Как стать автором
Обновить

Критический взгляд на аттрактор Лоренца

Математика *

1. Об аттракторе Лоренца


image

Эдвард Нортон Лоренц (1917 – 2008) является основателем теории хаоса, очень популярной в науке на сегодняшний день. Он учился в колледже Дартмут штата Нью-Гемпшир США и Гарвардском университете в Кембридже. Во время Второй мировой войны служил метеорологом в авиационном корпусе армии США, потом до конца своих дней работал профессором в Массачусетском технологическом институте.

В 1963 году в журнале «Journal of the Atmospheric Sciences» вышла его статья «Deterministic Nonperiodic Flow» (русский перевод: Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. — М.: Мир, 1981, с. 88-117), заложившая не только основы теории хаоса, но и изменившая представления о моделировании погодных явлений. В этой работе из системы уравнений Навье-Стокса впервые была получена нелинейная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка (динамическая система), описывающая движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:
Читать дальше →
Всего голосов 45: ↑41 и ↓4 +37
Просмотры 46K
Комментарии 31

Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент

C++ *C *Математика *
image

Данный пост является продолжением моей статьи [1] на Хабрахабре об аттракторе Лоренца. Здесь рассмотрим метод построения приближенных решений соответствующей системы, уделив внимание программной реализации.

Динамической системой Лоренца является автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

image

где image, r и b являются положительными числами. Для исследования поведения решений системы обычно берут классические значения параметров системы, т.е.

image

Как было отмечено в статье [1], в этом случае в системе (1) имеет место неустойчивость ее решений на аттракторе. По сути, это делает некорректным применение классических численных методов на больших отрезках времени (а на таких отрезках и строятся предельные множества динамических систем). Одним из вариантов преодоления этой проблемы является переход к высокоточным вычислениям, но такой подход ставит исследователя в жесткие рамки: во-первых, малая степень свободы для уменьшения ошибки (изменение величины шага image интегрирования и точности представления вещественного числа для управления вычислительным процессом), во-вторых, большой объем вычислений при очень малых image.
Читать дальше →
Всего голосов 33: ↑29 и ↓4 +25
Просмотры 23K
Комментарии 20

Гарантии получения корректного результата при расчете динамических систем

Математика *
Из песочницы
Прочитав статью «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент», проверил расчеты с помощью аналитически-численного метода [1].

Результаты расчета на фазовой плоскости z(x):


И y(x):


Кажется, что кривые замкнуты, но давайте рассмотрим результат поподробнее.
Подробнее
Всего голосов 21: ↑15 и ↓6 +9
Просмотры 5.4K
Комментарии 31

О существовании периодических решений в системе Лоренца

Математика *
image

Это третий мой топик на Хабре (часть 1 и часть 2), посвященный динамической системе Лоренца. Я продолжаю заниматься исследованием вопроса о существовании периодических решений (циклов) в этой системе. Удалось получить интересный результат при определенном соотношении ее параметров.
Читать дальше →
Всего голосов 23: ↑21 и ↓2 +19
Просмотры 10K
Комментарии 7

Три цикла в аттракторе Лоренца

Математика *
image

Изучая иностранную литературу, на днях наткнулся на работы [1, 2] профессора Мичиганского университета Дивакара Вишваната (Divakar Viswanath) об итерационном алгоритме вычисления периодических орбит динамических систем, основанном на методе Линдштедта-Пуанкаре (ЛП) (для ознакомления с ним рекомендую книгу [3, с. 408-411]). Преимуществом данного метода является то, что он не требует численного интегрирования дифференциального уравнения, поэтому может быть применён к построению и неустойчивых циклов.
Всего голосов 23: ↑21 и ↓2 +19
Просмотры 9.2K
Комментарии 16

Принцип Анны Карениной в программировании и ИТ

Программирование *Анализ и проектирование систем *Управление разработкой *Управление персоналом *

«Принципу Анны Карениной» посвящено немало научных публикаций и даже отдельная статья в Википедии. Применим к ИТ и программированию? А может он уже работает против вашего проекта?
Читать дальше →
Всего голосов 39: ↑32 и ↓7 +25
Просмотры 43K
Комментарии 51

Ищем циклы на аттракторе Лоренца в пакете Maxima

C++ *Математика *
image

Этот топик продолжает серию моих статей на Хабре, посвященных исследованию аттрактора Лоренца.

Часть 1. Критический взгляд на аттрактор Лоренца
Часть 2. Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент
Часть 3. О существовании периодических решений в системе Лоренца
Часть 4. Три цикла в аттракторе Лоренца

Итак, рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений, введенную Эдвардом Лоренцом в 1963 году:

$ (1)\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=\sigma(y-x),\\ \dot{y}=rx-y-xz,\\ \dot{z}=xy-bz, \end{array}\right. $

где

$\sigma=10,\:r=28,\:b=8/3\:-$

классические значения параметров системы.
Читать дальше →
Всего голосов 22: ↑22 и ↓0 +22
Просмотры 4.4K
Комментарии 11

Математические модели хаоса

Python *Алгоритмы *Математика *Разработка под Windows *Научно-популярное
Tutorial

Введение


На Habr уже обсуждалась теория хаоса в статьях [1,2,3]. В этих статьях рассмотрены следующие аспекты теории хаоса: обобщённая схема генератора Чуа; моделирование динамики системы Лоренца; программируемые логическими интегральными схемами аттракторы Лоренца, Ресслера, Рикитаке и Нозе-Гувера.

Однако, техники теории хаоса используются и для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех, что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий, до аритмических сердцебиений [4].

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована — рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов, процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но, если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Целью настоящей статьи является рассмотрение теории хаоса на примере роста численности биологических популяций и удвоения цикла в механических системах с графической визуализацией математических моделей основанной на простых интуитивно понятных программах, написанных на Python.

Статья написана с целью обучения, но позволит, даже не имеющему опыта программирования читателю, используя приведенные программы, самостоятельно решить большинство новых учебных задач по теме моделирования явлений хаоса.
Читать дальше →
Всего голосов 33: ↑29 и ↓4 +25
Просмотры 24K
Комментарии 10

Портирование CUDA проекта на Intel oneAPI DPC++

Математика *Параллельное программирование *
Из песочницы

Наш программный комплекс позволяет проводить численные исследования хаотической динамики в системах, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и точечными отображениями, с использованием методов параллельного программирования и мощных вычислительных серверов. Основные инструменты исследования программного комплекса реализуют методы ляпуновского анализа (расчет двухпараметрических диаграмм показателей Ляпунова и минимальных углов между подпространствами сжатия и растяжения объемов) для выявления и исследования хаотической динамики, а также методы символической динамики (диаграммы нидинг-инвариантов) для исследования гомоклинических и гетероклинических бифуркаций.

Читать далее
Всего голосов 10: ↑10 и ↓0 +10
Просмотры 1.7K
Комментарии 3