Комментарии 14
Хотя… Какое непаханное поле. Из каждой главы учебника математики можно сделать отдельную статью на хабр.
ничего нового
Полностью согласен с автором. Хотя он несколько критичен к своей статье в этой фразе.
Автор, вы изобрели новое определение нелинейности. Все Ваши преобразования в статье — линейны.
Если вы исходите из логики, что все трансформации в линейном пространстве являются линейными, то вы вводите себя в заблуждение.
Линейные трансформации специально называются линейными по той причине, что по определению обладают линейными свойствами: аддитивностью и однородностью, что, к слову, и позволяет выразить их через матрицы не прибегая к трюкам, описанным в статье.
Например x' = 3x — это линейное преобразование, а x' = 3x+4 — нелинейное, но оба афинные. Не верьте мне на слово, проверьте свойства.
И вот как раз тут, чтобы уравнения снова стали линейными вводится фиктивная переменная w, которая в исследованном случае всегда равная единице.
Формально для 3вектора такое преобразование нелинейно, но если мы говорим об умножении на матрицу 4на4, то такая операция линейна, но умножить на 44матрицу можно только 4вектор, а мы не обобщаясь до однородных координат работаем с 3вектором.
Нелинейна здесь операция операция добавления и последующего изъятия фиктивной переменной. И в общем, учитывая, что переменную можно и не изымать и всё время работать с расширенными векторами… Короче, имхо, это всё-таки вопрос терминологии, считать ли такие преобразования линейными.
template<int W>
class vec{
...
float w(){return W;}
...
};
using vec_p=vec<1>;
using vec_n=vec<0>;
Это вопрос оптимизации вычислений и к обсуждению математического формализма имеет довольно слабое отношение.
Вообще имхо, как раз в этой области особенно заметно, что вычислительные оптимизации и методы математического описания не обязаны совпадать. Некоторые научные статьи пользуются бикватернионами, например, вот смотрите, мы сделали систему управления мультикоптером на бикватернионах. Прекрасно… Только в чём концептуальная разница между парой из матрицы поворота и вектора трансляции с одной стороны и бикватернионом с другой, если эти формализмы эквивалентны. Поэтому я за то, чтобы выкладки всегда в нормальном векторно-матричном виде делать, а посчитать — это уж как вычислитель позволит.
P.S. Другие умные люди, которые экономят не память, а производительность пользуются для поворотов пространства кватернионами и лениво разворачивают их до матрицы при необходимости использовать объект-оператор преобразования для операции над вектором.
Вот к примеру пост про это
Да, действительно, матрицы больших размерностей нашли своё применение в проективной геометрии. Я оставил ссылку в полезных материалах (третья), так как это интересный момент, но не тема моего исследования: в однородных координатах манипуляции с матрицами чуть более замысловатые, нежели добавление строки (0 0 0 1) для трёхмерного пространства, например, обратите внимание :)
Почему мы трансформируем трёхмерные векторы матрицами 4х4?