Мне ещё кажется, что числа Стирлинга 1-го рода могут быть связаны с детерминантами матрицы смежности графов. Поскольку последние тоже связаны с циклами на графе. Но могу и ошибаться.
У сингулярного разложения есть наглядный геометрический смысл.
Интересно, кому-нибудь помог "наглядный геометрический смысл SVD" понять его суть? В данной статье он точно к делу не относится, и только затуманивает картину. Вот если бы про геометрические преобразования была статья, - тогда другое дело.
Вообще непонятно, зачем применять к матрице смежности графа именно SVD. Дело в том, что под SVD обычно понимают разложение матриц, которые образованы элементами разных пространств. Например, "люди и фотографии", "слова и предложения" и т.п. Матрица же смежности образована элементами одного пространства - вершинами графа. Для ее разложения достаточно "обычного спектра" из собственных векторов и чисел.
Суть SVD в том, что в результате разложения каждому элементу исходных пространств можно сопоставить кортеж (набор чисел) - координаты элемента в новом "пространстве признаков" (то, что автор называет векторным пространством). И теперь в этом общем пространстве можно сравнивать исходные элементы (которые могли быть вообще из разных пространств изначально), - оценивать расстояния между ними и т.д. При этом есть возможность управлять точностью (рангом) разложения - сколько координат нам достаточно.
И это само по себе действительно прикольно. У человека есть набор чисел, у фотографии есть набор чисел. По этим двум наборам можно сказать - есть данный чел на фото или нет.
Путаница возникает из-за смешения двух разных понятий - индексов и их границ. В случае адресации к массиву индексами являются целые числа - 0, 1, 2,... Но их границы - это другой тип данных. 0] - это правая граница нуля, [1 - левая граница единицы и т.д. Обращаться к значениям массива можно либо через границы индексов, либо через сами индексы.
Январь - это первый месяц года, понедельник - первый день недели. Тут мы обращаемся к индексам. Когда же мы ссылаемся якобы на нулевой элемент массива, то на самом деле адресуемся к границе между индексами. Это нулевое смещение от левой границы массива.
В идеале можно было управлять типом адресации через вид скобок. Например, квадратные - обращение к границам, круглые - к индексам. Тогда А[0] == А(1).
Проблема различия элементов (интервалов) и их границ актуальна не только для индексов, но и для других типов данных. Для дат, например. Задать строго конец (или начало) суток обычно нетривиальная задача.
"Двойственный вектор"? Разве есть такой термин в русскоязычной математике? Вообще-то речь идет про "дуальный вектор" или "ковектор", иногда встречается "обратный вектор" - это вектор из дуального (обратного) пространства.
Насколько я понял, в статье рассмотрена регрессия (прогнозирование числовых значений) для бинарных тензоров. То есть для данных, которые можно выразить в матричном виде. Встречался ли автор с задачами регрессии значений полиарных тензоров (имеющих три и более измерений)?
Я не силен в истории математики (да и насчёт самой математики тоже не уверен). Поэтому не знаю, оперировали ли Грассман и/или Клиффорд понятием копространства. Подозреваю, что нет. Иначе зачем бы вводить такие странные произведения. Внешнее произведение и копространство, ну ещё линейные формы. Все, больше не надо ничего плодить.
Только я прочитал "квантовый музыкальный строй"? И подумал, что наконец-то кванты и до музыкальных интервалов добрались. Чтобы решить уже наконец проблему одновременно чистых и равномерных тонов.
Чтобы конкретизировать, приведу пример из близкой к ИТ теории графов. Сложность графа (количество возможных остовных деревьев) равно детерминанту минора его лапласиана. Это комбинаторная характеристика, а не геометрическая (впрочем, они связаны).
Да, сам канал крутой, кто ж спорит. Но все же векторы и элементы - не одно и то же. У яблок направления нет. Математики навязывают "векторное пространство". А мир вокруг - он скорее аффинный.
По мне сложновато как-то, перебор специфических терминов без расшифровки. Про внешнее произведение вообще не упомянуто. Зачем маяться с кососимметрическими формами, когда внешнее произведение позволяет все упростить, в том числе и понимание сути определителей.
Ну и чего там правильного? Там же просто геометрическая интерпретация показана. Это лишь частный случай одного из использований. А люди подумают, что определители - это что-то сугубо векторное.
Определитель - одна из скалярных характеристик квадратной матрицы. Интерпретация зависит от того, что матрица содержит. Абстрактно да - характеризует линейную независимость набора объектов, отношения между которыми отражают значения матрицы. Любых объектов, а не только векторов. Можно оценивать независимость яблок, груш и бананов, если приспичит.
Насчет инженерных задач не знаю, не сталкивался.
