Комментарии 48
Написано что-то сложное и красивое, но вот одна деталь всё портит. Внешнее произведение-то получилось не только антикоммутативным, но и неассоциативным, а далее по тексту я вижу слишком мало скобок...
По поводу отсутствия ассоциативности:
(a * /a) * b = 1 * b = b
a * (/a * b) = a * 0 = 0
> unlike the cross product, the exterior product is associative.
Вот только дальше по тексту эта ассоциативность используется…
Например: [ab]*[/a] = [ab/a] = -[a/ab]=b
Но возможно, что природа все-таки допускает одновременное умножение нескольких симплексов разных пространств без указания порядка. И тогда мы сталкиваемся с различными результатами при одних и тех же начальных условиях. То, что называется вероятностным исходом. Но это так, к слову.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0
en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
Английская статья — значительно более обстоятельная.
У меня есть математическое образование — просмотр статей в Википедии расставил вещи более по местам в моей голове (после состояния лёгкого сумбура, вызванного чтением заметки). Вроде бы вектроное произведение векторов входит в школьный курс геометрии (да, оно ведь и в школьном курсе физики должно использоваться), я бы на месте автора подключил соответствующие ассоциативные связи ранее при изложении.
Предлагаете сразу внешнее произведение в школьную программу включать?
Так можно про очень многое говорить, но не водить же из-за того в школьную программу уравнения Максвелла или дифуры для объяснения формулы ускорения.Или определения придела.И т.п.
Школьная программа настроенна на то, что многие вещи надо просто принять на веру и впринципе это хорошо, учитывая то что разные люди по-разному усваивают разные вещи.
Вектор и его скалярное/векторное произведнние в школьной программе хоть и не имеет точного определенмя, а даётся как аксиома, даёт примерное представление о том что такое направление и почие и прочие.
Удивительно, но для реализации 3d мира, даже этого вполне достаточно.(и ещё то что дают на первом курсе технического института(например о том, что умножения двух ортоганальных между собой векторов даёт ортаганальный им обоим вектор и т.д.)).
Всё-таки внешнее произведение будет слегка сложно для школьников, ибо слегка не интуитивно и непонятно зачем оно надо и где его использовать до самого финала(а это влияет на интерес изучения и понимане предмета) и складывается впечетление что это "математика радт матиматики" пока не поймёшь зачем всё надо на самом деле...
Магнитное поле — это не вектор, а бивектор. Отсюда понятно, почему оно «циркулирует». А вот когда оно объявляется «аксиальным вектором» — еще пойди догадайся, о чем речь, и какие отсюда следуют свойства.
Момент силы — тоже бивектор. Отсюда понятно, почему там синус и площадь.
Поэтому лучше бы сразу развить интуитивное понимание бивекторов.
Отрезок и вектор — не одно и то же! Об этом даже не все математики догадываются. Они похожи, да. Оба состоят из двух элементов, оба имеют направление. Но один при этом — произведение элементов, а другой — разность.
Такие нюансы, имхо, более важны, чем заучивание формул тригонометрии.
Магнитное поле — это не вектор, а бивектор. Отсюда понятно, почему оно «циркулирует».
Не вижу связи...
А вот когда оно объявляется «аксиальным вектором» — еще пойди догадайся, о чем речь, и какие отсюда следуют свойства.
Из объявления его как бивектора свойства понятнее не становятся.
Отрезок и вектор — не одно и то же! Об этом даже не все математики догадываются. Они похожи, да. Оба состоят из двух элементов, оба имеют направление. Но один при этом — произведение элементов, а другой — разность.
А произведение-то тут откуда?
Определение симплексов и их границ есть в учебниках по топологии, гомологии. Например, «Элементы теории гомологий», Прасолов.
Но корень у этих разных направлений в математике — общий.
Вы не могли бы всё-таки объяснить, в чём заключается прикладная ценность ничуть не меньше, например, реляционной алгебры?
Ценность в удобстве для некоторых специфичных задач и для нового взгляда на типовые. Примеры можно найти даже не уходя с хабра:
https://habr.com/ru/post/529760/
https://habr.com/ru/post/145381/
https://habr.com/ru/post/542030/
Это же фермионы!
ab=-ba
Это важное свойство, которое является ключевым для внешней алгебры. Из него в частности следует, что внешнее произведение элемента на самого себя может быть только нулем — объектом без знака:a*a = 0.
