Как стать автором
Обновить
  • по релевантности
  • по времени
  • по рейтингу

Парадокс Смейла или “Как вывернуть сферу наизнанку?”

Математика *
Недавно перевел замечательный видеоролик. Вы знаете, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, т. е. с возможными самопересечениями, но без перегибов, а окружность нельзя?

В ролике наглядно показан способ выворачивания сферы, изобретенный не так давно Уильямом Терстеном. Сначала это кажется чем-то невероятно сложным и просто немыслимым, однако к концу ролика все становится понятно. Посмотрите до конца, и вы не пожалеете!:)
Читать дальше →
Всего голосов 107: ↑80 и ↓27 +53
Просмотры 9.1K
Комментарии 195

Картина и гвозди

Занимательные задачки
Имеется картина, к которой двумя концами привязана длинная веревка. Требуется повесить её на N вбитых в стену гвоздей так, чтобы при вытаскивании из стены одного любого гвоздя картина и веревка падали.

Веревка имеет пренебрежимо малую толщину, не рвётся и нерастяжима, гвозди не гнутся и перпендикулярны стене, трения нет. Одним словом, задача решается без всяких хитростей и уловок.
Читать дальше →
Всего голосов 52: ↑50 и ↓2 +48
Просмотры 4.8K
Комментарии 151

Конспект монографии по λ-исчислению

Ненормальное программирование *Lisp *
Данный текст представляет собой чрезвычайно сжатый конспект классической монографии по λ-исчислению (Х. Барендрегт, «Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика», перевод с английского Г. Е. Минца под редакцией А. С. Кузичева, Москва, «Мир», 1985). Он может оказаться интересен всем тем, кто планировал взяться за систематическое изучение данной темы, уже в общих чертах ознакомившись с ней, но откладывал из-за сложной структуры основной монографии, определения и основные результаты в которой довольно разрозненны. Здесь мы попытаемся сделать изложение, напротив, абсолютно линейным, и, конечно, несравнимо более коротким, избегая лишних определений и примеров, а сосредоточившись на необходимых терминологии, обозначениях и утверждениях, которые, в свою очередь, изложены близко к оригинальному тексту. Мы начнем от определения системы λβη, то есть классического бестипового экстенсионального λ-исчисления. Затем перейдем к комбинаторной логике, теореме о неподвижной точке и синтаксическому сахару. Наконец, заключительная часть конспекта — построение топологии на выражениях этой системы, призванной объяснить кажущееся противоречие: отображения множества выражений в себя содержатся в самом этом множестве при его счетности. На самом же деле, множество наделяется надлежащей топологией, в которой выражения представляют собой непрерывные отображения.
Читать дальше →
Всего голосов 86: ↑62 и ↓24 +38
Просмотры 4.5K
Комментарии 19

Топология на пальцах

Математика *
Из песочницы
Топология — довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.

Читать дальше →
Всего голосов 84: ↑71 и ↓13 +58
Просмотры 171K
Комментарии 55

Введение в топологию (для чайников и гуманитариев)

Математика *
Из песочницы
Не помню, когда я впервые узнал про топологию, но меня эта наука сразу заинтересовала. Чайник превращается в бублик, сфера выворачивается наизнанку. Многие слышали про это. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серьёзном уровне, часто возникают трудности. Особенно это относится к освоению самых начальных понятий, которые по своей сути очень абстрактны. Более того, многие источники, как будто специально стремятся запутать читателя. Скажем русская вики даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. Там говорится, что это наука изучающая топологические пространства. В статье про топологические пространства читатель может узнать, что топологические пространства — это пространства снабжённые топологией. Такие объяснения в стиле лемовских сепулек не очень проясняют суть предмета. Я попробую далее изложить основные базовые понятия в более ясной форме. В моей заметке не будет превращающихся чайников и бубликов, но будут сделаны первые шаги, которые позволят в конце концов научиться этой магии.

Впрочем, так как я не математик, а стопроцентный гуманитарий, то вполне возможно, что написанное ниже — враньё! Ну, или по крайней мере часть.

