Как стать автором
Обновить

Отыскание периодических решений одного класса неавтономных систем дифференциальных уравнений

Математика *
В прикладной математике иногда возникает задача построения периодических решений нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

image

где функция image представляет собой сумму

image

многомерного многочлена image и тригонометрического полинома image, являющегося image-периодической векторной функцией.

Многие из теорем существования периодических решений системы (1) используют тот фундаментальный факт, что такие решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Однако использование данных теорем для непосредственного нахождения нужного периодического решения, скорее всего, не представляется возможным.
Читать дальше →
Всего голосов 22: ↑20 и ↓2 +18
Просмотры 8.7K
Комментарии 7

Анимированные графики в R (и немного про бифуркацию, хаос и аттракторы)

Программирование *Data Mining *Алгоритмы *Математика *R *
Однажды для презентации мне понадобились анимированные графики. С графиками, собственно, проблем не возникло, а для их анимации пришлось воспользоваться еще одним пакетом animation, который можно установить из CRAN.
Читать дальше →
Всего голосов 33: ↑31 и ↓2 +29
Просмотры 18K
Комментарии 24

Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент

C++ *C *Математика *
image

Данный пост является продолжением моей статьи [1] на Хабрахабре об аттракторе Лоренца. Здесь рассмотрим метод построения приближенных решений соответствующей системы, уделив внимание программной реализации.

Динамической системой Лоренца является автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

image

где image, r и b являются положительными числами. Для исследования поведения решений системы обычно берут классические значения параметров системы, т.е.

image

Как было отмечено в статье [1], в этом случае в системе (1) имеет место неустойчивость ее решений на аттракторе. По сути, это делает некорректным применение классических численных методов на больших отрезках времени (а на таких отрезках и строятся предельные множества динамических систем). Одним из вариантов преодоления этой проблемы является переход к высокоточным вычислениям, но такой подход ставит исследователя в жесткие рамки: во-первых, малая степень свободы для уменьшения ошибки (изменение величины шага image интегрирования и точности представления вещественного числа для управления вычислительным процессом), во-вторых, большой объем вычислений при очень малых image.
Читать дальше →
Всего голосов 33: ↑29 и ↓4 +25
Просмотры 23K
Комментарии 20

Гарантии получения корректного результата при расчете динамических систем

Математика *
Из песочницы
Прочитав статью «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент», проверил расчеты с помощью аналитически-численного метода [1].

Результаты расчета на фазовой плоскости z(x):


И y(x):


Кажется, что кривые замкнуты, но давайте рассмотрим результат поподробнее.
Подробнее
Всего голосов 21: ↑15 и ↓6 +9
Просмотры 5.4K
Комментарии 31

Принцип Анны Карениной в программировании и ИТ

Программирование *Анализ и проектирование систем *Управление разработкой *Управление персоналом *

«Принципу Анны Карениной» посвящено немало научных публикаций и даже отдельная статья в Википедии. Применим к ИТ и программированию? А может он уже работает против вашего проекта?
Читать дальше →
Всего голосов 39: ↑32 и ↓7 +25
Просмотры 43K
Комментарии 51

Визуализация хаоса: как представляют аттракторы динамических систем

Блог компании VK Математика *Визуализация данных *Научно-популярное

(с)

Среди ученых ходит байка о нетривиальном способе сделать свой доклад интересным и увлекательным. Во время выступления нужно выбрать в зале самого недоумевающего, самого потерянного слушателя, и рассказывать персонально ему, да так, чтобы зажечь в глазах огонек интереса.

Еще известен афоризм, приписываемый физику Ричарду Фейнману: «Если вы ученый, квантовый физик, и не можете в двух словах объяснить пятилетнему ребенку, чем вы занимаетесь, — вы шарлатан».

Доступно объяснять устройство сложных вещей — великий навык, однако бывают истории, о которые сломает язык даже самый искусный оратор. Теория динамических систем – вот та область, где без визуализации чувствуешь себя слепым садовником в окружении колючих, увенчанных шипами растений.

Сложные непериодические режимы поведения динамических систем можно описать непериодическими траекториями — так называемыми странными аттракторами, имеющими фрактальную структуру. Сегодня покажем, как визуализируют поведение странных и некоторых других аттракторов.
Всего голосов 39: ↑39 и ↓0 +39
Просмотры 16K
Комментарии 5

Красиво? Очень! Как мы написали приложение для визуализации аттракторов

Блог компании Питерская Вышка Программирование *C++ *Визуализация данных *Учебный процесс в IT
Странные аттракторы — это области, которые часто возникают в различных физических системах. Можно сказать, что это область притяжения, к которой стремятся траектории из некоторой окрестности. В отличие от каких-нибудь предельных циклов или от точки равновесия в затухающих колебаниях, они не периодичны. В таких системах проявляется эффект бабочки: минимальные отклонения исходных положений экспоненциально растут со временем.

Некоторые аттракторы завораживают своей красотой даже на статических картинках. Мы захотели сделать приложение, которое сможет визуализировать большинство аттракторов в динамике, в 3D и без лагов.


Читать дальше →
Всего голосов 33: ↑32 и ↓1 +31
Просмотры 9.7K
Комментарии 11

Привлекательные аттракторы, тропические циклоны, смертельные эпидемии: мир динамических систем

Математика *Визуализация данных *Физика
Из песочницы

Можно ли сделать решение дифференциальных уравнений увлекательным, а результаты яркими и красочными? Вот к чему могут привести многолетние усилия в этом направлении

Читать далее
Всего голосов 21: ↑21 и ↓0 +21
Просмотры 3.5K
Комментарии 2

Использование проволочных моделей для визуализации научных данных

Математика *Визуализация данных *Физика
Что же это такое?

Начну с банальности — никто не будет спорить с утверждением, что каждая научная проблема нуждается во всестороннем рассмотрении. Иногда очень помогает буквальное использование этого подхода — хорошо бы уметь построить модель исследуемого процесса и просто взглянуть на неё с разных сторон. Далее я попробую показать, как это работает в применении к исследованию динамических систем и связанных с ними объектов

Читать дальше →
Всего голосов 6: ↑6 и ↓0 +6
Просмотры 2.9K
Комментарии 1

Портирование CUDA проекта на Intel oneAPI DPC++

Математика *Параллельное программирование *
Из песочницы

Наш программный комплекс позволяет проводить численные исследования хаотической динамики в системах, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и точечными отображениями, с использованием методов параллельного программирования и мощных вычислительных серверов. Основные инструменты исследования программного комплекса реализуют методы ляпуновского анализа (расчет двухпараметрических диаграмм показателей Ляпунова и минимальных углов между подпространствами сжатия и растяжения объемов) для выявления и исследования хаотической динамики, а также методы символической динамики (диаграммы нидинг-инвариантов) для исследования гомоклинических и гетероклинических бифуркаций.

Читать далее
Всего голосов 10: ↑10 и ↓0 +10
Просмотры 1.7K
Комментарии 3