Немного не въехал вот здесь:
Коэффициенты разложения элемента по базисным могут быть определены через умножение на коэлементы базиса
У меня получается так:
/a x = /a (x_a a + x_b b) = x_a /a a + x_b /a b = x_a + x_b /a b,
что никак не равняется x_a, как в статье.
С другой стороны, можно сделать финт ушами и сказать что
/a x 1 = /a x /b b = (x_a + x_b /a b) /b b = x_a
К какому-то противоречию приходим.
На свойствах внешнего произведения основан векторный анализ, и люди стали отождествлять векторы и внешнее произведение. Но не все пространства векторные. Например, пространство графов образуется все-таки вершинами. И векторы там — это разность вершин. Поэтому в общем случае вершины (объекты) можно (и нужно) перемножать.
Ну хотя бы тот факт не так, что для произвольного объекта мы не знаем элементарный он или составной. Нужно явно "назначить" его элементарным (или указать "состав") перед тем как можно будет его осмысленно умножать.
Ну и плюс не следует забывать, что как только некоторый объект так или иначе включается в множество тех, к которым применима операция внешнего произведения — он автоматически перестаёт быть "любым".
для произвольного объекта мы не знаем элементарный он или составной. Нужно явно «назначить» его элементарным (или указать «состав») перед тем как можно будет его осмысленно умножать.
Если мы не знаем порядок объекта, то это означает, что порядок становится параметром, от которого зависит результат (произведения). Или переменной, подлежащей определению. Например, в эксперименте, где объекты меняются местами. Сами правила не меняются, и алгебра остается применимой для любых объектов.
Я потому и потратил время на статью, чтобы изменить восприятие внешнего произведения как обобщения векторного.Конкретно это получилось сделать плохо. Я дошел до антикоммутативности и подумал «о, разве у нас определено отрицание?», сразу после этого «откуда у нас взялся ноль?!», а на линейных комбинациях подумал «видимо, мы работаем в некотором линейном пространстве, значит, внешнее произведение — это что-то типа векторного».
Если это так, то как понимать умножение людей, если люди (именно люди, а не какие-то их числовые и векторные характеристики) не образуют линейное пространство (по крайней мере, которое бы имело сколь-угодно осмысленную бытовую интерпретацию)? Вот Вы графы упомянули, но они тоже не образуют линейное пространство и сами линейным пр-вом не являются. Как проинтерпретировать a+2b?
Если Вы сравниваете внешнее произведение со списком объектов, а алгебру с реляционной алгеброй, можно ли погрузить списковое программирование в эту теорию? То есть, если concat — это умножение, то как выглядят операторы filer, zip, inner join, transpose?
И ещё один вопрос-уточнение: следующие линейные комбинации существуют?
a + [ab] + [abc]
a + /a
Конкретно это получилось сделать плохо.Ну я хотя бы попытался ).
… как понимать умножение людей, если люди (именно люди, а не какие-то их числовые и векторные характеристики) не образуют линейное пространство (по крайней мере, которое бы имело сколь-угодно осмысленную бытовую интерпретацию)?Почему не образуют? Очень даже образуют со вполне понятной интерпретацией. Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.
(графы) тоже не образуют линейное пространство и сами линейным пр-вом не являются.А это почему? Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики. Я про это кучу статей на хабре написал. Там и про координаты объектов есть, и про то, что лапласиан графа — это метрический тензор. Полистайте.
Если Вы сравниваете внешнее произведение со списком объектов, а алгебру с реляционной алгеброй, можно ли погрузить списковое программирование в эту теорию?Это хороший вопрос, я сам иногда над ним задумываюсь. Поскольку природе, похоже, вполне хватает свойств внешней алгебры, то есть свойств двух списков — один с исключением одинаковых элементов (фермионы), другой — с накоплением одинаковых элементов (бозоны). А если это так, то, возможно, и все остальные операции (в том числе которые вы перечислили) можно выразить через операции над данными списками с учетом элементов копространства.
Надеюсь, что у меня дойдут руки, чтобы это выяснить, если кто другой это уже не сделал. Ну или можете сами попробовать ).
