Комментарии 88
Какой-то запутанный вывод корней и дискриминанта. Через упомянутое приведение к полному квадрату проще можно.
Соглашусь с тем, что приведение к полному квадрату проще. Но суть то в том, чтобы показать привычные вещи таким образом, чтобы это имело какой-то смысл. В данном случае, геометрический.
Вывод корней таким способом ни чуть не сложнее, чем приведение к полному квадрату.
Не сказал бы, что сильно проще, если честно. Вывод хоть и прямолинеен, но довольно длинный, особенно как для 7-8 классов. Кроме того, он слишком уж… механичен, что ли.
Приведённый в статье путь лучше, потому что связывает воедино разрозненные концепты, плюс во многом опирается на визуально-геометрическую интуицию, что для среднего школьника упрощает понимание. Для него ведь парабола и квадратное уравнение особо не связаны — преподают-то их отдельно.
Кстати, Грант Сандерсон [3blue1brown] в начале ковидной эпохи (как давно это было) записал для школьников примерно такое же видео https://www.youtube.com/watch?v=MHXO86wKeDY.
Еще сравнительно недавно было видео от Veritasium: https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo
Ф. Клейн «Элементарная математика с точки зрения высшей»
Это вот основная причина, почему я не любил математику в школе, хоть и получал по ней пятерки. Тебя просто заставляют учить какие-то эльфийские заклинания и ритуалы, не объясняя, зачем это, как это работает, что это значит, а какого черта вообще происходит.
До какого-то момента смысл математических операций объясняют. Сложение\вычитание\умножение\деление через распределение апельсинов в группе детей. Отрицательные числа через понятие денег и долгов. Но потом, в какой-то момент просто начинается "нет времени объяснять, зубрите формулу" и темнота... Максимально контрпродуктивно. Такое ощущение, что учителя уже и сами не знают, что и как в энтой вашенской математике работает. Просто какие-то умные люди от скуки напридумали кучу бесполезных формул, чтобы усложнить всем жизнь.
P.S. Из старших классов еще помню, молодая практикантка объясняла нам смысл интеграла. Мб по той причине, что сама еще помнила его, в отличие от "опытных учителей".
P.P.S. Сейчас работаю с криптографией, эллиптическими кривыми, разномастными преобразованиями, производными и учил все это уже сам сильно после университета, где алгебра линейная подавалась еще топорнее, чем в школе.
Тебя просто заставляют учить какие-то эльфийские заклинания и ритуалы,
странно, я любил (и люблю) школьную математику как раз по обратной причине: почти ничего не нужно учить, нужно понять.
забыл дискриминант — вывести недолго, забыл синус двойного угла — вывести недолго (вот прямо сейчас ради проверки сел и вывел, школу закончил 30 лет назад), забыл точную формулировку теоремы — можно переформулировать.
с историей или даже с химией так не выйдет.
не объясняя, зачем это, как это работает, что это значит, а какого черта вообще происходит.
а что значит «зачем»? just for fun же )
существенная часть математики была придумана из «хм, прикольная штука, а как её можно покрутить?», важный частный случай этого «покрутить», о котором я уже писал: «ну да, это сделать нельзя, а давайте представим, что можно, что тогда получится?» (отрицательные числа появились из попытки отбросить правило «из меньшего нельзя вычесть большее», дробные числа из «число нельзя разделить на другое число, не являющееся его делителем», комплексные из «из отрицательного числа нельзя извлечь корень»).
а «зачем» уже после находилось.
забыл синус двойного угла — вывести недолго (вот прямо сейчас ради проверки сел и вывел, школу закончил 30 лет назад)А синус, например, 17-кратного угла сможете вывести?
Достаточно промыслить sin(a+b), а остальное дело техники
геометрически, как я выводил синус двойного угла/суммы? не буду браться.
тригонометрически через синус/косинус суммы? чисто механическая работа, дело лишь в аккуратности.
только я не понял к чему вы привели пример, эту формулу от школьников не требуют.
я пытался сказать вот что:
если на контрольной забыл формулу/теорему, не беда, вседа можно вывести, пользовался этим неоднократно.
