кот. началось недавно, как пример, эта публикация известного нейрофизиолога Иваницкого. Но и с логикой имеются продвижки, в части представления информации, вот свежий обзор представления концептов в мозге. В этой работе исследовались взаимосвязи физических концептов в процессе обучения. В работе интересные результаты декомпозиции физических понятий. Возможно, если подтвердится, можно будет переписать (точнее переструктуировать) физику, получив знания непосредственно из самого «черного ящика» мозга, так сказать:) минуя прокрустово ложе фазы их логического представления и вербализации. Однако современный уровень исследований еще далек от понимания творческого процесса, инсайта, и того, как его результат облекается в логические формы. Есть, например, работы связанные с исследованием нейронных коррелятов понимания при чтении и составлении предложений, контекста понимания, и тд. Можно даже объективно оценивать знания студентов используя нейровизуалицию и выставлять «нейронную оценку» уровня усвоения ими материала во время тестов, дискриминируя случаи зазубрил-непонимает, от понимает, но не выспался, например, и местами несет не то) Моделирование ИНСами проникает и в эту область. В отличие от проективных зон коры ассоциативные имею более сложную структуру, поэтому результаты пока скромнее, как пример, моделирование некоторых физических концептов.
Что можно сказать об основаниях математики исходя из современного уровня нейрофизиологических знаний в этой области? Самым элементарным уровнем являются геометрические примитивы, на более высоком уровне чувство численности, как основы счета, логика живого языка вообще не вписывается в математические представления, только в виде некого эрзаца — формальной логики, аристотелева уровня «Топики» некоторый промежуточный уровень. Если бы Рассел и Уайтхед в свое время знали про эти когнитивные уровни и коннективности в мозге, то, вероятно, поняли, что методами формальной логики нельзя обосновать математику полностью, и возможно не написали свои эпохальные Приципии. Вообще, несколькими фразами эту ситуацию трудно описать, недавно в одной из тем писал более развернутый комент на близкую тему соотношения формального-неформального в процессе познания, см. если интересно. Остается геометрия и арифметика. Нетрудно видеть, что примитивы, и той, и другой являются наиболее простыми выделенными признаками целостных объектов, как результат обучения нейросетей с определенной структурой, как биологических, так и моделирующих их ИНС. В этом кроется причина универсальности и «необъяснимой» эффективности математического описания, а также надежд на математику, как источника междисциплинарного синтеза знаний (вместо все менее оправдывающего себя общефилосовского анализа). Конечно в природе можно найти примеры почти идеального проявления этих примитивов, которые поддерживают иллюзию их самостоятельного существования в реальности, например, правильные грани и плоскости кристаллов, или задача сравнения и выбора из наборов однотипных объектов, часто важной с точки зрения выживания индивида или группы. Однако существуют только целостные объекты, являющиеся предметом изучения различных наук, в первую очередь естественных, а математические примитивы и построенная на них математика существует только в головах людей, точнее в обученных нейросетях мозга, и созданных людьми носителях информации разных коммуникативных форм общения, как естественных, так и технических. Хотя математика традиционно определяется как наука, когда речь идет о математических структурах и операциях над ними, по своей сути она больше методология, метод исследования, кот. предоставляется другим наукам, исследующим предметы и явления в своих областях приложения, включая самой математике. Но в отличии от философской методологии делающей упор на обобщение целостных объектов и явлений, математический метод направлен на обобщение и формализацию описания составляющих их признаков. Как установила когнитивная нейрофизиология признаки отображаются в виде топографических карт нейронной активности, такой, как карта нейронов чувствительных к числу объектов в сценах (см. 1, 2), и на уровне субъекта проявляют себя, как субъективные состояния (ощущения) подчиняющиеся психофизическому закону Вебера-Фехнера (для численности), становясь частью восприятия индивида и его сознания. С этой точки зрения наиболее общей математической структурой, и соответственно базой для обоснования математики, будет не теоретико-множественная структура и подход, как самое высокое обобщение чувства численности, а самое высокое обобщение геометрических примитивов и операций, и соответственно геометрический подход к обоснованию математики. Естественно, не имеется в виду сама геометрия Евклида, а геометрическая интерпретация в духе геометрии Евклида некоторой обобщенной структуры. Идея не новая, неоднократно востребовылась в разных вариантах. В этом отношении во многом согласен с тем (но не со всеми его утверждениями), что пишет о поиске оснований математики и физики Андрей Родин, см. 1, 2. :
Цитата из 1, в частности
Автор рассматривает разные математические теории на роль оснований математики и физики, включая теорию категорий, с учетом геометризации, и анализирует имеющиеся попытки. Основная цель этого поиска — найти математический аппарат, кот. позволил бы успешно решить задачу создания теории кв. гравитации. На мой взгляд геометрического уровня для решений этой задачи будет не достаточно, и нужно опуститься ниже — на квантовый уровень восприятия реальности, но это отдельная тема, как реализовать этот уровень квантовых примитивов. И соответственно создать истинно квантовый математический аппарат описания реальности, а не использовать Гильбертово пространство состояний.геометрическая теория Евклида строит свои объекты в явном виде с помощью комбинирования нескольких элементарных операций (“построения циркулем и линейкой”). Аксиоматические теории построенные по рецепту Гильберта устроены в этом отношении иначе: все объекты таких теорий предполагаются заранее существующими — либо как лишенные всяких специальных свойств мысленные вещи, либо как объекты других готовых теорий, используемых для построения моделей формальных аксиоматических теорий. По этой причине Гильберт называет метод Евклида генетическим, а свой метод — экзистенциальным([32], стр. 24.) Единственный тип построений, который не просто допускает, но обязательно предполагает аксиоматический метод Гильберта (в своем строгом варианте) — это символические построения, с помощью которых определяется синтаксис данной формальной теории T и которые затем интерпретируются с помощью логических (для логических символов) и специальных математических (для не логических символов) понятий. Хотя такие символические конструкции тоже могут быть объектами некоторой математической теории; соответствующую теорию Гильберт строго отличает от теории T и называет метатеорией теории T (при этом не требуя того, чтобы метатеория была построена с помощью того же самого экзистенциального аксиоматического метода). Таким образом, у Гильберта так же как и у Евклида построения могут играть роль доказательств, но принципиальная разница между их подходами состоит в том, что если у Евклида эти построения являются объектами той самой теории, в которой проводятся соответствующие доказательства, то у Гильберта эти построения являются объектами метатеории. Именно в этом отношении аксиоматическая теория топосов Лавера следует Евклиду, а не Гильберту. Эта аналогия с традиционной геометрией становится еще более очевидной в аксиоматической теории гомотопии...