И ещё один вопрос-уточнение: следующие линейные комбинации существуют?Первая — вполне обычное выражение (градуированная цепь). Вторая, наверное, тоже имеет место быть, но надо выяснить, какой смысл она несет. Вообще мне не встречались подобные выражения, но я и работал только с обычными (однородными) пространствами.
a + [ab] + [abc]
a + /a
Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.Это как раз понятно и я сразу отметил, что скалярные характеристики мы можем рассматривать как аффинные/векторные/… пространства. Но человек не есть его конкретная скалярная характеристика.
Во-первых, существуют нескалярные, например, если Петя пятипалый, а Серёжа шестипалый, то сколько пальцев у Васи? А если Вася = cos 30* Петя + sin 30* Серёжа?
Во-вторых, не хотелось бы сводить человека к набору его внутренних характеристик. У него есть и внешние характеристики, вроде социальных связей, отношение к книгам, писателям, любимые фильмы. Как в этом случае быть?
Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики.О метрике на графе я знаю, а о линейной структуре не слышал. Судя по всему, Вы таки рассматриваете сам конкретный граф как линейное пространство, а не семейство всех графов в целом. То есть Вы для произвольного графа как-то определяете 0 как выделенную вершину графа и линейную комбинацию вершин как вершину. Как Вы это делаете?
В аффинном пространстве людей вы можете выражать координаты одних людей через других — базовых. Мерность пространства может быть разной. Я привел простейшее — одномерное, где люди — это точки на одной прямой, которая задается Петей и Сережей.
Когда мы переходим к характеристикам (людей), то это эквивалентно проекции пространства людей на пространство характеристик. При этом мерности пространств надо согласовать, то есть размерность пространства характеристик надо привести к размерности пространства людей.
Допустим есть пространство городов, в которых находятся (проживают) люди. В общем случае оно многомерно (нескалярно в ваших терминах). И поэтому нет смысла проецировать в него одномерное пространство людей. Грубо говоря, из того, что Петя живет в Москве, а Сережа в Ижевске, нет возможности определить, где живет Вася.
Но мы можем предварительно само пространство городов свернуть в одномерное, — то есть расположить все города на линии, образованной городами Пети и Сережи, то есть на векторе «Ижевск — Москва». И вот в такое пространство проецировать линейное пространство людей уже можно вполне корректно. И Вася окажется предположительно в Нижнем Новгороде, поскольку Нижний Новгород примерно равен (Ижевск + Москва)/2. Это все, что мы можем сказать, имея исходную информацию.
— Про графы не уверен, что понял вопрос. Все вершины графа независимы. Нельзя одну из вершин графа определить как линейную комбинацию других. Но это не означает, что в данном пространстве вообще невозможно определить другие элементы (точки), как линейную комбинацию вершин графа.
Например, при переходе к подпространству графа часть его вершин становится зависимой от вершин нового базиса (подграфа).
Есть некоторое линейное пр-во L. Мы каким-то образом сопоставляем каждому элементу X какой-то вектор L. Если размерность L равна числу элементов X, а каждый элемент сопоставлен базисному вектору, то L является линейной оболочкой X и любой вектор L может быть представлен в виде линейной комбинации (образов) элементов X
.
Если же мы рассмотрим другое линейное пр-во L' меньшей размерности и так же сопоставим элементы X векторам L', элементы (точнее, образы элементов) станут линейно-зависимыми. Тогда некоторые элементы X будут линейной комбинацией других элементов, базисных в L'.
При этом из линейной оболочки L в произвольное линейное пр-во L' существует ровно одно линейное отображение, которое сохраняет сопоставления X в L и L'. Вы его называете проекцией.
Что ж, тогда остаётся открытым вопрос, насколько мы вправе называть линейную оболочку множества людей «линейным пр-вом людей», если не каждый вектор этого пр-ва может быть проинтерпретирован как человек, а только базисные.
P.S. Я не уверен, что понял первую часть Вашего ответа. По-видимому, её тоже надо понимать как определение линейного отображение линейной оболочки городов в малоразмерное линейное пространство, где Нижний Новгород (=его образ) линейно зависит от Москвы и Ижевска.
В любом случае, в моей речи «нескалярный» = «не являющийся скаляром и не обязательно являющийся вектором», а «многомерный» = «вектор, имеющий большую размерность»
Понимаю, что это может быть не очень просто, но было бы здорово, если бы каждое свойство иллюстрировалось какими-нибудь инженерными примерами, имеющими физический смысл. Мне, например, непонятно, зачем сравнивать тройки людей по росто-весу.
