> Ну а сама оригинальная работа написана в классическом стиле от математиков для математиков — готового алгоритма, пригодного к реализации вы в ней не найдёте.
Не удивительно в общем, это ведь статья по математике — сомнительно, что полученный алгоритм будет иметь какое-то прикладное значение.
> Например, в лемме 2.3 там доказывается convolution formula, согласно которой свёртка функций равносильна перемножению их Фурье-образов. Зачем? Это же известный, давно доказанный факт — можно было просто сослаться на доказательство, тем самым уменьшив объём работы.
Это называется self-contained proof. Если какие-то уже известные результаты имеют простое доказательство, и их рассмотрение может добавить понимания, то их доказательство повторяется в статье.
Вы презабавный тип, пересказываете мне мои мысли двухнедельной давности? Про два вопроса тут написано habr.com/ru/post/446716/#comment_19987986, не говоря уже о том что вам лично отвечалось тут habr.com/ru/post/446716/#comment_20030444
Так посмотрите на комментарий выше habr.com/ru/post/446716/#comment_20030430, я там вам конкретно указал, что мне нравится и что не нравится в этом вашем длинном комментарии.
Кто сказал что я буду браться и выписывать в столбик ваши таблички 2x2 по вашей просьбе, все что вам захочется спросить? Я же вам выше написал, хотите упражнятся и чтото доказать — ваша воля, берите доказывайте, я же выписал все что хотел уже в том посте.
Я не просил вас выписывать никакие таблички и не просил ничего доказывать. Я просил только чётко сформулировать вопрос про вероятность. Строгой формулировки я от вас так и не получил.
Вам же никто ничего не обязан доказывать, люди обсуждают забавные и увлекательные вещи, а не пытаются доказать кто прав, потешить свое самолюбичке.
Люди обсуждают что-то, что не могут строго определить. В этом и вся забавность.
Это мой пример того, почему разные интерпретации могут давать разные результаты (именно поэтому это пример предварён словом «например»). В этом парадоксе различие сложнее, но идея аналогичная: мы наблюдаем что-то и по-разному приписываем этому наблюдаемому математические величины. В результате и оценки получаем разные.
Ну наконец-то вы меня услышали. Действительно, на какой вопрос мы отвечаем. Если вопрос не сформулировать, то ответ — бесполезен. Поэтому я и настаивал, чтоб было чётко сформулировано, какую вероятность мы оцениваем. Вы с этой задачей не справились.
Если есть два способа приписать реальным событиям какие-то вероятности, то не удивительно, что могут получиться разные результаты. Ну то есть, например, если мы говорим, что с равной вероятностью союзниками может быть захвачен любой танк, то получится один результат. Если у старых танков вероятность быть захваченными больше, то получится другой результат. Но на самом деле союзники не выбирают танк случайным образом, это просто модель. Использование математики здесь позволяет только дать некоторую оценку в некоторых предположениях.
В некотором смысле да, философский, не ясно, как сформулировать эту задачу из реального мира в терминах математики. Разные формулировки дают разные ответы. Проблема не в противоречивости математики, а в том, что не понятно, как такие задачи правильно описывать.
Сущности продолжают множиться :-) Теперь у нас есть:
1) элементарные события и события (были изначально)
2) исходы (появились недавно)
3) элементарные исходы (появились только что)
Ваша армия растёт :-)
Исходы, элементарные исходы и элементарные события — это синонимы, смотрите в википедию.
Нет. Никаких «только». Я считаю, что событие «игральная кость выпала чётным числом» есть комбинация ЭЛЕМЕНТАРНЫХ событий «игральная кость выпала цифрой 2», «игральная кость выпала цифрой 4», «игральная кость выпала цифрой 6». Операция ИЛИ, объединение. Что именно произошло? Произошло ОДНО ИЗ этих трёх событий. Не-элементарное событие, сводимое к трём элементарным.
Вы не понимаете сути эксперимента. Можете мне тоже самое рассказать про элементарные исходы, если я просто на бумажке записываю 0 или 1 для каждого шара, в зависимости от того, положил я его или нет. В таком случае какие у вас будут элементарные исходы?
{О, Р,{О, Р}} — как Вы себе это представляете в виде ВЗАИМОИСКЛЮЧАЮЩИХ событий? Если монетка выпала ИЛИ орлом, ИЛИ решкой — это ЕДИНОЕ событие! — как это ИСКЛЮЧИТ выпадение монетки орлом (или решкой)?
