Векторные пространства

Если рассматривать N элементов, то описание их положения требует задания 3∙N координат, которые можно рассматривать как координаты некоторого вектора в 3N-мерном пространстве.

Почему? Если я запишу N*3 чисел подряд, это не будет, в общем случае, иметь какого-либо отношения к 3N-мерному пространству. Например, что такое "поворот" получившемся пространстве? Если у первого элемента поменять со вторым координату номер 2, то эта операция не имеет смысла, а для 3N-мерного "пространства" можно представить себе такую матрицу, которая осуществляет эту операцию.

Короче, идея у вас озвучена, а доказательств нет.

Спасибо, Вы правы, поменял индексы.

2. (ri, rj) = (ri ∙ rj)*, где * указывает на комплексное сопряжение или эрмитову симметрию;

Тут в начале индексы местами поменять надо