Как стать автором
Обновить
  • по релевантности
  • по времени
  • по рейтингу

Сложная задача на логику

Занимательные задачки Математика *
Предлагаю желающим решить следующую задачу:

Есть 15 шариков, 2 из них радиоактивны. Есть прибор с лампочкой, в который можно поместить любое количество шариков (хоть все пятнадцать), и который покажет наличие радиации. То есть, если среди положенных в прибор шариков есть хотя бы один радиоактивный — лампочка загорится, если нет — не загорится.
Необходимо найти 2 радиоактивных шарика, используя прибор не более 7 раз.
Всего голосов 29: ↑17 и ↓12 +5
Просмотры 3.6K
Комментарии 100

Гениальный садовник

Занимательные задачки Математика *
Хочу порадовать уважаемое хабрасообщество ещё одной занимательной задачей, она мне показалась достойной внимания просвещённой компании и я ее предлагаю вам, друзья.
Читать дальше →
Всего голосов 37: ↑25 и ↓12 +13
Просмотры 1.5K
Комментарии 70

Составление расписания ВУЗа

Чулан
Привет всем, кто сталкивался с более или менее приемлимыми алгоритмами составления расписания в ВУЗе? Буду признателен за любую информацию по теме.
Всего голосов 23: ↑10 и ↓13 -3
Просмотры 2K
Комментарии 31

Узники и коробки

Занимательные задачки Математика *
Ещё одна задача про узников. На этот раз не такая теоретическая.

Есть 30 узников, пронумерованных от 1 до 30. Каждый знает все номера, в том числе свой. У них есть время на обсуждение алгоритма. Дальше их по одному заводят в комнату, где есть 30 пронумерованных коробок. В каждой коробке по одному ключу с номером какого-то узника (номер коробки и номер ключа в ней могут быть различными). Ключи по коробкам распределены совершенно случайно (т.е. все перестановки ключей в коробках равновероятны). Каждый узник по очереди открывает 15 коробок и смотрит, какие в них ключи, причём, открывая очередную коробку, он может сначала посмотреть, какой в ней ключ, а потом решить, какую открывать следующей. Если в одной из этих 15 коробок оказался ключ с его номером, то его отпускают, если нет — расстреливают. Комната и все коробки в ней после этого приводятся в изначальное состояние, т.е. следующие узники не получают никакой информации о том, что было с предыдущим узником.
Придумайте алгоритм, чтобы с вероятностью не меньше 30% выжили все узники.

PS Можно использовать калькулятор.

UPD Решение в комментах.
Всего голосов 13: ↑8 и ↓5 +3
Просмотры 803
Комментарии 57

Задача по двумерной упаковке от Dropbox

Занимательные задачки
Компания Dropbox опубликовала головоломки для потенциальных кандидатов на работу. Свои решения для тестовых задач просьба высылать на jobs@dropbox.com. Как сказано на сайте, с авторами этих писем «нам есть о чём поговорить».

Первая задача — алгоритм двумерной упаковки объектов. Нужно разместить прямоугольники заданной длины и высоты на минимальной площади. На входе перечень объектов с указанием длины и ширины (целые числа), на выходе функция должна выдавать площадь минимального прямоугольника, куда они помещаются. Объекты можно поворачивать на 90°. Дополнительные бонусные очки выдаются за визуализацию средствами stderr.
Читать дальше →
Всего голосов 6: ↑6 и ↓0 +6
Просмотры 1.3K
Комментарии 0

Математик сочинил «самую неприятную музыку в мире»

Звук
Математик Скотт Рикард (Scott Rickard) попробовал сделать то, что ни один музыкант никогда не пытался, а именно — сочинить самую противную мелодию. Таким способом учёный хотел проиллюстрировать тезис, что гармония музыки заключается в математических паттернах, то есть в повторах.