Это только значит, что вы не понимаете эту задачу. В ней всё однозначно. Есть 16 различный исходов, я вам их даже выписывал уже. И они взаимоисключающие. Например, если на бумажке написано 0101, то там не может быть в это же время написано 0111. Верно?
{О, Р,{О, Р}} — как Вы себе это представляете в виде ВЗАИМОИСКЛЮЧАЮЩИХ событий? Если монетка выпала ИЛИ орлом, ИЛИ решкой — это ЕДИНОЕ событие! — как это ИСКЛЮЧИТ выпадение монетки орлом (или решкой)?
Вы изменили задачу. Я нигде не говорил, что к любой задаче можно применить любое множество исходов. Множество исходов строится по задаче.
Это могут быть и две монетки, выбрасываемые независимо, роли не играет.
Нельзя не определив эксперимент рассуждать о вероятности.
Событие — то, что можно зарегистрировать.
Это ваше интуитивное представление. А мы тут о теории вероятностей (по крайней мере я) разговариваем. В теории вероятностей событие — это множество элементарных исходов.
Элементарное событие — событие, исключающее другие элементарные события и при этом ещё не сводимое ни к какой их комбинации (за исключением их полного отсутствия, естественно).
Опять же — это ваше интуитивное представление. Мой пример с множествами ему соответствует, но вы ошибочно понимаете свою же фразу про «не сводимое». И в результате считаете, что событие «в коробке только два шара 2 и 3» является комбинацией событий «в коробке только шар 2» и «в коробке только шар 3».
Вопрос, собственно, в следующем. Вот есть множество, элементы которого приняты за элементарные события. Например, {1,2,3,4,5,6}. Шесть возможных элементарных событий. Может ли подмножество этого множества, например, {4,5}, тоже быть элементарным событием?
Нет, может.
Если нет — что Вы будете делать с множеством {1,2,3,4,5,6,{4,5}}?..
Ну если множество элементарных событий изменить, то и ответ изменится. Почему это вас удивляет?
Если да — это будет противоречить определению элементарного события.
Не будет.
(оно не должно сводиться к другим элементарным событиям, а {4,5} получается объединением элементов 4 и 5)
Не будет тут сводимости никакой. Это разные события. «Вытащили пару шаров 4 и 5» не является комбинацией событий «вытащили только шар 4» и «вытащили только шар 5».
По смыслу — игральная кость может выпасть одной из шести цифр вверх. Каждый такой вариант (исход) — элементарное событие. Есть также событие, когда игральная кость выпадает ИЛИ цифрой 4 вверх, ИЛИ цифрой 5 — этот факт можно зарегистрировать и передать как информацию. Но это событие уже не будет элементарным. Добавлять его к множеству элементарных событий нельзя.
Это вы конкретный пример рассматриваете, хорошо, тут множество элементарных исходов {1,2,3,4,5,6} и я тут не спорю. Но в моём примере с четырьмя шарами множество элементарных исходов описано так:
{0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111} или эквивалентно в терминах множеств
{{}, {4}, {3}, {3,4}, {2}, {2,4}, {2,3}, {234}, {1}, {1,4}, {1,3}, {1,3,4}, {1,2}, {1,2,4}, {1,2,3}, {1,2,3,4}}.
Будут. Я подбросил монетку. Она выпала орлом. Событие? Событие. Элементарное? Элементарное. Далее, я подбросил монетку ещё раз. Она выпала (предположим) опять орлом. Событие? Событие. Элементарное? Элементарное. Или у Вас другое мнение?
Элементарность событий определяется тем, как задан эксперимент. Если вы бросаете монетку дважды, то нет такого элементарного события первая монетка выпала орлом.
А чем тогда будет регистрация И первого из этих событий И второго?
Определите, в чём состоит эксперимент. Вы два раза подбрасываете монетку или повторяете эксперимент дважды? В первом случае — это элементарное событие, во втором — это исходы разных экспериментов.
Очевидно, тоже событием, третьим — уже не элементарным. Состоящим из двух элементарных, указанных выше.
Если эксперимент состоит в двух подбрасываниях монетки, то это как раз будет элементарным событием.
Я не согласен с тем, что не-элементарное событие — как элементарное — «состоит из исходов». Оно состоит из элементарных событий.