Конечно, математика началась из врождённого счёта и врождённых представлений о логикеО врожденности, в данном случае, можно говорить условно. В геноме человека, ни геометрия, ни арифметика с логикой, и даже элементарный счет, никак не прописаны. В них прописана предрасположенность к ним, программа роста структур нейросетей мозга, при обучении кот. возникают соответствующие способности. При восприятии визуальных сцен (и не только, а и звука, тактильных ощущений) новорожденными детьми возникает чувство численности, на его базе в школах (обычно) обучаются счету и арифметике, и тд. Генетическая предрасположенность гибкая система, результат миллиардолетней эволюции в меняющихся условиях, иногда быстро. Если поместить организм с момента рождения в виртуальную реальность с другими законами, к примеру квантовыми, и снабдить соответствующими сенсорами и нейроинтерфейсами, то благодаря пластичности нейронных сетей, мозг, до какой-то степени адаптируется к новым условиям, и вместо геометрических примитивов и операций макроскопической реальности создаст вероятностные примитивы квантовой, кот. позволят организму действовать в этой реальности также интуитивно, как в норме мы действуем в макромире. Но это можно проделать не только в воображаемой вирт. реальности, но и в реале, направив поток информации непосредственно в мозг с помощью нейроинтерфейсов, непосредственно от квантовых объектов. Нейропластичность мозга позволит сформировать соответствующий новый анализатор по типу анализаторов имеющихся органов чувств.
Математическую, да. Непротиворечиво и всё такое.Когнитивная нейрофизиология не подтверждает существование такой реальности) Условный мир идей Платона, включая математических, да, в пределах черепных коробок людей, точнее нейросетей их мозга, и на различных носителях информации.
Математика не проверяется практикой применения [к реальному миру]Когда используется в любой науке и технологии, как метод, тогда и проверяется. Не востребованное канет в лету, если даже не противоречиво. В курсе экзотики типа матвселенных М. Тегмарка) Он вообще молодец, накидал наброски своей Теории Всего, разработал свою интерпретацию КМ, еще много, где отметился. Пора нобелевскому комитету обратить на него внимание, тем более, что он из Швеции. Дело за малым — проверить теории на практике.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Это либо сильно вырвано из контекста, либо он пишет бредЕсли вы о цитате, то см. источник, ссылку приводил.
Я не понимаю, что такое «с учётом геометризации». А почему не абеленизации?Вот как раз его статья об этом, и поиске решения. Добавляю к его аргументам подтверждающие аргументы когнитивной нейрофизиологии и психологии об устройстве восприятия и процесса познания. Особенности зрительного восприятия, установленные еще классической нейрофизиологией, подтверждают такой подход. Все целостное восприятие, а вслед за ним образное и абстрактное мышление (с его логикой) построены на геометрических примитивах и операциях. Как все это упаковать в единую математическую структуру вопрос неоднозначный. В идеале это должна быть самая общая структура. Конечно восприятие формирует не только зрение, но и др. органы чувств, но подавляющий вклад за ним. Дополнительно мы расширяем восприятие с помощью различных приборов, но оно по прежнему, в основном, происходит через зрение.
А вот это уже попахивает фрикачеством, пардон.Все же загляните в статью про применение теории категорий к решению этой задачи. Правда информация в ней несколько устарела. А так, какие только мат. методы не применяются к решению задачи кв. гравитации, и вообще проблемы описания пространственно-временного континуума.
А от неё этого никто и не ждалЕсли какая наука и может дать наиболее адекватные ответы на такие вопросы, то именно когнитивистика. Возможно вы думаете о классической психологии, с ее замшелым психоанализом) и другими подобными методами. Нет, когнитивная нейропсихология и психология относительно новые науки, построенные исключительно на научном методе, эксперименте. Приводил вам много ссылок на такие работы. Пока идей входящих в голову она не зафиксировала) только зарождающиеся в ней, и передающиеся коммуникативными средствами.
Есть куча идей там, в основаниях, которые принципиально непроверяемы в этом смысле (проверьте мне аксиому выбора плз в науке и технологии или аксиому К), и никто их выкидывать и забывать не собирается.Да, что там аксиома выбора, вот есть понятие в физике — масса. Что такое масса? Пока окончательно никто не знает. Давал ссылку на коммент с обсуждением формального-неформального, там разбирал этот момент на примере массы. Вопрос не в этом. Если теория которая использует матметод с этой аксиомой работает, и выдает проверяемые результаты, хотя бы в некотором приближении, то эта аксиома как-то соответствует этой реальности, хотя непосредственно и не проверяется.
Все целостное восприятие, а вслед за ним образное и абстрактное мышление (с его логикой) построены на геометрических примитивах и операциях.
Но это же, очевидно, не так.
