Комментарии 24
Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет...
Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.
Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.
К сожалению ли к счастью, но большинство серьёзных учебников по математике пишутся на достаточно на серьёзном уровне и с весьма серьёзным лицом - рецензенты ведь серьёзные уважаемые в научном сообществе люди и несерьёзную хрень не пропустят на за какие коврижки (даже порой и денежные...). К чему это я? Слишком высокий порог вхождения должен быть у начинающего, чтобы через дебри формализма найти ту самую идею, которая путеводной ниточкой может провести сквозь формальные определения, леммы, теоремы, доказательства.... Может оно и верно задумано - дабы отсеять изначально белково-неподготовленных двуногих особей к таким вот монолитам, но в глазах более широкой общественности это всё смахивает на "Игру в бисер" Гессе. Мда... с таким положением дел, математика сильно оторвалась от действительности. Выручают прикладные вещи - тот же датасайнс, но если копнуть глубже - мало кто шарит в этом на уровне строгих математически корректных формулировок, проще Каггл задрачивать. Млин... к чему это я? Катастрофически нехватает таких популяризаторов - профессионалов из этой самой топ-математики как Савватеев Алексей, доступно и буквально на пальцах могущих обьяснить внутренние мотивации построения той или иной теории. А уж где взять такие учебники???
В математике алгебра (как и другие формальные теории) используется очень широко, поэтому она даётся на начальном этапе университетской подготовки математиков. Если этот этап пропущен - получается как раз ваше положение.
Просто вот такая там база. Она могла бы быть другой, но с этим вопросом к нынешним математиками не стоит подходить, потому что они давно привыкли жить именно с этой базой. Точнее - привыкли с самых ранних этапов обучения в универе. И переучиваться на что-то другое ради вашего удобства для них несколько напрягающая задача.
Хотя если не сводить всё к полям, кольцам и прочим решёткам, то в некоторых местах математика и для самих математиков стала бы проще. Но реформу в математики в современном обществе начинать не стоит, уж точно. Потому что общество не готово, а если оно "не тянет", то сами математики без живительного пинка никогда за такую задачу не возьмутся.
Только в аспирантуре мне открылась вся глубина моего незнания математики, хоть и занимаюсь теорфизом, и в математике с обывательской точки зрения, типа, профи.
Запомнилась фраза одного из преподавателей, что вся математика, которую проходят в МФТИ, еле-еле тянет на "ликвидацию безграмотности". Что-то более менее похожее на Математику есть только на мехмате.
В общем нахожусь (и останусь навсегда) в "долине отчаяния" известного графика.
/
большинство серьёзных учебников по математике пишутся на достаточно на серьёзном уровне и с весьма серьёзным лицом — рецензенты ведь серьёзные уважаемые в научном сообществе люди и несерьёзную хрень не пропустят на за какие коврижки (даже порой и денежные...)
Однако от ошибок никто не застрахован. Наш преп по матану (один из авторов пятитомной математической энциклопедии) имел страсть искать ошибки (не опечатки!) в серьезных математических публикациях. Например, он говорил, что в 22-м (!) издании «Линейной алгебры» Куроша всего две ошибки!
А пробовали проворачивать такие доказательства через proof assistant? Coq или Lean какой.
Тут интересен вот какой вопрос - как по коэффициентам конкретного уравнения определить, разрешимо ли оно в радикалах ?
В этом и есть сила современной математики, что на входе у вас есть задача, вы сходите её к другой задаче, а там уже инструменты позволяют её решить.
То, что вас смущает что математики переходят от уравнений к "каким-то непонятным пространствам и поверхностям" это на самом деле плохо. Современная наука уже давно выросла из того состояния когда можно объяснить любое явление на пальцах.
Это примерно как пытаться объяснить почему в конкретном месте не ловит сотовая связь не используя вычислительные методы и наработки физиков в области распространения сигналов, базирующихся в конечном счёте на уравнениях Максвелла. Конечно можно разбрасываться общими фразами типа интерференция или переотражение, но это годится лишь для кухонных бесед и не более. Реальная польза заключена именно в уравнениях и подобных строгих конструкциях, а не в попытках создать простые объяснения сложным феноменам.
Интересные статьи != полезные статьи. Жанр научно-популярных статей скорее относится к развлечению публики (и в этом нет ничего плохого ибо хлеба и зрелищ будут хотеть всегда). Примерно как всякие научно-популярные книги о теории суперструн. Читать их захватывающе, но человек их прочитавший на самом деле не сможет внести никакого вклада туда, потому что настоящая теория суперструн это математические абстракции, а не рассказ о том как представить себе дополнительное измерение с помощью водопроводного шланга (в одной популярной книжке так делается)
А вы бы не могли практические примеры применения резольвент привести.
Спасибо за статью.
Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.
Весьма похвальное желание! Я бы отнесся к этому серьезно. У меня самого второе (дневное) высшее образование – мехмат МГУ (математика). А по первому я горный инженер. Правда, поступал в Московский университет после работы (по распределению) во Всесоюзном НИИ в Белгороде, где отработал четыре года. Пять лет учебы по специальности (куда поступают либо в 17 лет, либо никогда), хотя мне было тогда 26 лет, дали очень и очень много. Жаль, что, через год после моего выпуска, развалили СССР, поэтому, как математик, я так и не был востребован, хотя перспективы в Советском Союзе у меня были сногсшибательные.
