UPD: добавлен график функции.

Подобно своему создателю Карлу Вейерштрассу, это чудовище возникло из ниоткуда. Потратив четыре года учёбы в университете на кутежи и фехтование, Вейерштрасс выпустился из него с пустыми руками. В конце концов он взялся за преподавание и бо́льшую часть 1850-х был школьным учителем в Браунсберге. Ему была отвратительна жизнь в маленьком прусском городишке, он находил своё существование там одиноким. Единственной отдушиной для него стали математические задачи, над которыми он работал между уроками. Но ему не с кем было поговорить о математике, и у него не было технической библиотеки для обучения. Даже результатам его работ не удавалось покинуть пределов Браунберга. Вместо публикации в академических журналах, как это сделал бы университетский исследователь, Вейерштрасс добавлял их к школьным проспектам, пугая потенциальных учеников заумными уравнениями.

В конце концов Вейерштрасс отправил одну из своих статей в уважаемый «Журнал Крелле». Несмотря на то, что предыдущие статьи остались едва замеченными, эта вызвала огромный всплеск интереса. Вейерштрасс обнаружил способ работы с ужасным классом уравнений, известным как «абелевы функции». В статье было приведено краткое изложение его методов, но этого было достаточно, чтобы убедить математиков в наличии у автора уникального таланта. Не прошло и года, как Кёнигсбергский университет дал Вейерштрассу почётную докторскую степень, а вскоре после этого Берлинский университет предложил ему должность профессора. Несмотря на то, что Вейерштрасс проделал интеллектуальный аналог пути «из грязи в князи», многие из его старых привычек сохранились. Он редко публиковал статьи, предпочитая делиться своими работами со студентами. Но он был малопочтителен не только к процессу публикации: не пугали его и «священные коровы» математики.

Начать стоит от печки, то есть с постановки задачи. Откуда берется сама задача word embedding?
Лирическое отступление: К сожалению, русскоязычное сообщество еще не выработало единого термина для этого понятия, поэтому мы будем использовать англоязычный.
Сам по себе embedding — это сопоставление произвольной сущности (например, узла в графе или кусочка картинки) некоторому вектору.

Теория относительности завораживает своими парадоксами. Все мы знаем про близнецов, про возможности засунуть длинный самолёт в короткий ящик. Сегодня каждый выпускник школы знает ответы на эти классические загадки, а уж студенты-физики и подавно считают, что тайн в специальной теории относительности для них не осталось.

Всё бы хорошо, если бы не удручающе обстоятельство — невозможность сверхсветовых скоростей. Неужели никак нельзя быстрее?! — думала я в детстве. А может быть можно?! Поэтому приглашаю вас на сеанс, уж и не знаю, чёрной или белой магии имени Альберта Эйнштейна с разоблачением в конце. Впрочем для тех, кому покажется мало, я приготовила ещё и задачку.

UPD: Сутки спустя публикую решение. Много текста формул, графиков в конце.

Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.



На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.

Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.

Bitcoin очень удобен и надёжен для хранения денег, но как проводить в нём сделки? Традиционные способы включают привлечение доверенной третьей стороны. Оказывается, bitcoin так могуч, что это вовсе не обязательно. Ниже я расскажу, как двум людям, не доверяющим друг другу, провернуть сделку в bitcoin без привлечения третьих сторон.

Вот уже некоторое время я обдумываю идею написать книгу о теории категорий для программистов. Не компьютерных теоретиков, программистов — скорее инженеров, чем ученых. Я знаю, что это звучит безумно, и я сам достаточно напуган. Я знаю, что есть огромная разница между наукой и техникой, потому, что я работал по обе стороны баррикад. Но у меня всегда был очень сильный порыв объяснить вещи. Я восхищаюсь Ричардрм Фейнманом, который был мастером простых объяснений. Я знаю, я не Фейнман, но я буду стараться изо всех сил. Я начинаю с публикации этого предисловия, которое должно мотивировать читателя изучить теорию категорий, и надеюсь на начало дискуссии и обратную связь.

Я постараюсь в нескольких параграфах убедить вас, что эта книга написана для вас, и развеять все ваши сомнения в необходимости изучения этой, одной из самых абстрактных областей математики, в свое драгоценное свободное время.

Доброго времени суток, уважаемое хабрасообщество.

Сегодня я хотел бы затронуть такую увлекательную тему, как математические парадоксы. По данной теме на хабре уже было опубликовано несколько замечательных статей (1,2,3,4,5), но в математике интересные парадоксы этой выборкой далеко не исчерпываются.

Поэтому попробуем рассмотреть другие занимательные парадоксы (а некоторые и «не совсем» парадоксы), которые пока еще не получили здесь должного освещения.

Несмотря на свои небольшие детали в виде рисунков, сближающих игру с легендарным комиксом юмора для гиков xkcd, SineRider была создана не Рэнделом Манро, а Кристофером Уокером. Работы над проектом ведутся как минимум с лета этого года.

