Греки, черепаха и матанализ



    Касательно этого поста меня терзали сомнения. С одной стороны, история вроде как широко известная. С другой, я не раз сталкивался с тем, что общеизвестное для одних оказывается новой информацией для других (это и ко мне относится). Так что, кто в курсе, не ругайтесь, опять же школьникам может пригодиться.

    Итак, общеизвестный факт номер один. Математический анализ (раздел математики, у истоков которого стояли Лейбниц и Ньютон) стал одной из основ научного прогресса в XVII-XVIII веках и последовавшей затем промышленной революции. Поэтому значение метода дифференциального исчисления для нашей цивилизации трудно переоценить.

    А теперь представьте, как изменился бы ход истории, случись то же самое на пару тысячелетий раньше. И это не сюжет для очередного опуса про «попаданцев», античные ученые несколько раз довольно близко подходили к этому открытию. Вот один из таких примеров.

    В V веке до нашей эры, в греческой колонии Элея (это западное побережье Италии, 90 километров на юг от Неаполя) жил философ, известный нам как Зенон Элейский.



    Он был не единственным философом в тех краях, существовала целая Элейская школа, участники которой вели дискуссии о том, что представляет собой бытие и познание. Участвовал в этих беседах и Зенон, до нас не дошли его письменные труды, но сохранился пересказ Аристотелем его апорий (внешне парадоксальных утверждений), на которые Зенон был падок. Проще говоря, он брал, казалось бы, очевидную задачу, а потом выворачивал ее наизнанку и оказывалось, что решения-то у нее, вроде бы, и нет.

    Одна из самых известных его апорий – история про Ахиллеса и черепаху, это можно назвать общеизвестным фактом номер два. Но, на всякий случай, повторю ее вкратце. Зенон утверждал: быстроногий Ахиллес, как бы он не старался, никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.

    «Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху».

    Понятно, что с точки зрения реального Ахиллеса, поймать черепаху несложно. Но с позиций чистой математики, перед нами бесконечная сумма малых отрезков, а анализ бесконечно малых, если помните, это историческое название математического анализа. То есть, Зенон поставил задачу так, что решить ее можно было с помощью матанализа. Та самая ситуация, о которой я говорил – греки вплотную подошли к важному рубежу развития науки.

    Но у них не было позиционной системы исчисления. И они пошли другим путем. Несколько позже Зенона в другой области эллинистического мира, во Фракии (ныне это Балканы), родился еще один знаменитый философ – Демокрит.



    По большому счету, они были современники, когда Зенон умер, Демокриту было около тридцати. Демокрит известен как основоположник учения об атомах – это общеизвестный факт номер три. А теперь о том, как это учение соотносится с задачей про черепаху и почему, собственно, атом.
    Есть байка о том, как Демокрит излагал свою теорию другим грекам, более далеким от философии. Он предложил отрезать от вяленого мяса ломтик или, по-гречески, том. Потом отрезать ломтик потоньше. Потом – еще тоньше. И так до тех пор, пока его собеседник не сдался, сказав, что тоньше ломтик отрезать невозможно. Это конечно байка, но она показывает суть теории Демокрита – о том, что все в мире состоит из малых неделимых частиц — атомов (атом – неделимый). Эти частицы, считал Демокрит, являются предельно малой величиной.
    Это, конечно, был тоже большой шаг на пути познания мироустройства. Но он же лишал задачу Зенона парадокса, который мог бы привести к зарождению математического анализа. Потому что, в рамках атомистической теории, число малых отрезков было конечно. И где-то там, на уровне атома, Ахилесс неизбежно догонял черепаху.

    С другой стороны, я бы не стал винить во всем Демокрита. Как уже было сказано выше, грекам мешало и отсутствие десятичной системы исчисления, и ряд других барьеров. Если обобщить, то, как правило, масштабные открытия случаются тогда, когда наука к ним готова. А труды гениев, опередивших время, могут оценить только потомки.

    Комментарии 42

      +2
      В этом посте не хватает цитаты из Пушкина:

      «Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
      Другой смолчал и стал пред ним ходить.
      Сильнее бы не мог он возразить;
      Хвалили все ответ замысловатый.
      ...»

      Но конечно удивительно, что древние не изобрели соотношения бесконечно малых dx/dt.
        0
        «Сколько ангелов уместится на кончике иглы?» Хотя это уже средневековая схоластика, но тоже древняя. dАнг/dSигл.
        0
        Древние греки могли бы решить геометрически, если бы ввели Декартову систему координат :-p

        >У стены стоит женщина. Мужчина с каждым шагом приближается на половину оставшегося расстояния. Когда мужчина… «доберётся» до женщины?
        >Математик: никогда. Всегда будет оставаться расстояние.
        >Инженер: после некоторого шага размер органа позволит задачу считать практически осуществлённой.