Но поскольку формализм описанной алгебры довольно абстрактен, то где-то скорее всего вполне подойдет. Вопрос лишь в том, достаточно ли будет ее механизмов (внешнее умножение, обратные элементы, линейные комбинации и формы), или понадобятся дополнительные.
Спасибо за развёрнутый комментарий. Да, мотивация разная может быть. Я пишу для таких же парней, как я сам. То есть пишу о том, что сам бы хотел прочитать, чтобы разобраться. Это польза для других. Но есть и другая сторона — польза для меня самого. Когда я пытаюсь изложить вещи «простым языком», всплывают некоторые тёмные места, которые приходится прояснять, и общее понимание углубляется.
Математика, изложенная в традиционных учебниках, напоминает монструозную плохо написанную программу, в которой куча повторяющегося и избыточного кода. Это вроде бы не мешает никому конкретно, но в целом мешает всем. Ее надо рефакторить постоянно.
С примерами всегда непросто. Чтобы продемонстрировать мощность и общность какого-либо аппарата, примеров должно быть много. Но тут упираемся в объем. Все-таки это просто статья с претензией на краткое изложение.
Что касается того, что должно «остаться в голове». У каждого свой бэкграунд и свой фильтр восприятия. От этого зависят акценты, кого что цепляет. В каждой статье я стараюсь рассматривать только те вещи, которые зацепили когда-то меня.
Датасаенс да, — и там много примеров можно разбирать. Но это просто одно из направлений. Квантмех тоже, имхо, выглядит намного проще и стройнее, когда изначально вводится копространство, внешнее произведение и формы. И смелое заявление, что больше ничего в общем-то не нужно ). Ну и т.д.
Я опубликовал еще две части. Одна про пространство графов, другая — про отображение пространств. Если вопросы останутся или появятся новые — то лучше перенести обсуждения туда.
Давайте все в кучу не валить, чтобы не запутаться ).
В аффинном пространстве людей вы можете выражать координаты одних людей через других — базовых. Мерность пространства может быть разной. Я привел простейшее — одномерное, где люди — это точки на одной прямой, которая задается Петей и Сережей.
Когда мы переходим к характеристикам (людей), то это эквивалентно проекции пространства людей на пространство характеристик. При этом мерности пространств надо согласовать, то есть размерность пространства характеристик надо привести к размерности пространства людей.
Допустим есть пространство городов, в которых находятся (проживают) люди. В общем случае оно многомерно (нескалярно в ваших терминах). И поэтому нет смысла проецировать в него одномерное пространство людей. Грубо говоря, из того, что Петя живет в Москве, а Сережа в Ижевске, нет возможности определить, где живет Вася.
Но мы можем предварительно само пространство городов свернуть в одномерное, — то есть расположить все города на линии, образованной городами Пети и Сережи, то есть на векторе «Ижевск — Москва». И вот в такое пространство проецировать линейное пространство людей уже можно вполне корректно. И Вася окажется предположительно в Нижнем Новгороде, поскольку Нижний Новгород примерно равен (Ижевск + Москва)/2. Это все, что мы можем сказать, имея исходную информацию.
— Про графы не уверен, что понял вопрос. Все вершины графа независимы. Нельзя одну из вершин графа определить как линейную комбинацию других. Но это не означает, что в данном пространстве вообще невозможно определить другие элементы (точки), как линейную комбинацию вершин графа.
Например, при переходе к подпространству графа часть его вершин становится зависимой от вершин нового базиса (подграфа).
… как понимать умножение людей, если люди (именно люди, а не какие-то их числовые и векторные характеристики) не образуют линейное пространство (по крайней мере, которое бы имело сколь-угодно осмысленную бытовую интерпретацию)?
Почему не образуют? Очень даже образуют со вполне понятной интерпретацией. Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.
(графы) тоже не образуют линейное пространство и сами линейным пр-вом не являются.
А это почему? Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики. Я про это кучу статей на хабре написал. Там и про координаты объектов есть, и про то, что лапласиан графа — это метрический тензор. Полистайте.
Если Вы сравниваете внешнее произведение со списком объектов, а алгебру с реляционной алгеброй, можно ли погрузить списковое программирование в эту теорию?
Это хороший вопрос, я сам иногда над ним задумываюсь. Поскольку природе, похоже, вполне хватает свойств внешней алгебры, то есть свойств двух списков — один с исключением одинаковых элементов (фермионы), другой — с накоплением одинаковых элементов (бозоны). А если это так, то, возможно, и все остальные операции (в том числе которые вы перечислили) можно выразить через операции над данными списками с учетом элементов копространства.
Надеюсь, что у меня дойдут руки, чтобы это выяснить, если кто другой это уже не сделал. Ну или можете сами попробовать ).