то же самое если вызвали сформулировать/доказать теорему, если помнишь про что она, то не нужно помнить точную формулировку, можно строго сформировать на ходу; ну а если разбирал доказательство, то через несколько минут вспоминаешь идею и можешь повторить (хотя было, что в голову приходило альтернативное доказательство).
другими словами, школьный курс математики для меня представлял полную противоположность зубрёжке.
ну да, надо запомнить, что «биссектриса — это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам» (честно запомнил что такое биссектриса до того, как встретил этот стишок), и что синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе (тут запоминал как казус — основной синус дальше от угла, а прилегает к углу парный ко-синус), но в сравнении с остальными предметами это мелочи.
На самом деле, это правильная мысль: запоминать не факты, а идеи. Еще лучше получается тогда, когда эти идеи начинают связываться друг с другом.
Форматирование этого равенства заняло у меня намного больше времени, чем собственно его нахождение. Через комплексные числа, которые тоже изучают в школе, универсальное решение будет ещё более компактным — но могу поспорить, что далеко не каждый знаток корня из минус единицы сможет его предоставить.
Вот не лень же было? Я Maple запустил:
expand(subs(seq(cos(x)^(2*n)=cs2^n,n=1..8),cs2=1-sin(x)^2,expand(sin(17*x))));У вас более громоздкое решение
Oтвет ровно такой же, как и у вас. Только maple (2020.1) не сортирует члены выражения:
-816*sin(x)^3 + 11424*sin(x)^5 - 71808*sin(x)^7 + 239360*sin(x)^9 - 452608*sin(x)^11 + 487424*sin(x)^13 - 278528*sin(x)^15 + 65536*sin(x)^17 + 17*sin(x)к тому же годится только для целых n
А вы, значит, можете превратить sin(17.12345x) в полином по степеням sin(x)?
Имея на руках калькулятор или язык программирования без поддержки символьной алгебры от него мало толку. Особенно учитывая то, что при n>50 коэффициенты при синусе становятся настолько большими, что перестают влазить в 16 цифр, то есть предельную точность double.
Спасибо, а то я не догадывался. Я думаю, что уже при N=17 будет потеря точности. Я просто удивился, что кто-то решил ручками такие технически элементарные операции сделать. Я бы точно ошибся где-нибудь.
Oтвет ровно такой же, как и у васСамо собой. Я говорил об изначальной постановке задачи, для которой существует не итеративное решение, а в замкнутом виде через многочлены Чебышева.
А вы, значит, можете превратить sin(17.12345x) в полином по степеням sin(x)?Да, только он будет бесконечным:
17.12345·sin(x)-
833.9478027322436·sin(x)^3+
11850.921158031997·sin(x)^5-
75680.13485666757·sin(x)^7+
256694.97157653485·sin(x)^9-…
Ну, полиномы Чебышева формально итеративно определены...
Только это ряд, а не полином, вдобавок, как бы еще не расходящийся?
Ну, полиномы Чебышева формально итеративно определены...Итеративное определение — это одно из возможных определений, а вовсе не единственно верное, и уж тем более не очевидно полученное из поставленной задачи (минимизация отклонений). Один из вариантов вообще определяет многочлены Чебышева как частный случай многочленов Золотарёва, а те, в свою очередь, определяются через эллиптические (и трансцендентные) функции.
Только это ряд, а не полиномБудет интересным узнать, чем отличается многочлен от степенного ряда с конечным количеством членов.
как бы еще не расходящийся?Не расходящийся. А расхождение ряда не значит, что его сумму нельзя посчитать — примеры вы и без меня знаете.
Да, только он будет бесконечным: 17.12345·sin(x)- 833.9478027322436·sin(x)^3+ 11850.921158031997·sin(x)^5- 75680.13485666757·sin(x)^7+ 256694.97157653485·sin(x)^9-…
Я вот про этот ряд писал....
Вдогонку, а если N=16? :)
Cos(x)·(16·Sin(x)-672·Sin(x)^3+
8064·Sin(x)^5-42240·Sin(x)^7+
112640·Sin(x)^9-159744·Sin(x)^11+
114688·Sin(x)^13-32768·Sin(x)^15)
Но лучше, конечно, сразу к комплексным числам перейти — там это будет просто возведением в степень, хоть целую, хоть дробную, хоть мнимую.