        Да, действительно, есть «планковское расстояние», короче которого физический смысл ситуации перестаёт существовать.

        С другой стороны, философы немного не так разграничивали идеальное и сущее, у меня такое складывается ощущение. Чувствуется, что не разделяли, а считали, будто сущее и есть представление идеального. Абстракция как аппарат сложился тогда, когда математики избавились от груза реальности совсем. И тогда ни атом, ни планковское расстояние уже не стали мешать оперировать идеями чисто и точно. Хоть графически, хоть аналитически.
          0
          Ну, апория Зенона — это просто математическая модель. А любые модели являются приближенными. Именно анализируя данные апории, я давно пришел к выводу (как и многие другие), что в физическом мире (в отличие от математического) есть предел делению — неделимые кванты времени и расстояния. Т.е. между соседними квантами движущийся объект как бы телепортируется.
            +2
            Чё? Какие нахрен кванты? Апория Зенона очень простая — она рассматривает постоянно уменьшающиеся отрезки времени, но при этом все эти отрезки находятся ДО момента, когда Ахиллес догонит черепаху. Разумеется, совершенно верно, что в любой отрезок времени ДО того, как Ахиллес догонит черепаху — он её не догонит.
              0
              Разумеется, совершенно верно, что в любой отрезок времени ДО того, как Ахиллес догонит черепаху — он её не догонит.

              А момента «ПОСЛЕ» в модели Зенона никогда не наступит т.к. деление расстояния между Ахилесом и черепахой у Зенона предполагается бесконечным.
                +1
                А момента «ПОСЛЕ» в модели Зенона никогда не наступит

                Отнюдь нет. Просто в модели Зенона в момент обнуления расстояния происходит предельный переход через бесконечность.

                  0
                  Нет в этой модели никакого перехода. Если допустить возможность бесконечного деления отрезка, то всегда будет какое-то расстояние между догоняющим Ахилесом и черепахой, пусть и стремящееся к нулю (как пределу).
                    +1
                    , пусть и стремящееся к нулю (как пределу).

                    Вот только каждый шаг будет делаться за всё уменьшающееся время. И, следовательно, за конечное время будет сделано бесконечное количество шагов, и черепаха будет настигнута. Но модель Зенона этого описать уже не может.

                      0
                      И, следовательно, за конечное время будет сделано бесконечное количество шагов, и черепаха будет настигнута.

                      Да, здесь два предела — для расстояния между ними и для времени. Но оба этих предела относятся к моменту/точке встречи. В пределе по логике Зенона Ахилес догонит черепаху, но в процессе — нет.
                        +1

                        Ну да, в пределе. Но через конечное время. А модель Зенона в силу своей ограниченности не может описать, что будет после достижения предела.

                  0
                  Вместе с делением расстояния делится и время. Соответственно, время в этой модели никогда не будет «после того, как догнал».
                  И к атомам, кстати, это не имеет никакого отношения. Вообще никакого. Описанная в посте связь не существует, это сильно его обесценивает
                    0
                    Момент «после» в модели Зенона просто не рассматривается. Если вам очень сложно понять, давайте я перефразирую задачу.
                    Допустим, Ахиллес догонит черепаху за время t. Разделим этот интервал на 12 равных частей, каждый длиной t1. Теперь рассмотрим момент времени, равный 11*t1. Очевидно, что Ахиллес не догонит черепаху в этот момент. Теперь разделим последний интервал, равный t1, перед тем как Ахиллес догонит черепаху. Разделим этот интервал на 12 равных частей, каждый длиной t2, и рассмотрим момент времени 11*t2. Очевидно, что Ахиллес не догонит черепаху в этот момент. Мы можем продолжать так бесконечное количество раз, и всегда в момент времени 11*tn Ахиллес не догонит черепаху. Надеюсь у вас нет возражений? Так вот, эти рассуждения — абсолютно аналогичны рассуждениям Зенона, если мы перейдём от скорости и расстояния — ко времени. Думаю, в такой формулировке вы не сможете сделать вывод, что Ахиллес никогда не догонит черепаху? Конечно догонит, просто в рассуждениях мы всегда берём намеренно берём точку до этого момента. И да, никакой квантовости времени из этого совершенно не следует — как минимум в теории мы можем делить отрезок бесконечно долго. Это, разумеется, также не значит, что время не может быть дискретным, просто эта апория этого не доказывает (но и не опровергает). Неужели для вас настолько сложная концепция что конечный отрезок можно разделить на бесконечное количество частей?
                  0
                  Именно анализируя данные апории, я давно пришел к выводу (как и многие другие), что в физическом мире (в отличие от математического) есть предел делению — неделимые кванты времени и расстояния.

