Фигуры Хладни и квантовый хаос


    Насыпав песок на колеблющуюся упругую пластинку, можно увидеть формирование фигур Хладни. Они часто служат примером «естественной красоты» физических явлений, хотя за ними стоит довольно простая физика резонансного возбуждения стоячих волн. И мало кто обращает внимание на любопытную особенность этих фигур: линии на них избегают пересечений, будто их отталкивает некая сила. Давайте попробуем понять, какая же физика скрывается за этим отталкиванием и как она связана с квантовой теорией хаоса.

    Стоячие волны


    Как мы знаем, упругие тела могут совершать довольно сложные колебания, при которых они сжимаются, растягиваются, изгибаются и скручиваются. Тем не менее, колебания любого упругого тела можно представить как комбинацию накладывающихся друг на друга более простых нормальных колебаний. Вот так выглядят несколько нормальных колебаний простейшего упругого тела – одномерной натянутой струны.

    Каждое нормальное колебание представляется стоячей волной, которая, в отличие от бегущей волны, стоит на месте и обладает своим рисунком распределения амплитуд колебаний по пространству. На этом рисунке можно выделить пучности – точки, где амплитуда колебаний достигает максимумов, и узлы – неподвижные точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Кроме того, каждая такая волна колеблется со своей собственной частотой. В случае струны, как можно заметить, частота колебаний стоячей волны увеличивается с ростом числа узлов и пучностей.


    Посмотрим теперь на двумерную систему, примером которой может служить тонкая упругая мембрана, натянутая на жесткую рамку. Нормальные колебания круглой мембраны выглядят сложнее, чем в случае струны, а вместо отдельных точек-узлов имеются узловые линии, вдоль которых мембрана неподвижна.


    Нормальные колебания круглой мембраны с закрепленными краями. Источник.


    Зеленым цветом показаны узловые линии.

    У круглой мембраны узловые линии, представляющие собой окружности и отрезки вдоль радиусов, могут пересекаться под прямыми углами. Если же края мембраны имеют произвольную форму, нахождение частот нормальных колебаний и картин их узлов и пучностей превращаются в задачу, решаемую только с помощью компьютера.

    Профили амплитуды колебаний стоячих волн на мембранах в форме квадрата с отверстием, снежинки Коха и поверхности котенка.

    Уравнения, описывающие колебания тонкой упругой пластинки, отличаются от уравнений колебания мембраны, поскольку пластинка обладает собственной жесткостью, в то время как мембрана мягкая и пружинит лишь за счет натяжения внешними силами. Однако здесь тоже существуют наборы нормальных колебаний, рисунки которых существенным образом зависят от формы границ.

    Фигуры Хладни


    Как было сказано выше, в общем случае колебания тела представляют собой комбинацию целого набора возбужденных в нем нормальных колебаний. Явление резонанса позволяет выборочно возбудить какое-то одно нужное нам нормальное колебание – для этого следует раскачивать тело при помощи внешней силы с частотой, равной собственной частоте нормального колебания.

    На двух видео ниже показана типичная схема получения фигур Хладни: упругая пластинка прикрепляется в центре к генератору механических колебаний, частоту которых плавно увеличивают. Нормальные колебания пластинки со своими картинами узлов и пучностей возбуждаются при резонансном совпадении частоты генератора с собственными частотами этих колебаний (собственные частоты показаны на видео в левом нижнем углу).

    Здесь версия этого же видео, на которой частоты нормальных колебаний можно оценить на слух.

    А здесь немного красивее.

    Картины узлов и пучностей мы видим благодаря тому, что воздушные потоки вблизи колеблющейся пластинки сдувают песчинки к узловым линиям стоячей волны(*). Таким образом, фигуры Хладни показывают нам картины узловых линий нормальных колебаний упругой пластинки.

    Несколько фигур Хладни на верхней деке гитары. Источник.

    Еще пример нормальных волн – это стоячие волны на поверхности воды. Они описываются уравнением, отличающимся от уравнений колебания пластинок и мембран, но следуют таким же качественным закономерностям, и с их помощью можно получать аналоги фигур Хладни.

    Микрочастицы на поверхности воды в сосудах разной формы. Черная линия показывает масштаб 2 миллиметра. Источник.

