Как стать автором
Обновить
91
0
Дмитрий Малюгин @dmagin

Исследователь

Отправить сообщение
Я потому и потратил время на статью, чтобы изменить восприятие внешнего произведения как обобщения векторного.
На свойствах внешнего произведения основан векторный анализ, и люди стали отождествлять векторы и внешнее произведение. Но не все пространства векторные. Например, пространство графов образуется все-таки вершинами. И векторы там — это разность вершин. Поэтому в общем случае вершины (объекты) можно (и нужно) перемножать.
Произведение элемента на другой коэлемент равно нулю. a/b = /a*b = 0. Это по определению.
Будь моя воля, я бы убрал векторное произведение из школьной программы. Оно запутывает людей, и потом надо тратить усилия на его переосмысление. Поскольку результатом произведения векторов является бивектор, а не вектор. А то, что он похож на вектор, — лишь следствие трехмерности пространства. Фактически векторное произведение — это действие звёздочки Ходжа на бивектор. Короче, его многие критикуют.
С ассоциативностью интересно. Произведение однородных элементов ассоциативно. А элементов на коэлементы — нет. Можно сказать, что произведение симплекса и косимплекса — это строго бинарная операция.
Я тоже присоединяюсь к просьбе выделить претензии к редактору в отдельную статью. Ну реальная же боль набирать текст с формулами и картинками в этом редакторе. Это общая проблема всех писателей хабра.
1. Да нет, в определении векторного пространства нет никаких точек, только вектора и скаляры.

Ну формально-то да. Только при таком определении данному пространству сложно придать хоть какой-то прикладной смысл. И в геометрии, и в физике векторы привязывают к точкам, но при этом продолжают использовать свойства векторного пространства, что не выглядит логичным.
2. Математика — вообще очень искусственная наука.
Математика — она разная. Геометрическая алгебра претендует на описание существующего, а не воображаемого мира. Поэтому я бы удивился, если бы его создатель использовал такое усложненное произведение. Оно больше похоже на трюк, хотя безусловно прикольный.
Не знаю, насколько уместно здесь обсуждать недостатки «геометрической алгебры», но для полноты картины оставлю пару замечаний.
1. Обычно замалчивается тот факт, что векторное пространство фактически игнорирует наличие в нем независимых точек. В том смысле, что все векторы считаются исходящими из одной точки. При таком допущении внешнее произведение двух векторов действительно образует бивектор (плоскостной элемент). Математически это можно выразить формулой внешнего произведения: (ab) ^ (bc) = (abc). Здесь (ab) = b — a — это вектор, представленный как разность точек. Но если векторы не имеют общей точки, то слияния вершин не происходит: (ab) ^ (cd) = (ab) (cd). Это уже не плоскость. И в общем случае надо различать, какие именно векторы перемножаются.

2. Само «геометрическое произведение» выглядит довольно искусственным. Тут смешаны операции внешнего умножения и деления (это скалярное произведение). По аналогии можно определить подобную операцию для чисел: f(x, y) = x*y + x/y, и далее выражать через неё какие-либо тождества. Наверное, можно что-то любопытное нарыть, но выглядит подозрительно.
Поскольку треугольники отображаются на плоскость, то каждому соответствует все-таки два числа, а не одно.

В целом же задачи перечисления разного рода объектов являются предметом изучения перечислительной комбинаторики. Там много интересных результатов, но насколько мне известно, задача перечисления графов в том виде, в котором вы ее описали, — не решена.
Уже понятнее, но все равно не конца. Возможный изоморфизм графов нас волнует в этом переборе или нет? То есть если попадутся два графа топологически эквивалентных — это допустимо или нет?

Про бонус тоже не понял. Понижение размерности чего? И что за «координатная плоскость», на которой можно графы отображать? Графу сколько чисел соответствует — одно, два или сколько?
Вы про кодирование простых графов числом? Для деревьев есть код Прюфера. Для произвольного графа вроде бы нет универсального кода. Но возможно, вы что-то другое имеете в виду, — я не очень понял проблему.
Как-то внезапно статья закончилась на самом интересном месте. Явно примера не хватает в последней части.
Правильнее считать не расстояния, а близость. Близость здесь — это величина связей между объектами. То есть надо строить граф. Нюанс в том, что близких объектов обычно много меньше, чем дальних. И матрица близости (связности) сильно разрежена.
В тексте очень много опечаток, поправьте, пжста.
Почему во множественном числе — «внешние алгебры» — их много что ли?

Ну и по поводу «внешнего произведения векторов». На самом деле первичным является внешнее произведение элементов (точек, вершин, объектов). А векторы появляются как результат действия граничного оператора на внешнее произведение элементов. Айтишникам произведение элементов проще всего представить как объединение элементов в обычный список. Особенность только в том, что такой список имеет знак, который меняется при перестановке его элементов. И да, списки можно складывать, образуя линейные комбинации.
Граничный оператор — это генератор суммы миноров заданного списка. Он поочерёдно удаляет элементы из списка с учётом знака и суммирует результат.
Внешнее произведение двух элементов — можно интерпретировать как отрезок. Границей отрезка является вектор — разность элементов отрезка.

Подробно отписался для тех, кому придётся вникать в это (как мне в свое время). Корни внешнего произведения растут из геометрии и физики. А ребята из этих областей любят векторы и недолюбливают элементы.
Запудрили людям мозги с «категориальными данными». Не надо их бинарными таблицами оцифровывать. Категориальные данные — это уже почти готовый граф, а в графе полно разных расстояний, если кому надо.
Вообще от деления данных на числовые и категориальные больше вреда, чем пользы. Любое число всегда сопровождается категорией, и наоборот, у категории всегда можно найти число. А то, если «сотрудник работает в подразделении», то это «категориальные данные», а если на 0.5 ставки, то уже числовые (ЕВПОЧЯ).
Мыслить надо в терминах элементов, векторов (разностей элементов), пространств и проекций одних пространств на другие. Числа лишь выражают количественные отношения этих проекций.
Критикуй, не критикуй, — все равно получишь мат. Мы не сможем переделать Стивена под наши ожидания. Какой уж есть, и на том спасибо ).
Да, я в курсе. В целом желаю ему и его команде успехов. Часто пользуюсь бесплатным wolframalpha и считаю, что только за это можно простить ему некоторые «особенности стиля» ). Не думаю, что он откроет «новую физику», но зато может заинтересовать молодежь, которая дальше сама что-нибудь полезное раскопает.
В статье есть интересные замечания, но стиль Стивена мешает их осмыслению и критике.
Многим знакомо чувство эйфории, возникающее когда наконец-то «осенило». У обычных людей может длиться до 3-х дней. Но Стивен, похоже, не выходит из этого состояния годами ).
В любом случае спасибо за труд и Стивену, и переводчику.
Какой-то набор слов. В чем «заключается симплектическая геометрия» из статьи никак не понять.

Информация

В рейтинге
Не участвует
Откуда
Ижевск, Удмуртия, Россия
Зарегистрирован
Активность