Я этот пример привёл к тому, что школьные знания остаются на школьном же уровне
напомню, изначально дискуссия была про то является ли школьная математика зубрёжкой или нет.
я сказал что нет.
в качестве аргумента я взял листочек, карандаш и минут за 10 вывел геометрически синус двойного угла. в школьные годы я бы, разумеется, сделал это быстрее, ибо планиметрии и тригонометрии все эти десятилетия после школы не касался, максимум несколько раз решал попадавшиеся задачки.
так вот, речь была про то, что если не помнишь формулу, то не надо зубрить, надо понять как она выводится — и оказывается вполне реально вывести её прямо на контрольной (что я неоднократно в школьное время и делал).
для сравнения, вывести дату бородинской битвы вряд ли получится, её можно только запомнить.
что должен был означать ваш пример в контексте этой беседы я так и не понял.
честно запомнил что такое биссектриса
Чего тут запоминать? "Би" - "два" (см. "биплан"), и "сек/сечь". То есть "секу надвое".
Трушин очень хорошо преподаёт! Вот у него эта тема.
До всего остального мы дошли исключительно умозрительными заключениями и простейшей алгеброй.
А вот меня, когда я учился, всегда бесила эта отвратительная особенность школьной программы, когда там какими-то обезьяньими ужимками пытаются доказывать вещи, для доказательства которых давным давно придумали удобнейший аппарат, а сам этот аппарат дают позднее. Типа как в начале 9 класса проходят механику на физике, но при этом производные будут только в конце 9 класса и у физика есть выбор:
1) взять бубен и какими-то маловразумительными построениями объяснить что такое ускорение (как это и предполагалось многомудрыми методистами МО)
2) забить болт (что в средней школе условного Урюпинска и будет сделано — без сомнения)
3) сказать что ускорение — это производная скорости по времени и быстренько объяснить детям, что такое производная, вместо математика (ну это если учитель реально крут)
Ну почему же по порядку нельзя все объяснить? Что, дети в 6ом классе не поймут что такое синус? Нет надо им в 9ом объяснять бред про отношение противолежащих к прилежащим, а потом уже в институте немногие прошареные осознают, что это всего-навсего ордината точки на единичной окружности. А по хорошему это надо было всем еще в 6ом сказать.
Я с вами полностью согласен.
Но обратная сторона - все это имеет смысл только при дальнейшей специализации.
Например, абсолютно тупо преподавать химию, особенно органическую, без объяснения квантовых основ строения атома: квантовых чисел, правил Хунда, Клечковского, понятия об атомных и молекулярных орбиталях, гибридизации и вырождения. То же стоит сказать про химическую кинетику. Это все можно рассказать в доступной форме, на схемах и графиках, зато потом не будет отношения к химическим реакциям как к арифметике со странными законами, ошибок про пятивалентный атом углерода и костылей вроде правила Вант-Гоффа или закона действующих масс.
А это приводит нас к более фундаментальной дилемме: а) с одной стороны, людям, которые не собираются в дальнейшем изучать химию/биологию, такая детализация не нужна (хотя и безусловно полезна в формировании правильных основ дисциплины, без костылей и "забудьте все, чему вас учили в школе" в универе), с другой - вообще является полным бредом специализировать ученика в 7-8 классе. Я вон даже универ закончил не по той специальности, чем занимаюсь сейчас.
К сожалению, проблема в том, что школьная программа заточена под середнячка.
А я в школе применял лайфхак: в начале урока, пока учитель объяснял материал, я минут за 10-15 прочитывал проходимый параграф учебника до конца, а оставшееся время урока решал прилагавшиеся в конце учебника домашние задания к этому параграфу, в результате чего домашнее время я мог посвятить другим вещам ;)
О, да. Вот если бы в школе на тригонометрии на стене
такой плакат висел
всё было бы понятнее.