Это определение:
В теории вероятностей элементарные события или события-атомы — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
(по ссылки на википедию выше)
Рассмотрим событие «монетка выпала орлом». Теперь проведём следующее испытание и получим (например) что «опять монетка выпала орлом». Имеем два элементарных события, которые можно объединить в третье, не-элементарное:
Нет, это у вас два разных эксперимента, нельзя взять и объединить исходы разных экспериментов в одно событие — это событие будет содержать исходы из разных вероятностных пространств. Можно только рассмотреть два последовательных бросания, как один эксперимент, но тогда там не будет отдельного элементарного исхода «первая монетка выпала орлом». В таком пространстве это будет событием, состоящим из элементарных исходов «первая монетка выпала орлом, вторая выпала орлом» и «первая монетка выпала орлом, вторая выпала решкой».
Мне кажется, что вас путает то, что элемент является множеством. Давайте проведём тот же эксперимент, но теперь для каждого шара запишем на бумажку 1, если мы его положили в коробку, и 0 — если не положили. Тогда в качестве множества элементарных исходов можно выбрать множество всех битовых строк длины 4. Соответственно, если в формулировке с множествами исходами были {2}, {3} и {2,3}, то мы будем это обозначать 0100, 0010, 0110. Теперь исходы являются строками. Вы же не предлагаете взять два элементарных исхода 0100 и 0010 и склеить их в один исход 01000010? Или взять и применить побитовое И к этим строчкам получить 0110? Теперь элементарные события — это просто строки. Если в такой формулировке всё понятно, то остаётся заметить, что между такими строками и подмножествами {1,2,3,4} есть взаимнооднозначное соответствие.
Пока вы не знаете исход, вы его не знаете. И не важно что где-то он уже произошел.
Вы путаете неопределённость и вероятность. Неопределённость не всегда означает наличие случайного процесса. Если вы чего-то не знаете, это не значит, что есть какая-то вероятность.
Давайте так: вы либо приводите мне вероятностное пространство для исходной задачи, либо мы это заканчиваем, потому, что мы спорим не о вероятности, а о ваших интуитивных представлениях о ней.
Да с чего бы это?.. Мой оппонент (которого Вы поддержали) утверждал, что элементарным событием можно объявить элемент любого множества:
Тут есть некоторая путаница в определениях. В целом, скорее оппонент был прав (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B9), а я написал некорректно с точки зрения терминологии, изложенной в википедии. Видимо, правильно написать так:
События — это множества элементарных событий. Нельзя объединять элементарные события как множества — это не имеет смысла. То есть, элементарные события — это {2}, {3} и {2,3} (элементарные события — множества, поэтому события — множества множеств). Событие, которое включает три этих элементарных события — это множество {{2}, {3}, {2,3}}.
Как я только что показал — нет, не любого. Или придётся распрощаться с понятием элементарного события (как исключающего любые другие элементарные события и несводимого к ним)…
Нет, не показали. Ну нельзя событие элементарное событие «в коробке ровно три шара» разбить на какие-то другие элементарные события. У нас так множество элементарных событий устроено, что каждое точно описывает содержание коробки.
Где тут одновременность используется? Вопрос только в том, как определён эксперимент. Я не понимаю, как правильно описать эксперимент (без использования подселения душ или путешествий по параллельным мирам) так, чтобы вопрос в задаче про сына моряка имел смысл. Нельзя включить в один эксперимент и монетку и сына, т.к. сын — это, в некотором смысле, результат подбрасывания монетки.
Или вы можете описать пространство элементарных исходов для этой задачи так, чтобы вопрос имел смысл?
Но я не уверен что мы понимаем одинаково понятие события, и что означает «совпадение».
Событие, по определению, это — подмножество множества элементарных исходов.
Ну там же написано, совпадение вашей догадки и цвета шара
Замечательно, такое событие присутствует в построенном вероятностном пространстве. Это событие = {Б}. И его вероятность 1/2 (мы тут пользуемся тем, что все исходы равновероятны).
Отлично! Несложно понять, что если я всегда пишу «белый», то нет разницы, напишу я это до или после того, как ведущий вытащит шар.
С этим простым примером мы разобрались. Теперь пусть я пишу случайный цвет. Тогда исхода четыре: {ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ}. Нас интересует событие, когда цвет шара и цвет на бумажке совпадает, т.е. {ББ, ЧЧ}. Т.к. я пишу цвет случайно и независимо от того, что вытащит ведущий, то тут тоже порядок не важен, все исходы будут равновероятны, поэтому вероятность события {ББ, ЧЧ} — 1/2.
(Кстати, при такой формулировке не важно, с какой вероятностью шар вытаскивает ведущий, если я выбираю цвета случайно, то вероятность угадать — 1/2.)