И ещё один вопрос-уточнение: следующие линейные комбинации существуют?
a + [ab] + [abc]
a + /a
Первая — вполне обычное выражение (градуированная цепь). Вторая, наверное, тоже имеет место быть, но надо выяснить, какой смысл она несет. Вообще мне не встречались подобные выражения, но я и работал только с обычными (однородными) пространствами.
для произвольного объекта мы не знаем элементарный он или составной. Нужно явно «назначить» его элементарным (или указать «состав») перед тем как можно будет его осмысленно умножать.
Если мы не знаем порядок объекта, то это означает, что порядок становится параметром, от которого зависит результат (произведения). Или переменной, подлежащей определению. Например, в эксперименте, где объекты меняются местами. Сами правила не меняются, и алгебра остается применимой для любых объектов.
Как всегда круто и познавательно, спасибо.
Мне ещё кажется, что числа Стирлинга 1-го рода могут быть связаны с детерминантами матрицы смежности графов. Поскольку последние тоже связаны с циклами на графе. Но могу и ошибаться.
Такое надо в раздел "математика" обязательно. Тут же как раз стык наук.
Интересно, кому-нибудь помог "наглядный геометрический смысл SVD" понять его суть? В данной статье он точно к делу не относится, и только затуманивает картину. Вот если бы про геометрические преобразования была статья, - тогда другое дело.
Вообще непонятно, зачем применять к матрице смежности графа именно SVD. Дело в том, что под SVD обычно понимают разложение матриц, которые образованы элементами разных пространств. Например, "люди и фотографии", "слова и предложения" и т.п. Матрица же смежности образована элементами одного пространства - вершинами графа. Для ее разложения достаточно "обычного спектра" из собственных векторов и чисел.
Суть SVD в том, что в результате разложения каждому элементу исходных пространств можно сопоставить кортеж (набор чисел) - координаты элемента в новом "пространстве признаков" (то, что автор называет векторным пространством). И теперь в этом общем пространстве можно сравнивать исходные элементы (которые могли быть вообще из разных пространств изначально), - оценивать расстояния между ними и т.д. При этом есть возможность управлять точностью (рангом) разложения - сколько координат нам достаточно.
И это само по себе действительно прикольно. У человека есть набор чисел, у фотографии есть набор чисел. По этим двум наборам можно сказать - есть данный чел на фото или нет.
Путаница возникает из-за смешения двух разных понятий - индексов и их границ. В случае адресации к массиву индексами являются целые числа - 0, 1, 2,... Но их границы - это другой тип данных. 0] - это правая граница нуля, [1 - левая граница единицы и т.д. Обращаться к значениям массива можно либо через границы индексов, либо через сами индексы.
Январь - это первый месяц года, понедельник - первый день недели. Тут мы обращаемся к индексам. Когда же мы ссылаемся якобы на нулевой элемент массива, то на самом деле адресуемся к границе между индексами. Это нулевое смещение от левой границы массива.
В идеале можно было управлять типом адресации через вид скобок. Например, квадратные - обращение к границам, круглые - к индексам. Тогда А[0] == А(1).
Проблема различия элементов (интервалов) и их границ актуальна не только для индексов, но и для других типов данных. Для дат, например. Задать строго конец (или начало) суток обычно нетривиальная задача.
"Двойственный вектор"? Разве есть такой термин в русскоязычной математике?
Вообще-то речь идет про "дуальный вектор" или "ковектор", иногда встречается "обратный вектор" - это вектор из дуального (обратного) пространства.
Насколько я понял, в статье рассмотрена регрессия (прогнозирование числовых значений) для бинарных тензоров. То есть для данных, которые можно выразить в матричном виде. Встречался ли автор с задачами регрессии значений полиарных тензоров (имеющих три и более измерений)?
Я не силен в истории математики (да и насчёт самой математики тоже не уверен). Поэтому не знаю, оперировали ли Грассман и/или Клиффорд понятием копространства. Подозреваю, что нет. Иначе зачем бы вводить такие странные произведения. Внешнее произведение и копространство, ну ещё линейные формы. Все, больше не надо ничего плодить.
Только я прочитал "квантовый музыкальный строй"? И подумал, что наконец-то кванты и до музыкальных интервалов добрались. Чтобы решить уже наконец проблему одновременно чистых и равномерных тонов.
Чтобы конкретизировать, приведу пример из близкой к ИТ теории графов. Сложность графа (количество возможных остовных деревьев) равно детерминанту минора его лапласиана. Это комбинаторная характеристика, а не геометрическая (впрочем, они связаны).
Да, сам канал крутой, кто ж спорит. Но все же векторы и элементы - не одно и то же. У яблок направления нет. Математики навязывают "векторное пространство". А мир вокруг - он скорее аффинный.