Впервые я написал эту заметку, как начало цикла статей о топологии, для своих гуманитарных друзей, но никто из них читать ее не стал. Исправленную и расширенную версию я решил выложить на хабр. Мне показалось, что здесь существует определенный интерес к этой теме и статей как раз такого рода еще не было. Заранее благодарен за все комментарии об ошибках и неточностях. Предупреждаю, что я использую много картинок.
Читать дальше →
Всего голосов 54: ↑50 и ↓4 +46
Просмотры 38K
Комментарии 30

Топология для самых маленьких. Часть 2

Математика *
В данной статье я продалжаю свое нежное введение в топологию. Первая часть находится здесь.
Я опять предупреждаю, что все что вы читаете — написано дважды гуманитарием (бакалавром и магистром), поэтому слепо верить не стоит. В общем, вы предупреждены.
Замечания про ошибки (математические) приветствуются.
Еще одно предупреждение — очень много картинок.
Картинка для привлечения внимания (никак не относящаяся к нашему тексту).

Как вы думете, не разрывая эти фигуры, но деформируя любым образом, можно ли их рассоединить?

Первоначально я планировал во второй части рассказать о метрических пространствах, но потом решил отложить это на будщее, а сейчас поговорить более подробно об окрестностях и связаных с ними понятиях, о которых в прошлой части лишь кратко упомянул. Таким образом мы находимся где-то в первой главе какой-нибудь книги по «Общей топологии».
Черный сплошной контур на рисунках будет обозначать замкнутые множества, а множества без контура будут открытыми. Буквами ттт я буду сокращать тогда и только тогда.
Поехали.
Читать дальше →
Всего голосов 79: ↑61 и ↓18 +43
Просмотры 28K
Комментарии 22

О гипотезе Пуанкаре. Лекция в Яндексе

Блог компании Яндекс Математика *
Tutorial
Еще в XIX веке было известно, что если любую замкнутую петлю, лежащую на двумерной поверхности, можно стянуть в одну точку, то такую поверхность легко превратить в сферу. Так, поверхность воздушного шарика удастся трансформировать в сферу, а поверхность бублика – нет (легко вообразить себе петлю, которая в случае с бубликом не стянется в одну точку). Гипотеза, высказанная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, гласит, что аналогичное утверждение верно и для трехмерных многообразий.

Доказать гипотезу Пуанкаре удалось только в 2003 году. Доказательство принадлежит нашему соотечественнику Григорию Перельману. Эта лекция проливает свет на объекты, необходимые для формулировки гипотезы, историю поиска доказательства и его основные идеи.



Читают лекцию доценты механико-математического факультета МГУ к. ф-м. н. Александр Жеглов и к. ф.-м. н. Федор Попеленский.
Конспект лекции
Всего голосов 139: ↑131 и ↓8 +123
Просмотры 96K
Комментарии 14

Повышение скорости обработки данных с помощью локальности данных в Hadoop

Блог компании Mirantis/OpenStack Open source *Hadoop *
Автор: Андрей Лазарев

Одним из главных узких мест в вычислениях, требующих обработки больших объемов данных, является сетевой трафик, проходящий через коммутатор. К счастью, выполнение map-кода на том узле, где находятся данные, делает данную проблему намного менее серьезной. Такой метод, именуемый «локальностью данных», – одно из главных преимуществ модели Hadoop Map/Reduce.
Читать дальше →
Всего голосов 8: ↑6 и ↓2 +4
Просмотры 4.8K
Комментарии 0

Филдсовскую медаль по математике впервые в истории получила женщина

Математика *
37-летний профессор математики Мариам Мирзахани (Maryam Mirzakhani) из Стэнфордского университета стала первой женщиной, которая получила Филдсовскую премию — самую престижную награду в области математики.

Оргкомитет признал исключительно ценный вклад Мариам в геометрию и динамические системы. «Её работа по римановым поверхностям и их модулям совмещает в себе несколько математических дисциплин — геометрию Лобачевского, комплексный анализ, топологию и динамические системы — и, в свою очередь, повлияла на все эти дисциплины. Она получила повсеместную известность благодаря своим первым результатам по геометрии Лобачевского», — отмечено в заявлении комитета.