А это приводит нас к более фундаментальной дилемме: а) с одной стороны, людям, которые не собираются в дальнейшем изучать химию/биологию, такая детализация не нужна (хотя и безусловно полезна в формировании правильных основ дисциплины, без костылей и «забудьте все, чему вас учили в школе» в универе), с другой — вообще является полным бредом специализировать ученика в 7-8 классе.Современная наука большая и сложная. Она просто не помещается в одну голову, времена универсальных ученых, таких как Ломоносов, давно ушли. В совершенстве можно знать какую-то область, но не все сразу. Поэтому задача школы именно сформировать общее правильное понимание. Пусть доказательства многих теорем останутся за рамками школьного курса, но не нужно пихать в детей искаженные факты. У нас даже те кто школу недавно закончили реально верят в ту же атомную модель Бора. В 2022 году-то. Да, современные модели сложные, но это ж не повод учить людей, про летающие шарики. Давно пора шарики заменить на облачка :)
Вообще разделение физики и математики в школе, на начальном этапе изучения, мне кажется неправильным.Хоть бы физику с химией объединили, я уж про математику молчу. Хотя по-хорошему да, физика — это продолжение математики начиная уже с 9 класса.
К сожалению, проблема в том, что школьная программа заточена под середнячка.Вот именно. Поэтому какой смысл в восхищаться тем, что вот мы «школьными» методами доказали то, что дается в школе. Такие доказательства сложны для понимания и интересны будущим математикам, но не середнячкам.
О, да. Вот если бы в школе на тригонометрии на стене такой плакат висел всё было бы понятнее.Нормальная шпаргалка. Школьнику, который в этом всем прямо сейчас варится, будет понятнее, чем стена текста. Только типографика конечно ужасная, на плакат не годится.
P.S. Извините, что в одном посте отвечаю, карма, три раза тьфу, мешает нормально писать.
Да, в школе про смысл дискриминанта как квадрата расстояния не дают. Прикольно у вас вышло.
Вместо очечного способа решения уравнений, лучше-бы показали практический пример из реальности. Мне уже 47, но эти уравнения стабильно встречал исключительно в учебниках. Да, я знаю что на этих формулах половина геометрии и математики держится. Но это всё академические, нематериальное - в реальной жизни нафиг не нужное.
Ну и насчёт 100500 варианта решения школьной задачи. Отчего всяк и каждый хочет сделать это на бумаге карандашом. Может стоит написать один универсальный алгоритм, и отдать эту школьную задачу машинам (чтоб мучались вместо школяров).
Это не новый способ решения уравнений. Это даже не исследовательская статья. Это исключительно компиляция и создание порядка в теме таким образом, чтобы это имело смысл, чтобы это было логично и вытекало одно из другого.
Текст не ставит своей целью рассказать о приложении квадратных уравнений. Такое ощущение, будто очень большая часть текста и информации в нем просто проигнорировано.
Основная суть всего текста — образование. А образование, это не всегда про приложение. В случае с такими предметами, как математика, это, скорее, про образ мышления: логичный, основанный на фактах, без рывков и скачков в логической цепочке. И чаще всего это — самое ценное, что может вынести из уроков математики тот, кто с ней связываться по жизни на профессиональном уровне больше не будет.
Такое чисто техническое видение темы образования удручает. Машины не будут мыслить за детей. Машине можно поставить задачу, решить то или иное уравнение, это факт. Но чтобы эту задачу банально сформулировать — нужно знать, о чем говоришь.
Ерунду какую-то написали.
Существует куча интересных задач, где вылазит поиск корней квадратного уравнения.
Какой смысл учить детей плавать, если они никогда ни бассейна, ни моря в глаза не видят?
Очевидно же: чтобы мыщцы и связки более развитые были.
А там они и мешки на складе поворочают более успешно и спину не надорвут. По зубам обидчику более крепко дадут и в целом, меньше проблем со здоровьем будет
Ничто не демотивирует детей больше, чем повторяемые мантры "надо мозг развивать".
Это роспись в педагогическом непрофессионализме. Можно отвечать "потому что я так сказал" и будет это и честнее, и понятнее.
Могу только отчасти с вами согласиться.
Одно верно точно: нужно делать систему образования более гибкой: подавать информацию более "предметно" и привязывать всю эту теорию к реальным вещам. Но все упускают момент работы с родителями. Многие проблемы детской неуспеваемости идут из сложных внутрисемейных конфликтов, из-за которых ребёнок вырастает дёрганным и неуверенным в себе. Дети вынуждены тратить силы не только на усвоение материала, но и на "войны" дома. А т.к. сил этих у детей не много - психика надламывается и включается защитный режим "я вообще ничего не хочу". Уходят годы, чтобы перетряхнуть голову, придти в себя, понять: "А что мне реально интересно? Чего я хочу?".