    Классический хаос


    Итак, мы видели, что в случае круглой мембраны узловые линии – теоретически! – замечательно пересекаются, в то же время на фигурах Хладни на квадратных или более сложных пластинках узловые линии избегают пересечений. Чтобы понять причину этих закономерностей, нам придется сделать небольшой экскурс в теорию хаоса.

    Классический хаос – это свойство механических систем, заключающееся в чрезвычайно сильной зависимости траектории их движения от изменений начальных условий. Эта зависимость известна также как «эффект бабочки». Яркий пример хаотического поведения можно встретить при попытках предсказания погоды: система уравнений, описывающая движение атмосферы и океанов, не позволяет дать достаточно точные прогнозы на больших временах из-за экспоненциально нарастающих ошибок, обусловленных малыми неточностями исходных данных(**).

    Явление хаоса было открыто и популяризовано метеорологом и математиком Эдвардом Лоренцем, обнаружившим, что два расчета прогноза погоды, начинающиеся с очень близких начальных условий, сначала почти неотличимы друг от друга, но с какого-то момента начинают кардинально расходиться.

    Два расчета Эдварда Лоренца, исходящие из близких начальных значений 0.506 и 0.506127. Источник.

    Простейшими системами, на примере которых удобно изучать хаос, являются бильярды – участки плоской поверхности, по которым без трения может катиться шарик, абсолютно упруго отскакивающий от жестких стенок. В хаотических бильярдах траектории движения шарика, имеющие незначительные отличия в самом начале, в дальнейшем существенно расходятся. Пример хаотического бильярда – изображенный ниже бильярд Синая, представляющий собой прямоугольный бильярд с круговым препятствием в центре. Как мы увидим, именно за счет этого препятствия бильярд становится хаотическим.

    Две экспоненциально расходящиеся траектории шарика в бильярде Синая. Источник.

    Интегрируемые и хаотические системы


    Механические системы, не являющиеся хаотическими, называются интегрируемыми, и на примере бильярдов можно наглядно увидеть разницу между интегрируемыми и хаотическими системами.

    Прямоугольный и круглый бильярды являются интегрируемыми благодаря своей симметричной форме(***). Движение шарика в таких бильярдах – это просто комбинация двух независимых периодических движений. В прямоугольном бильярде это движения с отскоками от стенок по горизонтали и по вертикали, а круглом это движение вдоль радиуса и угловое движение по окружности вокруг центра. Такое движение легко просчитываемо и не показывает хаотического поведения.

    Траектории движения шарика в интегрируемых бильярдах.

    Бильярды более сложной формы, не обладающие столь высокой симметрией, как у круга или прямоугольника, являются хаотическими(****). Один из них мы видели выше – это бильярд Синая, в котором симметрия прямоугольника разрушается круговым включением в центре. Также часто рассматриваются бильярд «стадион» и бильярд в форме улитки Паскаля. Движение шарика в хаотических бильярдах происходит по весьма запутанным траекториям и не раскладывается на более простые периодические движения.

    Траектории движения шарика в хаотических бильярдах «стадион» и «улитка Паскаля».

    Здесь можно уже догадаться, что наличие пересечений между линиями на фигурах Хладни определяется тем, имеет ли пластинка форму интегрируемого или хаотического бильярда. Это наглядно видно на фотографиях ниже.

    Круглые пластинки Хладни, демонстрирующие свойства интегрируемых бильярдов. Источник.

    Демонстрирующие свойства хаотических бильярдов пластинки Хладни в форме бильярда «стадион», корпуса скрипки и квадрата, симметрия которого нарушена круглым креплением в центре (аналог бильярда Синая). Источник.

    Квантовый хаос


    Как же понять, почему наличие пересечений между узловыми линиями обусловлено интегрируемостью бильярда? Для этого нужно обратиться к квантовой теории хаоса, объединяющей теорию хаоса с механикой колебаний и волн. Если в классической механике шарик в бильярде описывается в виде материальной точки, движущейся вдоль определенной траектории, то в квантовой механике его движение описывается как распространение волны, подчиняющейся уравнению Шредингера и отражающейся от стенок бильярда.

