Что это и зачем это?

Почти вся современная музыка написана с использованием равномерно-темперированного строя, использование натурального лада (который используется в традиционной (или) неевропейской музыке) или микротонов является очень нишевым, а правила современной гармонии часто не работают (попробуйте найти вменяемые материалы про гармонию в микротональной музыки). Это плохо, так как композиторам приходится опираться, в первую очередь, а своё ухо, а не на какую-то математическую модель. Особенно плохо то, что система записи музыки оторвана от физической модели звука.

А всё-таки, зачем?

Несколько лет назад, гениальный композитор Jacob Collier выложил свою аранжировку песни In the Bleak Midwinter (ПОСЛУШАТЬ ТУТ), которая разорвала умы западных музыкальных теоретиков своей модуляцией на четверть тона. Людей поразило насколько естественно звучит модуляция, которая, по сути, является микротональной. В ней, Jacob использовал аккордовую прогрессию, где аккорды были в натуральном ладу, а каждый последующий строится от какой-то ноты предыдущего. Таким образом, весь строй незаметно съехал на четверть тона.
И тут мы подходим к главной проблеме -- записать такую музыку с помощью современной системы музыкальной нотации просто невозможно (если не дописывать центы к каждой ноте), как невозможно и писать подобную музыку, не являясь современной инкарнацией Моцарта.

Хорошо, а что делать?

Я бы хотел предложить систему записи музыки, которую я называю FRM (Full Range Music). В своём корне, она позволяет определять ноты относительно других, используя рациональные отношения частот.
Относительность позволит более чётко управлять интервалами в гаммах и аккордах. Отказываясь от чётко зафиксированных по частоте нот, мы сможем строить натуральные аккорды от любой точки отсчёта.
Рациональность позволит строить более правильные ряды и аккорды, не привзываясь к иррациональным интервалам равномерно темперированного строя.

Продолжай...

Форма записи ноты в системе FRM выглядит так:

, где:

S -- октавное смещение (целое число октав, на которое смещается звук) (опциональный параметр)
h1...hn -- гармоники (целые числа, каждый из которых умножает конечную частоту ноты на h/h-1 для положительных h, и на h-1/h для отрицательных)

Таким образом, конечная частота может вычилсяться как (для положительных гармоник, отрицательные можно привести к положительным через изменение октавного смещения):

{"backgroundColorModified":false,"backgroundColor":"#FDFDFD","aid":null,"font":{"color":"#333333","size":14,"family":"Arial"},"type":"$$","code":"$$F=2^{S_{O}}\\prod_{}^{}\\frac{h_{i}}{h_{i}-1},\\,h\\in\\mathbb{N},\\,h>1$$","id":"9","ts":1750220683753,"cs":"KgWp+iJYilImmq6Y2cJRXQ==","size":{"width":312.74999999999994,"height":48.5}}

Что примечательно, этой системой можно записать любое рациональное соотношение частот

Допустим, у нас есть натуральная дробь

Если , то:

{"backgroundColorModified":false,"code":"$$\\frac{n}{m}=\\frac{m+1}{m}\\cdot\\frac{m+2}{m+1}\\cdot...\\cdot \\frac{n-1}{n-2}\\cdot\\frac{n}{n-1}$$","aid":null,"backgroundColor":"#FDFDFD","id":"10","font":{"color":"#333333","family":"Arial","size":14},"type":"$$","ts":1750052140384,"cs":"NLq2hv4quKxRSCJy2juVSw==","size":{"width":381,"height":46.333333333333336}}

Если или , то можно найти такой k, что S_o=k; 1<(2^-k*n/m)<2

Также, вот пример перевода дроби в формат FRM:

На самом деле, все вычисления легко выполнять в уме, для этого можно использовать формулы, которые описаны описаны чуть ниже =]

Ага, а что это значит в физическом плане?

Физически, каждая гармоника соответствует обертону, транспонированному в текущую октаву, что позволяет проще записывать именно консоннантные интервалы.
Гармоники -- это звуки с частотой, которая в N раз выше основного тона.

Итого, первые несколько базовых интервалов идеально соотносятся с базовыми интервалами из диатонического мажорного ряда.

Маленькая ремарка

Из таблицы видно, что интервалы @7 и @8 отсутствуют в мажорной гамме. Они разбивают кварту так же, как квинту разбивают большая и малая терция, а октаву -- кварта и квинта. Принцип разбиения описан в следущем параграфе.