Сделать музыку без паттернов — задача труднее, чем кажется. Строго говоря, это вообще невозможно, потому что существование структуры из ограниченного количества элементов (какими являются, например, музыкальные ноты), с гарантированным отсутствием паттернов противоречит теореме Рамсея и теореме Ван-дер-Вардена. Однако, Рикард отлично знаком с комбинаторикой, и он поставил другую цель — избавиться от паттернов, которые можно математически обнаружить при современном уровне развития компьютерной техники. Человеческий мозг тоже не в состоянии распознать эти паттерны и, следовательно, не может обнаружить в музыке ничего, что может «понравиться».
Читать дальше →
Всего голосов 91: ↑67 и ↓24 +43
Просмотры 22K
Комментарии 161

Раскраска матрицы 17х17 четырьмя цветами без монохроматических прямоугольников

Алгоритмы *
Что удивительного в этой картинке?



На самом деле она уникальна. Матрица размером 17 х 17 раскрашена четырьмя цветами, при этом на ней нельзя построить ни единого (!) прямоугольника, чтобы все углы его были одного цвета. Имеются в виду прямоугольники любого размера с вершинами в разных точках и рёбрами, параллельными осям x и y.
Читать дальше →
Всего голосов 84: ↑74 и ↓10 +64
Просмотры 2.7K
Комментарии 75

Комбинаторика и настольные игры

Разработка игр *Математика *
Так получилось, что за последние полгода мне удалось познакомиться с несколькими простыми (в смысле правил) и в чем-то схожими настольными играми. Первым в этом ряду был «Сет», потом «Барабашка», а уже летом мы играли в «Доббль». Сразу скажу, что все перечисленные игры весьма увлекательные, однако, речь в этом посте пойдет, конечно же, не об этом. Дело в том, что спустя некоторое время (другими словами, наигравшись) меня заинтересовали идеи, лежащие в основе этих игр, и которые оказались тесно связанными именно с комбинаторикой. В данном посте речь пойдет о самой простой (на мой взгляд) игре — «Барабашке», которая, кстати, в оригинальном варианте имеет более благозвучное название «Geistesblitz» (нем. — озарение).

Читать дальше →
Всего голосов 32: ↑29 и ↓3 +26
Просмотры 12K
Комментарии 2

Женщина-математик, которая разрабатывает алгоритмы для лифтов

Алгоритмы *Математика *


55-летний американский математик Тереза Кристи (Theresa Christy) работает в компании Otis Elevator Co. и считается одним из лучших специалистов по вертикальному транспорту. Двадцать пять лет своей жизни она посвятила разработке и оптимизации алгоритмов для лифтов. Именно её привлекли во время недавней реконструкции Empire State Building стоимостью $550 млн. Тереза Кристи увеличила скорость лифтов на 20% до 6 м/c, так что они теперь проходят первые 80 этажей всего за 48 секунд.
Читать дальше →
Всего голосов 217: ↑205 и ↓12 +193
Просмотры 114K
Комментарии 187

Генерация номеров счастливых билетов

Программирование *Алгоритмы *
Счастливый билет
В рамках небольшого тестового задания потребовалось реализовать старую и известную задачу с поиском количества счастливых билетов (указанной пользователем разрядности номера). Как ни странно, при большом числе источников с математическим описанием алгоритма, реальных примеров реализации оптимизированного варианта (без перебора) оказалось немного, но всё же большой проблемы эта часть задания не составила.

Во второй же части потребовалось уже выводить сами номера, и вот тут быстрый поиск в сети ожидаемого результата не дал. Однако, задача решена, и хотелось бы поделиться реализаций с хабрасообществом ради получения критического мнения и распространения информации для тех, кому подобные или схожие алгоритмы могут понадобиться.
Посмотреть описание и реализацию алгоритма
Всего голосов 17: ↑10 и ↓7 +3
Просмотры 20K
Комментарии 22

Производящие функции — туда и обратно

Алгоритмы *Математика *
«Производящая функция является устройством, отчасти напоминающим мешок. Вместо того чтобы нести отдельно много предметов, что могло бы оказаться затруднительным, мы собираем их вместе, и тогда нам нужно нести лишь один предмет — мешок».
                                                                                                                                                               Д. Пойа

Введение


Математика делится на два мира — дискретный и непрерывный. В реальном мире есть место и для того и для другого, и часто к изучению одного явления можно подойти с разных сторон. В этой статье мы рассмотрим метод решения задач с помощью производящих функций — мостика ведущего из дискретного мира в непрерывный, и наоборот.