то эта аксиома как-то соответствует этой реальности
Совершенно не факт.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Что-то у меня складывается впечатление, что мы разные вещи понимаем под основаниями математики.Да, конечно, см. мой первый комент. Проблема рассматривается с точки зрения когнитивной нейрофизиологии, а не самой математики. Думал интересно будет взглянуть под капот на внутренние механизмы, если пользоваться бытовой аналогией, и сделать какие-то выводы, кот. не просматриваются снаружи. Более точная аналогия с наследственностью. Представления о дарвиновском отборе и селекции возникли и используются на уровне внешних признаков — размеров, окраски, и тд. С установлением внутренних, молекулярных механизмов наследственности и изменчивости появилось новое понимание, и возможность целенаправленного воздействия на признаки, с помощью генной модификации, минуя отбор. Аналогия не поверхностная, опосредованно, через филогенез на уровне организма и всего вида, генетические механизмы определяют математические способности индивидов, возможности и ограничения в этой области. Под способностями понимается не только предрасположенность индивидов к обучению математике, связанными с индивидуальной изменчивостью, но и вся совокупность нейрофизиологических механизмов обеспечивающих такую возможность. Математики смотрят на основания исключительно с математической точки зрения, предполагая исходно данными некоторые базовые математические объекты и операции над ними типа чисел и арифметических операций, геометрических объектов и манипуляций с ними — перемещений, вращений, и др. Все это было изложено в аксиоматической форме еще Евклидом. Считается, что базовые объекты это идеализации реальных объектов и манипуляций с ними, или интуитивное восприятие. Среди математиков занимающихся (и занимавшихся) методологическими вопросами имеются разные воззрения на вопрос их происхождения. Большинство это не заботит, они считают существование этих объектов, как данность, и, если обращались к вопросу их происхождению, то пытались установить наиболее глубокие связи и отношения между ними, с помощью кот. можно обосновать валидность более сложных построений используемых на практике, в той же физике или технологиях. Первым, кто взглянул на эту проблему более широко был Кант, с его представлениями об априорности происхождения математического знания. Статья по ссылке, кстати, весьма точно отражает суть дела, перечисляя достижения, как философов, так и некоторых математиков в понимании априорности математического знания. Кант фактически многое предугадал, но раскрыть внутренние механизмы этой априорности, естественно, не мог. В то время еще не было соответствующих знаний. Их начали получать с середины прошлого века с начало методами классической нейрофизиологии, позже когнитивной. Ссылки на исследования приводил. В последнее время методы когнитивных исследований дополнились моделированием ИНС. Эти методы взаимно дополняют и обогащают друг друга. По своей значимости, на мой взгляд, введение моделирования ИНС для нейрофизиологии равнозначно введению математического метода в классическую физику, кот. осуществили Галлилей и Ньютон, неимоверно усилив ее описательную и предсказательную силу. По сути это тихая революция, сами спецы в массе еще не до конца осознали ценности такой связки. Вероятно, прорывные результаты в понимании глубинных нейронных механизмов ментальных явлений, в первую очередь восприятия и мышления, и их приложения к ИИ появятся в течении ближайших лет, т.к. прогресс весьма быстрый. Уже сейчас достигнуто большое соответствие ИНС нейросетям зрительного тракта приматов, кот. очень близок по структуре к человеческому (примеры работ на вскидку 1, 2, 3). Это оказалось большим сюрпризом для нейробиологов, учитывая весьма отдаленное соответствие свойств формального нейрона свойствам биологического. Это позволило моделировать — проверять и предсказывать нейронные корреляты психофизиологических явлений, в том числе связанных с математическими способностями, обучением и познанием в этой области. О некоторых результаты исследований написал, в частности, происхождении геометрических примитивов и чисел, это свойства нейросетей мозга, кот. возникают при их обучении в определенных условиях (наиболее общее из которых — условие макроскопической реальности). Исходя из структуры этих сетей (иерархии, коннективности), и их моделирования ИНС, можно также говорить об обосновании осуществимости математических объектов, требований непротиворечивости и полноты описания. Это относится не только к математическим объектам, но и физическим. Но на условия их осуществимости накладываются более сильные требования, из-за более высокого нейросетевого иерархического уровня их нейронных коррелятов.
Конечно такой взгляд на способ получения знаний, путем подгядывания механизмов их возникновения, может показаться непривычным при традиционном взгляде на математику. Но тоже самое было в прошлом с молекулярной генетикой, ее методы не принимались традиционно мыслящими биологами и селекционерами. В сталинские времена генетика считалась лженаукой (даже классическая генетика), генетики подвергались гонению, а большинство населения, до сих пор, считает генетически модифицированные продукты опасными для здоровья. Но расширение математических знаний, и не только, из подсматривания внутренних механизмов их возникновения не самый большой шок, кот. нас ожидает) Впереди внедрение нейроинтерфейсов, и управление вещами с помощью мысли не самое поразительное, что ждет. Самое поразительное, передача информации непосредственно в мозг, миную традиционные пути, симбиотические отношения с персональным ИИ, и расширение восприятия и сознания на новые локусы реальности, для начала квантового, а с ними появления и новых, более глубоких оснований математики.
Конечно такой взгляд на способ получения знаний, путем подгядывания механизмов их возникновения, может показаться непривычным при традиционном взгляде на математику.
Если исходить из идентичности "аппаратных" возможностей мозга и структуры разделов математики (т.е., каждое понятие соответствует какой-то форме соединения нейронов), то можно сделать вывод, что, во-первых, вся математика (известная и неизвестная) "записана" в структуре мозга, и, во-вторых, невозможна математика кроме той, что обусловлена структурой мозга.
Нет ли в этом механизме тавтологии по типу "возможно то, что уже придумано"?
И как этот механизм сочетается с появлением новых разделов математики вообще и обучением индивида неизвестным ему разделам математики? Появляются новые структуры в мозге?
Что-то в этих суждениях не так — возможно, перепутана причина со следствием.
Нетрудно видеть, что примитивы, и той, и другой являются наиболее простыми выделенными признаками целостных объектов, как результат обучения нейросетей с определенной структурой, как биологических, так и моделирующих их ИНС.
Нетрудно видеть как раз обратное. Любой результат, полученный нейронной сетью, является лишь статистическим артефактом. Процесс математического вывода нейросетью сэмулировать нельзя.
Не востребованное канет в лету, если даже не противоречиво.
Востребованность теории в математике определяется не практической пользой этой теории, а исключительно желанием других математиков этой теорией упарываться. Вот если вдруг появится значительное количество математиков, которым будет нравиться дрочить вприсядку, то дрочьба вприсядку станет признанным и уважаемым разделом математики. Будут на дрочьбу вприсядку выдавать гранты, будут защищаться по ней диссеры, выходить цитируемые статьи в рецензируемых журналах, будут проводиться конференции. Кому-то филдса дадут за полную классификацию возможных позиций дрочьбы или что-нибудь в этом роде.
Любой результат, полученный нейронной сетью, является лишь статистическим артефактом. Процесс математического вывода нейросетью сэмулировать нельзя.
