Использование эллиптических кривых (ЭК) для решения разнообразных задач криптологии коснулось каким-то боком и факторизации чисел. Здесь будем рассматривать вопрос, касающийся ЭК и не только в связи с проблемой факторизации составного нечетного натурального числа (СННЧ), но несколько шире.

Если пройтись по Интернету и по статьям об ЭК на Хабре, то после этого возникает мысль, что существует определенный пробел всех без исключения публикаций, включая и объемные бумажные книги. Авторы почему-то считают само-собой разумеющимся понимание природы ЭК и ее аддитивной группы, ее появление. На самом деле ЭК и ее группа (мое мнение) — это чудо!

Группа точек плоскости, множество которых замкнуто по операции сложения, оказалась каким-то образом встроена в ЭК и мы об этом до сего дня не знали бы, не располагая теорией групп, и даже при наличии теории групп, без гения Эйлера и Пуанкаре, которые нам эту группу открыли. В свое время Иоганн Кеплер открыл человеку законы движения Планет и качественно описал их траектории, но только гений Ньютона смог объяснить природу этих законов.

Правда для этого ему пришлось открыть свои законы движения/тяготения и изобрести дифференциальное и интегральное исчисления. Задача взятие двукратного интеграла от второго закона Ньютона, в котором ускорение — вторая производная пути, решением имеет плоскую кривую второго (не третьего, не путать эллипсы — траектории планет, спутников и эллиптические кривые в криптологии) порядка, что до И. Ньютона было открыто И.Кеплером.