    Этапы распространения волны в квантовом бильярде. Изначально волна сконцентрирована в импульсе круглой формы и движется слева направо, затем она расплывается и многократно переотражается от стенок. Источник.

    То же самое в виде анимации, но с немного другими начальными условиями.

    Как и в случае колебаний мембран и пластинок, описывающее квантовый бильярд уравнение Шредингера позволяет найти нормальные колебания в виде стоячих волн, обладающие характерным рисунком узловых линий и пучностей, индивидуальным для каждого колебания и зависящим от формы границ.

    Примеры профилей амплитуд колебаний в стоячих волнах в хаотических квантовых бильярдах «улитка Паскаля» и «стадион».

    Рисунки стоячих волн в интегрируемых и хаотических квантовых бильярдах качественно отличаются: интегрируемые бильярды показывают симметричные, упорядоченные картины стоячих волн, в то время как в хаотических бильярдах рисунки стоячих волн весьма запутанные и не показывают никаких видимых закономерностей (в конце статьи будет показано, что некоторые интересные закономерности там все-таки существуют).

    Амплитуды колебаний в стоячих волнах интегрируемого круглого бильярда (верхний ряд) и хаотического бильярда в форме улитки Паскаля (нижний ряд). Источник.

    Причудливые картины нормальных колебаний в хаотических бильярдах иногда служат предметом отдельного исследования. Источник.

    Качественное отличие видно и в картинах узловых линий: в случае интегрируемого квантового бильярда мы видим упорядоченные семейства взаимно пересекающихся линий, а в хаотических бильярдах эти линии, как правило, не пересекаются.

    Вверху: узловые линии (черные линии между синими и красными областями) стоячих волн интегрируемых – круглого и прямоугольного – бильярдов. Внизу: узловые линии одной из стоячих волн в хаотическом бильярде – четверти бильярда «стадион».

    Пересекаться или не пересекаться?


    Почему же узловые линии в хаотических бильярдах не пересекаются? В 1976 году математик Карен Уленбек доказала теорему, согласно которой узловые линии стоячих волн квантовых бильярдов, вообще говоря, и не должны пересекаться.

    В упрощенном виде это можно показать следующим образом: допустим, что две узловые линии пересекаются в точке (x0,y0). Чтобы такое произошло, функция f(x,y), задающая зависимость амплитуды стоячей волны от координат, должна одновременно удовлетворять трем условиям:

    1) Она должна быть равна нулю в точке (x0,y0), так как эта точка является узловой.
    2) Если двигаться из точки (x0,y0) в направлении первой узловой линии, то f(x,y) должна оставаться равной нулю.
    3) Если двигаться из точки (x0,y0) в направлении второй узловой линии, то f(x,y) также должна оставаться равной нулю.


    Итого имеем три условия (или три уравнения), наложенные на функцию двух переменных f(x,y). Как мы знаем, одного уравнения недостаточно для полного нахождения двух неизвестных x и y, двух уравнений для этого уже достаточно, а три уравнения – это слишком много. Система трех уравнений для двух неизвестных, вообще говоря, решений иметь не будет, если только нам случайно не повезет. Поэтому точки пересечения узловых линий могут существовать только в порядке исключения.

    В интегрируемых бильярдах такие исключения как раз и возникают. Как мы видели выше, их особые свойства – предсказуемость движения, отсутствие хаоса, регулярные рисунки стоячих волн – являются следствием их высокой симметрии. Эта же симметрия обеспечивает и одновременное выполнение трех условий, необходимое для пересечений узловых линий.

    Давайте теперь более внимательно посмотрим на примеры фигур Хладни, типичных для интегрируемых и хаотических бильярдов. На рисунке ниже показаны три характерных случая. Слева пластинка имеет форму круга, поэтому соответствующий квантовый бильярд является интегрируемым, и узловые линии пересекаются между собой. В центре пластинка прямоугольная, что тоже соответствует интегрируемой системе, однако круглое крепление в центре слегка нарушает симметрию прямоугольника, поэтому узловые линии пересекаются не везде. Справа показан пример чисто хаотической системы: пластинка в форме четверти бильярда Синая (в верхнем правом углу есть круговой вырез), узловые линии на которой уже не пересекаются.



