Комментарии 7
В силу того, что процесс x(t) является ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания
Вот так просто, без всяких доказательств, принимается, что цена актива должна вести себя именно так? И почему это "наиболее логично"? Есть ли ссылки на статьи, которые бы подтверждали, что цены действительно ведут себя так? Может вы хотели сказать "для такого процесса, уравнение получается самое простое аналитически решаемое уравнение"?
И почему в статье ничего не написано про разницу между американскими и европейскими опционами? Про неприменимость классической формулы Блека-Шоулза к прайсингу опционов на современных рынках? Почему в источниках только малоизвестные (за исключением Ширяева) отечественные авторы, но нет бессмертной классики в виде книжки Hull'a?
Без обид, но это больше похоже на рерайт с википедии, чем на оригинальный материал.
Книжка Халла, действительно является системной классикой для теории финансов, тем не менее в рамках подготовки статьи ей не пользовался.
По поводу рерайта, в какой-то степени тоже согласен, ничего нового ведь я не придумал, однако цель статьи заключалась в более подробном описании процесса доказательств, где будут растолкованы и объяснены не совсем тривиальные с математической точки зрения вещи.
Интересная статья. Хотелось бы еще посмотреть на вывод формулы для цены американского опциона, когда до экспирейшена еще бывает дивиденд.
Кстати, а что вы сами думаете о предположении, что логарифмы приращения цен бумаги распределены нормально? Это приводит к забавным казусам типа разного implied volatility у опционов по одной и той же бумаге.
Однако, ни кем не забыт случай с падением цен фьючерсов на нефть, когда их стоимость стала отрицательной. Соответственно, сказать, что цена актива описывается только логнормальной моделью, наверное нельзя.
Мосбиржа, например, использует для оценки опционов на ряду с моделью Блэка и модель Башелье, в основе которой лежит нормальное распределение приращения цен, а не их логарифмов…
Как человек, работающий с опционами и акциями каждый день, могу сказать точно, что упасть на 50% и вырасти на 100% — это совсем не одно и то же с точки зрения рынка.
Модель, где принимается, что логарифмы приращений распределены нормально, очевидно неверная, потому что распределение выходит симметричным, тогда как на деле оно симметрично только в очень небольшой окрестности нуля.
Модель, когда приращения цен распределены нормально тоже далека от реальности, потому что имеет слишком узкие хвосты и для объяснения ненулевых цен дальних страйков приходится изменять implied volatility.
Мне представляется гораздо более реалистичной модель, где в основе лежит 2-3 параметрическое семейство распределений с ненулевым 3 моментом. Потому что предполагать симметричность распределения приращений для каждой конкретной бумаги — это очень серьезное допущение. Да и в целом по рынку симметрии тоже нет, последние мои измерения показали, что хвост в отрицательную сторону тяжелее (по крайней мере был до ковидного кризиса, после него ситуация поменялась и распределение стало более-менее симметричным)
Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему.Это неправда. Справедливая цена опциона НЕ равна дисконтированному математическому ожиданию выплаты (в вероятностной мере реального мира).
Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.
Опираясь на принципы B,S -рынка можно перейти к новому равенству: $d \Pi = \Pi rdt$, где $r$ — безрисковая ставка.За этими фразами скрывается главная экономическая идея деривативной науки: репликация и отсутствие арбитража. К сожалению, она совершенно теряется на фоне выкладок. Поэтому у неподготовленного читателя неизбежно останутся вопросы. Возможно, стоило бы сначала разобрать какой-то простенький пример в одношаговом биномиальном дереве и показать, как работает реплицирующий портфель. А потом уже сказать, что давайте обобщим идею на непрерывное время. И то, на мой вкус, предельный переход в биномиальном дереве более нагляден, чем вывод Б-Ш через лемму Ито и уравнение теплопроводности.
Математика опционов или модель Блэка-Шоулза