По мне сложновато как-то, перебор специфических терминов без расшифровки. Про внешнее произведение вообще не упомянуто. Зачем маяться с кососимметрическими формами, когда внешнее произведение позволяет все упростить, в том числе и понимание сути определителей.
Ну и чего там правильного? Там же просто геометрическая интерпретация показана. Это лишь частный случай одного из использований. А люди подумают, что определители - это что-то сугубо векторное.
Определитель - одна из скалярных характеристик квадратной матрицы. Интерпретация зависит от того, что матрица содержит. Абстрактно да - характеризует линейную независимость набора объектов, отношения между которыми отражают значения матрицы. Любых объектов, а не только векторов. Можно оценивать независимость яблок, груш и бананов, если приспичит.
Но поскольку формализм описанной алгебры довольно абстрактен, то где-то скорее всего вполне подойдет. Вопрос лишь в том, достаточно ли будет ее механизмов (внешнее умножение, обратные элементы, линейные комбинации и формы), или понадобятся дополнительные.
Математика, изложенная в традиционных учебниках, напоминает монструозную плохо написанную программу, в которой куча повторяющегося и избыточного кода. Это вроде бы не мешает никому конкретно, но в целом мешает всем. Ее надо рефакторить постоянно.
С примерами всегда непросто. Чтобы продемонстрировать мощность и общность какого-либо аппарата, примеров должно быть много. Но тут упираемся в объем. Все-таки это просто статья с претензией на краткое изложение.
Что касается того, что должно «остаться в голове». У каждого свой бэкграунд и свой фильтр восприятия. От этого зависят акценты, кого что цепляет. В каждой статье я стараюсь рассматривать только те вещи, которые зацепили когда-то меня.
Датасаенс да, — и там много примеров можно разбирать. Но это просто одно из направлений. Квантмех тоже, имхо, выглядит намного проще и стройнее, когда изначально вводится копространство, внешнее произведение и формы. И смелое заявление, что больше ничего в общем-то не нужно ). Ну и т.д.
В аффинном пространстве людей вы можете выражать координаты одних людей через других — базовых. Мерность пространства может быть разной. Я привел простейшее — одномерное, где люди — это точки на одной прямой, которая задается Петей и Сережей.
Когда мы переходим к характеристикам (людей), то это эквивалентно проекции пространства людей на пространство характеристик. При этом мерности пространств надо согласовать, то есть размерность пространства характеристик надо привести к размерности пространства людей.
Допустим есть пространство городов, в которых находятся (проживают) люди. В общем случае оно многомерно (нескалярно в ваших терминах). И поэтому нет смысла проецировать в него одномерное пространство людей. Грубо говоря, из того, что Петя живет в Москве, а Сережа в Ижевске, нет возможности определить, где живет Вася.
Но мы можем предварительно само пространство городов свернуть в одномерное, — то есть расположить все города на линии, образованной городами Пети и Сережи, то есть на векторе «Ижевск — Москва». И вот в такое пространство проецировать линейное пространство людей уже можно вполне корректно. И Вася окажется предположительно в Нижнем Новгороде, поскольку Нижний Новгород примерно равен (Ижевск + Москва)/2. Это все, что мы можем сказать, имея исходную информацию.
— Про графы не уверен, что понял вопрос. Все вершины графа независимы. Нельзя одну из вершин графа определить как линейную комбинацию других. Но это не означает, что в данном пространстве вообще невозможно определить другие элементы (точки), как линейную комбинацию вершин графа.
Например, при переходе к подпространству графа часть его вершин становится зависимой от вершин нового базиса (подграфа).
Почему не образуют? Очень даже образуют со вполне понятной интерпретацией. Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.
А это почему? Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики. Я про это кучу статей на хабре написал. Там и про координаты объектов есть, и про то, что лапласиан графа — это метрический тензор. Полистайте.
Это хороший вопрос, я сам иногда над ним задумываюсь. Поскольку природе, похоже, вполне хватает свойств внешней алгебры, то есть свойств двух списков — один с исключением одинаковых элементов (фермионы), другой — с накоплением одинаковых элементов (бозоны). А если это так, то, возможно, и все остальные операции (в том числе которые вы перечислили) можно выразить через операции над данными списками с учетом элементов копространства.
Надеюсь, что у меня дойдут руки, чтобы это выяснить, если кто другой это уже не сделал. Ну или можете сами попробовать ).
Первая — вполне обычное выражение (градуированная цепь). Вторая, наверное, тоже имеет место быть, но надо выяснить, какой смысл она несет. Вообще мне не встречались подобные выражения, но я и работал только с обычными (однородными) пространствами.
Если мы не знаем порядок объекта, то это означает, что порядок становится параметром, от которого зависит результат (произведения). Или переменной, подлежащей определению. Например, в эксперименте, где объекты меняются местами. Сами правила не меняются, и алгебра остается применимой для любых объектов.