    Таким образом, чем сильнее форма пластинки – с учетом ее крепления – отличается от формы интегрируемого бильярда (такого как круг или прямоугольник), тем меньше на ней пересечений узловых линий.

    Получить красивые фигуры Хладни с пересекающимися линиями на круглой пластинке не так-то просто. При возбуждении колебаний с центральным креплением круговая симметрия всей системы запрещает формирование радиальных узловых линий, поэтому мы увидим лишь скучный набор окружностей (эту трудность можно обойти, возбуждая колебания не с центра, а с края пластинки при помощи смычка от скрипки). Если же пластинку закрепить не по центру, фигуры Хладни станут интереснее, но из-за нарушения круговой симметрии система перестанет быть интегрируемой.

    Круглая пластинка, крепление по центру.

    Круглая пластинка, крепление сдвинуто из центра.

    А здесь разные варианты с круглыми и некруглыми пластинками.

    Наконец, внимательный читатель может заметить: а я вижу, что иногда узловые линии пересекаются даже на «хаотических» пластинках. Как же так, если их пересечение запрещено теоремой Уленбек?

    Во-первых, узловые линии могут избегать пересечения, но перед этим сближаться так сильно, что из-за конечной ширины дорожки песка нам будет казаться, что пересечение есть. Во-вторых, между интегрируемыми и хаотическими системами на самом деле не существует резкой границы.

    Узловые линии – они разделяют черные и белые области – в интегрируемом и хаотическом квантовых бильярдах (слева и справа), и в промежуточном псевдоинтегрируемом случае (в центре). В промежуточном случае есть несколько пересечений узловых линий, в то время как в хаотическом случае их нет вовсе. Источник.

    В классической теории хаоса этому вопросу посвящена знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера. Она говорит о том, что если слегка нарушить симметрию интегрируемой системы, то она не станет сразу же проявлять хаотическое поведение, а, по большей части, сохранит свое свойство предсказуемости движения. На уровне квантовой теории хаоса и фигур Хладни это проявляется в том, что в некоторых местах пересечения узловых линий сохраняются. Это происходит либо в особо симметричных точках бильярда, либо далеко от источника возмущения, нарушающего симметрию интегрируемой системы.

    Что еще?


    Чем еще интересна квантовая теория хаоса? Для заинтересованного читателя упомяну о трех дополнительных вопросах, уже не связанных непосредственно с фигурами Хладни.

    1) Важное явление, изучаемое этой теорией – универсальность хаотических систем. Подавляющее большинство систем, в которых могут возникать нормальные колебания, являются хаотическими, и все они – независимо от своей физической природы! – подчиняются одинаковым закономерностям. Феномен универсальности, при котором совершенно разные системы описываются одними и теми же формулами, сам по себе очень красив и служит нам напоминанием о математическом единстве физического мира.

    Статистика расстояний между соседними частотами нормальных колебаний в хаотических системах разной физической природы, везде описываемая одной и той же универсальной формулой Вигнера-Дайсона. Источник.

    2) Рисунки нормальных колебаний хаотических бильярдов обладают интересной особенностью, называемой «квантовыми шрамами». Мы видели, что траектории движения шарика в хаотическом бильярде обычно выглядит весьма запутанными. Но есть и исключения – это периодические орбиты, достаточно простые и короткие замкнутые траектории, вдоль которых шарик совершает периодическое движение. Квантовыми шрамами называются резкие сгущения стоячих волн вдоль периодических орбит.

    Квантовые шрамы в бильярде «стадион», идущие вдоль периодических орбит, показанных красными и зелеными линиями. Источник.

    3) До сих пор мы говорили о двумерных системах. Если же рассматривать распространение волн в трехмерном пространстве, то здесь тоже могут возникать узловые линии, вдоль которых амплитуда колебаний равна нулю. Особенно важно это при изучении бозе-конденсации и сверхтекучести, где тысячи атомов движутся как единые «волны материи». Анализ структуры узловых линий волн материи в трехмерном пространстве необходим, например, для понимания того, как возникает и развивается квантовая турбулентность в сверхтекучих системах.

    Запутанные трехмерные структуры узловых линий стоячих «волн материи» в бозе-конденсате. Источник.

