Комментарии 9
По первой задаче. Если исходить строго из теории вероятности, то возможность по-прежнему иметь только один вид игрушки после покупки 99 наборов составляет те же 25%. Потому что каждый раз покупая новый набор вероятность нахождения в нём игрушки не меняется.
Нет. Вам надо 99 раз вытащить одну и ту жу игрушку. Это (1/4)^99.
Каждый раз когда вы пытаетесь вытащить игрушку вероятность абсолютно одинаковая. По аналогии с бросанием монетки - монетка не помнит, что предыдущий раз было решка или орёл. Каждый раз вероятность одинаковая.
Остаться на одном виде игрушки после 99 покупок, при уловии, что после 98 покупок был только один тип — действительно 1/4. Памяти у монетки нет, вы правы.
Но в статье-то говорится просто о вероятности остаться на одном виде игрушки после 99 покупок. Не на 99-ой покупке при условии чего-то, а вот с самого начала — сделали 99 покупок, получили 99 одинаковых игрушек. Там же речь о P(n99 = 1) а не P(n99=1 | n98=1)
Франшиза, продающая фаст-фуд, добавляет в детские наборы игрушку. Есть четыре разных игрушки. Каждый набор стоит $8. Сколько вы ожидаете заплатить для получения всех четырёх игрушек?
На первую игрушку уйдет одна покупка. На следующую в среднем 4/3 покупки (вероятность ее покупки после первой 3/4). На следующую в среднем 2 покупки (вероятность ее покупки после покупки двух предыдущих 2/4). И на последнюю 4 покупки (вероятность ее покупки после покупки трех предыдущих 1/4). Итого в среднем 1+4/3+2+4=8.(3) покупок что бы купить все.
Первую задачу можно вообще аналитически вывести. Надо только считать не вероятности, а матожидание сразу. E(i) — матожидание колчиства покупок, чтобы вытащить все игрушки, если у вас уже есть i типов.
Тогда мы или уже все собрали, или делаем одну покупку. Там с вероятностью i/n мы вытащим повтор и ничего не изменится. С вероятностью (n-i)/i мы вытащим какую-то новую игрушку и можно выразить E(i) через E(i+1):
E(n) = 0
E(i) = 1 + i/n*E(i) + (n-i)/n*E(i+1)Или можно переписать:
E(n) = 0
E(i) = E(i+1) + n/(n-i)Это в уме решается до E(0) = n/n + n/(n-1) + ... n/1 (ну, или по индукции доказывается, что E(i) = sum j=i..n-1 n/(n-j))
Для n=4 получается 1 + 4/3 + 4/2 + 4/1 = 1+1.(3)+2+4 = 8.(3) — совпадает с решением в статье.
Btw, наличие даже одной редкой игрушки — значительно увеличивает прибль продавца :). Это известный приём у всех этих игрушечных фирм, волшебников с побережья и прочих RL и не-RL лутбоксеров.
Неожиданная эффективность условных вероятностей