Также, есть более простой вариант понимания записи FRM -- это последовательное построение интервалов. Например, @3,9 означает что частота конечного тона будет выше базового на квинту + большую секунду.

Допустим, я записал интервал с помощью ряда циферок, вместо одной ноты на нотном стане. Что теперь?

Главная фишка этой формы записи -- возможность преобразовывать интервалы с помощью простой арифметики. Например, @4,9 = @3, так как 4/3 * 9/8 = 3/2.

Основные формулы приведения таковы:

С помощью этих формул можно построить таблицу разбиения интервалов на 2, её удобно использовать в качестве референса:

Также, можно легко работать с отрицаиельными интервалами:

Всё это очень классно, но хотелось бы видеть какое-то практическое применения

В качестве примера практического применения, я предлагаю попробовать построить гамму, используя механизм разбиения интервалов.
Берём @2 (октаву) за основу.

Разбиваем её по основной формуле разбиения -- на @3 и @4 (квинту и кварту), так как @2 = @3,4

Квинту далее разбиваем по квадратичной формуле -- на @4 и @9. Это полезный ход, так как наша гамма становится симметричной, и мы сможем отстраивать кварту и квинту как вверх от основного тона, так и вниз

Кварты -- на @5 и @16 (M3 и m2), по той же квадратичной формуле

И, наконец, @5 -- на @9 и @10, по основной

Итого, у нас получился натуральный мажор. Обе @9 и @10 -- это большие секунды

Изменив немного последние два шага (разбивая кварту по-другому), мы можем также получить гармонический минор

А вот так получается моя новая любимая гамма (a-la minor blues).

Очень важно отметить, что октаву за основу брать вообще не обязательно, можно разбивать абсолютно любые интарвалы. Да и вообще, гаммы -- это инструмент, а не самоцель, так как давно уже изобрели chord-scale system. Ваша музыка может совсем не иметь целостных гамм.

Красиво. Но в равномерно-темперированном строе у меня всегда чёткое (хоть и немного кривое) расстояние между соседними нотами. Тут же неочевидно, особенно когда у нас больше одного аккорда.

Всё так, но для анализа микротональной музыки уже используются таблицы, где прописаны рассояния между двумя любыми нотами. Мы тоже можем пострить такую таблицу

Когда я говорил "практическое применение", то имел в виду написание музыки, оно будет?

Тут сложнее, так как ни один нотный редактор или DAW не знает ни про какой FRM. Тем не менее, у меня есть пару полезных инструментов и компромиссов, которые позволят написать музыку в FRM уже сейчас.

Для экспериментов у меня есть репозиторий, в котором свалены разные тулы, которые я использовал в разное время для разных целей https://github.com/ILJICH/frm
Полезными я считаю такие:

инструмент -- можно подключить как MIDI-устройство к какому-нибудь синтезатору (например, в DAW, но лично я очень рекомендую посмотреть на freesynth); умеет воспроизводить звуки, используя клавиатуру как метод ввода
скрипт-to-midi -- переводит текстовый файл с frm внутри в midi (для тех, кому проще экспериментировать с текстом) пример, грамматика

Также, вполне возможно работать напрямую в DAW, используя те же инструменты, которые применяют в микротональной музыке. Существует формат описания гамм .scl, который может использоваться в вашей любимой DAW или VST-плагине.

Например, если за DAW взять LMMS и vst плагин <> (который придётся подключать через Element, так как LMMS не поддерживает vst3), то мы можем назначить клавишам абсолютно любые частоты, надо только перевести формат FRM в натуральную дробь.

Пример сетапа

Element (чтобы мочь подключить vst-плагин)

Ещё бы пример музыки, чтобы понять, зачем всё это

Их есть у меня. Тут я немного поигрался с интервалом @7 (который, напомню, не является диатоническим и равен 266.87 центов -- 2 полутона и 66.87 центов), из которого строились аккорды.

Допустим, мне стало интересно. Что ещё можно глянуть, чтобы проникнуться?

На ютубе есть ряд интересных материалов, которые бы я посоветовал:

Транскрипция In The Bleak Midwinter
Немного теории, как In The Bleak Midwinter работает
Офигенное видео от minutephysics

Музыка не в 12ТЕТ — интересный способ как её писать