Идея производящих функций достаточно проста: сопоставим некоторой последовательности <g0, g1, g2, ..., gn> — дискретному объекту, степенной ряд g0 + g1z + g2z2 +… + gnzn +… — объект непрерывный, тем самым мы подключаем к решению задачи целый арсенал средств математического анализа. Обычно говорят, последовательность генерируется, порождается производящей функцией. Важно понимать, что это символьная конструкция, то есть вместо символа z может быть любой объект, для которого определены операции сложения и умножения.
Читать дальше →
Всего голосов 73: ↑70 и ↓3 +67
Просмотры 81K
Комментарии 36

Один алгоритм комбинаторной генерации

Блог компании Образовательные проекты JetBrains Алгоритмы *Математика *
Комбинаторика в старших классах школы, как правило, ограничивается текстовыми задачами, в которых нужно применить одну из трёх известных формул — для числа сочетаний, перестановок или размещений. В институтских курсах по дискретной математике рассказывают и о более сложных комбинаторных объектах — скобочных последовательностях, деревьях, графах… При этом, как правило, ставят задачу вычислить количество объектов данного типа для некоторого параметра n, например количество деревьев на n вершинах. Узнав количество объектов для фиксированного n, можно задаться и более сложным вопросом: как все эти объекты за разумное время предъявить? Алгоритмы, решающие подобного рода задачи, называются алгоритмами комбинаторной генерации. Таким алгоритмам, например, посвящена первая глава четвёртого тома «Искусства программирования» Дональда Кнута. Кнут очень подробно рассматривает алгоритмы генерации всех кортежей, разбиений числа, деревьев и других структур. Придумать какой-нибудь алгоритм, работающий умеренно быстро, для каждой из этих задач несложно, но с дальнейшей оптимизацией могут возникнуть серьёзные проблемы.

В процессе написания магистерской диссертации, защищённой в Академическом университете, мне потребовалось изучить и применить один из алгоритмов комбинаторной генерации, подходящий для особого класса задач. Это генерация структур, на которых дополнительно введено некоторое отношение эквивалентности. Чтобы было понятно, о чём идёт речь, я приведу простой пример. Давайте попробуем сгенерировать все триангуляции шестиугольника. Получится что-нибудь такое:



Написать алгоритм, который вернёт все такие триангуляции, довольно несложно. Например, сгодится такая процедура: фиксируем какое-нибудь ребро (пусть это будет ребро 1-6), после чего в цикле перебираем вершины, не являющиеся его концами. На текущей вершине и фиксированном ребре строим треугольник, а оставшиеся после этого две области триангулируем рекурсивно. Если присмотреться к получающимся в результате работы этого алгоритма триангуляциям, то можно заметить, что многие из них почти одинаковы и отличаются лишь тем, как расставлены пометки (номера) вершин. Поэтому, полезно было бы придумать алгоритм, который будет генерировать так называемые непомеченные триангуляции — те, что изображены на следующем рисунке:


Читать дальше →
Всего голосов 44: ↑42 и ↓2 +40
Просмотры 15K
Комментарии 2

Выразительная простота python на примере задач из комбинаторики

Python *Алгоритмы *
В процессе самообучения языку программирования python(имея знания с/с++) решил написать в качестве задания функции генерирующие элементы из различных множеств комбинаторных конфигураций. Конечно, можно справедливо заметить, что подобный функционал уже есть в стандартной библиотеке python в модуле itertools, но у каждого должно быть право изобрести велосипед, тем более в целях обучения…
Тот кто знаком с основами теории вероятностей должны помнить, что такое урновые схемы и о чем эта таблица:


И так ТЗ — написать четыре генератора, которые принимая строку s, состоящую из уникальных символов, и размер выборки к, возвращают строку — выборку с повторением/без повторений из k символов строки s порядок важен/не важен.
В результате получился следующий код:

import itertools
from functools import partial

import unittest

def template(s, k, assertion, reducer):
    n = len(s)
    assert assertion(n, k)
    
    if k == 0:
        yield ""
    elif k == 1:
        for c in s:
            yield c
    else:
        k-=1
        for i, c in enumerate(s):
            new_s = reducer(s, i)
            if not assertion(len(new_s), k):
                break
            for res in template(new_s, k, assertion, reducer):
                yield c+res
            
assertion_norep = lambda n, k: n > 0 and n >= k and k >= 0
assertion_rep   = lambda n, k: n > 0 and k >= 0

permutation_norep = partial(template, assertion=assertion_norep, reducer=lambda s, i: s[:i]+s[i+1:])
permutation_rep = partial(template, assertion=assertion_rep, reducer=lambda s, i: s)
combination_norep = partial(template, assertion=assertion_norep, reducer=lambda s, i: s[i+1:])
combination_rep = partial(template, assertion=assertion_rep, reducer=lambda s, i: s[i:])


class TestCombinatoricGenerators(unittest.TestCase):
    @classmethod
    def setUpClass(cls):
        cls.test_string = "abcdefg"
        cls.k = 5

    def test_permutation_norep(self):
        self.assertEquals(set(permutation_norep(self.test_string, self.k)),
                          set(map(''.join, itertools.permutations(self.test_string, self.k))))

    def test_permutation_rep(self):
        self.assertEquals(set(permutation_rep(self.test_string, self.k)),
                          set(map(''.join, itertools.product(self.test_string, repeat=self.k))))

    def test_combination_norep(self):
        self.assertEquals(set(combination_norep(self.test_string, self.k)),
                          set(map(''.join, itertools.combinations(self.test_string, self.k))))

    def test_combination_rep(self):
        self.assertEquals(set(combination_rep(self.test_string, self.k)),
                          set(map(''.join, itertools.combinations_with_replacement(self.test_string, self.k))))

if __name__ == '__main__':
    unittest.main()


Так как python является языком еще более высокого уровня абстракции, чем с/с++, поэтому он позволяет проще и выразительнее писать код, который бы на других языках выглядел бы более громоздко и запутаннее. Новичкам в python я хотел бы обратить внимание на несколько моментов:

  • return после yield
  • Рекурсивный генератор
  • Шаблон стратегия
  • Использование lambda функций


P.S.
Могу добавить, что я не сразу пришел к подобному решению, использующему общую «шаблонную» функцию. Сначала я написал все функции по отдельности, а потом выделил общее и различное.
Всего голосов 47: ↑22 и ↓25 -3
Просмотры 24K
Комментарии 36

Это правильно, но неверно

Занимательные задачки Математика *
Специалисты заслуженно не любят задачи и головоломки на собеседованиях. Но мы просто любим порешать такие задачи в свое удовольствие. Вот что мне лично не нравится, так это когда ты получаешь правильный ответ, но при этом твое решение кажется автору неверным. Хочу просто показать решение нескольких популярных подобных задач, которые можно получить в уме и без сложных расчетов и сопоставить их с авторскими верными.
Читать дальше →
Всего голосов 42: ↑34 и ↓8 +26
Просмотры 48K
Комментарии 106

Комбинаторные алгоритмы: индекс сочетания, индекс разбиения на подмножества

Программирование *Алгоритмы *
Из песочницы

Короткое предисловие


Комбинаторные алгоритмы применяются достаточно часто. В интернете можно найти много информации касательно комбинаторных алгоритмов. Однако русскоязычный интернет, в основном, выдает простейшие задачи сплошного перебора (генерации) комбинаторных объектов в цикле. Например:
Пример
// Сочетания по 3 из 52
for (int i1 = 0; i1 < 50; ++i1)
  for (int i2 = i1+1; i2 < 51; ++i2)
    for (int i3 = i2+1; i3 < 52; ++i3)
      // ...


Индекс сочетания


Каждому сочетанию, перестановке, размещению и другим комбинаторным объектам можно сопоставить индекс — это номер, в котором он появляется при переборе данным алгоритмом.