    (*) Если размер частичек, насыпанных на пластинку, достаточно мал, то их будет сдувать уже не к узлам, а к пучностям стоячей волны, как было показано в этой экспериментальной работе.

    (**) Хотя на обывательском уровне слова «хаотичный» и «случайный» часто используются как синонимы, на уровне физики эти понятия существенно отличаются: хаотические системы являются детерминированными – это системы, движение которых описывается строго определенными уравнениями, не подвержено воздействию случайных факторов и потому предопределено начальными условиями. Однако трудность предсказания движения хаотических систем делает их на практике похожими на случайные.

    (***) Еще один пример интегрируемого бильярда – это бильярд в форме эллипса. В этом случае симметрия, делающая его интегрируемым, уже не столь очевидна, как в случае круга и прямоугольника.

    (****) Если выражаться более точно, то принадлежность бильярда к интегрируемым или хаотическим зависит от числа независимых интегралов движения – сохраняющихся с течением времени величин. Интегрируемые бильярды обладают двумя интегралами движения, в двумерной системе этого достаточно для точного аналитического решения уравнений движения. Хаотический бильярд имеет только один интеграл движения – кинетическую энергию шарика.
    Поделиться публикацией
    Комментарии 52
      +2
      Картины узлов и пучностей мы видим благодаря тому, что воздушные потоки вблизи колеблющейся пластинки сдувают песчинки к узловым линиям стоячей колеблющейся пластинки

      А вот тут я бы поспорил. В вакууме такой эффект также должен наблюдаться, так как колебания пластинки передают часть импульса песчинкам, а узловые линии — области наименьших амплитуд (места, где передаваемый импульс минимален), соответственно самые устойчивые положения
        0
        Да я тоже так раньше думал: песчинки скапливаются на узловых линиях, потому что с других точек их просто сбрасывает колебаниями. И, скорее всего, в вакууме так и будет. Но в воздухе, судя по всему, воздушные потоки тоже играют не последнюю роль.
          0
          Интересно так ли это.
        +2

        Этот обзор просто великолепен. Огромное спасибо и за интереснейший материал, и за стиль, на который смело можно равняться автором научпопа.

          +2
          Только в этом обзоре явно не хватает этого видео :)
          CYMATICS — Science Vs. Music — Nigel Stanford
          youtu.be/Q3oItpVa9fs
          +1
          А можно ли определить, существуют ли точки на хаотическом бильярде, в которых шарик не окажется ни разу?
          Хаотический бильярд имеет только один интеграл движения – кинетическую энергию шарика.

          А если для бильярда «стадион» пустить шарик от центра перпендикулярно верхней или нижней стенке? Он же в таком случае не будет хаотическим? Получается, хаотические бильярды можно разделить на две группы — облигатно хаотические (при любом направлении импульса) и факультативно хаотические — при некоторых направлениях импульса. Кстати, подозреваю, что большинство реальных бильярдов именно факультативно хаотические, и чем бильярд кривее, тем большее отклонение в сторону хаотичности.
          Можно прямизну так проверять.
            +1
            Насколько я знаю, если шарик не попадет ни на одну периодическую орбиту, то его траектория заметет все точки бильярда (это называется топологическим перемешиванием). Вопрос в том, какова вероятность этого попадания.

            Периодические орбиты и все остальные траектории соотносятся примерно как рациональные и иррациональные числа: хотя рациональных чисел бесконечно много и они образуют плотное множество, при выборе случайной точки на координатной прямой мы попадем в рациональное число с вероятностью 0 и в иррациональное с вероятностью 1. Потому что иррациональных чисел все равно в бесконечное число раз больше.

            И с траекториями так же: запуская шарик из случайной точки под случайным углом, с вероятностью 1 мы получим «хаотическую» траекторию, на которой шарик рано или поздно посетит все точки бильярда.