Мне, например, непонятно, зачем сравнивать тройки людей по росто-весу.
Может, кластеры какие-то обнаружатся или ещё какие закономерности. Но вообще тут упор на то, что в подобных пространствах по одному параметру можно сравнивать два объекта, по двум — три, и т. д. А вот сравнить два объекта по двум параметрам без дополнительных допущений не получится.
Подобные статьи вызывают ощущение, что ты нашел интересную инопланетную штуковину, но не имеешь понятия, как ее использовать в хозяйстве ))Немного не в тему, вспомнил ваш комент про теорему Пифагора — должно быть для всех понятно) Как земляне определяют точку? Геометрический объект не имеющий измерений. Представим планету с атмосферой очень богатой химией и физикой, в которой зародилась жизнь доросшая до разумной. Как будет у них выглядеть математика? Геометрия, в отличии от нашей ситуации, будет на втором плане. Плоскостей и линий в их восприятии нет. Это мир сплошных атмосферных потоков, вихрей, диффузий, химических градиентов, атмосферного электричества, и тд. Возможно базовым когнитивным примитивом для них будет вектор, как направление и величина потока обычных в их условиях, как для нас плоскатиков (почти) положение на поверхности Земли. Определение точки у этих атмосфериков — точка, вектор с нулевыми (неопределенным) направлением и значением. А аналог теоремы Пифагора? Возможно сложение двух ортогонально направленных вектора. Для них это актуальнее на практике. Хотя и у них тоже могут быть провидцы, кот. будут говорить о другой геометрии. Как человек со временем поднявшийся в воздух, эти разумные существа опустятся на поверхность планеты, такую же не обычную среду, как для нас атмосфера. И со временем поймут, что математика возможна не только в пространстве потоков, но и на фиксированной плоскости, но для них она будет умозрительной) Нам это трудно представить, даже нашим птицам, они произошли от сухопутных. Но это уже будет новый этап развития этих существ, преодолевших свое когнитивное ограничение. Как человек преодолел евклидовы геометрические представления на плоскости, но так же с трудом воспринимающий умозрительные градиенты, дивергенции и роторы векторных полей) только потому что он не возник и живет в этих вихрях и потоках.
На самом деле никому даже в голову не приходит использовать реляционную алгебру при работе базами данных, не смотря на вроде бы «кровное родство» данных областей. Потому что это сложнее, чем использование очень простых и интуитивно понятных правил.
Сама идея использования некой алгебры для моделирования некой предметной области, безусловно, разумная, только математическая реализация такой идеи всегда уходит очень далеко от потребностей данного конкретного приложения. Упрощённо, в алгебре принято определять коммутативность, ассоциативность, задавать единицу или ноль (или и то и другое), выводить на этой основе кучу свойств, которые вполне возможно где-то пригодятся, но вот в конкретном прикладном примере от них не будет никакого толка. Или в подавляющем большинстве случаев не будет толка, а в некотором меньшинстве сама примитивность базовых операций поможет вывести необходимые правила самостоятельно, в привычных выводящему терминах и с использованием знакомых и интуитивно понятных образов.
А кроме того есть то, что называют «особенности реализации». И эти особенности, очень часто, на порядки сложнее первоначальной основы в виде собственно алгебры. То есть в тех же базах данных накопилось реально огромное многообразие всяческих дополняющих базовые принципы идей и алгоритмов. И по сути, эти дополняющие реляционную алгебру инструменты сами стали основой любой современной БД, а алгебраическая часть ушла в сухую теорию, прикладной смысл которой не понимают почти все студенты, изучающие данный предмет.
Вообще, математический подход из серии «Бурбаки ничего не знает о реальном мире (и не хочет знать)» приводит к весьма выдающимся глупостям, вроде той, которую известный советский алгебраист с фамилией Арнольд, приводил в своих статьях (про мальчика, который на вопрос «сколько будет 3+5» ответил «будет 5+3, потому что сложение коммутативно»). Поэтому надо бы как-то спускаться с небес и погружаться в реальность, что бы всё же разговаривать с людьми на их языке, а не на языке математических определений.
У вас всё разъяснено гораздо лучше, чем в во всех книжка по дифференциальной геометрии и теории гомологий, которые я имел несчастье листать. Спасибо!
Вопросы.