Вот тут приходит осознание того, что сил на учёбу не было, множество прогалов в программе (что-то намеренно зубрили, что-то просто сливали). И даже в 20-25-30 лет в голове каша. И пытаешься снова "построить" эти логические цепочки размышлений, как они подразумевались школьным курсом. Проходить этот путь заново.
По поводу "мозг развивать". У нас в универе был один преподаватель дискретной математики. Очень позитивный дяденька. Ну так вот: он был после инсульта и его даже руки плоховато слушались. Но разум был чист и светел. (в свои 55+ он мог посоревноваться скоростью мысли с 20-ти-летними). Он очень любил математику и пытался её преподнести максимально просто и доступно. Видимо, она ему помогла восстановить когнитивные функции после столь тяжёлого удара. За то и благодарил свой предмет, популяризируя его.
Но это всё академические, нематериальное - в реальной жизни нафиг не нужное.
Сильное утверждение. То, что Вы явно не сталкивались с нахождением корней полиномов в реальной жизни, совершенно не означает, что не сталкивались совсем. Наверняка вы пользуетесь GPS-навигацией, а в приемнике как раз такие задачи и решаются.
Не только GPS
Со спутниковой навигацией работало 2,5 человека, все остальные получают готовые данные из модуля с закрытой прошивкой. С пеленгацией ещё печальнее, там подобный механизм упрятан в топологию аналоговой микросхемы. С наружи конечно всё цифровое, но корнями работал 1 человек, который микросхему проектировал.
Не надо приводить примеры, где эта задача уже решена. Нужна задача - где лично мне придётся вспоминать школьную математику.
Давеча было на проде. Имеется список отелей, около 5 миллионов. По каждому есть координаты. Для каждого рассчитать, сколько отелей в радиусе 5/10/20 км. Решало его человек пять, методом проб и ошибок, все говорили, что математика - никому не нужна. Пара вообще не вдупляла, как. Пара сделала, но процесс работал несколько часов. Пятый, наконец то, справился.
Ну откуда мне знать, чем лично вы занимаетесь.
Количество рулонов считается через целые числа, иначе второй раз в магазин придётся идти. Для процентов иная математика, со своими законами. А для спутников используется достаточно простая формула с линейным приближением. Потому-что невозможно на восмибитном мк выполнить точный расчёт одним махом, он захлебнётся на программной математике двойной точности.
По прежнему ищу реальную задачу, в которой необходимо решать квадратные уравнения. Не из учебника, а из реальности.
Безье
Для рисования применяется линейный цикл с приближением. А вот для нахождения уникальной точки пересечения - тут я согласен, длинные муторные вычисления с большим выделением памяти. Просто сама задача точки пересечения считается академической - в реальности не используется вообще никогда. Гораздо быстрее решение находится приближением.
Даже в баллистике!!! Вместо длинных громоздких формул - компьютер быстро посчитывает кривую от начала до конца. Так проще и быстрее.
И да, у вояк до компьютеров были готовые таблицы, без всяких уравнений.
А для спутников используется достаточно простая формула с линейным приближением. Потому-что невозможно на восмибитном мк выполнить точный расчёт одним махом, он захлебнётся на программной математике двойной точности.
Вы говорите о способе вычислений, а не о сути - нахождении корней. Чтобы оптимизировать численный метод, понимание линейной алгебры необходимо. У Вас сама формулировка вопроса размыта. Мне, к примеру, не раз приходилось решать такие задачи (чаще как вспомогательные) при разработке разного железа. Что ж теперь, не считать мою жизнь реальной? Я не сторонник холивара на тему "Математика развивает воображение" и частично с Вами согласен - можно обойтись без всех этих формул. Но утверждать, что это не нужно "в реальной жизни" не стал бы...
Раз уж на то пошло, можно было в качестве бонуса или спойлера для следующей статьи рассказать об оптическом свойстве параболы.