Отлично! Смотрите, мы смогли задать вопрос и получить на него ответ. Давайте сформулируем этот вопрос: «Какова вероятность, что при случайном угадывании цвета случайно вытащенного шара, я этот цвет угадаю?». И ответ 1/2.
Но это не то же самое, что «Какова вероятность угадать, уже выбранный шар?» Почему? Да потому, что если шар уже выбран, то момент его выбора не входит в эксперимент, и множество элементарных исходов снова равно {Б, Ч} (теперь это соответствует тем цветам, которые я напишу на бумажке). Нехитрым образом при таком случайном угадывании мы снова получаем ответ 1/2.
И теперь мы подходим к исходному вопросу: пусть шар уже выбран и на бумажке я всегда пишу «белый», какова вероятность угадать? Ответ в том, что нет никакой вероятности, т.к. нет никакого случайного эксперимента, нельзя определить множество исходов. Этот случай и соответствует задаче про моряка. Когда у сына спрашивают с какой вероятностью он единственный, никакого случайного процесса уже нет.
Не удивительно в общем, это ведь статья по математике — сомнительно, что полученный алгоритм будет иметь какое-то прикладное значение.
> Например, в лемме 2.3 там доказывается convolution formula, согласно которой свёртка функций равносильна перемножению их Фурье-образов. Зачем? Это же известный, давно доказанный факт — можно было просто сослаться на доказательство, тем самым уменьшив объём работы.
Это называется self-contained proof. Если какие-то уже известные результаты имеют простое доказательство, и их рассмотрение может добавить понимания, то их доказательство повторяется в статье.
Я не просил вас выписывать никакие таблички и не просил ничего доказывать. Я просил только чётко сформулировать вопрос про вероятность. Строгой формулировки я от вас так и не получил.
Люди обсуждают что-то, что не могут строго определить. В этом и вся забавность.
Удачи и вам!
Исходы, элементарные исходы и элементарные события — это синонимы, смотрите в википедию.
Вы не понимаете сути эксперимента. Можете мне тоже самое рассказать про элементарные исходы, если я просто на бумажке записываю 0 или 1 для каждого шара, в зависимости от того, положил я его или нет. В таком случае какие у вас будут элементарные исходы?
Это только значит, что вы не понимаете эту задачу. В ней всё однозначно. Есть 16 различный исходов, я вам их даже выписывал уже. И они взаимоисключающие. Например, если на бумажке написано 0101, то там не может быть в это же время написано 0111. Верно?
Вы изменили задачу. Я нигде не говорил, что к любой задаче можно применить любое множество исходов. Множество исходов строится по задаче.
Это ваше интуитивное представление. А мы тут о теории вероятностей (по крайней мере я) разговариваем. В теории вероятностей событие — это множество элементарных исходов.
Опять же — это ваше интуитивное представление. Мой пример с множествами ему соответствует, но вы ошибочно понимаете свою же фразу про «не сводимое». И в результате считаете, что событие «в коробке только два шара 2 и 3» является комбинацией событий «в коробке только шар 2» и «в коробке только шар 3».
Нет, может.
Ну если множество элементарных событий изменить, то и ответ изменится. Почему это вас удивляет?
Не будет.
Не будет тут сводимости никакой. Это разные события. «Вытащили пару шаров 4 и 5» не является комбинацией событий «вытащили только шар 4» и «вытащили только шар 5».
Это вы конкретный пример рассматриваете, хорошо, тут множество элементарных исходов {1,2,3,4,5,6} и я тут не спорю. Но в моём примере с четырьмя шарами множество элементарных исходов описано так:
{0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111} или эквивалентно в терминах множеств
{{}, {4}, {3}, {3,4}, {2}, {2,4}, {2,3}, {234}, {1}, {1,4}, {1,3}, {1,3,4}, {1,2}, {1,2,4}, {1,2,3}, {1,2,3,4}}.
Элементарность событий определяется тем, как задан эксперимент. Если вы бросаете монетку дважды, то нет такого элементарного события первая монетка выпала орлом.
Определите, в чём состоит эксперимент. Вы два раза подбрасываете монетку или повторяете эксперимент дважды? В первом случае — это элементарное событие, во втором — это исходы разных экспериментов.
Если эксперимент состоит в двух подбрасываниях монетки, то это как раз будет элементарным событием.