Здесь мы рассмотрим более сложную задачу, решения которой в рунете я не нашел (впрочем, приведу одну ссылку, но та формула явно неверная) — исходя из самого сочетания (в данном случае набора трех чисел) найти его индекс.
Читать дальше →
Всего голосов 27: ↑26 и ↓1 +25
Просмотры 41K
Комментарии 21

Битовая магия: получение следующего лексикографического сочетания

Алгоритмы *C *
Из песочницы

Введение


Допустим у нас есть некоторое множество, которое состоит из N элементов. Будем считать, что элементы пронумерованы от нуля до N-1. Набор k-элементных подмножеств данного множества (сочетаний) можно представить либо в виде массива индексов длины k. Либо в виде последовательности из N бит, в которой установлено ровно k из них. У Дональда Кнута в его TAoCP приводится алгоритм генерации сочетаний в лексикографическом порядке, когда сочетания заданы в виде массива индексов. Мы попробуем перенести этот алгоритм на случай битовых масок.
Читать дальше →
Всего голосов 21: ↑19 и ↓2 +17
Просмотры 12K
Комментарии 2

Алгоритм создания списка всех перестановок или размещений

Программирование *Алгоритмы *
Из песочницы
Сразу оговорюсь, эта статья тематически похожа на опубликованную около года назад автором SemenovVV «Нерекурсивный алгоритм генерации перестановок», но подход тут, на мой взгляд, принципиально иной.

Я столкнулся с необходимостью составления списка всех перестановок из n элементов. Для n = 4 или даже 5, задача решается вручную в считанные минуты, но для 6! = 720 и выше исписывать страницы мне уже было лень – нужна была автоматизация. Я был уверен, что этот «велосипед» уже изобретён многократно и в различных вариациях, но было интересно разобраться самостоятельно – поэтому, намеренно не заглядывая в профильную литературу, я засел за создание алгоритма.
Читать дальше →
Всего голосов 14: ↑11 и ↓3 +8
Просмотры 23K
Комментарии 5

МФТИ запустил онлайн-магистратуру по современной комбинаторике

Блог компании Московский физико-технический институт (МФТИ) Учебный процесс в IT
Со следующего года десять студентов смогут обучаться в полноценной магистратуре МФТИ и получить диплом государственного образца, не выходя из дома. Ведущие зарубежные вузы, такие как Гарвард и Стенфорд, уже имеют подобного рода программы, но для России это беспрецедентный образовательный эксперимент. Уверенности в его успехе добавляет уже развитая на Физтехе культура онлайн-обучения, связанная с такими проектами, как курсы на Coursera, НПОО и «Лекторий», запущенных той же командой, которая будет отвечать за онлайн-магистратуру в МФТИ.

image

Обучение в онлайн-магистратуре будет осуществляться по направлению «Современная комбинаторика». Для преподавания разделов прикладной и фундаментальной математики в новом формате нужны передовые преподаватели. Одним из таких специалистов является Андрей Райгородский — ученый с мировым именем и заведующий кафедрой дискретной математики МФТИ.



Мы расскажем, как будет строиться образовательный процесс!
Читать дальше →
Всего голосов 23: ↑18 и ↓5 +13
Просмотры 22K
Комментарии 63

Программирование глазами (и руками ) гуманитария. Личный опыт. Немного философии

Читальный зал
Recovery mode
У каждого, наверное, есть какая-то своя излюбленная тема в IT, помимо повседневной практической работы, приносящей порой лишь хлеб насущный. Может быть, кто-то в свободное время делает мультфильмы или работает над какой-нибудь игрой, может быть, участвует в разработке какого-нибудь социального проекта или просто изучает что-то новое без особенной на то практической нужды, одним словом — делает что-то для себя, так сказать, для души.
Читать дальше →
Всего голосов 26: ↑19 и ↓7 +12
Просмотры 13K
Комментарии 28

Как посчитать перестановки. Лекция в Яндексе

Блог компании Яндекс Ненормальное программирование *Алгоритмы *Математика *
Некоторое время назад в московский офис Яндекса приезжал Игорь Пак — ученый с множеством научных работ, выпускник мехмата МГУ и аспирантуры Гарварда. Сейчас Игорь работает в Калифорнийском университете. Его лекция в Яндексе была посвящена различным классам последовательностей и перестановкам. В том числе прямо по ходу лекции он представил выкладки, опровергающие гипотезу Нунана и Зайлбергера — одну из ключевых в области перестановок.



Под катом — подробная текстовая расшифровка и большинство слайдов.
Всего голосов 57: ↑57 и ↓0 +57
Просмотры 23K
Комментарии 12