Филдсовская премия и медаль (Fields Medal) вручаются один раз в 4 года на каждом международном математическом конгрессе двум, трём или четырём молодым математикам не старше 40 лет. Поскольку Нобелевская премия математикам не вручается, то Филдсовскую премию часто называют «Нобелевской премией для математиков».
Читать дальше →
Всего голосов 80: ↑71 и ↓9 +62
Просмотры 24K
Комментарии 25

Введение в топологические пространства. Программирование конечных топологий на Java

Программирование *Java *Математика *
Tutorial

Введение


Я долго думал о том, чтобы выбрать какой-либо математический объект, интересный не только с точки зрения дискретной математики, но и функционального анализа, и попытаться запрограммировать его.

Этим объектом стали так называемые топологические пространства. Естественно, конечный объём представления объектов в памяти компьютера не позволяет с абсолютной точностью смоделировать имеющиеся в математике топологические пространства, а значит, остаётся довольствоваться конечными топологиями.

К счастью, это один из тех объектов, для которых конечность не только позволяет оперировать стандартными математическими понятиями, но и упрощает некоторые из них. Тем более довольно интересно исследовать объекты, для которых у нас нет никакой возможности померить расстояние между точками. Да, да, вы не ослышались. В общей топологии такой возможности у нас нет.

Но обо всём по порядку.
Читать дальше →
Всего голосов 26: ↑25 и ↓1 +24
Просмотры 25K
Комментарии 20

Введение в топологические пространства. Программирование конечных топологий на Java. Часть 2: База топологии. Непрерывные отображения

Программирование *Java *Математика *
Tutorial

Список частей:





Введение


В прошлый раз мы познакомились с основным понятиями теории топологических пространств, а также рассмотрели класс для представления конечных топологических пространств, написанный на языке Java. Сегодня мы двинемся дальше, изучим понятие базы топологии и получим представление о том, дла чего она нужна, а также определим понятие непрерывного отображения топологических пространств. Основной интерес последнее вызывает тем, что в топологическом пространстве отсутствует понятие расстояния между объектами, но тем не менее мы можем описать формальным языком достаточную близкость объектов в терминах… Ну, впрочем, вы это узнаете чуть позже.
Читать дальше →
Всего голосов 14: ↑12 и ↓2 +10
Просмотры 12K
Комментарии 2

Поиск горнолыжных трасс из космоса

Геоинформационные сервисы *
Из песочницы
Если вы любите кататься на горных лыжах или сноуборде по некатанным склонам, или же вам просто надоели скучные выглаженные склоны Сорочан и Волена с их безумными ценами на подъемники – то эта статья для вас.

image

В феврале 2000 года шатл Endeavour 11 дней снимал топологию земли с помощью Spaceborne Imaging Radar-C/X-band Synthetic Aperture Radar. См. подробности тут

Результатом этого проекта явилась публично доступная база с данными о топологии земли за исключением ее полярных областей.

Полный массив данных имеет огромный размер и оперировать с ним в рамках ПК довольно проблематично. К счастью на сайте проекта Consortium for Spatial Information можно скачать топологический файл для интересующей вас области.

Данные доступны в формате ESRI GRID(ARC ASCII), которые представляют собой простую матрицу высот. Каждая ячейка матрицы имеет одинаковую широту и долготу. Файл состоит из метаинформации и матрицы высот в 6001 строк и 6001 столбцов.
Читать дальше →
Всего голосов 18: ↑18 и ↓0 +18
Просмотры 5K
Комментарии 5

Гексасфера: прорыв в полиэдральной геометрии

Научно-популярное

Большинство считает, что эра великих открытий в области геометрии уже миновала. Но это — заблуждение. На днях ученым из Института Науки и Технологий Австрии впервые удалось построить регулярное разбиение сферы на шестиугольники. В ходе исследований использовались последние достижения алгебраической геометрии и топологии. Как утверждают авторы, для решения задачи им потребовались месяцы компьютерных вычислений.
Читать дальше →
Всего голосов 53: ↑48 и ↓5 +43
Просмотры 30K
Комментарии 40

Объявлены лауреаты Нобелевской премии по физике

Физика

Нобелевские лауреаты по физике 2016 года

Сегодня в Стогкольме, Швеция, были объявлены Нобелевские лауреаты по физике. Премию за вклад в развитие этой науки получили сразу трое британских ученых: Дэвид Таулесс (David Thouless), Дункан Халдейн (Duncan Haldane) и Майкл Костерлиц (Michael Kosterlitz) за «теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз материи».