1) Что здесь всё-таки происходит с точки зрения построения сигнатуры алгебры? Как справедливо указали выше, мы не можем считать множество всех /a и a даже кольцом с единицей, поскольку умножение оказывается неассоциативно. В целом набор операций выглядит странно, я не смог соотнести такое умножение с какой-либо изученной с первого курса алгебраической структурой (группа, кольцо, поле). К сожалению, после первого курса я пошел по специальности, далекой от алгебры, и не знаю, есть ли что-то экзотическое, качественно описывающее формальные свойства таких структур, как то, что выше. Или у внешней алгебры нет аналогов по сигнатуре?
2) В качестве упражнения я попытался узнать границу у ленты Мебиуса и получил 0. Это так и должно быть или я что-то делаю не так?
3) Я пробовал думать об элементах как о точках в обычном двух- или трех- мерном евклидовом пространстве. Тогда (ab) это, понятно дело, вектор, проведенный от a до b. Пример с квадратом это подтверждает. (ab)(ac) это (abc) — граница ореентированного треугольника. Коэлемент /a это штука, которая при воздействии на симплекс оставит в живых только противоположную её грань симплекса (bc), возможно её вывернув. Однако, что такое в этой системе (ab)(cd), как эту штуку представить? Вычисления её площади (по сравнению с площадью единичного полуквадратика Oxy) по той же методике дают площадь четырехугольника acbd (или abdc, если я ошибся с направлением). Корректно ли считать что (ab)(cd) = (acb) +(bda)?
4) Я пробовал думать о границах второго порядка как о замкнутых траекториях в фазовом пространстве некой циклической физической системы. К примеру, тепловая машина преобразует давление и объем внутри котла в энергию в различном виде (тепловом или как механическую работу). Нарисовав в фазовом пространстве PV три точки и считая, что процесс по прямой линии перетягивает машину между тремя состояниями, мы получим энергоперекачку тепловой машины как раз в размере площади означенного тела. Для фазового пространства, скажем, маятника, площадь области, очерченной фазовой траекторией так же имеет непосредственно отношение к энергии, запасенной телом. Однако для всех этих механических применений с интерированием по площади, обычно, фазовая траектория не состоит из множества прямых отрезков — разве что аппроксимируется им. Встает закономерный вопрос — можно ли расширить ли эту теорию на криволинейные структуры, и как это сделать?
5) Обобщая 3-4, хочется больше, скажем так, практических примеров применения этой теории. А то всё такое абстрактное, что голову сломать можно. Хочется простых житейских примеров, без всяких там дифференциальных форм на многообразии и когомологий.
1) Насчет классификации данной алгебры надо алгебраистов спрашивать. Наверное, что-то типа неассоциативного кольца, но опять же тут надо разбираться, всем ли требованиям/определениям удовлетворяет.
2) Ленту Мебиуса невозможно выразить как сумму ориентированных треугольников — это все, что я знаю ). В частности потому, что ориентированный треугольник имеет две стороны, а лента Мебиуса — односторонняя. Но тут у меня самого остается вопрос — площадь же у ленты Мебиуса все равно есть — как ее выразить? Наверное, топологи знают ).
3) Насчет (ab)(cd). Да, тождество корректно: (ab)(cd) = (ab)(cb + bd) = (ab)(cb) + (ab)(bd) = -(abc) + (abd). Поэтому в аффинном пространстве данный элемент отвечает сумме-разности бивекторов. Площадь в плоскости Oxy и будет разностью площадей данных бивекторов (их проекций на данную плоскость). Но в общем случае 4 элемента не принадлежат одной плоскости.
В графе данный элемент соответствует двум несвязанным компонентам, состоящим из двух связанных вершин. Но граф — это все-таки уже другое пространство.
4) Насчет фазовых пространств, мне кажется, надо у Арнольда смотреть — «Математические методы классической механики». Там и про энергию, и про криволинейные интегралы есть.
5) Да, я тоже за то, чтобы как-то попроще все было, и на конкретных примерах разжевано ).
Подскажите, в чём суть /a * b = 0? Почему так? Я легко это опровергну:
a /a b = -1
a /a b = -1 b
a 0 = -1 b
0 = -1 b
что, конечно же, неправда.
В общем случае произведение симплексов и косимплексов неассоциативно, то есть зависит от расстановки скобок.
Внешняя алгебра, которую мы заслужили. Часть 1 — симплексы и границы