Забавно. Как же тогда люди занимаются математикой, вроде бы мозг — это нейросеть? Возможно, либо используется источник рандома, либо вся математика — статистический артефакт)
Забавно. Как же тогда люди занимаются математикой, вроде бы мозг — это нейросеть?
Утверждение "мозг — нейросеть" верно примерно на столько же, на сколько верно утверждение "тесла — это телега". Ну да, вроде и то и то ездит и даже по 4 круглых колеса.
Возможно, либо используется источник рандома, либо вся математика — статистический артефакт)
Ну так в том и дело что нет. Когда вы строго выводите по правилам Х => Y, тут нету никаокго случайности. Нейросеть так не умеет. Нейросеть не может делать выводы.
Нет, результат работы нейросети не является статистическим артефактом, потому что в другом контексте нейросеть — это универсальный аппроксиматор. Поскольку это так, то было бы странно если бы логические функции не выражались бы нейросетями. Действительно, легко проверить что для моделирования импликации (логического вывода) достаточно одного скрытого слоя с двумя нейронами. A => B ~ f(A,B) = relu(B — A + 1) — relu(B — A). Например, если A=B, то f=1. Если A=0, B=1, то f=1. Если A=1, B=0, то f=0.
Теперь забавное. Используем нашу логическую нейросеть для моделирования вывода с нечеткими или вероятностными аргументами, интерпретируя значения отрезка [0..1] как субъективные вероятности. Тогда при A=0.5 получим f(A,B) = relu(B + 0.5) — relu(B — 0.5). Это можно понять как достоверный вывод постфакта из постправды, при условии что его вероятность больше или равно 0.5 и его только сомнительный вывод в противном случае. Назовем это свойство логической нейросети «Доверчивостью» или «Наивностью». При желании его можно рассматривать как фундамент религии, теологии, философии, этики, эстетики, политики, демократии и женской логики.
Теперь забавное. Используем нашу логическую нейросеть для моделирования вывода с нечеткими или вероятностными аргументами, интерпретируя значения отрезка [0..1] как субъективные вероятности. Тогда при A=0.5 получим f(A,B) = relu(B + 0.5) — relu(B — 0.5). Это можно понять как достоверный вывод постфакта из постправды, при условии что его вероятность больше или равно 0.5 и его только сомнительный вывод в противном случае. Назовем это свойство логической нейросети «Доверчивостью» или «Наивностью». При желании его можно рассматривать как фундамент религии, теологии, философии, этики, эстетики, политики, демократии и женской логики.
Нет, результат работы нейросети не является статистическим артефактом, потому что в другом контексте нейросеть — это универсальный аппроксиматор.
Нейросеть без обратных связей — это обычный нелинейный классификатор. С-но — любой вывод такой сети это именно что обычный стат. артефакт.
Если же обратные связи есть — то нейросеть это машина тьюринга, т.е. не отличается от обычной программы, так что содержательно рассматривать такие сети смысла никакого нет, можно рассматривать обычные программы.
Это можно понять как достоверный вывод постфакта из постправды
Нет, его так нельзя понять.
Тот факт, что ваша сеть смоделировала импликацию, является лишь результатом того, что вы скормили ей много данных, на которых статистически значим был результат, соответствующий импликации. А если бы вы скормили другие данные — получили бы другую ф-ю, с другой статистикой.
Еще раз — единственный возможный ответ на вопрос "почему нейросеть дала такой результат" будет "потому что на обучающей выборке похожие результаты были статистически более эффективны".
Извините! Я забыл вас поблагодарить за очень интересный вопрос. Я и сам как-то думал о НС-модели логических рассуждений, но не было повода ввиду сомнительной эффективности, но оказалось что это не так.
Вдвойне приятно иметь возможность принять даже самое косвенное участие в обсуждении моделей теории категорий и теории моделей. Разумеется, мое замечание — очень поверхностное и почти самоочевидное.
Однако ваше последнее сообщение вызывает полное изумление.
Никакого обучения не было вообще, никаких данных, ни большого количества, ни маленького, вообще никакого не было. Также нет никаких статистик, потому что модель является абсолютно точной. Вот тут вы правы: традиционный градиентный спуск точную модель построить не сможет. Еще раз: логика высказываний (пока импликации, но обобщение тривиально) в моей модели моделируется абсолютно точно, это несложно.
Вы действительно понимаете что такое нейросеть? Сможете нарисовать эти нейроны и указать их веса?
Вдвойне приятно иметь возможность принять даже самое косвенное участие в обсуждении моделей теории категорий и теории моделей. Разумеется, мое замечание — очень поверхностное и почти самоочевидное.
Однако ваше последнее сообщение вызывает полное изумление.
Никакого обучения не было вообще, никаких данных, ни большого количества, ни маленького, вообще никакого не было. Также нет никаких статистик, потому что модель является абсолютно точной. Вот тут вы правы: традиционный градиентный спуск точную модель построить не сможет. Еще раз: логика высказываний (пока импликации, но обобщение тривиально) в моей модели моделируется абсолютно точно, это несложно.
Вы действительно понимаете что такое нейросеть? Сможете нарисовать эти нейроны и указать их веса?
Еще раз: логика высказываний (пока импликации, но обобщение тривиально) в моей модели моделируется абсолютно точно, это несложно.
Так вы просто руками веса установили? Тем более тогда непонятно, при чем тут логика. Вы просто описали сетью некоторую ф-ю — в чем ничего удивительного нет. Сеть без обратных связей позволяет описывать достаточно широкий класс ф-й, сеть с обратными связями — все вычислимые функции в принципе.
Какую ф-ю вы хотели, такую и получаете, раз у вас полный контроль.
Фактически, ваше утверждение имеет вид "я могу написать программу, которая что-то там вычисляет логическое" — ну да, можете. Отсюда, однако, не следует, что программы и компьютеры в каком-то смысле умеют в логику :)
Значит, моя нейросеть точно и целиком (после тривиальных обобщений) моделирует логику высказываний, точно не является статистическим артефактом, но в логику не умеет? Примерно как калькуляторы не умеют в арифметику, а шахматные программы не умеют в шахматы?
Значит, моя нейросеть точно и целиком (после тривиальных обобщений) моделирует логику высказываний
Так она не моделирует ничего, она просто считает одну функцию, которую вы туда забили. При чем тут вообще логика высказываний?