            Получается, хаотические бильярды можно разделить на две группы — облигатно хаотические (при любом направлении импульса) и факультативно хаотические

            Мне кажется, все бильярды факультативно хаотические, на всех так или иначе существуют периодические орбиты. Впрочем, я здесь не специалист, могу ошибаться.
              0
              Нет. рассмотри стадион и все начальные координаты в прямоугольной области вида (x, y, 0, vy) все они циклические (вертикально вверх/вниз) и так как числа действительные то мощности множеств равны.
                0
                Да, здесь вы правы насчет вещественной мощности множества периодических орбит, но ведь в четырехмерном пространстве (x, y, vx, vy) объем этого множества все равно нулевой, потому что это часть гиперплоскости vx = 0.

                Т.е. несмотря на вещественную мощность множества периодических орбит, среди всех траекторий это все равно множество меры нуль (в противном случае бильярд не обладал бы свойством топологического перемешивания). Может быть, с рациональными и иррациональными числами не очень удачная аналогия получилась.
                  0
                  Вроде это не доказано для стадиона, для произвольного тупоугольного треугольника тоже. Смотрел в инете лекцию.
              0
              «облигатная хаотичность» напоминает эргодичность
            0

            Отличная статья! Практически все рассмотренные варианты проиллюстрированны. Все очень наглядно и доступно. Спасибо автору!

              0

              Представление трёхмерных структур узловых линий напоминает мне пространственные модели белков.


              Каждая часть аминокислотной цепочки "вибрирует" под воздействием молекул раствора. Но при некоторых температурах эта цепочка собирается в чёткую и однозначную пространственную структуру (благодаря этому, возможно собрать белок в кристалл при некоторых забавных условиях).


              Так как эта структура статичная ( имеет те самые узловые линии неподвижности), то мы их и можем разглядеть с помощью рассеивания рентгеновского излучения.


              Первая же попавшаяся картинка
              image
                0
                Да, мне тоже напомнило полимерные глобулы, есть в них что-то похожее.

                  0
                  Это химический аналог фигур Хладни в психоделической трясущейся реальности :)
                –1
                пара картинок очень напоминают инфляционную модель вселенной
                  +1
                  Мне всегда казалось что есть связь между фигурами Хладни и фомой орбиталей атома.
                    +1

                    Так и есть: и то, и другое — по сути, решения определённых (притом похожих) уравнений, группирующиеся по типу их симметрии; а набор типов симметрии решений диктуется симметрией внешних условий, будь то круглая мембрана или круглый (если мы живём в двумерном мире) потенциал ядра атома.

                      +2
                      Зрительно похожи, но атом — это, все-таки, гораздо более простая система. Это интегрируемая система (если считать, что электроны между собой не отталкиваются), ее двумерный аналог — стоячие волны на круглой пластинке. Вот атом в магнитном поле уже хаотическая система.
                        0
                        Тут у субчастицы(если рассматривать весь песок как единую частицу) существенно меньше единиц свободы.
                        Неуверен, что точное моделирование электрона(в гидродиномическом приближении) не сформирует подобный узор плотностей вероятности, импульса и спина (не упустил чего нить?).
                          0
                          Не особо понял. Если песок рассматриваем как непрерывно распределенную жидкость, то она сформирует над колеблющейся пластинкой какую-то картину потоков, повторяющую фигуру колебаний пластинки.
                      0
                      Это видео «Wavepacket Dynamics Inside Bunimovich stadium» очень похоже на «Видимую Вселенную».
                        0
                        Видимо, любая хаотичная суперпозиция волн будет похожа на видимую Вселенную. :)
                        0
                        Шикарный обзор. Видео с образованием фигур аналогичных КДПВ заинтриговало еще в школьные годы. Тогда объяснил все узловыми линиями колебаний, но над их причудливой формой не задумывался. Так что спасибо за освещение такого давнего (в моем случае) вопроса :)
                          0
                          Спасибо, интересная статья. Единственное, чего я не понял — это почему струна вдруг стала «одномерной», а мембрана «двумерной». Одномерная струна не способна на такие колебания, о которых идёт речь. Одномерная струна может колебаться только в длину. А двумерная мембрана — только изменять свой диаметр. Для совершения же колебаний, изображённых на иллюстрациях, необходима двумерная струна и, соответственно, трёхмерная мембрана.
                            0
                            Ну здесь имеется в виду одномерная (или пренебрежимо тонкая) струна, помещенная в двумерное пространство (то, что называют embedding space) и двумерная (или очень тонкая) мембрана, помещенная в трехмерное пространство. В статистической механике часто рассматривают общий случай: d-мерный объект, помещенный в D-мерное пространство.
                            0
                            " И мало кто обращает внимание на любопытную особенность этих фигур: линии на них избегают пересечений" — я что, один вижу пересечения на первой же картинке?! :-D
                              0
                              Об этом как раз написано ближе к концу статьи. :)
                              К тому же, избегание какого-то события вовсе не является гарантией того, что оно не произойдет.
                                0
                                Признаюсь Вам, я не стал читать далее, именно по причине такого несуразного начала.
                                И языковая эквилибристика тут, ИМХО, не уместна. Если я вижу факт, что они не избежали, то какой смысл говорить, что они избегают? :-)
                                  0