Это определение:
(по ссылки на википедию выше)
Нет, это у вас два разных эксперимента, нельзя взять и объединить исходы разных экспериментов в одно событие — это событие будет содержать исходы из разных вероятностных пространств. Можно только рассмотреть два последовательных бросания, как один эксперимент, но тогда там не будет отдельного элементарного исхода «первая монетка выпала орлом». В таком пространстве это будет событием, состоящим из элементарных исходов «первая монетка выпала орлом, вторая выпала орлом» и «первая монетка выпала орлом, вторая выпала решкой».
Мне кажется, что вас путает то, что элемент является множеством. Давайте проведём тот же эксперимент, но теперь для каждого шара запишем на бумажку 1, если мы его положили в коробку, и 0 — если не положили. Тогда в качестве множества элементарных исходов можно выбрать множество всех битовых строк длины 4. Соответственно, если в формулировке с множествами исходами были {2}, {3} и {2,3}, то мы будем это обозначать 0100, 0010, 0110. Теперь исходы являются строками. Вы же не предлагаете взять два элементарных исхода 0100 и 0010 и склеить их в один исход 01000010? Или взять и применить побитовое И к этим строчкам получить 0110? Теперь элементарные события — это просто строки. Если в такой формулировке всё понятно, то остаётся заметить, что между такими строками и подмножествами {1,2,3,4} есть взаимнооднозначное соответствие.
Вы путаете неопределённость и вероятность. Неопределённость не всегда означает наличие случайного процесса. Если вы чего-то не знаете, это не значит, что есть какая-то вероятность.
Давайте так: вы либо приводите мне вероятностное пространство для исходной задачи, либо мы это заканчиваем, потому, что мы спорим не о вероятности, а о ваших интуитивных представлениях о ней.
События — это множества элементарных событий. Нельзя объединять элементарные события как множества — это не имеет смысла. То есть, элементарные события — это {2}, {3} и {2,3} (элементарные события — множества, поэтому события — множества множеств). Событие, которое включает три этих элементарных события — это множество {{2}, {3}, {2,3}}.
Нет, не показали. Ну нельзя событие элементарное событие «в коробке ровно три шара» разбить на какие-то другие элементарные события. У нас так множество элементарных событий устроено, что каждое точно описывает содержание коробки.
Или вы можете описать пространство элементарных исходов для этой задачи так, чтобы вопрос имел смысл?
Событие, по определению, это — подмножество множества элементарных исходов.
Замечательно, такое событие присутствует в построенном вероятностном пространстве. Это событие = {Б}. И его вероятность 1/2 (мы тут пользуемся тем, что все исходы равновероятны).
Отлично! Несложно понять, что если я всегда пишу «белый», то нет разницы, напишу я это до или после того, как ведущий вытащит шар.
С этим простым примером мы разобрались. Теперь пусть я пишу случайный цвет. Тогда исхода четыре: {ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ}. Нас интересует событие, когда цвет шара и цвет на бумажке совпадает, т.е. {ББ, ЧЧ}. Т.к. я пишу цвет случайно и независимо от того, что вытащит ведущий, то тут тоже порядок не важен, все исходы будут равновероятны, поэтому вероятность события {ББ, ЧЧ} — 1/2.
(Кстати, при такой формулировке не важно, с какой вероятностью шар вытаскивает ведущий, если я выбираю цвета случайно, то вероятность угадать — 1/2.)
Отлично! Смотрите, мы смогли задать вопрос и получить на него ответ. Давайте сформулируем этот вопрос: «Какова вероятность, что при случайном угадывании цвета случайно вытащенного шара, я этот цвет угадаю?». И ответ 1/2.
Но это не то же самое, что «Какова вероятность угадать, уже выбранный шар?» Почему? Да потому, что если шар уже выбран, то момент его выбора не входит в эксперимент, и множество элементарных исходов снова равно {Б, Ч} (теперь это соответствует тем цветам, которые я напишу на бумажке). Нехитрым образом при таком случайном угадывании мы снова получаем ответ 1/2.
И теперь мы подходим к исходному вопросу: пусть шар уже выбран и на бумажке я всегда пишу «белый», какова вероятность угадать? Ответ в том, что нет никакой вероятности, т.к. нет никакого случайного эксперимента, нельзя определить множество исходов. Этот случай и соответствует задаче про моряка. Когда у сына спрашивают с какой вероятностью он единственный, никакого случайного процесса уже нет.
ОК. Давайте рассмотрим случай, когда я всегда пишу «Белый» для простоты.
Итого, множество элементарных исходов = {Б, Ч}.
3. Какое событие нас интересует?