Примерно как калькуляторы не умеют в арифметику
Вот это как раз хороший пример. Да, калькуляторы могут считать, но нет — калькуляторы не умеют в арифметику как в теорию.
Логическая нейросеть вычисляет любые логические функции, но не умеет в логику, калькуляторы не умеют в арифметику, а шахматные программы не умеют в теорию шахмат, хотя легко побеждают чемпиона мира. Это у них такие недостатки?
Не понял вопроса. Какие недостатки, о чем вы?
Напоминаю, разговор начался с моего овтерждения о том, что: "нейросеть не может делать выводы."
Вы можете задать при помощи нейросети какую-то функцию. В итоге нейросеть ее, очевидно, сможет считать. Можно ли из этого заключить, что нейросеть "делает выводы"? Нет, нельзя.
Когда нейросеть дает некоторый результат, то она его дает не потому, что этот результат откуда-то логически следует, а либо потому, что вы руками задали такой результат, либо потому, что он был на обучающей выборке статистически более оптимален.
Не понимаю вашего презрения к обучающим выборкам и логическим функциям. Непрактично как-то.
Чем, про вашему, логическое следование и логический вывод отличается от вычисления логической функции? Можете привести пример?
Чем, про вашему, логическое следование и логический вывод отличается от вычисления логической функции? Можете привести пример?
Не вполне понял идею вашего комментария, но, имхо, вы слишком сильно всё привязываете к нейрофизиологии. "Манипулирование закорючками", в разных вариантах (от арифметики до теории категорий), может выполняться не только нейронами в составе мозга, но и транзисторами. Более того, подсолнух способен "вычислять" направление поворота на Солнце и на более скудной элементной базе. Вряд ли математика от замены "железа" перестаёт быть математикой.
«Манипулирование закорючками», в разных вариантах (от арифметики до теории категорий), может выполняться не только нейронами в составе мозга, но и транзисторами.Но откуда взялись транзисторы с такой строгой функцией? Видимо это продукт мозга с такой нейрофизиологией.
Более того, подсолнух способен «вычислять» направление поворота на Солнце и на более скудной элементной базе.Это мы за подсолнух «вычисляем», строя модель, а он просто осуществляет гелиотопизм.
Математические абстракции, как и любые прочие, и построенные с их помощью модели объектов и явлений, присутствуют только в нейросетях мозга, или зафиксированы на носителях.
Но откуда взялись транзисторы с такой строгой функцией? Видимо это продукт мозга с такой нейрофизиологией.
Только вы путаете причину и следствие. Закорючки и базовые правила работы с ними нам даны просто потому, что так устроена объективная реальность. И, поскольку мозг должен в рамках этой реальности функционировать, он эволюционно таков, чтобы уметь с закорючками работать. Ну точно так же как глаз имеет такое строение, потому что он должен воспринимать свет, волны которого распространяются и поглощаются по определенным законам. Не наоборот.
Математические абстракции, как и любые прочие, и построенные с их помощью модели объектов и явлений, присутствуют только в нейросетях мозга, или зафиксированы на носителях.
Это очень спорный тезис. Многие с вами не согласятся по поводу того, что до появления человека натуральных чисел не существовало.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Как там в объективной реальности с аксиомой исключённого третьего?
Я же говорил про базовые правила. А базово есть ряд закорючек и операция подстановки — все. И это определено, скажем так, физически.
Дальше вы уже определяете просто что можно на какое место подставлять, а что на какое нельзя — не более того.
Мозг сформирован так чтобы уметь писать закорючки и подставлять в нужные места какие-то другие куски — это физически обосновано, просто потому что такие процессы в реальности наблюдаются. А вот какую уже семантику придавать закорючкам и это вот все — дело десятое, конечно. Например видит обезьяна что на одном дереве бананов больше чем на другом. И описывает это явление так, как может — закорючками.
Но откуда взялись транзисторы с такой строгой функцией?
Почему строгой? Они как элемент универсальны, а сумме (соответствующим образом соединенные и с соответствующим ПО) могут решать довольно широкий класс задач. То же можно сказать про нейроны.
Математические абстракции, как и любые прочие, и построенные с их помощью модели объектов и явлений, присутствуют только в нейросетях мозга, или зафиксированы на носителях.
Мне сложно с этим согласиться. Что вы имеете в виду под "математическими абстракциями" и почему они привязаны к нейросетям мозга?
Ещё одна точка зрения: математика — она про описание своей, математической, реальности. А иногда эти описания подходят и к нашей реальности.
Так и не понял, в чём фундаментальная революционность.
В программировании любому студенту-первокурснику очевидно, что
и
— это два разных утверждения
В программировании любому студенту-первокурснику очевидно, что
list(a) == list(b)и
set(a) == set(b)— это два разных утверждения
«Во время пребывания в сурдокамере испытуемого Б. мы заметили, что он много времени уделял записям, что-то чертил и производил какие-то измерения, смысл которых был для нас непонятен. После окончания эксперимента Б. представил „научный труд“ на 147 страницах: текст, чертежи и математические расчеты. По материалам, содержащимся в этом „научном труде“, был построен отчетный доклад испытуемого о проведенном эксперименте. „Труд“ и сообщение были посвящены вопросу пыли. Поводом для проведенной работы послужил ворс, выпадавший из ковровой дорожки, находившейся в камере. Б. исследовал количество, пути распространения, циркуляцию, кругооборот пыли, зависимость ее наличия от времени суток, работы вентилятора и других факторов. Хотя испытуемый был инженером, „труд“ его представлял собой набор наивных обобщений и поспешных нелогичных выводов, составленный в пылу увлечения при полном отсутствии знаний в области гигиены. Несмотря на это, Б. был убежден в высокой ценности, объективности и нужности проделанной им работы. Вопрос о пыли заслонил и вытеснил собирание и сопоставление важных сведений, предусмотренных программой эксперимента, что тем самым ухудшило качество работы испытуемого.»