Результаты их работы позволили научному сообществу лучше объяснить такие явления как сверхпроводимость, сверхтекучесть и магнетизм двумерных материалов (под двумерными подразумеваются материалы состоящие из атомарных слоев). Соответствующая информация размещена на официальном сайте Нобелевской премии.
Читать дальше →
Всего голосов 23: ↑21 и ↓2 +19
Просмотры 9.2K
Комментарии 0

Нейронные сети, фундаментальные принципы работы, многообразие и топология

Алгоритмы *Математика *Машинное обучение *Читальный зал Искусственный интеллект
Нейронные сети совершили революцию в области распознавания образов, но из-за неочевидной интерпретируемости принципа работы, их не используют в таких областях, как медицина и оценка рисков. Требуется наглядное представление работы сети, которое сделает её не чёрным ящиком, а хотя бы «полупрозрачным». Cristopher Olah, в работе «Neural Networks, Manifolds, and Topology» наглядно показал принципы работы нейронной сети и связал их с математической теорией топологии и многообразия, которая послужила основой для данной статьи. Для демонстрации работы нейронной сети используются низкоразмерные глубокие нейронные сети.

Понять поведение глубоких нейронных сетей в целом нетривиальная задача. Проще исследовать низкоразмерные глубокие нейронные сети — сети, в которых есть только несколько нейронов в каждом слое. Для низкоразмерных сетей можно создавать визуализацию, чтобы понять поведение и обучение таких сетей. Эта перспектива позволит получить более глубокое понимание о поведении нейронных сетей и наблюдать связь, объединяющую нейронные сети с областью математики, называемой топологией.

Из этого вытекает ряд интересных вещей, в том числе фундаментальные нижние границы сложности нейронной сети, способной классифицировать определенные наборы данных.

Рассмотрим принцип работы сети на примере
Читать дальше →
Всего голосов 49: ↑42 и ↓7 +35
Просмотры 36K
Комментарии 40

Проектные нормы в микроэлектронике: где на самом деле 7 нанометров в технологии 7 нм?

Схемотехника *Производство и разработка электроники *Процессоры Электроника для начинающих
Современные микроэлектронные технологии — как «Десять негритят». Стоимость разработки и оборудования так велика, что с каждым новым шагом вперёд кто-то отваливается. После новости об отказе GlobalFoundries от разработки 7 нм их осталось трое: TSMC, Intel и Samsung. А что такое, собственно “проектные нормы” и где там тот самый заветный размер 7 нм? И есть ли он там вообще?


Рисунок 1. Транзистор Fairchild FI-100, 1964 год.

Самые первые серийные МОП-транзисторы вышли на рынок в 1964 году и, как могут увидеть из рисунка искушенные читатели, они почти ничем не отличались от более-менее современных — кроме размера (посмотрите на проволоку для масштаба).
Читать дальше →
Всего голосов 157: ↑157 и ↓0 +157
Просмотры 107K
Комментарии 148

Бег с препятствиями для света: жидкие кристаллы в помощь

Блог компании ua-hosting.company Сетевые технологии *Научно-популярное Физика Будущее здесь


Создание какой-либо технологии или материала сопряжено с фактом его несовершенства. Так или иначе будут недостатки. Порой значительные, сильно влияющие на работу той или иной системы, а соответственно, требующие большого времени и усилий на доработку. А порой недостатки могут быть такими, с которыми мы можем мириться. Но должны ли? Думаю, что нет. Совершенствовать что-то никогда не поздно. Именно об этом и думают сегодняшние наши герои — ученые, решившие улучшить фотонные кристаллы. Сегодня мы узнаем, как в исследовании объединятся топологические изоляторы, рассеяние частиц, жидкие кристаллы и световые волны. Поехали.
Читать дальше →
Всего голосов 15: ↑15 и ↓0 +15
Просмотры 3.4K
Комментарии 1