Поэтому, «пришлось переквалифицироваться в управдома», то бишь, программиста, но это уже другая история.
Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.
Абстрактная алгебра, у нас она шла как «Алгебра-3» это вещь покруче «Фауста» Гёте будет. А на первых курсах нам преподавал матан, с элементами абстрактной алгебры, Л.И. Камынин (в Интернете нашел только его первый типографский том, 430 стр., для первых двух семестров: fileskachat.com/getfile/27047_d05727eb8e4a7ae1f574f7fd501e2c21 ). Во втором типографском томе 620 страниц. Для меня лично это был просто «шок и трепет».
Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось.
Я бы порекомендовал пообщаться на математическом форуме dxdy.ru. Там можно прояснить многие вопросы непосредственно от профессионалов.
Хотя я сейчас, как математик, уже потерял квалификацию, но чисто интуитивно думаю, что неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах связана с трансцендентностью чисел (корней уравнения).
Корнями алгебраического уравнения, в зависимости от вида и степени, могут быть, с точностью до знака ортогональной единицы, целые числа, рациональные, иррациональные и трансцендентные.
Иррациональные числа обычно порождаются радикалами (с рациональными степенями), и они не могут быть представлены конечной рациональной дробью, только бесконечной (т.н., цепные дроби). Аналогично, трансцендентные числа не могут быть представлены конечной последовательностью иррациональных чисел (радикалов), только бесконечной.
Но на этом, судя по всему, последовательность чисел подобного типа прерывается. Ну а привязка к конкретике (степени уравнения и его коэффициентам) это уже детали для профессионалов.
с точностью до знака ортогональной единицы
Ортогональными бывают вектора и функции. Видимо, речь идёт о функциях?
Слово «знака» здесь можно опустить. Получается, «с точностью до ортогональной единицы». Все верно, ортогональными могут быть и единицы. В данном случае, это обычная «1» и мнимая «i». Они составляют базис поля комплексных чисел. С геометрической точки зрения это (ортогональные) «вектора», а с алгебраической (ортогональные) «единицы».
Из алгебраического уравнения выйти за пределы поля C уже не получится. А ведь на этом ортогональные единицы не заканчиваются. Далее следуют ортогональные единицы тела кватернионов: «j» и «k». Потом единицы e_4, e_5, e_6, e_7 алгебры Кэли (октонионов). Затем единицы e_8, …, e_15 алгебры седенионов. А для дальнейших алгебр Кэли-Диксона, этого типа, нет даже специальных названий. Все их относят к гиперкомплексным числовым системам.
Кстати, в свое время, я опубликовал формулу для умножения единиц алгебр Кэли-Диксона, произвольного порядка (см. мой комментарий здесь в https://habr.com/ru/company/itsoft/blog/562518/#comment_23144568 ).
Корнями алгебраического уравнения, в зависимости от вида и степени, могут быть, с точностью до знака ортогональной единицы, целые числа, рациональные, иррациональные и трансцендентные.
Трансцендентные ?! Вы шутите. Трансцендентные числа по определению не являются корнями алгебраических уравнений.
Трансцендентные ?! Вы шутите. Трансцендентные числа по определению не являются корнями алгебраических уравнений.
Вы правы! Речь должна была идти именно о корнях алгебраических уравнений над полем С, не являющихся целыми, рациональными либо иррациональными числами (с точностью до обычной или мнимой единицы). Думаю, что существование подобных чисел как раз и связано с неразрешимостью их в радикалах, другими словами, подобные числа нельзя представить в виде конечной комбинации радикалов с рациональными степенями. Такая комбинация обязана быть бесконечной, как бесконечна цепная дробь из рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу.
Как я писал, это только моя интуиция, могу и ошибаться.
Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось.А у меня было прямо наоборот, это казалось очевидным (когда я повторно начал изучать математику уже во взрослом возрасте) — ведь радикал по определению задаётся как обратная функция для xn, и по определению он никак не может служить корнем для произвольного полинома. Тут скорее другое удивительно — что радикалом можно корни и некоторых других полиномов выражать. Но и тут градус удивительности можно понизить, если вспомнить, что некоторые полиномы представляется в виде произведения, например 6+11x+6x2+x3=(1+x)(2+x)(3+x). А если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и всё выражение равно нулю, и корнями уравнения 6+11x+6x2+x3 соответственно будут -1, -2 и -3. Также можно вспомнить, что степени полинома можно увеличивать и рекурсивно — например, в полиноме 1+x+x2 сделать замену x на -1-x+x2 получим 1+x-2x3+x4. А зная, что во что вкладывается, и корни также можно рекурсивно считать.
Что же делать, если нам нужно работать с корнями, которые не выражаются в радикалах? Очевидно, определить новую функцию, которая является обратной для интересующего нас полинома и далее аналитически работать с ней до тех пор, пока не потребуется вычислить её численное значение. А алгоритмически численные значения всех этих корней вычисляются обычно совершенно одинаково — через метод Ньютона. И в качестве примера — если первый корень полинома 1+x3+x5 (-0.8376...) возвести в квадрат — то получим первый корень уже другого полинома, -1+x3+2x4+x5 (0.7016...).
P.S. Уверен, вам не рассказывали такого в школе.
О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа