Как стать автором
Обновить

Комментарии 6

А если записать исходную сумму в виде матрицы систем линейных уравнений и решить её методом Гаусса? Ведь формально вклад в сумму книги это просто 1 или 0 в матрице коэффициентов.
Это, конечно, не 4 класс. :) Но и задача как-то мало на сей класс походит. Я таких в 4 классе точно не решал. :)

Это олимпиадная задача, вроде. А вообще, идея хорошая. Можно и так. Только не "в виде матрицы СЛУ", а СЛУ в матричном виде.

Ребенку нужно догадаться, что просуммировав все n наборов c у него будет на один меньше (n-1) полных наборов стоимостей книг. Ну а дальше - дело техники.

О, на habr пришли задачки для начальной школы. Интересно, пора ли алгоритм сборки детской пирамидки публиковать.

Ханойскую башню?

В матричном виде наша система запишется так:

\begin{bmatrix}0 & 1 & \dots & 1\\1 & 0 &\dots & 1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1 & 1 & \dots & 0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}

Пусть I - это единичная матрица порядка n, а U- это матрица порядка n, заполненная единицами, т.е. u_{ij} = 1 \: \forall\: i, j. Несложно проверить, что U^ 2 = nU.

Итак, из решения, приведенного в статье, следует, что ответ единственный, а значит матрица в левой части (=U-I) обратима. Давайте найдем ей обратную. Вернее, подберем)

 (U-I)\left(\frac{1}{n-1}U-I\right) = \frac{1}{n-1}U^ 2 - U - \frac{1}{n-1}U + I = \\= \left(\frac{n}{n-1}-1-\frac{1}{n-1}\right)U+I = I\Rightarrow\\\Rightarrow (U-I)^ {-1} = \frac{1}{n-1}U-I\\

Откуда получаем:

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{n-1}-1 & \frac{1}{n-1} & \dots & \frac{1}{n-1}\\\frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1}-1 &\dots & \frac{1}{n-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \dots & \frac{1}{n-1}-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\sum_{i=1}^nc_i}{n-1}-c_1\\\frac{\sum_{i=1}^nc_i}{n-1}-c_2\\\vdots\\\frac{\sum_{i=1}^nc_i}{n-1}-c_n\end{bmatrix}

Да, вполне похоже на олимпиадную задачку для 4 класса :)

Зарегистрируйтесь на Хабре , чтобы оставить комментарий

Публикации

Истории