Своему созданию игра обязана часами, потраченными автором на построение графиков функций на графическом калькуляторе TI-86. SineRider написана на движке Unity, что позволяет запускать её на Windows, Linux и OS X, а также играть в неё прямо в браузере с установленными плагином Unity.

Правила предельно просты: каждый из уровней является математической задачкой, которую нужно решить заданием функции с нужным графиком. Функция задаётся от x и от переменной t, которая является временем после запуска.

Целью является съезжание на санях по уклону её графика, что потребует наличия отличного знания форм функций или выработает его в процессе игры. Два человечка на санях подчиняются базовым законам физики.

При этом нужно обойти все обозначенные области. Некоторые области нужно обходить в определённом порядке. В некоторых областях нужно стоять определённое количество секунд. Некоторые области могут двигаться.

В этом посте я приведу несколько рисунков, нарисованных при помощи математических формул. Цель этих рисунков — не просто нарисовать что-то на экране (для этого есть компьютерная графика), а предложить простую формулу, определяющую рисунок.

Вступление

Сразу сообщу, что данная заметка не имеет отношения к перцептронам, сетям Хопфилда или любым другим искусственным нейронным сетям. Мы будем моделировать работу «настоящей», «живой», биологической нейронной сети, в которой происходят процессы генерации и распространения нервных импульсов. В англоязычной литературе такие сети ввиду их отличия от искусственных нейронных сетей называются spiking neural networks, в русскоязычной же литературе – нет устоявшегося названия. Кто-то называет их просто нейронными сетям, кто-то – импульсными нейронными сетями, а кто-то – спайковыми.

Вчера на Хабре появился потрясающий по своей безграмотности пост "Возможны ли путешествия во времени". В ответ на моё замечание о незнакомстве с базовыми научными представлениями о пространстве и времени автор припечатал меня вот так:

Если для Вас википедия — главный оплот истины и знаний, а физические законы непоколебимы — Вам пора на работу в инквизицию. Еще столько людей, опровергающих теоретические выдумки физиков 18 века, не сожжено!

Такого уровня воинствующего невежества я давно не видал, и уж на Хабре-то его видеть вдвойне странно.

Поскольку я, в отличие от автора, сциентист, то постараюсь в ответ рассказать любознательному читателю, что мы в действительности знаем о природе времени, причинности и путешествиях во времени.

Время

В классической механике время считается абсолютным и неизменным в том смысле, что при переходе от одной системы отсчёта к другой временные интервалы не изменяются:






Здесь (x, y, z, t) — координаты в старой системе, (x', y', z', t') — координаты в новой системе. Здесь и далее предполагается (для упрощения формул), что одна система движется относительно другой параллельно оси x со скоростью v.

Это т.н. преобразования Галилея — что происходит с координатами при смене системы отсчета. В галилеевом смысле «поток времени» один на всю Вселенную, и временные координаты у всех объектов одинаковы. При этом классическая механика никак не трактует уникальность стрелы времени; более того, само понятие движения времени в ньютоновы формулы не входит никак.

В классической механике мы сами вводим движение от прошлого к будущему. Допустим, у нас задан набор материальных точек (координаты и скорости) и действующих сил. Далее мы задаёмся каким-то интервалом dt и смотрим, как система будет эволюционировать во времени. Никто не мешает нам двигаться в обратном направлении и следить, что происходило с системой в прошлом.

Однако «путешествие во времени» — т.е. перемещение одного конкретного объекта по шкале t в прошлое — ньютоновой механикой запрещено (см. выше — временной поток один на всю Вселенную).

Ситуация стала гораздо веселее, когда Максвелл сформулировал свою электродинамику, а затем Эйнштейн в попытках решить противоречия электродинамики и классической механики создал теорию относительности.

Знатокам научно-фантастических произведений (в частности, сериала Star Trek) хорошо известно, что основным двигателем на кораблях Звёздного флота Федерации планет является именно варп-двигатель. В научно-фантастических произведениях исключительно подробно объясняют принцип его работы.



Варп-поле представляет собой пузырь Алькубьерре, своеобразное искривление пространства-времени, внутри которого корабль может достичь сверхсветовой скорости. Поскольку варп-поле сжимает пространство перед собой и расширяет его позади корабля, то не нарушается запрет на движение выше скорости света в обычном пространстве-времени.

Google запускает новую компанию с абсурдно амбициозной целью – увеличить длительность жизни. Звучит как шутка, но это не так. TIME опубликовал полную историю нового стартапа Google, который будет пытаться выяснить, как бороться со старением.



Суть вот в чем:

В данном материале освещаются интересные дела из российской судебной практики, связанные с программным обеспечением: ситуации, когда имел место плагиат исходного кода, когда субъекты предпринимательской деятельности пренебрегали условиями лицензионных соглашений проприетарного ПО и использовали «пиратские» копии программ и некоторые другие. Начну с самого интересного:

Большой адронный коллайдер (LHC) уже начал свою работу. Его запуск вызвал значительный интерес и сопровождался большим количеством разнообразных и, порой, антинаучных слухов и спекуляций.

Одной из важных целей работы LHC является проверка суперсимметричных моделей. Суперсимметрия как раз является областью моей научной деятельности, и я решил в научно-популярной форме попытаться рассказать, что же это такое.

