Аддитивная композиция натуральных чисел и её интересные свойства

Зачем разбивать простые числа? Более логичным кажется, что простое состоит из одной "детали", как в случае с умножениями.

Такую композицию можно называть мультипликативной, она очень хорошо известна и изучена.

Хорошо известна и называется каноническим разложением (в смысле ОТА).

а не все ли вообще натуральные числа можно разбить не более чем на 4 примитивных числа?

В такой формулировке - да, все можно. Следует из уже доказанной тернарной гипотезы Гольдбаха. Более того, скорее всего, достаточно трех примитивных чисел, если верна обычная (бинарная) гипотеза Гольдбаха: двух - для четных чисел, а двух примитивных + любого примитивного, кроме двойки - для нечетных. Но вы, наверно, имели в виду разбиение по вашему правилу.

Юмор: у кого-нибудь есть на примете суперкомпьютер, чтобы прогнать программу до такого значения? И куда вообще записать информацию о таком количестве простых чисел?

Необязательно хранить информацию о всех предыдущих простых при исследовании простых чисел.

Промежутки между простыми изучались разными людьми. Вот, например, один ресурс про промежутки.

Для записи чисел до триллиона использовался битовый массив размером 116 Гигабайт.

Насколько я понял по ссылке, вы предлагаете заполнить элемент массива таким образом: A[p] = 1 если p простое число и 0 если составное. Размер массива это приблизительно подтверждает: 10^12 бит = 125 Гб.

Почему не произвели очевидную оптимизацию по записи в массив только чисел, не делящихся на 2 3 5? Тогда надо будет учесть только числа, имеющие один из 8 остатков от деления на 30 : 1 7 11 13 17 19 23 29 . В этом случае каждый байт будет кодировать простоту 30 последовательных чисел и в итоге для триллиона будет нужно примерно 10^12/30 = 33 Гб. Очевидно, что 33 Гб гораздо лучше, чем 116.

Дальше. Так как простые числа распределены примерно как Pr(n) = n/ln(n) где Pr(n) - число простых меньше n, очевидно, что промежутки между ними будут (в среднем) расти, а значит и размер вашей аддитивной композиции будет расти вплоть до бесконечности. Насколько быстро расти? Предлагаю оценку:

Обозначим за сP(n) = |P(n)|. Дадим оценку: cP(n) = сP(ln(n)) + 1 . Обозначим за Pc(n) степенную башню экспонент: e^e^e^...^e n раз. Pc(cP(n)) = Pc(сP(ln(n)) + 1) = e^Pc(сP(ln(n))) . Поскольку n = e^ln(n), выходит, что cP - функция, обратная Pc , своеобразный степенно-башенный логарифм. То есть, что бы оценить зону, где большинство чисел будут иметь композицию длиной 4, Учитывая, что Pc(n) растет невообразимо быстро, можно утверждать, что где-то далеко-далеко в числовом ряду есть места, где большинство чисел раскладываются на композиции длиной 4, 5 или даже 139, но, правда, эти места уж очень далеко от нас (хотя и ближе, чем число Грэма). Разумеется, отдельные примеры длинных цепочек встретятся куда раньше.

Наблюдение про 7+2 так же легко объясняется по вашему же построению. Вы хотите, фактически, что бы в результате суммы четырех простых чисел у вас получилось простое число. Очевидно, что последним будет 2. Предпоследним же должно быть некое простое число p такое, что p+2 составное; при этом чем меньше число p, тем больше у него шансов попасть в разложение. p = 7 самое маленькое нечетное простое, такое, что p+2 - составное число, так что шансов у него больше всего.

Сабж уже изучался: https://en.wikipedia.org/wiki/Pillai_sequence

TL;DR: a(5)=401429925999155061; a(6) "likely has hundreds of millions of digits"