                                  "Избегать" и "избежать" — разные глаголы. Первый — несовершенного вида, второй — совершенного. Они имеют разное значение. И нет тут никакой эквилибристики. Изучайте русский язык :-)

                                    –2
                                    Держите свои советы при себе :-)
                                      0

                                      Вполне ли корректно давать другим советы, которым сам не следуешь? ;-)

                              0
                              А если возбуждать не всю пластину целиком, а скажем только определенный рисунок (фигуру Хладни)? Это будет схоже в определенной степени с математическим интегрирование?
                                0
                                Думаю, технически это сложно, колебания возбуждают либо за центральное крепление, либо с края. Но если внешняя сила будет приложена в соответствие с определенным рисунком стоячей волны, то и будет возбуждаться именно этот рисунок (или другие в меру перекрытия с ним).
                                0
                                Прекрасная статья, спасибо. Я давно ленюсь разобраться в этой математике, хотя очень интересно было бы сделать интеракивный скрипт на каком-нибудь Processing и смотреть на красивые узоры. Правильно ли я понимаю, что просчет 1000*800 пикселей это не риалтайм?

                                Еще было бы очень интересно посмотреть на узоры от сочетания двух и трех частот.
                                  0
                                  Наверное, в реальном времени не потянет, хотя кто знает — по фразе «Laplace-Beltrami Eigenfunctions» можно найти много описаний разных алгоритмов, может быть, есть достаточно быстрые.
                                  От сочетания нескольких частот картина стоячих волн будет нестационарной (например, узловых линий не будет вовсе), вопрос в том, как ее визуализировать…
                                    0
                                    Интересно. А если соотношение частот — это рациональная дробь с маленьмими числителем и знаменателем, тоже будет нестационарной? Интуитивно кажется, что просто узор должен быть посложнее.
                                    0
                                    Вот же сделали — habrahabr.ru/post/336932
                                    Не совсем Хладни, но принцип тот же — спектры.
                                      0
                                      Спасибо за ссылку, но это другое. Я бы даже сказал совсем не то :)
                                        0
                                        Хм), вам, конечно, лучше знать, на что бы вам хотелось посмотреть. Я лишь указал, что спектроскоп позволяет рассматривать Хладни-подобные узоры:
                                    0
                                    Крутая статья, спасибо.

                                    в хаотических бильярдах рисунки стоячих волн весьма запутанные и не показывают никаких видимых закономерностей

                                    Выглядит, будто симметрии бильярда совпадают с симметриями рисунка. Правда, у круга рисунок вовсе не круговой получился.
                                      0
                                      Если под симметрией, например, бильярда «стадион», понимать зеркальные симметрии право-лево и верх-низ, то да, они отражаются и на рисунках стоячих волн. А какие-нибудь другие симметрии математики с физиками все ищут, да никак не могут найти.

                                      С кругом ситуация другая, его вращательная симметрия, в отличие от зеркального отражения, не дискретная, а непрерывная, т.к. он переходит сам в себя при повороте на любой угол, который можно менять непрерывно. Непрерывная симметрия уже не переносится на рисунки стоячих волн.
                                        0
                                        А вот у меня такая мысль появилась… Вы пишете о «траекториях»… Ведь классическая нерешаемая аналитически «задача n тел» — это тоже пример хаотической системы! Так почему же не применить квантовую теорию хаоса для нахождения орбит в такой системе? Я только ничего не понимаю в этих ваших интегралах (образование далеко от математики), но помню что из принципа корпускулярно-волнового дуализма своя длина волны есть у любого объекта вплоть до планет. А решение для 1 тела в поле тяготения существует — это как раз пример интегрируемого «бильярда», только «шар» движется не в объеме с жесткими стенками, а в поле гравитации — есть симметрия, есть решение! А добавь еще одно тело и всё, симметрия нарушается! Может подставить известные начальные условия и получится просчитать движение в любой системе тел? Хотелось бы посмотреть на результаты таких экспериментов — вы не встречали подобных изысканий?
                                          0
                                          Действительно, большинство систем многих частиц являются хаотическими (за некоторыми исключениями). И когда, например, для газа в сосуде из механики выводятся законы термодинамики, свойство хаотичности в таком выводе играет важную роль.

                                          Так почему же не применить квантовую теорию хаоса для нахождения орбит в такой системе?

                                          Может подставить известные начальные условия и получится просчитать движение в любой системе тел?

                                          Хаотичность ведь не делает расчеты движения системы проще, наоборот, она все усложняет, как в случае прогнозирования погоды.

                                          Но иногда она помогает описать какие-то общие, статистические свойства системы, об этом упомянуто в конце статьи, где говорится об универсальности хаотических систем. И на картинке есть пример со статистикой энергетических уровней атомных ядер — вот это как раз хаотические системы, состоящие из взаимодействующих n частиц.
                                            0
                                            Нет, вы не совсем поняли то что я имел в виду. Я предлагал, по аналогии с шаром и бильярдами сделать расчет для тяготеющих тел как для волн — и какие при этом будут орбиты. На сколько я помню общая волновая картина для любого количества волн расчитывается достаточно просто — суперпозицией составляющих компонентов… И посмотреть какие получатся квантовые шрамы… Я вот только не понимаю как учесть наличие гравитации. Ведь при наличии, к примеру, двух тел (звезда и планета) картина должна получаться с шрамом в виде кольца, причем никаких границ в системе быть не должно. Ну, это из-за моей малограмотности в вопросах высшей математики.
                                              0
                                              Квантовая задача («расчет как для волн») для нескольких тяготеющих тел похожа на задачу об атоме. За счет гравитации тела притягиваются, а в атоме отталкиваются, но эта разница не принципиальна, когда мы говорим о квантовом хаосе.

                                              Если тел всего два (Солнце и Земля), то это задача об атоме с одним электроном, она решается аналитически, результат — это известные атомные орбитали:
                                              https://brilliant.org/wiki/atomic-orbitals/
                                              Но такая система интегрируема, квантовых шрамов там нет.

                                              Если тяготеющих тел несколько, то это задача о многоэлектронном атоме (http://www.phys.spbu.ru/library/studentlectures/chirtzov/intro.html), ее решение — уже сложная задача, для нее есть разные приближенные методы. Эта система уже хаотическая и там могут быть квантовые шрамы, но не так уж легко их визуализировать, потому что нужно как-то рисовать функцию многих переменных. Бильярды тем и удобны, что это хаотические системы, и результаты их анализа легко визуализируются.
                                                0
                                                А, вон в чем дело… Это я из химии помню — что аналитически вывели только орбиталь для атома водорода, а дальше дело забуксовало. Ну, я же и говорю — не ориентируюсь в проблемах высшей математики… Вот посмотрел как там всё вроде бы просто с шариками — красивые картинки получаются… и подумал что с этого края может быть всё проще… Ан нет, я опять не оказался самым умным ;-)
                                      0
                                        0
                                        Комментирую, чтоб не потерялась, прочту после работы
                                          0
                                          Отлично спасибо автору, только хотелось бы формул под кат, мат аппарат представляет интерес
                                          0
                                          на уровне физики эти понятия существенно отличаются: хаотические системы являются детерминированными – это системы, движение которых описывается строго определенными уравнениями, не подвержено воздействию случайных факторов
                                          Очевидно, здесь у вас речь о динамическом (детерминированном) хаосе, возникающем в классических динамических системах, но вы зачем-то говорите об этом так, будто бы хаотическое поведение за пределами данных систем в физике больше нигде не встречается, что неверно.

                                          Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                          Самое читаемое