                  Это тоже не факт, доказательства есть? Планковская величина задаёт минимум, меньше которого нельзя измеиить, но это не значит, что пространство квантуется.

                    0
                    Так и обратное тоже неверно. Насколько я понимаю, что дискретность, что непрерывность пространства можно только постулировать.
                      0
                      Это тоже не факт, доказательства есть?

                      Конечно, не факт. И не теория. Это просто гипотеза и она не нова. Зато многие вещи достаточно просто объясняет.

                      Планковская величина задаёт минимум, меньше которого нельзя измеиить, но это не значит, что пространство квантуется.

                      А на микро-уровне все общепринятые термины теряют свое привычное значение — там одна неопределенность… намного круче апорий Зенона. У электрона например ведь даже траектория при движении отсутствует…
                    +1
                    Ньютон и Лейбниц работали на нарождающуюся промышленность. Если бы анализ не придумали они, придумал бы кто-то из их современников. Собственно, Ньютон и Лейбниц придумали его независимо друг от друга.

                    Зенон, Аристотель и Демокрит не могли физически придумать анализа, потому что, во-первых у них не было, ни позиционной системы счисления, ни нуля, ни формализованной формы записи задач и уравнений. Иными словами: не было базы, они НЕ стояли на плечах гигантов. А во-вторых, вся их философия и естествознание — это развлечение бездельничающих рабовладельцев. По-этому, даже если кто-то из них, каким-то невероятным образом и изобрёл исчисление бесконечно малых, до нас оно не дошло бы потому, что его забыли бы за ненадобностью.
                      0
                      да зачем тут позиционная система счисления, объясните?
                        0
                        Потому что любой дом начинается с фундамента. Без позиционной системы счисления невозможно делать массовые вычисления. Без них, невозможно овладеть такими вещами, как решение линейных уравнений, тригонометрия и т.п. Попробуйте разработать метод вычисления корня числа используя римские цифры. Там даже умножение и деление — нетривиальные задачи.
                          0

                          Отнюдь нет. Римляне считали на абаках, где вполне реализовывалась десятичная позиционная система. А римские цифры использовали только для записи результата.
                          Кстати, счёт на абаке конкурировал со счётом на бумаге вплоть до времён Лейбница.
                          И у них всё было в порядке и с уравнениями, и с тригонометрией (хотя формулировалось это не так как сейчас). И даже были численные методы.

                            0
                            Римляне считали на абаках, где вполне реализовывалась десятичная позиционная система. А римские цифры использовали только для записи результата.

                            А ещё они умножали последовательным делением одного множителя и умножением другого множителя на 2. А потом брали из столбца умножений те элементы где в столбце делений были нечётные числа и складывали. Так древние римляне изобрели двоичную систему счисления. Но мы же понимаем, что это всё паллиативы, которые не позволяют производить массированные вычисления.

                            Кстати, счёт на абаке конкурировал со счётом на бумаге вплоть до времён Лейбница.

                            Да что там, до времён Лейбница. Ещё мая бабка в конце в 80-х счёты на столе держала. А она главным экономистом на заводе работала.

                            И у них всё было в порядке и с уравнениями,…

                            Уравнения без стандартной записи, сформулированные словесно? Наверняка, очень удобно.

                            … и с тригонометрией (хотя формулировалось это не так как сейчас).

                            Крупнейшее достижение античной тригонометрии — «Амальгаст». Это таблица синусов с шагом в полградуса. Плюс некоторые базовые соотношения в треугольниках. Нет, я не спорю, это важная веха, и всё такое. Опять же астрологические прогнозы стали много точнее. Но, со временами Ньютона и Лейбница, даже сравнивать нечего.
                            И даже были численные методы.

                            Когда есть счёты, но нет аналитического аппарата, только они и остаются
                              0
                              Уравнения без стандартной записи, сформулированные словесно?

                              Во времена Ньютона с Лейбницем с этим тоже было всё плохо. Только некоторые знаки для сокращения записи уже были внедрены, но по сути запись оставалась словесной.


                              Наверняка, очень удобно.

                              Ну почему? Выкладывай на абаке и действуй по алгоритму.