«Сотовая» макетная плата

Прототипирование *DIY или Сделай сам Электроника для начинающих
Перевод


В очередной раз задумавшись о прототипировании электроники, автор также задался вопросом: какая топология макетной платы окажется оптимальной (в смысле, наиболее гибкой) для работы с небольшими SMD-компонентами, в частности, в корпусах, подобных SOT23-3.
Читать дальше →
Всего голосов 43: ↑41 и ↓2 +39
Просмотры 14K
Комментарии 34

Технологии микроэлектроники на пальцах: «закона Мура», маркетинговые ходы и почему нанометры нынче не те. Часть 1

Производство и разработка электроники *Компьютерное железо Нанотехнологии Физика Электроника для начинающих
Перевод
image
Возможное фото 10 нм IceLake. Источник

Странные вещи творятся на процессорном рынке. Мировой лидер в лице фирмы Intel пятый год бьется в попытках перейти на 10 нм техпроцесс. Изначально заявляли о переходе на 10 нм в 2015-м году, потом в 2016-м, 2017-м… На дворе 2019-й, а 10-нм от Intel в серии так и нет. Ну как нет, есть отдельные опытные/инженерные образцы, но высокий выход годных — проблема. Реальный переход ожидается не раньше 2022 года уже.

Собственно, это и стало причиной дефицита процессоров Intel на рынке. Для его преодоления компания расширяет производство модифицированных 14 нм процессоров (те же Lake только в профиль) и даже возвращается к 22 нм. Казалось бы, регресс налицо. А в это время корейский Samsung, тайваньский TSMC и примкнувший к ним AMD с платформой ZEN 2 рапортуют о вводе в серию аж 7 нм и вот-вот перейдут на 5 нм. Достали из пыльного шкафа «закон Мура» и объявили его живее всех живых. Скоро будет и 3 нм, и 2 нм, и даже 1 нм (sic!) — pourquoi pas?!

Что же произошло? Неужто ушлые азиаты обошли клятых пендосов в ключевой отрасли? Можно открывать шампанское?

Disclaimer: Данную статью я нашёл совершенно случайно и был крайне поражён, насколько грамотно и подробно в ней раскрываются проблемы современной микроэлектроники, в частности, смерть закона Мура и маркетинг. Когда-то давно и сам баловался написанием статей про изготовление чипов, а в серии статей «Взгляд Изнутри» даже заглядывал внутрь оных, т.е. тема мне крайне интересна. Естественно, я бы хотел, чтобы сам автор оригинальной статьи опубликовал её на Хабре, но в связи с занятостью он разрешил мне перенести её сюда. К сожалению, правила Хабра не разрешают прямую копи-пасту, поэтому я добавил ссылки на источники, картинки и немножко отсебятины и постарался чуть-чуть выправить текст. Да, и статьи (1 и 2) по данной теме от amartology знаю и уважаю.
Скандалы, интриги и закон Мура
Всего голосов 96: ↑94 и ↓2 +92
Просмотры 48K
Комментарии 74

Технологии микроэлектроники на пальцах: «закона Мура», маркетинговые ходы и почему нанометры нынче не те. Часть 2

Производство и разработка электроники *Компьютерное железо Нанотехнологии Физика Электроника для начинающих
Перевод
image

В первой части мы рассмотрели вкратце физику кремния, технологии микроэлектроники и технологические ограничения. Теперь поговорим о физических ограничениях и физических эффектов, которые влияют на размеры элементов в транзисторе. Их много, поэтому пройдемся по основным. Здесь придется уже влезть в физику, иначе никак.

Disclaimer: Когда-то давно и сам баловался написанием статей про изготовление чипов, а в серии статей «Взгляд Изнутри» даже заглядывал внутрь оных, т.е. тема мне крайне интересна. Естественно, я бы хотел, чтобы сам автор оригинальной статьи опубликовал её на Хабре, но в связи с занятостью он разрешил мне перенести её сюда. К сожалению, правила Хабра не разрешают прямую копи-пасту, поэтому я добавил ссылки на источники, картинки и немножко отсебятины и постарался чуть-чуть выправить текст. Да, и статьи (1 и 2) по данной теме от amartology знаю и уважаю.
Скандалы, интриги и закон Мура
Всего голосов 59: ↑57 и ↓2 +55
Просмотры 26K
Комментарии 40
1