Лебедев В.И. «Личность в экстремальных условиях». М.: Изд-во политической литературы, 1989; Глава VI. Познавательная деятельность в измененной информационной структуре. Параграф «Сверхценные идеи» (см. например по этой ссылке: www.studmed.ru/view/lebedev-vi-lichnost-v-ekstremalnyh-usloviyah_6a2058feee2.html)
Лебедев В.И. «Личность в экстремальных условиях». М.: Изд-во политической литературы, 1989; Глава VI. Познавательная деятельность в измененной информационной структуре. Параграф «Сверхценные идеи» (см. например по этой ссылке: www.studmed.ru/view/lebedev-vi-lichnost-v-ekstremalnyh-usloviyah_6a2058feee2.html)
странновато… я учился на мехмате сорок лет назад, и уже тогда равенство было только в арифметиках. Видно, старею — описываемое показалось, в целом, знакомым. Новизну не уловил.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Вот именно, равенства и эквивалентности достаточно давно развились в систему и на данный момент эта идея не имеет никакой новизны.
Возможно, всё дело в том, что сейчас развивается «вычисляемая математика», и на те же идеи смотрят по-новому. Неизбежно с переходом от детерминированных программ («могли бы посчитать и сами, но за 100500 лет, а тут быстро») к нейросетям и квантовым вычислениям («очень похоже на точный результат, но пересчитать и проверить промежуточные состояния невозможно»).
Именно появление и развитие вычисляемой математики повышает внимание к понятиям, подобным описанным в статье.
Ну, так об этом и надо писать. Начать хотя бы с такого.
Возможно, всё дело в том, что сейчас развивается «вычисляемая математика», и на те же идеи смотрят по-новому. Неизбежно с переходом от детерминированных программ («могли бы посчитать и сами, но за 100500 лет, а тут быстро») к нейросетям и квантовым вычислениям («очень похоже на точный результат, но пересчитать и проверить промежуточные состояния невозможно»).
Именно появление и развитие вычисляемой математики повышает внимание к понятиям, подобным описанным в статье.
Хотя сами эти понятия далеко не новы
— Что это у тебя бараны на ворота уставились? Ворота ведь старые, подгнили уже!
— Ворота-то старые, да бараны — новые.
— Ворота-то старые, да бараны — новые.
Ну, так об этом и надо писать. Начать хотя бы с такого.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Мехмат-то был неплохой, по крайней мере то, что операция определима множеством различных способов, давал понять.
То, что появились конкретные свежие наработки — никто не спорит. Но то, что до того ничего не было и никто ничего не понимал — ммм, не знаю даже, как сформулировать оценку.
То, что появились конкретные свежие наработки — никто не спорит. Но то, что до того ничего не было и никто ничего не понимал — ммм, не знаю даже, как сформулировать оценку.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
И в чём же отличие смысла равенства в первом выражении и в третьем? Да и второе выражение при желании можно понять так же.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Не вижу необходимости выделения Computational equality в большинстве разделов математики, и ничего страшного не случится если рассмотреть 10*11=110 как Propositional equality.
Definitional equality отличается от Propositional equality только тем, что его не нужно доказывать.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
А в большинстве разделов математики вообще на всё это плевать, как и на аксиоматику теории множеств, как и на то, работают они в ZF, ZFC или каком-нибудь NF.
Вот именно.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Впрочем, я тут неправ: definitional и computational equality различны
Наоборот — это ж как раз одно и то же. Термы, которые редукцией приводятся к одной форме, равны как раз по definitional equality — там разница только в количество редукций, либо одна либо больше, главное — это количество всегда конечно. А вот propositional equality уже к редукции не сведешь — приходится городить id(x, y).
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Почему одно и то же?
Потому что нельзя отличить одно от другого. Эти эквивалентности в теории ведут себя совершенно одинаково. definitional equal термы относятся друг к другу так же, как computational equal — это обычная синтаксическая эквивалентность (эквивалентность термов).
В случае propositional же эквивалентны интерпретации, а не термы.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Терм (λx.x) y вычислительно равен терму y, но синтаксически они не равны.
Как раз синтаксически (вне зависимости от интерпретации, т.е.) они и равны (равны как термы). И никак нельзя отличить computational от definitional — поведение этих эквивалентностей полностью совпадает, они неразличимы. Если вам дать два терма, описать свойства их отношения, но не дать, с-но посмотреть на это отношение изнутри — вы не сможете узнать, definitional оно или computational. Именно по-этому в контексте теории типов эти вещи не различают.
А вот в f (x: Nat) (y: Nat) (evidence: Pi_(x, y): Id_Nat(x, y)) =… термы х и y не равны как термы (т.е. синтаксически), но равны их интерпретации.
А, тьфу ты, только сейчас увидел, что вы про эквивалентность.
А о чем еще? Вроде про эквивалентности мы и говорили изначально :)
А чем отличается setoid equality от extensional equality?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Ну, я пытаюсь найти определение Setoid equality, и натыкаюсь на следующее:
In contrast, setoids may be used when a difference between identity and equivalence must be maintained, often with an interpretation of intensional equality (the equality on the original set) and extensional equality (the equivalence relation, or the equality on the quotient set)
Когда-то и «Принципиа математика» Ньютона занимала 1000 страниц. Сейчас мы эти знания можем изложить, наверное, на 20 страницах максимум. Думаю, оно на том же уровне. Гигантский объём — признак новизны области.
Вы о чём? Я — о том, что описанное, как нечто новое, я слышал уже 40 лет назад в обычном учебном курсе, то есть идея, её развитие и переход в обыденность произошли гораздо раньше.
А я про новизну. Поверьте, у меня то же впечатление, что и у вас, при прочтении статьи, но оно должно быть обманчиво. Даже если мы используем эквивалентность уже лет 200, обозначаем её каким-то другим символом, и ничего нового в этом конечно нет, всё это давно работает (эквивалентность конечная — состояний автоматов, изоморфизма групп, автоморфизма подстановок и т.д.), но — наша бытовая эквивалентность всё равно строится на обычном равенстве низлежащих элементов. В унивалентной теории равенства вообще нет. Воеводский и Лурье не могут быть безумны, просто аппарат для лаконичного выражения идей ещё недостаточно сформирован.
Видимо, проблема не в идеях книг, а в изложении в статье.
Судя по тому, что на его книги даже не могут нормально сослаться (если в статье конечно правда), то проблема все же в идеях. Мужик сам придумал проблему, в том месте, где другие её никогда не видели (в основном), и теперь героически решает, что, если подумать, вполне в духе математики :) Шум опять же вокруг себя создал — тоже профит.
но — наша бытовая эквивалентность всё равно строится на обычном равенстве низлежащих элементов.
Это "бытовая эквивалентность". Математическая же эквивалентность не строится на равенствах. Более того — в математике вообще нету равенства в том смысле, в котором это описывается в статье (как некоторой вещи в себе). Любое равенство — это, по определению, просто некоторая эквивалентность, которую ну вот так назвали. Могли бы называть тирьямпампацией, а назвали равенством.
А в математике-то, оказывается, бардак!
Почти шутка, но тем не менее, в ней есть доля истины.
Математика развивается хаотично, и в этом её проблема. Поясню на IT-примерах. Программисты каждый день ваяют новые фреймворки, каждый раз пытаясь в своём новом велосипеде решить старые как мир задачи по новому. И каждый раз автор поделия очень гордится величием достижений. Но на практике все достижения обычно умещаются в пару строк при использовании, а всё остальное — просто мусор из головы автора. Хотя чаще новые креативы вообще никто не замечает.
И точно так же в математике. Там ведь полная свобода, не правда ли? Вот и творят креатив. И да, разница с программированием большая — математики доказывают, что их креатив строго соответствует канонам математических доказательств. Но в обоих случаях польза от креатива бывает весьма скромной, а количество использующих — ещё скромнее.
Не скажу, что креатив математиков бесполезен, ведь и креатив программистов, как минимум, расширяет личный опыт автора, то есть какая-то польза есть всегда. Но в программировании всё же есть более обоснованный критерий разумности — польза для той конторы, на которую работает программист. Эта польза и не даёт возвышаться в безумные дали и отрываться таким образом «от коллектива». У математиков же нет никаких разумных ограничений. Поэтому можно взять некую мысль, поставить справа вторую и заявить — это… (далее следует некий латинизм со множественными возможными ассоциациями), затем можно добавить третью мысль, но уже сверху, потом увидеть в этом всём теорию множеств и само множество (в котором аж три элемента!), затем нужно прикрутить к изделию алгебру, которая сразу сделает набор мыслей крайне математичным и позволит записывать мысли о мыслях в виде алгебраических выражений типа М'+М=М". И действительно, если расшифровать значки справа над буквой М, то всем станет ясно, что в результате действительно получится ровно две буквы М, что и отражают наши замечательно подходящие к ситуации и очень удачно выбранные значки. Теперь дело за малым — нужно формально доказать, что количество М после применения к ним оператора + будет соответствовать именно двум штрихам, а не одному, и не трём. Вот какая прекрасная и полная глубоких смыслов получилась теория! Что? Вы не знаете как её применить? Да вы же не прочитали все 1000 страниц доказательств! Вот и не поняли ничего.
В общем математикам нужен архитектор, или тимлид, который бил бы по рукам за ковыряния в носу, ну и концентрировал усилия на чём-то более полезном с практической точки зрения. А то-ж несчастные уравнения Навье-Стокса уже сколько столетий так и не решены?
Почти шутка, но тем не менее, в ней есть доля истины.
Математика развивается хаотично, и в этом её проблема. Поясню на IT-примерах. Программисты каждый день ваяют новые фреймворки, каждый раз пытаясь в своём новом велосипеде решить старые как мир задачи по новому. И каждый раз автор поделия очень гордится величием достижений. Но на практике все достижения обычно умещаются в пару строк при использовании, а всё остальное — просто мусор из головы автора. Хотя чаще новые креативы вообще никто не замечает.
И точно так же в математике. Там ведь полная свобода, не правда ли? Вот и творят креатив. И да, разница с программированием большая — математики доказывают, что их креатив строго соответствует канонам математических доказательств. Но в обоих случаях польза от креатива бывает весьма скромной, а количество использующих — ещё скромнее.
Не скажу, что креатив математиков бесполезен, ведь и креатив программистов, как минимум, расширяет личный опыт автора, то есть какая-то польза есть всегда. Но в программировании всё же есть более обоснованный критерий разумности — польза для той конторы, на которую работает программист. Эта польза и не даёт возвышаться в безумные дали и отрываться таким образом «от коллектива». У математиков же нет никаких разумных ограничений. Поэтому можно взять некую мысль, поставить справа вторую и заявить — это… (далее следует некий латинизм со множественными возможными ассоциациями), затем можно добавить третью мысль, но уже сверху, потом увидеть в этом всём теорию множеств и само множество (в котором аж три элемента!), затем нужно прикрутить к изделию алгебру, которая сразу сделает набор мыслей крайне математичным и позволит записывать мысли о мыслях в виде алгебраических выражений типа М'+М=М". И действительно, если расшифровать значки справа над буквой М, то всем станет ясно, что в результате действительно получится ровно две буквы М, что и отражают наши замечательно подходящие к ситуации и очень удачно выбранные значки. Теперь дело за малым — нужно формально доказать, что количество М после применения к ним оператора + будет соответствовать именно двум штрихам, а не одному, и не трём. Вот какая прекрасная и полная глубоких смыслов получилась теория! Что? Вы не знаете как её применить? Да вы же не прочитали все 1000 страниц доказательств! Вот и не поняли ничего.
В общем математикам нужен архитектор, или тимлид, который бил бы по рукам за ковыряния в носу, ну и концентрировал усилия на чём-то более полезном с практической точки зрения. А то-ж несчастные уравнения Навье-Стокса уже сколько столетий так и не решены?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
>> Главное — чтобы математики тоже считали, что у них такие проблемы
Да вы не нервничайте, ваша склонность к свободе самовыражения не пострадает. Единственный важный момент, который вы упустили, это напоминание о свободе творчества за свой счёт, а не за счёт налогоплательщиков. То есть самовыражайтесь сколько угодно, но в официальную науку — ну не надо.
Хотя с другой стороны, в статье вполне конкретно указано — математики не читали креатив Лурье, но заметьте — это не помешало ему самовыражаться. Единственная проблема — кто оплачивал ему такой праздник жизни. Вот нет бы, по стопам Ферма, долгими зимними вечерами да в свободно время порождать гениальные творения. Но нет, без зарплаты, почему-то, математика не рождается. С чего бы это, а?