                                0
                                Во времена Ньютона с Лейбницем с этим тоже было всё плохо

                                Отнюдь, Практически современный вид алгебраический язык получил в середине XVII века у Декарта

                                Выкладывай на абаке и действуй по алгоритму.

                                Пожалуйста, предложите метод извлечения квадратного корня на счётах.
                                  0
                                  Отнюдь, Практически современный вид алгебраический язык получил в середине XVII века у Декарта

                                  Да, я не прав. Как раз Декарт и сделал уравнение формулой, а не текстом.


                                  Пожалуйста, предложите метод извлечения квадратного корня на счётах.

                                  Только с записью промежуточных значений. Или с несколькими счётами.

                            0
                            Извините, ерунда. Для модели этой апории, для перехода к понятию рядов и пределов — вообще никакие вычисления не нужны. Как и для построения алгоритма вычисления квадратного корня. Герон, например, построил свою формулу до нашей эры, не располагая позиционными системаси счисления вообще.
                        +1
                        Но у них не было позиционной системы исчисления.
                        Более того, её и сейчас у нас нет
                          0

                          Греки считали, что точка лежит на прямой. Но ни в коем случае не принимали, что прямая состоит из точек

                            0
                            Не особо шарю в математике, но читать было интересно и понятно. Теперь пойду за черепахой бегать
                              0

                              Разрешение апорий через матанализ — подход ну совсем-совсем не бесспорный

                                0
                                ну, почему же. От апорий до рядов и теории пределов — путь прямой. А через неё — и к интегралам.
                                  0

                                  вот советую прочесть статью. весь нюанс апорий — от сложности логического обоснования перехода от актуальной бесконечности к потенциальной (и обратно), в случае пределов такой переход постулируется, а не обосновывается.

                                    0
                                    читал, не особо согласен. Но это не так и важно.
                                  0

                                  Большинство апорий — это артефакты недостаточной формализации задачи.
                                  А статья по ссылке ну совсем-совсем не бесспорна.

                                    0
                                    Движется ли Ахиллес (равномерно и прямолинейно) в инерциальной системе черепахи? :)
                                    +1

                                    Почитайте книжку "Путь к интегралу." Никифоровский В.А. Там подробно описано, как древние греки постепенно приходили к пониманию сути интегрального исчисления. И ключевыми фигурами там были отнюдь не Зенон и Демокрит, а вполне реальные математики — Пифагор и Архимед.

                                      0
                                      Но у них не было позиционной системы исчисления.
                                      Шта? Это при чём?
                                        0

                                        Считаю, что дело тут не то чтобы в матанализе, Зенон Элейский — ученик Парменида, который утверждал, что наблюдаемая реальность является кажимостью, в то время как подлинная реальность является исключительно мыслимой и идеальной. Парменидом же предполагалась шарообразность, неделимость бытия и его статичность — подлинная идеальная реальность всегда есть и всегда она сама, а все изменчивое, движущееся и так далее — это только ее тень, которая воздействует на наши чувства. Собственно, Зенон пытался доказать это самое отсутствие движения, опираясь на зачатки формальной логики (потому что многие ее принципы будут систематизированы много позже Аристотелем).

                                          0
                                          Отвлеченное историческое эссе, не имеющее отношения к решению.
                                          Вот простое решение без привлечения матанализа и бесконечно малых.
                                          И квантование тут тоже ни при чем.
                                          www.facebook.com/V.Senkevich/posts/1295824594090879
                                            0
                                            Объясните, где я ошибся?
                                            Номер итерации | Х Ахиллеса | Х Черепахи
                                            0 0 1000
                                            1 100 1010

                                            9 900 1090
                                            10 1000 1100
                                            11 1100 1110
                                            12 1200 1120

                                            Или речь шла про другое?
                                              +1
                                              11 1100 1110
                                              12 1110 1111
                                              13 1111,000 1111,100
                                              14 1111,100 1111,110
                                              15 1111,110 1111,111
                                                +1
                                                Спасибо, теперь понятно
                                              0

                                              А всего-то и надо переформулировать задачу вот так:


                                              • На каком шаге Ахиллес нагонит черепаху?

                                              И весь парадокс тут же исчезает.


                                              А в исходной фомулировке да, мы каждый раз уменьшаем время очередной итерации, сводя его в бесконечно малую величину, но не достигая момента, когда Ахиллес и черепаха все же встретятся.


                                              И кстати, древние философы могли бы заодно изобрести относительность движения, выбрав в качестве начала координат не "неподвижную" землю, а, например, Ахиллеса.

                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                              Самое читаемое