А чем это не оптическое свойство? Свет есть свет, хоть это видимый диапазон, хоть радиоволны.
а посредством тефлоновой - вообще говоря, получится
А если хотите - есть вообще полиметилпентен, у которого для 3 мм и для 500 нм примерно одинаковый показатель преломления
Ну, тут могут быть разные вкусы. Что касается меня, то, грубо говоря, оптика - это то, что описывается законами оптики =) Вряд ли кого-то можно смутить терминами типа "рентгеновская оптика" или "инфракрасная оптика". Так и тут, нет сомнений, что от металлического зеркала радиоволны и видимый свет будут отражаться по одинаковым законам - отличие лишь в количественном критерии "зеркальности" поверхности.
Геометрический смысл как раз в школе объясняли.
Мне кажется, что в школьной программе вообще можно было бы обойтись без квадратных уравнений. По крайней мере, до 10 класса. Мне уже 45, всю жизнь работаю инженером-электронщиком, делал много расчетов прецизионной измерительной техники, писал софт, но решать квадратные уравнения пришлось пару-тройку раз за все время! Понимаю, в каких-то областях это, может быть, повседневная необходимость. Но в школе без специализации зачем это все?
Мне кажется, что в школьной программе вообще можно было бы обойтись без квадратных уравнений
Смутно припоминаю, что в школьном курсе физики они выскакивают повсеместно в решении задач, ещё задолго до 10 класса.
Да, в решении задач с ускорениями возникают. Но до 10 класса можно, наверное, обойтись без этих задач. Например, пусть высчитывают путь по заданным начальной скорости, ускорению и времени, тогда решать уравнение не надо. Для понимания сути достаточно. С 10 класса можно заняться квадратными уравнениями, а то и в 11.
"Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит" @Ломоносов М. В.
И если не квадратные уравнения то что тогда? Способность ребёнка немного подумать взять параметры подставить в формулу и получить ответ, рождает в мозгу нужные нейронные связи. Потом во взрослой жизни этот человек сможет формуле посчитать кешбек, например, или процент по ипотеке.
Если коротко - то это такая простая моделька для тренировки ума. Исторически так сложилось, что школьная алгебра более-менее сводится к трём точно решаемым задачам: линейное уравнение, квадратное уравнение, система линейных уравнений.
Я выскажу наверное непопулярную точку зрения - но как человеку уже давно далекому от математики - мне объяснение теоремы виета в таком виде и всей статьи целиком в целом не чуть не показательнее чем при объяснении в школьном порядке. Возможно оно так и логичнее - но будь я ребенком ничего бы все равно не понял (да и сейчас понял только очень сильно напрягшись).
Вам (автору статьи) вероятно как человеку работающему с математикой куда чаще это кажется более очевидным и последовательным объяснением но не уверен что по факту это так.
Резонное замечание.
Когда я писал статью, я старался создать повествование таким образом, чтобы ничто не принималось как факт без обоснования. Это и был мой критерий «логичности».
В то же время, я опирался на скромный опыт преподавания школьникам. Я примерно понимал, какими категориями они мыслят в той или иной задаче.
И самый последний источник «вдохновения» — те методы обучения, которые используют лучшие, по моему мнению, преподаватели моей альма-матер.
Естественно, это поймут не все, кому-то такой подход покажется чужеродным (даже люди в комментариях выше), но я хотя бы попытался показать альтернативу школьному подходу.
Мне кажется, что если избавить статью от господствующего канцелярита - будет более лучшая статья. Не менее понятная, чем данная.
очень интересно.
не понял смысл фраз "Вершина параболы да половину расстояния между корнями в обе стороны "
Здравствуйте! Большое спасибо за статью (:
Не могли бы вы объяснить подробнее шаг, в котором мы переписали квадратное уравнение через его 2 корня? https://disk.yandex.ru/i/Z1j5DU2kN_n5Ew
Не очень поняла, как мы так его переписали, и почему именно так
Тут все объяснили без меня:)
Стоит только добавить, что коэффициент 
важен, потому как одним и тем же корням может соответствовать бесконечное число многочленов. Они будут различаться только степенью растяжения вдоль оси.
О квадратных уравнениях в правильном порядке