Я остановлюсь в этой статье на современных теориях физики элементарных частиц, на некоторых идеях и следствиях этих теорий. Среди рассмотренных тем следующие:

• Стандартная модель фундаментальных взаимодействий (описывает практически все экспериментальные данные в физике элементарных частиц),
  
• ее достоинства и недостатки,
  
• идея суперсимметрии,
  
• решение многих проблем Стандартной модели при ее суперсимметричном обобщении,
  
• некоторые особенности минимальной суперсимметричной Стандартной модели (МССМ),
  
• экспериментальный статус суперсимметрии.
  

Я постарался вести рассказ максимально популярно, поэтому пришлось отказаться от математической строгости. Однако кое-где предполагается, что хабралюди, все-таки, еще помнят школьную математику и физику. Без этого было бы затруднительно, если вообще возможно, изложить часть понятий и идей.

Про неопределённое поведение писали не раз. Приводились цитаты из стандартов, объяснения их интерпретации, разного рода поучительные примеры, но, похоже, все люди, пытавшиеся об этом писать пропускали важный пункт: по-моему никто внятно так и не удосужился объяснить — откуда это понятие в языке, собственно, появилось, и, главное, кому оно адресовано.

Хотя на самом-то деле, если вспомнить историю Си, всё достаточно очевидно и, главное, логично. А все жалобы людей, «обжёгшихся» на неопределённом поведении для людей не забывших что такое Си и зачем он вообще существует звучат примерно как: «я тут гвозди бензопилой забивал… забивал и забивал, всё было хорошо, а потом я дёрнул за ручку и у неё коготки как забегают, задёргаются, мне руку оттяпало и полноги… ну кто так строит?».

Люди, которые знают что такое бензопила пытаются, конечно, объяснить, что за если за эту рукоятку дёрнуть, то так, в общем-то, и должно быть, но люди, считающие, что у них у руках такой себе молоток говорят «мимо» них, и, в результате, все остаются при своих.

Перевод поста Bernat Espigulé Pons, «Adventures into the Mathematical Forest of Fractal Trees».
Скачать перевод в виде документа Mathematica, который содержит весь код использованный в статье, можно здесь.

Без сомнения, золотое сечение и в наше время представляется одним из самых таинственных, волшебных и поразительных чисел, которые известны людям: . (в языке Wolfram Language и системе Mathematica ему соответствует символ GoldenRatio). Как вы увидите из этого поста, это число действительно имеет множество интересных свойств, которые можно исследовать, причём некоторые из них рассматривались ещё в работах учёных Древней Греции, таких как Пифагор и Евклид, другие в работах итальянского математика Леонардо Пизанского, более известного под прозвищем Фибоначчи, или Иоганном Кеплером — астрономом эпохи Возрождения. Хотя это может прозвучать странно, в этом посте я расскажу вам о новых геометрических объектах, связанных с золотым сечением, которые осветили мне путь, когда я пытался отобразить неизвестную ранее область Математического Леса.

Перевод поста Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram) "Computational Knowledge and the Future of Pure Mathematics"
Выражаю огромную благодарность тем, кто помог мне сделать этот перевод: Владиславу Глаголеву (Himura), Илье Марчевскому, Сергею Шевчуку (opckSheff) и Анне Коваленко.

Введение

Уже больше века, каждые 4 года в некоторой точке мира проходит Международный конгресс математиков (ICM). В 1900 году, именно на нем Давид Гильберт представил свою знаменитую коллекцию проблем математики, которая по сей день задает направление исследования математикам всего мира.

В этом году ICM проходит в Сеуле, и сегодня я отправляюсь туда. Однажды я уже бывал на ICM — в Киото в 1990 году. Тогда системе Mathematica было всего 2 года, и математики ещё только начинали привыкать к ней. Многие уже повсеместно её использовали, но на ICM были и те, кто говорил «Я занимаюсь чистой математикой. В чем, интересно, мне может помочь система Mathematica?»

Написание makefile иногда становится головной болью. Однако, если разобраться, все становится на свои места, и написать мощнейший makefile длиной в 40 строк для сколь угодно большого проекта получается быстро и элегантно.

Внимание! Предполагаются базовые знания утилиты GNU make.

В этой статье речь пойдет о довольно необычном проекте. Однажды меня посетило желание написать свой интерпретатор какого-нибудь скриптового языка и исполняющую машину для него. Просто для того, чтобы посмотреть, как оно внутри работает. Такая цель звучит не очень благородно и я отложил затею в долгий ящик, т.к. мне хотелось более полезной формулировки.
Как-то раз, один мой знакомый посетовал, что нужно написать скрипт автоматизации на WSH, но ни VBScript, ни Javascript он не знает. Тут «благородная» формулировка возникла сама собой… нужно помочь товарищу. В результате был написан компилятор и исполняющая машина, позволяющая исполнять скрипты для Windows Script Host, не прибегая к VBScript и JS. Под катом — краткая предыстория проекта и его внутреннее устройство и сам язык программирования.