Да вы не нервничайте, ваша склонность к свободе самовыражения не пострадает. Единственный важный момент, который вы упустили, это напоминание о свободе творчества за свой счёт, а не за счёт налогоплательщиков. То есть самовыражайтесь сколько угодно, но в официальную науку — ну не надо.
Хотя с другой стороны, в статье вполне конкретно указано — математики не читали креатив Лурье, но заметьте — это не помешало ему самовыражаться. Единственная проблема — кто оплачивал ему такой праздник жизни. Вот нет бы, по стопам Ферма, долгими зимними вечерами да в свободно время порождать гениальные творения. Но нет, без зарплаты, почему-то, математика не рождается. С чего бы это, а?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Единственный важный момент, который вы упустили, это напоминание о свободе творчества за свой счёт, а не за счёт налогоплательщиков.
Правильно! А то приходят всякие гильберты, напридумывают всякого, а потом из-за этого атомные бомбы взрываются! Деньги налогоплательщиков надо на ключ, и чтобы только с бумажкой от управдома приходили!
Что-то я не понял, принесёт ли эта теория какие-то результаты? Вот его с Гротендиком сравнивают — развитие Гротендиком алгебраической геометрии привело, например, к доказательству гипотез Вейля. А здесь что? Поможет ли эта теория какую-нибудь гипотезу доказать?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Вот к чему (Deligne (1974, section 8) used the Weil conjectures to prove estimates for exponential sums. (что бы это ни значило)).
Я согласен с тем, что науку надо развивать ради науки, но при условии что такое развитие приводит к какому-то результату (доказательству гипотезы или более простое изложение существующей теории). А в чём ценность теории, которая пока выглядит как жонглирование абстракциями? Вот он формулирует алгебру на базе своей теории, а сможет ли он получить какие-то новые результаты в алгебре, если даже с таким базовым понятием как ассоциативность возникли такие сложности.
Вот Мотидзуки, например, построил свою новую теорию (но хотя бы не просто так, а с целью доказательства abc-гипотезы), но пока результата не получил. Какова ценность его теории?
Я согласен с тем, что науку надо развивать ради науки, но при условии что такое развитие приводит к какому-то результату (доказательству гипотезы или более простое изложение существующей теории). А в чём ценность теории, которая пока выглядит как жонглирование абстракциями? Вот он формулирует алгебру на базе своей теории, а сможет ли он получить какие-то новые результаты в алгебре, если даже с таким базовым понятием как ассоциативность возникли такие сложности.
Вот Мотидзуки, например, построил свою новую теорию (но хотя бы не просто так, а с целью доказательства abc-гипотезы), но пока результата не получил. Какова ценность его теории?
Первой бусинке справа можно подобрать пару в виде первой бусинки слева, или сопоставить первую справа со второй слева, и так далее (всего таких пар может быть шесть). «Проблема в том, что способов составить пары много, — говорит Кэмпбелл. – И мы забываем их, когда говорим „равняется“». Тут и вступает в игру эквивалентность.
Математики формализовали понятия "равенство по ссылке" и "равенство по значению"?)
математике написано много букв, а в с++ эквивалентность это !(a<b)&&!(b<a)
Однажды, молодой Лурье решил попробовать в ООП и понял, что new A() == new A() дает не совсем то, что подсказывала ему интуиция. Итог: 8000 страниц текста. :)
Идеи из статьи абсолютно пустые, о терминах не спорят, а договариваются. Что определить как знак равенства никак не влияет на доказательства теорем, так как там участвует суть операции, а не наименование. Лурье мог бы определить просто ещё один оператор для своих целей, или хоть 10 операторов, ничего не переопределяя, но похоже он просто ищет хайпа и скрывает бездарность за 50-страничными статьями.
Я далеко не спец в топологии, но всю жизнь думал, что точка это 0-мерный объект, как ее в двумерный диск растягивают?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Многим не-математикам (мне например) это всё равно непонятно и необычно. Например, у диска можно отрезать сектор, но как можно говорить что точка эквивалентна диску, если у неё нельзя отрезать сектор?.. Набор математических операций над диском и точкой, имеющих «ненулевое» воздействие (приводящих к изменениям в объекте) для них разный, и говорить об их эквивалентности для нас выглядит странно…
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Вот это вот и делает предмет обсуждения непонятным. Мы привыкли к знаку равно как к заявлению об идентичности, что операции над левой частью дают тот же результат и над правой частью, в частности, можно левую и правую часть менять местами. И тут приходит какой-то супергений и говорит что от знака равно надо отказаться, но лево с право менять будет нельзя, потому что теперь блекджек будет без девочек. Понятное дело, у обывателя возникает закономерный вопрос — wtf, зачем все эти усложнения, оставьте нам равно и валите в свою бесконечность :)
Когда складываем яблоки, то каждое полученное яблоко когда-то было в одной из двух исходных групп. А когда складываем числа, то соответствие между составляющими элементами до и после складывания произвольно, абстрагирование! Парадокс в том, что развитие абстрагирования предлагается в уменьшении степени абстрагирования и для каждого элемента перемещения нужен отдельный путь. Ну, мало ли, вдруг «в пути собачка могла подрасти».
Получается, это как лозунг «не упрощай»… ну, для математики так себе лозунг.
Получается, это как лозунг «не упрощай»… ну, для математики так себе лозунг.
В общем не впервые такое. Вот, например, на адаптированных для теории струн диаграммах Фейнмана двумерные линии расширились до трёхмерных оболочек-труб.
Математика, оперирующая знаком равенства, это классическая математика. Её условно можно уподобить классической физике. Классическая математика оперирует с числами, выражающими количественные отношения.
Математика, построенная на категории «множество» — это постклассическая математика. Условно её можно уподобить квантовой физике. Она позволяет перекинуть мостик от количественных отношений к качественным.
Математика, построенная на категории «множество» — это постклассическая математика. Условно её можно уподобить квантовой физике. Она позволяет перекинуть мостик от количественных отношений к качественным.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Теория категорий позволяет математике отказаться от равенств